【文档说明】福建省宁德市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.274 MB，由小赞的店铺上传

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宁德市2022－2023学年度第二学期期末高一质量检测数学试题本试卷有第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填

写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题

目要求的．1.若复数()i2iz=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.1−B.2i−C.2D.2i【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求出z，即可得出答案．【详解】()1ii22iz=−+=+，则z的虚部为2．故选：C

．2.在△ABC中，D为线段AB上一点，且13ADAB=，则CD=（）A.13ABAC+uuuruuurB.13ABAC+C.13ABAC−uuuruuurD.13ABAC−【答案】C【解析】【分析】由题意13AADB=，根据向量的线性运算求解即可

.【详解】∵D为线段AB上一点，且13ADAB=，∴13AADB=，∴13ACCDAB+=，∴13CDABAC=−，故选：C.3.设,AB为两个互斥事件，且()0PA，()0PB，则下列各式一定正确的是（）A.()()()P

ABPAPB=B.()()()=+PABPAPBC.()()()PABPAPB=+D.()()()PABPAPB=【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的含义判断各选项即可.【详解】因为,AB为两个互斥事件，()0PA，()0PB，所以A

B=，即()0PAB=，且()()()=+PABPAPB.故选：B．4.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）A.两个角都是直角B.两个角都是锐角C.两个角都为0°D.一个角为0°，一个角为90°【答案】A【解析】【分析】A选项，可

推出两直线平行，A不可能；BCD可举出反例.【详解】A选项，当两个角均是直角时，两直线平行，故不满足异面，A不可能，B选项，如图1，,ab与平面所成角都时锐角，B可能，C选项，如图2，,ab与平面所成角都为0，C可

能，D选项，如图3，直线b与平面所成角为0°，直线a与平面所成角为90，D可能.故选：A5.某学校高年级有300名男生，200名女生，现采用分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取一个容量为60的样本，男生平均成绩为110分，女生平均成绩为100分，那么可以推测

高一年级学生的数学平均成绩约为（）A.100分B.105分C.106分D.110分【答案】C【解析】【分析】求出应抽取男生和女生的人数，根据按比例分配分层抽样总样本平均数的公式计算即可.【详解】由题意，应抽取男生3006036300200

=+（人），女生2006024300200=+（人），所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为62436110100106060+=（分）．故选：C.6.设a，b是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若,,a

b∥，则ab∥B.若,aba=∥，则bPC.若,,ab⊥，则a⊥bD.若,,ab⊥∥，则a⊥b【答案】D【解析】【分析】根据空间线线、线面、面面关系逐一判断可得选项.【详解】对于A

，若,,ab∥，则,ab可能异面，故A错误；对于B，若,aba=∥，则可能有b，故B错误；对于C，若,,ab⊥，则可能有a∥b，故C错误；对于D，若,a⊥∥，则a⊥，又b，则a⊥b，故D正确.故选：D.7.位于某海域A处的甲船获悉，在其

正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sinACB＝（）A.217B.77C.

37D.73【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得CB，进而由正弦定理求得答案．【详解】由题意120,10,20CABACAB===，由余弦定理得，2222cos700CBACABACABCAB=+−=，∴107CB=，由正弦定理得

，sinsinCBABCABACB=，即10720sin32ACB=，解得21sin7ACB=．故选：A．8.甲、乙两人组队参加禁毒知识竞赛，每轮比赛由甲、乙各答题一次，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则

（）A.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为25B.在第一轮比赛中，甲、乙都没有答对的概率为115C.在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的概率为2675D.在两轮比赛中，甲、乙至多答对一题的概率为32225【答案】D【解析】【

分析】根据独立事件的概率乘法公式，即可结合选项逐一求解.【详解】在第一轮比赛中，甲对乙不对的概率为3211535−=，乙对甲不对的概率为32415315−=，甲乙都不对的概率为322115315−−=

，所以恰有一人答对的概率为14751515+=，故AB均错误，在第一轮比赛中，答对一道题的概率为715，答对两道题的概率为3265315=，答对0道题的概率为215，故在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的情况为：第一轮

答对1道第二轮答对2道和第一轮答对2道第二轮答对1道，故概率为76282151575=，在两轮比赛中，甲、乙答对0道题的概率为2241515225=，答对1道题的概率为272821515225=，所以甲、乙至多答对一题的概率为32225，

故C错，D正确,故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.若复数z满足23zzi+=+（i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A.z＝1＋iB

.2z=C.z的共轭复数1iz=−−D.z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根【答案】AB【解析】【分析】根据题意，利用复数代数形式的运算化简，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设i,,Rzabab=+，则izab=−，因为23zzi+=+，即()()2ii3iabab

++−=+，所以331ab==，解得11ab==，所以1iz=+，1iz=−，112z=+=，故AB正确，C错误；将1iz=+代入方程可得()()21i21i244i0++++=+，故D错误；故选：AB10.若,,mnaurrr是任意的非零向量，则下列正确的

