【文档说明】北京市房山区2023-2024学年高一下学期学业水平调研（一）数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.538 MB，由小赞的店铺上传

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房山区2023-2024学年度第二学期学业水平调研（一）高一数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共50

分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.300o化成弧度是（）A.5π3B.π6C.7π6D.7π4【答案】A【解析】【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解【详解】因为180π=，所以3π5

π300300180==.故选：A2.已知sin0且cos0，则角的终边所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义，可确定0y且0x，进而可知所在的象限，得到结果.【详解】依据题设及三角函数的定义可

知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目

.3.已知向量(5,6)a=−，(6,5)b=，则a与b（）A.平行且同向B.平行且反向C.垂直D.不垂直也不平行【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示即可得出判断．【详解】因为30300ab=−+

=，所以ab⊥，故选：C．4.要得到函数4ysinx=−（3）的图象，只需要将函数4ysinx=的图象A.向左平移12个单位B.向右平移12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位【答案】B

【解析】【详解】因为函数sin4sin[4()]312yxx=−=−，要得到函数43ysinx=−的图象，只需要将函数4ysinx=的图象向右平移12个单位．本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原

来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．5.下列函数中，最小正周期为π且为奇函数的是（）A.tan2yx=B.πtan3yx=+C.cos2yx=D.sincosy

xx=【答案】D【解析】【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简D的解析式，再根据正余弦型函数的奇偶性和周期性可判断CD.【详解】函数tan2yx=的最小正周期为π2，故A错误；函数πtan3yx

=+，定义域为ππ,Z6xkk+，定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故B错误；函数cos2yx=，函数定义域为R，由()()cos2cos2cos2xxx−=−=，函数是偶函数，故C错误；函数1sincossin22yxxx==，函数

定义域为R，由()()111sin2sin2sin2222xxx−=−=−，函数为奇函数，最小正周期为2ππ2T==，故D正确.故选：D.6.已知函数π()2sin()(0,)2fxx=+的部分图象如

图所示，则（）A.12=，π3=B.12=，π3=−C.2=，π3=D.2=，π3=−【答案】C【解析】【分析】根据函数图象，由33π44T=，求得周期，进而得到，再根据点π,03在图象上即可求解．【详解】由图象知，313ππ3π41

234T=−=，即πT=，则2π2π==，所以()2sin(2)fxx=+，因为点π,03在()fx图象上，所以()π22π+πZ3kk+=，即()π2π+Z3kk=，因为π2，所以π3=，故选：C．7.设ab，是非零向量，则“||||abab=”是“

//ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为||||abab=，所以co|s|||ababab==，则cos1=，解得0=，所以//ab

，故充分性成立；当//ab时，0=或π=，则||||abab=或||||abab=−，故必要性不成立；综上，“||||abab=”是“//ab”的充分不必要条件.故选：A8.若向量,ab满足3a=，2b=，且()aba−⊥，则向量a与b夹角为（）A.π3B.

π6C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】设向量a与b的夹角为，由()aba−⊥得()0aba−=，根据平面向量数量积的运算律求解即可．【详解】设向量a与b的夹角为，由()aba−⊥得，2()323cos0abaaab−=−=−=，即3cos2

=，因为[0,π]，所以π6=，故选：B．9.已知a是实数，则函数()1sinfxaax=+的图象不可能是（）A.B.的C.D.【答案】D【解析】【分析】由实数a的取值范围，讨论函数的最值和周期，对选项中的图象进行判断.【详解】当01a时，2π2π

Ta=，且()fx的最小值为正数，故A正确；当1a时，2π2πTa=，且()fx的最小值为负数，故B正确；当0a=时，()1fx=，故C正确；在选项D中，由振幅得1a，则2πT，而由图象知2πT，故D错误.故选：D.10.设函数()sin()(0,0,02π)fx

