【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.8 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(15)页，271.194 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题6.8平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量𝑎⃗=(1,𝑥)，𝑏⃗⃗=(𝑥,4)，则“𝑥=2”是“𝑎⃗∥𝑏⃗⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C

．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用向量平行的坐标表示判断即可.【解答过程】若𝑥=2，则𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=(2,4)，∴𝑏⃗⃗=2𝑎⃗,则𝑎⃗∥𝑏⃗⃗；若𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，则𝑥2=4，解得�

�=±2，∴“𝑥=2”是“𝑎⃗∥𝑏⃗⃗”的充分不必要条件，故选：A.2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设点𝐴(2,0),𝐵(4,2)，若点P在直线𝐴𝐵上，且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|，则点𝑃的坐标

为（）A．(3,1)B．(1,−1)C．(3,1)或(1,−1)D．(3,1)或(1,1)【解题思路】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标.【解答过程】∵𝐴(2,0),𝐵(4,2),∴𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2)，∵点𝑃在直线𝐴𝐵上，且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|，∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗或𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，故𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)或𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=

(−1,−1)，故𝑃点坐标为(3,1)或(1,−1)，故选：C.3．（3分）设向量𝑎⃗=(1,−3),𝑏⃗⃗=(−2,4),𝑐⃗=(−1,−2)，若表示向量4𝑎⃗,4𝑏⃗⃗−2𝑐⃗,2(𝑎⃗−𝑐⃗),𝑑⃗的有向线段首尾相接能构成四

边形，则向量𝑑⃗为（）A．(2,6)B．(−2,6)C．(2,−6)D．(−2,−6)【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，结合题意求解即可.【解答过程】由题可知：4𝑎→+4𝑏→−2𝑐→+2𝑎→−2𝑐→+𝑑→=0→，即𝑑⃗=−6𝑎⃗−4𝑏⃗⃗+4𝑐⃗=(−6

,18)+(8,−16)+(−4,−8)=(−2,−6).故选：D.4．（3分）（2022秋·广东·高三阶段练习）在平行四边形ABCD中，设𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗，𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝（）A．712𝑎⃗−112𝑏⃗⃗B．112𝑎⃗−712𝑏⃗⃗C．112𝑎⃗+712𝑏⃗⃗D．−712𝑎⃗+112𝑏⃗⃗【解题思路】根据平面向量基本定理

，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【解答过程】因为𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎⃗−12𝑏⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎⃗+12𝑏⃗⃗，所以𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴

𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(12𝑎⃗−12𝑏⃗⃗)−12(12𝑎⃗+12𝑏⃗⃗)=112𝑎⃗−712𝑏⃗⃗．故选：B.5．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平

行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸满足𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，点𝑂是边𝐴𝐵的中点，𝐴𝐸与𝐷𝑂交于点𝑀．设𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=（）A．−25B．25C．−

27D．27【解题思路】利用平面向量基本定理即可求解.【解答过程】如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，△𝐴𝑂𝑀∽△𝐸𝐷𝑀，𝑂𝑀𝐷𝑀=𝐴�

�𝐷𝐸=12𝐴𝐵23𝐴𝐵=34，𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=47𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=47(𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=47(12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=27𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−47𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝜆+𝜇=−27．故选：C.6．（3分）（2022秋·江苏南京·高二阶段练习）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=1,𝐴𝐷=2，动点𝑃在矩形𝐴𝐵�

�𝐷所在平面内，且满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3.若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑚+𝑛的取值不可能为（）A．−1B．1C．2D．3【解题思路】根

据已知条件建系计算,结合向量运算和辅助角公式,计算范围即可【解答过程】根据矩形𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐵=1,𝐴𝐷=2,以𝐴为坐标原点,以𝐴𝐷,𝐴𝐵分别为𝑥,𝑦轴,则𝐴(0,0),𝐷(2,0)

,𝐵(0,1),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚(0,1)+𝑛(2,0)=(2𝑛,𝑚)又因𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(