是（）A00m=urrB.()()anmanm=rrurrrurC.若mana=urrrr，则mn=D.若m与n共线且方向相同，则m在n上的投影向量为mnnurrr【答案】AD【解析】【分析】由向量数乘运算的概念可判断A

；,nmanrurrr均表示一个实数，()(),anmanmrrurrrur均表示向量，可判断B；若mana=urrrr，可得()mna−⊥urrr，可判断C；由投影向量的概念可判断D.【详解】由向量数乘运算的概念可知，00m=urr，故

A正确；,nmanrurrr均表示一个实数，()(),anmanmrrurrrur均表示向量，而,amrur的方向不一定相同，故B错误；若mana=urrrr，则0mana−=urrrr，即()0mna−=urrr，则()mn

a−⊥urrr，不一定有mn=，故C错误；若m与n共线且方向相同，则mnmn=，则m在n上的投影向量为nmmnnnnn=urrrrrrrur，故D正确.故选：AD.11.两个班级，每班各自随机选

出10名学生测验铅球成绩，以评估达标程度，测验成绩如下（单位：m）：则以下说法正确的是（）甲9.17.98.46.95.27.1808.16.74.9..乙8.88.57.37.16.78.49.08.77.87.9A.乙班级的平均成绩比甲班级的平均成绩高B.乙班级的成绩比甲班级的更加集中C.甲

班级成绩的第40百分位数是6.9D.若达标成绩是7m，估计甲班级的达标率约为0.6【答案】ABD【解析】【分析】计算出甲班级，乙班级的平均成绩，可判断A；计算出甲班级，乙班级成绩的方差，可判断B；利用百分位数概念求解可判断C；甲班级选出的10名学生有6人达标，可估计甲班级的达标率约为

0.6，可判断D.【详解】甲班级的平均成绩()119.17.98.46.95.27.18.08.16.74.97.2310x=+++++++++=，乙班级的平均成绩()218.88.57.37.16.78.49.08.77.87.98.0210x=+++++++++=，21xx，故A正确；甲班级

成绩的方差()()()()()22222211[9.17.237.97.238.47.236.97.235.27.2310s=−+−+−+−+−()()()()()222227.17.238.07.238.17.23

6.77.234.97.23]1.6621+−+−+−+−+−=，乙班级成绩的方差()()()()()22222221[8.88.028.58.027.38.027.18.026.78.0210s=−+−+

−+−+−()()()()()222228.48.029.08.028.78.027.88.027.98.02]0.5576+−+−+−+−+−=，2212ss，故B正确；甲班级的成绩由小到大排列：4.9，5.2，6.7，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，

8.4，9.1，∵10×40%＝4，∴甲班级成绩的第40百分位数是6.97.172+=，故C错误；若达标成绩是7m，甲班级选出的10名学生有6人达标，所以，估计甲班级的达标率约为0.6，故D正确.故选：ABD.12.棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为正方形ABCD的中心

，M，N分别是棱1BB，11AB的中点，则下列选项正确的有（）A.EMMN⊥B.直线EN与平面ABCD所成角的正弦值为55C.三棱锥11MNBC−的外接球的半径为62D.过M、N、E的平面截该正方体所得的截面形状是六边形【答案】AC【解析】【分

析】利用勾股定理逆定理判断A，取AB的中点F，连接EF、NF，则NEF为直线EN与平面ABCD所成角，即可判断B，三棱锥11MNBC−的外接球即为以1NB、11BC、1BM为长、宽、高的长方体的外接球，即可判断C，作出截面图，即可判断D.【详解】对

于A：因为22112MN=+=，()22213ME=+=，22215NE=+=，所以222MNMENE+=，即EMMN⊥，故A正确；对于B：取AB的中点F，连接EF、NF，由N是棱11AB的中点，所以1//NFAA，又1AA⊥平面ABCD，所以NF⊥平面ABCD，所以NEF为直线EN与

平面ABCD所成角，所以225sin55NFNEFNE===，即直线EN与平面ABCD所成角的正弦值为255，故B错误；对于C：因为111NBBC⊥，11NBBM⊥，111MBBC⊥，所以三棱锥11MNBC−的外接球即为以1NB、11BC、1BM为长、宽、

高的长方体的外接球，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，则()222221126=++=R，所以62R=，故三棱锥11MNBC−的外接球的半径为62，即C正确；对于D：延长MN交AB的延

长线于点K，交1AA的延长线于点F，连接EK交BC于点G，延长KE交AD于点H，连接FH交11AD于点I，连接NI、MG，则五边形HGMNI即为过M、N、E的平面截该正方体所得的截面，其中1KBMNBM≌，11NAFNB

M≌，所以1BKMB==，111AFAN==，取AB的中点J，连接EJ，则//EJBG，所以BGBKEJKJ=，所以12BG=，即G为BC靠近B的四等分点，又//AHBG，所以BGBKAHAK=，所以32AH=，即H为AD靠近D的四等分点，又1//AI