AxA=+在区间π[0,]3上是单调函数，ππ1()(0)()332fff−==−=，则(2024π)f=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】由()fx在区间π[0,]3上是单调函数得出03，由ππ1()(0)()332fff−

==−=分析出的值，即可计算出(2024π)f．【详解】因为()fx在区间π[0,]3上是单调函数，且0，所以1ππ23T=，解得03，又因ππ()(0)()33fff−==−，所以π6x=−是()fx一条

对称轴，π,06是()fx的一个对称中心，为的若π6x=−和π,06是同一周期中相邻的对称轴和对称中心，则ππππ42663T==+=，即32=，符合题意若π6x=−和π,06是同一周期不相邻的对称

轴和对称中心，则33ππππ42663T==+=，即932=，不合题意，又()1(0)sin2fA==，所以31(2024π)sin(2024π)sin22fAA=+==，故选：A．第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.7

sin6=______．【答案】12−【解析】【分析】将所求式子中的角76变形为6+，然后利用诱导公式()sinsin+=−化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【详解】7sin6sin6=+

sin6=−12=−．故答案为12−【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12.函数π6tan2yx=−的定义域为__________．的【答案】ππ,Z23kxxk

+∣【解析】【分析】解不等式ππ2π,Z62xkk−+,即得解.【详解】由题意得ππ2π,Z62xkk−+.解得ππ,Z23kxk+.故答案为：ππ,Z23kxxk+∣.13.已知向量,ab在正方形网格中的位置如图所示，那么向量,a

b的夹角的余弦值为______.【答案】1010−【解析】【分析】以向量a的起点为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】如图所示，以向量a的起点为原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，

则()2,1a=−，()1,1b=，则有5a=，2=b，211ab=−+=−，所以110cos,1052ababab−===−，即向量,ab的夹角的余弦值为1010−.故答案为：1010−.14.已知向量()1,2a=r

，b为单位向量，0ab=rr，则向量b的坐标为_____.（写出一个即可）【答案】255,55−（或者255,55−）【解析】【分析】设(),bxy=，根据向量垂直的坐标表示结合模

长公式列式求解即可.【详解】设(),bxy=，由题意可得：22201abxybxy=+==+=，解得25555xy==−或25555xy=−=，所以255,55b=−或255,55b=−.

故答案为：255,55−（或者255,55−）.15.在平面直角坐标系xOy中，角的终边过点()4,3A，则tan=___；将射线OA绕原点O沿逆时针方向旋转π2到角的

终边，则sin=___.【答案】①.34##0.75②.45##0.8【解析】【分析】根据题意结合三角函数值的定义求tan；因为π2=+，利用诱导公式结合三角函数值的定义求sin.【详解】因为角的终边过点()4,3A，即4,3xy==，所以3tan4yx==；由

题意可知：π2=+，所以22π4sinsincos25xxy=+===+.故答案为：34；45.16.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数1()sin

sin2()2fxxxx=+R，给出下列四个结论：①()fx的一个周期为2π；②()fx的图象关于原点对称；③()fx的最大值为32；④()fx在区间0,2π上有3个零点．其中所有正确结论的序号为__________.

【答案】①②④【解析】【分析】对于①：代入周期的定义，即可判断；对于②：根据奇函数的定义分析判断；对于③：分别比较两个函数分别取得最大值的x值，即可判断；对于④：根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】对于①：因为()(

)()()112πsin2πsin24πsinsin222fxxxxxfx+=+++=+=所以()fx的一个周期为2π，故①正确.对于②：因为()fx的定义域为R，且()()()()11sinsin2sinsin222fxx

xxxfx−=−+−=−−=−，可知()fx为奇函数，所以()fx的图象关于原点对称，故②正确；对于③：对于sinyx=，当且仅当π2π,2xkk=+Z时，取得最大值1，对于1sin22yx=，当且仅当π22π,2xkk=+Z，即ππ,4

xkk=+Z时，取得最大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以()fx的最大值不是32，故③错误.对于④：令()()1sinsin2sinsincossin1cos02fxxxxxxxx=+=+=+=