−2,0)+(2𝑛,𝑚)=(2𝑛−2,𝑚)，则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2𝑛−2)⋅2𝑛+𝑚2=3,𝑚2+4𝑛2−4𝑛=3,即𝑚2+4(𝑛−12)2=4,设𝑚=2cos𝛼,𝑛−12=sin𝛼𝑚+𝑛=2c

os𝛼+sin𝛼+12=√5sin(𝛼+𝜑)+12∈[−√5+12,√5+12]且tan𝜑=2，所以𝑚+𝑛可取-1,1,2；又√5+12<3，所以𝑚+𝑛的取值不可能为3.故选:D.7．（3分）（2022秋

·山东潍坊·高三阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且满足𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则1𝜆+1𝜇的最小值为（）A．43B．34C．3D．163【解题思路】

根据向量线性运算表示出𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由此求得𝜆,𝜇，再根据基本不等式求得1𝜆+1𝜇的最小值.【解答过程】依题意𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34(𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，设𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0<𝑥<1)，则𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑥4𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑥4(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=3−3𝑥4𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑥4𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝜆=3−3𝑥4,𝜇=3𝑥4,1𝜆=43−3𝑥,1𝜇=4

3𝑥，所以1𝜆+1𝜇=43−3𝑥+43𝑥=43(11−𝑥+1𝑥)(1−𝑥+𝑥)=43(2+𝑥1−𝑥+1−𝑥𝑥)≥43(2+2√𝑥1−𝑥⋅1−𝑥𝑥)=163，当且仅当𝑥1−𝑥=1−𝑥𝑥,𝑥=1−𝑥,𝑥=12时等号成立

.故选：D.8．（3分）（2022秋·山东·高三阶段练习）若点𝐺是△𝐴𝐵𝐶所在平面上一点，且𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0→,𝐻是直线𝐵𝐺上一点，𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥2+4𝑦2的最小值是（）．A．2B．1C．12D．14【解题思路】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得𝑥+2𝑦=1，再由不等式求最值即可.【解答过程】设𝐺(�

�,𝑦)，𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝐶(𝑥3,𝑦3)，因为𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以𝑥=𝑥1+𝑥2+𝑥33，𝑦=𝑦1+𝑦2+𝑦33，所以点G是△𝐴𝐵𝐶的重心，设点D是AC的中点，则𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，B、G、D共线，如图，又𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗．因为B、H、D三点共线，所以𝑥+2𝑦=1，所以𝑥2+4𝑦2=𝑥2+(2𝑦)2≥(�

�+2𝑦)22=12，当且仅当𝑥=2𝑦，即𝑥=12，𝑦=14时取等号，即𝑥2+4𝑦2的最小值是12.故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量𝑎⃗=(2,−1),𝑏⃗⃗=(𝑚,2)

，则下列结论正确的是（）A．若𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，则𝑚=−4B．若𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗，则𝑚=1C．若|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|，则𝑚=1D．若|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=|𝑎⃗|，则𝑚=−4【解题思路】根据向量平行的坐标表示判断A，根

据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量的模的坐标表示判断C，D.【解答过程】对于A，因为𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，所以2×2=(−1)×𝑚，所以𝑚=−4，A正确；对于B，因为𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗，所以2×𝑚+(−1)×2=0，所以𝑚=1

，B正确；对于C，因为|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|，所以3(𝑎⃗)2−6𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=0，所以𝑚=94，C错误；对于D，因为|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=|𝑎⃗|，所以(𝑏⃗⃗)2+2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=0，所以𝑚=0或𝑚=−4，D错误；故选：AB.10．（4分）（20

22·全国·高三专题练习）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则（）A．𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎+13𝑏⃗B．𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

=13𝑎+16𝑏⃗C．𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎−13𝑏⃗D．𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35𝑎+25𝑏⃗【解题思路】以A为坐标原点，分别以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，分别

写出各点坐标，特别联立方程组解得𝐻，再根据选项一一判断即可．【解答过程】以A为坐标原点，分别以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，设𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，则𝐴(