，解得sin0x=或cos1x=−，又因为0,2πx，可得0x=或πx=或2πx=，所以()fx在区间0,2π上有3个零点，故④正确.故答案为：①②④.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

.17.已知向量,ab满足，2ab==且a与b的夹角为2π3．（1）求ab；（2）求ab−；（3）若(2)()abkab−⊥+，求实数k的值.【答案】（1）2−（2）23（3）54k=【解析】【分析】

（1）利用向量数量积的定义求解；（2）()2222ababaabb−=−=−+，代入已知数据求解即可；（3）利用向量垂直数量积为0，求实数k的值.【小问1详解】因为2ab==，且2π,3ab=，所以2π1cos,22cos22232ababab

===−=−.【小问2详解】()22222222222(2)223ababaabbaabb−=−=−+=−+=−−+=.【小问3详解】由(2)()abkab−⊥+，得(2)()0abkab−+=，即22220kakababb−+−=.所以()()41

2280kk+−−−=.解得54k=.18.已知函数2()3sin22cosfxxx=+．（1）求π()3f的值；（2）求函数()fx的最小正周期；（3）求函数()fx的单调递增区间．【答案】（1）2（2）πT=（3）πππ,π(Z)36kkk−++【解析】【分析】（1）直接代入

3x=，由特殊角的三角函数值求出π()3f的值；（2）根据二倍角公式化简整理把函数2()3sin22cosfxxx=+化成一个角的一种三角函数的形式得()π2sin(2)16fxx=++，由正弦型函数的周期公式求出最

小正周期；（3）根据正弦函数sinyx=的单调递增区间，把π26x+看成一个整体，解不等式πππ2π22π(Z)262kxkk−+++，求出()fx的单调递增区间.【小问1详解】22π2ππ31()3sin()2cos3()

2()33322f=+=+31222=+=【小问2详解】因为()3sin2cos21fxxx=++312(sin2cos2)122xx=++ππ2(sin2coscos2sin)166xx=++π2sin(2)16x=++所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==.【小问3详解】因为函数

sinyx=在区间ππ2π,2π(Z)22kkk−++上单调递增.所以由πππ2π22π(Z)262kxkk−+++，得2ππ2π22π(Z)33kxkk−++≤≤.即ππππ(Z)36kxkk−++.所以函数()

fx的单调递增区间为πππ,π(Z)36kkk−++.19.设函数π()sincoscossin002fxxx=+，由下列三个条件中的两个来确定：①(0)2f=−；②最小正周期为π；③06fπ−=

．（1）写出能确定函数()fx的两个条件，并求出()fx的解析式；（2）求函数()fx在区间π0,2上的最小值及相应的x的值．【答案】（1）两个条件为②③，π()sin23fxx=+（2）π2x=时，函数()fx的最小值为32−【解

析】【分析】（1）条件①不成立，选择两个条件②③，由最小正周期求，由06fπ−=求出；（2）由π0,2x，有ππ4π2,333x+，结合正弦函数的性质求最小值和最小值点.【小问1详解】(0)sin0coscos0sinsin

2f=+=−，条件①不成立，能确定函数()fx的两个条件为②③.()sincoscossinsin()fxxxx=+=+.因为函数的最小正周期为π，2ππ||=，所以2=.又06fπ−=，得πsin03−+=，所以ππ(Z)3kk−+=

，得ππ(Z)3kk=+.由π02，得π3=.所以π()sin23fxx=+.【小问2详解】因为π0,2x，所以ππ4π2,333x+.所以当π4π233x+

=，即π2x=时，函数()fx的最小值为π4π3sin232f==−.20.将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点

．（1）游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度；（2）求该游客距离地面的高度h(单位:米)与他登上摩天轮的时间x(单位:分钟)的函数关系式；（3）当该游客登上摩天轮2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点A处登上摩天轮．求他和他

的朋友距离地面的高度之差的绝对值的最大值．【答案】（1）31米（2）π20cos2106hxx=−+≥（）（3）20【解析】【分析】（1）由已知条件得AOB的大小，可得B点到地面的高度；（2）以O为原点建立平面直角坐标系，表示出

B点坐标，可得距离地面的高度h与时间x的函数关系式；（3）两人距离地面的高度都表示为与时间x的函数，作差后通过三角恒等变换化简后结合正弦函数的性质求最大值.【小问1详解】因为从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点，所以登

上摩天轮4分钟后，2π3AOB=，所以游客距离地面的高度为π20sin21316=+米.【小问2详解】如图以O为原点建立平面直角坐标系.则2ππ2ππ20cos,20sin122122Bxx−−

，h与x的函数关系式为2ππ20sin21122hx=−+，即π20cos2106hxx=−+≥（）.【小问3详解】设x分钟后两人距离地面的高度之差的绝对值为()21ππ20cos22120cos2166hhxx−

=−++−−+πππππ20cos(2)cos20coscos66636xxxx=+−=+−πππππ3π1π20coscossinsincos20sincos636362626xxxxx=−−=+ππ20sin66x=+.所以当ππ

ππ662xk++=，即26Zxkk+=，时，21hh−取得最大值为20.21.已知()fx，()gx都是定义在R上的函数，若存在实数m，n使()()()hxmfxngx=+对任意xR都成立，则称()hx为()fx，()gx在R上生成的函数．（1）判断函数πsi

n3yx=+是否为()sinfxx=，()cosgxx=在R上生成的函数，说明理由；（2）判断函数sin2yx=是否为()sinfxx=，()cos2gxx=在R上生成的函数，说明理由；（3）若()hx为()

sinfxx=，()cos2gxx=在R上的一个生成函数，且0m，0n，()hx的最小值为2−，π12h=，求()hx的解析式．【答案】（1）是，理由见解析（2）不是，理由见解析（3）31()sincos222hxxx=+【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合生成函数的

定义，判断并证明；（2）利用反证法判断并证明结论；.（3）存在实数,mn使得()sincos2hxmxnx=+对任意xR恒成立，由()hx最小值为2−和π12h=，求出实数,mn的值即可.的【小问1详解】函数πsin3yx=+是()

sinfxx=，()cosgxx=在R上生成的函数，理由如下：因为πππ13sinsincoscossinsincos33322xxxxx+=+=+，存在实数12m=，32n=，使()()()hxmfxngx=+，所以函数πsin3yx=+是()

sinfxx=，()cosgxx=在R上生成的函数.【小问2详解】函数sin2yx=不是()sinfxx=，()cos2gxx=在R上生成的函数.理由如下：假设函数sin2yx=是()sinfxx=，()cos2g

xx=在R上生成的函数，则存在实数m，n使得sin2sincos2xmxnx=+对任意xR都成立.当0x=时，0n=；当π2x=时，0mn=−，得0m=；当π4x=时，左边πsin12==，ππ0sin0cos042=+=右边，等式不成立.与sin2sinco

s2xmxnx=+对任意xR都成立矛盾.所以函数sin2yx=不是()sinfxx=，()cos2gxx=在R上生成的函数.【小问3详解】若()hx为()sinfxx=，()cos2gxx=在R上的一个生

成函数，则存在实数m，n使得()sincos2hxmxnx=+对任意xR恒成立.因为π12h=，所以1mn−=①.因为1sin1x−，1cos21x−，且0m，0n，所以()sincos2hxmxnxmn=+−−≥.当3π2x=时取等号（当且

仅当3π2π,Z2xkk=+时取等号）.()hx的最小值为2mn−−=−，即2mn+=②，由①②可得3122mn==，，所以31()sincos222hxxx=+.