0,0)，𝐷(𝑏3,0)，𝐸(2𝑏3,0)，𝐶(𝑏,0)，𝐵(0,𝑎)，𝐺(𝑏3,𝑎2)．又F为△𝐴𝐵𝐸的重心，则𝐹(2𝑏9,𝑎3)，直线AG的方程为𝑦=3𝑎2𝑏𝑥，直线BC的方程为𝑥𝑏+𝑦𝑎=1，联立解得𝐻(25𝑏,35�

�)，则𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑏3,𝑎2)，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(2𝑏9,𝑎3)，𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑏3,𝑎2)，𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(25𝑏,35𝑎)，因为𝑎=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,𝑎)，𝑏⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑏,0)，所以�

�𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎+13𝑏⃗，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑎+29𝑏⃗，𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎−13𝑏⃗，𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35𝑎+25𝑏⃗．故选：ACD．11．（4分）（2022·浙江·模拟预测）已知向量

𝑎⃗=(sin2𝜔𝑥,1)，𝑏⃗⃗=(1,cos2𝜔𝑥)，(𝜔>0)，函数𝑓(𝑥)=𝑎⃗2+𝑏⃗⃗2+𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗的最小正周期是π，则（）A．𝜔=2B．𝑓(𝑥)在[3π8,5π8]上单调递减C．𝑓(𝑥)的图象向左移π4个单位，图像关于𝑦轴对称D．�

�(𝑥)取最大值时，x的取值集合为{𝑥|𝑥=𝑘π+π8,𝑘∈Z}【解题思路】化简𝑓(𝑥)，根据最小正周期是π可得𝜔=1，从而得到𝑓(𝑥)=3+√2sin(2𝑥+π4)，再根据正弦型函数的单调性、图像平移与对

称性，结合对称轴方程逐个判断即可.【解答过程】因为𝑎⃗=(sin2𝜔𝑥,1)，𝑏⃗⃗=(1,cos2𝜔𝑥)，则𝑓(𝑥)=𝑎⃗2+𝑏⃗⃗2+𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=sin22𝜔𝑥+1+cos22𝜔𝑥+1+sin2𝜔𝑥+cos2𝜔𝑥=3+√2sin(2𝜔𝑥+

π4)，由2π2𝜔=π，可得𝜔=1，则𝑓(𝑥)=3+√2sin(2𝑥+π4)选项A：𝜔=1.判断错误；选项B：由𝑥∈[3π8,5π8]，可得2𝑥+π4∈[π,3π2]，由[π,3π2]⊆[2𝑘π+π2,2𝑘π+3π2],�

�∈Z，得𝑓(𝑥)在[3π8,5π8]上单调递减.判断正确；选项C：𝑓(𝑥)的图象向左移π4个单位，可得𝑦=3+√2sin(2𝑥+3π4)，图像不关于𝑦轴对称.判断错误选项D：由2𝑥+π4=2𝑘π+π2，可得𝑥=𝑘π+π8,𝑘∈Z则𝑓(𝑥)取最大值时，x的取值集合

为{𝑥|𝑥=𝑘π+π8,𝑘∈Z}.判断正确.故选：BD.12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下图所示，B是AC的中点，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈R)，以下结论中正确的是（）A．当P是线段CE的中点时，𝑥=−12，𝑦=94B．当𝑥=−12时，𝑦∈[32,4]C．若𝑥+𝑦为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．𝑥−𝑦的最大值为−1【解题思路】结合平面向

量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【解答过程】依题意，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，A选项，当𝑃是线段𝐶�

�的中点时，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=−12�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+52𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，A选项错误.B选项，若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=−12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑦∈R)设𝐹,𝐺分别是𝐵𝐶,𝐷𝐸的中点，连接𝐺𝐹并延长，交𝐴𝑂的延长线于𝐴′，则𝑂𝐸//𝐴′𝐺，且𝐴𝐵𝐵𝐹=𝐴𝑂𝑂

𝐴′=2，所以𝑂𝐴′→=12𝑂𝐴→，则𝑃点的轨迹是𝐹𝐺，𝐴′𝐹𝑂𝐵=32,𝐴′𝐹=32𝑂𝐵,𝐹𝐺=𝐵𝐸=2𝑂𝐵,𝐴′𝐺=72𝑂𝐵，所以𝑦∈[32,72]，B选项错误.C选项，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑂

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈R)，12𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈R)，令𝑥2=𝑚,𝑦2=𝑛、𝑂𝑃的中点为𝑄，𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑚,

𝑛∈R)由于𝑥+𝑦=2,𝑥2+𝑦2=1，即𝑚+𝑛=1，所以𝑄,𝐴,𝐵三点共线.设𝐻,𝐼分别是𝐵𝐸,𝐶𝐷的中点，连接𝐻𝐼，交𝐵𝐶于𝐽，则𝐻𝐼//𝐵𝐶//𝐷𝐸，𝐵是�

�𝐻的中点，𝐽是𝐵𝐶的中点，则𝑄点的轨迹是𝐵𝐽，𝑃点的轨迹是𝐻𝐼，所以C选项正确.D选项，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈R)，由于平行四边形𝐵𝐶

𝐷𝐸在𝑂𝐸的左上方，𝑂,𝐵,𝐸三点共线，所以𝑥≤0，𝑦≥1，故当𝑥取得最大值0，𝑦取得最小值1时，𝑥−𝑦取得最大值−1，D选项正确.故选：CD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4

分）（2023·高一课时练习）设𝑎⃗=(4,−3)，𝑏⃗⃗=(𝑥,5)，𝑐⃗=(−1,𝑦)，若𝑎⃗+𝑏⃗⃗=𝑐⃗，则(𝑥,𝑦)=(−5,2)．【解题思路】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.【解答过程】由题设(4,−3)+(𝑥,5)

=(𝑥+4,2)=(−1,𝑦)，所以{𝑥+4=−1𝑦=2，即{𝑥=−5𝑦=2，故(𝑥,𝑦)=(−5,2).故答案为：(−5,2).14．（4分）（2023·高一课时练习）已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1)，

𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为(8,5)．【解题思路】设𝑂

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦)，根据已知条件可求出𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(14,7)，进而得到𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(11,6)，即可求出𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.【解答过程】设𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦)，则𝐵𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦)−(−1,2)=(𝑥+1,𝑦−2).则由𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即−𝑥

+2𝑦=0，即𝑥=2𝑦.又𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以有3(𝑦−2)−1×(𝑥+1)=0，即𝑥=3𝑦−7.所以有2𝑦=3𝑦−7，解得𝑦=7，所以𝑥=14，所以𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(14,7).由𝑂𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得，𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−(3,1)+(14,7)=(11,6)，所以，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(11,6)−(3,1)=(8,5).故答案为：(8,5).15．（4分）（2022春·广东广州·高一阶段练习）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=4，𝐸为𝐶𝐷的中点，若𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=76.【解题思路】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，由𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(6𝜆,4𝜇)，列方程组，解方程组可得𝜆和𝜇的值即

可求解.【解答过程】建立如下图的平面直角坐标系，由已知得𝐵(6,0)，𝐷(0,4)，𝐸(3,4)，𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,−4)，由𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗得𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−83)，设𝐹(𝑥,𝑦)，则(𝑥−3,𝑦−4)=(2

,−83)，可得{𝑥−3=2𝑦−4=−83，解得{𝑥=5𝑦=43，所以𝐹(5,43)，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(5,43)，又因为𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆(6,0)+𝜇(0,4)=(6𝜆,4

𝜇)，所以{4𝜇=436𝜆=5，解得𝜆=56，𝜇=13，则𝜆+𝜇=76.故答案为：76.16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，O为线段BC上一点，且𝐵𝑂⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑚>0)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗(�

�>0)，则1𝑚+9𝑚+4𝑛的最小值为43.【解题思路】利用共线定理求出𝑚、𝑛的关系式，再用基本不等式即可求解.【解答过程】因为𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=2(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又因为G为线段AO的中点，所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚6𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛3𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，因为D、G、E三点共线，所以𝑚6

+𝑛3=1，即𝑚+2𝑛=6，所以1𝑚+9𝑚+4𝑛=(1𝑚+9𝑚+4𝑛)(𝑚+𝑚+4𝑛)12=112(10+𝑚+4𝑛𝑚+9𝑚𝑚+4𝑛)≥112(10+2√𝑚+4𝑛𝑚

⋅9𝑚𝑚+4𝑛)=112(10+2√9)=43，当且仅当𝑚+4𝑛𝑚=9𝑚𝑚+4𝑛，即𝑚=2𝑛=3时取等号．故答案为：43．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·广东韶关·高一阶段练习）已知向量𝑎=(2,1)，𝑏⃗=(−3

,4)，𝑐=(4,7).(1)求2𝑎−3𝑏⃗+𝑐；(2)求满足𝑐=𝑚𝑎+𝑛𝑏⃗的实数𝑚，𝑛；【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可．（2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解．【解答过程】(1)解：∵𝑎⃗=(2,1)，𝑏⃗

⃗=(−3,4)，𝑐⃗=(4,7)，∴2𝑎⃗−3𝑏⃗⃗+𝑐⃗=2(2,1)−3(−3,4)+(4,7)=(4,2)−(−9,12)+(4,7)=(17,−3)．(2)解：因为𝑐⃗=𝑚𝑎⃗

+𝑛𝑏⃗⃗，所以(4,7)=𝑚(2,1)+𝑛(−3,4)=(2𝑚−3𝑛,𝑚+4𝑛)，所以{2𝑚−3𝑛=4𝑚+4𝑛=7，解得{𝑚=3711𝑛=1011．即𝑚=3711、𝑛=1011.18．（6分）（2022春·重庆铜梁·高一阶段练习）已知向量𝑎=(3,2)，𝑏

⃗=(－1,3)，𝑐=(5,2)．（1）求满足𝑎＝𝑚𝑏+𝑛𝑐的实数m，n；（2）若(𝑎+𝑘𝑐)//(2𝑏－𝑎)，求实数k．【解题思路】（1）利用向量加法的坐标运算即可求解；（2）利用向量共线的坐标表示即可求解.【

解答过程】（1）∵𝑎＝𝑚𝑏⃗+𝑛𝑐，∴(3,2)＝𝑚(−1,3)+𝑛(5,2)＝(−𝑚+5𝑛,3𝑚+2𝑛)．∴{−𝑚+5𝑛=3,3𝑚+2𝑛=2,解得{𝑚=417,𝑛=1117.（2∵(𝑎+𝑘𝑐)//(

2𝑏⃗−𝑎)，𝑎+𝑘𝑐＝(3+5𝑘,2+2𝑘)，2𝑏⃗−𝑎＝(−5,4)．∴4×(3+5𝑘)−(−5)×(2+2𝑘)＝0，∴𝑘=−1115．19．（8分）（2022秋·山东济宁·高三阶段练习）如图所示，已知在△O

CB中，A是CB的中点，D是将𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗.(1)用𝑎和𝑏⃗表示向量𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗；(

2)若𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，求实数λ的值.【解题思路】（1）根据向量的加减运算，即可求得答案；（2）用𝑎和𝑏⃗表示出𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，结合𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗与𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗共线，即可求得答案.【解答过程】（1）依题意，A是BC的中点，∴2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，即𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎−𝑏⃗;𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=2𝑎−𝑏⃗−23𝑏⃗=2𝑎−53𝑏⃗.（2）设𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗(0<𝜆<1)，则𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑎−(2𝑎−𝑏⃗)=(𝜆−2)𝑎+𝑏⃗∵𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗

⃗与𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗共线，∴存在实数k，使𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑘𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，即(𝜆−2)𝑎+𝑏⃗=𝑘(2𝑎−53𝑏⃗),则{𝜆−2=2𝑘1=−53𝑘，解得𝜆=45.20．（8分）（2022·高二课时练习）已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶

=6，∠𝐷𝐴𝐵=60o，点𝐸是线段𝐵𝐶的中点.(1)求𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗的值；(2)若𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，求𝜆的值.【解题思路】

（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别求出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，再根据数量积的坐标运算即可得解；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示球的𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，由𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥

𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，得𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0，从而可得出答案.【解答过程】（1）解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则𝐴(0,0),𝐶(6,3√3),𝐸(92,3√32)

,𝐵(3,0),𝐷(3,3√3)，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(3，3√3)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3，0)，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=9；（2）解：𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+

𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(92+3𝜆，32√3+3√3𝜆)，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，3√3)，因为𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=3√3(32√3+3√3𝜆)=0，解得

𝜆=−12．21．（8分）（2022春·湖北襄阳·高一期中）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，设向量𝑎=(cos𝛼，sin𝛼)，𝑏⃗=(−sin𝛽，cos𝛽)，𝑐=(−12，√32)．(1)若|𝑎+𝑏⃗|=|𝑐|，求sin(𝛼−𝛽)的值；(2

)设𝛼=5π6，0<𝛽<π，且𝑎//(𝑏⃗+𝑐)，求𝛽的值．【解题思路】(1)利用向量的模长公式.(2)利用向量平行的坐标形式求解.【解答过程】（1）因为𝑎=(cos𝛼，sin𝛼)，𝑏⃗=(−sin𝛽，cos𝛽)，𝑐=(−12，√3

2)，所以|𝑎|=|𝑏⃗|=|𝑐|=1，且𝑎⋅𝑏⃗=−cos𝛼sin𝛽+sin𝛼cos𝛽=sin(𝛼−𝛽).因为|𝑎+𝑏⃗|=|𝑐|，所以|𝑎+𝑏⃗|2=|𝑐|2，即𝑎2+𝑏⃗

2+2𝑎⋅𝑏⃗=1，所以1+1+2sin(𝛼−𝛽)=1，即sin(𝛼−𝛽)=−12．（2）因为𝛼=5π6，所以𝑎=(−√32，12)．依题意，𝑏⃗+𝑐=(−sin𝛽−12，cos𝛽+√32)．因为𝑎//(

𝑏⃗+𝑐)，所以−√32(cos𝛽+√32)−12(−sin𝛽−12)=0．化简得，12sin𝛽−√32cos𝛽=12，所以sin(𝛽−π3)=12．因为0<𝛽<π，所以−π3<𝛽−π3<2π3．所以𝛽−π3=π

6，即𝛽=π2．22．（8分）（2022春·全国·高一期末）如图，已知四边形𝐴𝐵𝐷𝐸为平形四边形，𝐴𝐵=12𝐵𝐶，𝐴𝑀=13𝐴𝐷，设𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗.(1)用向量𝑎，𝑏⃗表示𝐸𝐷⃗⃗⃗

⃗⃗；(2)若点P是线段CM上的一动点，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑎+𝑦𝑏⃗（其中𝑥,𝑦∈𝑅），求𝑥2−𝑦的最小值.【解题思路】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）首先用向量𝑎，𝑏⃗表示出�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗、𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，再根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理得到{𝑥=32−𝑡𝑦=32−43𝑡，最后代入𝑥2−𝑦利用二次函数的性质计算可得；【解答过程】(1)解：依题意𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，所以3𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+

𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝑎+12𝑏⃗；(2)解：因为𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+13×12(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝐴

𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+16𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎+16𝑏⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3×12(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=32𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+32𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=32𝑎+32𝑏⃗，因为𝑃在线段𝑀�

�上，即𝑀、𝑃、𝐶三点共线，所以存在实数𝑡，𝑡∈[0,1]，使得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−𝑡)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡(12𝑎+16𝑏⃗)+(1−𝑡)(32𝑎+32�

�⃗)=(32−𝑡)𝑎+(32−43𝑡)𝑏⃗，又𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑎+𝑦𝑏⃗，所以{𝑥=32−𝑡𝑦=32−43𝑡，所以𝑥2−𝑦=(32−𝑡)2−(32−43𝑡)=𝑡2−53𝑡

+34=(𝑡−56)2+118因为𝑡∈[0,1]，所以当𝑡=56时𝑥2−𝑦取得最小值118.