AH，所以11AFAIAFAH=，所以112AI=，即I为11AD靠近1A的四等分点，故D错误；故选：AC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13.复数i2iz=+，则z在复平面内对应的点位于第__

____象限．【答案】一【解析】【分析】根据复数的除法运算即可化简复数，进而得对应点，即可求解.【详解】由()()()i2ii12i2i2i2i5z−+===++−，z在复平面内对应点为12,55，故点在

第一象限，故答案为：一14.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为___________．【答案】5π4【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】设圆锥的底面半径为r，由题意可得：π2π22r=，解得12r=，所以圆锥

的表面积为2115πππ2224+=．故答案为：5π4.15.已知O，H在△ABC所在平面内，若OAOBOC==，OAOBOCOH++=，则AHBC=uuuruuur______．【答案】0【

解析】【分析】根据外心的性质可得OMBC⊥，结合向量的线性运算可得AH与OM共线，即可由数量积的定义求解.【详解】根据OAOBOC==可知O为△ABC的外心，取BC中点为M，连接OM,则OMBC⊥,由2OBOCOHOAOMAH+=−=,所以AH与OM共线，20AHBCO

MBC==uuuruuuruuuuruuur,故答案为：0的的16.已知平面内两个不同的单位向量()()1122,,,mxynxy==urr与()1,1p=ur所成的角都为π6，则mn=______；1212yyxx=______．【答案】①.12##0.5②

.1【解析】【分析】根据题意，由平面向量的模长公式以及夹角公式列出方程，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为单位向量()()1122,,,mxynxy==urr与()1,1p=ur所成的角都为π6，所以22111mxy=+=，11

π3cos622xympmp+===，即1162xy+=，所以1162xy+=，()()22221111116121224xyxyxy−+−+===，则可得11,xy是方程261024xx−+=的两根，同理可得，22221nxy

=+=，22π3cos622xynpnp+===，即2262xy+=，所以2262xy+=，()()22222222226121224xyxyxy−+−+===，则可得22,xy是方程261

024xx−+=的两根，又因为,mn是两个不同的单位向量，所以12xy=，21xy=，所以1214xx=，1214yy=，则121212mnxxyy=+=，12121yyxx=.故答案为：12；1.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知,ab为平面向量，且()1,2a=r．（1）若()1,1b=，且kab−与a垂直，求实数k的值；（2）若//ab，且25b=，求向量b的坐标．【答案】（1）35k=（2）()2,4b

=或()2,4b=−−【解析】【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列出方程，求解作答.（2）利用向量共线设出b的坐标，利用坐标求模列式计算作答.【小问1详解】因为()()1,2,1,1ab==，则()1,21kabkk−=−−rr，因为kab−与a垂直，于是()0kab

a−=，即()12120kk−+−=，解得35k=.所以35k=．【小问2详解】由//ab，设(),2ba==rr，而25b=，则22425+=，解得2=，所以()2,4b=或()2,4b=−−．18.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M，

N分别是A1B，CC1的中点．（1）求证：MN//平面ABC；（2）求证：MN⊥平面A1ABB1．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设AB的中点为D，连接MD，CD，由线面垂直的判定定理可证；（2）由线

面垂直的判定定理先得CD⊥平面A1ABB1，再由（1）可证.【小问1详解】设AB的中点为D，连接MD，CD．因为M，D分别为A1B，AB的中点，所以111,2DMAADMAA=∥．又因为三棱柱ABC－A1B1C

1为正三棱柱且N为CC1的中点，所以111,2CNAACNAA=∥又所以,CNMDCNMD=∥，所以四边形CDMN是平行四边形，所以MNCD∥．又因为CD平面ABC，MN平面ABC，所以MN//平面ABC．【小问2详解

】因为三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，又因为CD平面ABC，所以A1A⊥CD．因为D为AB的中点且△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．AB平面A1ABB1，1AA平面A1ABB1，A1A∩AB＝A，所以CD⊥平面A

1ABB1，又因为MNCD∥，所以MN⊥平面A1ABB1．19.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x

（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照［3，4），［4，5），…，［8，9］分成6组，制成了如图

所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于7（单位：t）的人数；（3）若该市政府希望80%的居民每月的用水量不超过标准x（单位：t），估计x的值

．【答案】（1）0.35（2）15（万）（3）x＝7.25【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据频率乘以总数即可求解，（3）根据频率之和为0.8即可求解.【小问1详解】由频率分布直

方图可得()0.0520.10.20.2511a++++=，解得0.35a=【小问2详解】由频率分布直方图知，月均用水量不低于7吨的频率为()0.20.0510.25=＋由此估计全市60万居民中月均用水量不低于7吨的人数为600.2515=（万）．【小问3

详解】因为前四组的频率之和为()0.050.10.250.3510.750.8+++=又前五组的频率之和为()0.050.10.250.350.210.950.8++++=所以78x．由()0.270.80

.75x−=−，解得7.25x=因此，估计月用水量标准为7.25t时，80%的居民每月的用水量不超过标准．20.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次取一球

．记事件A：第一次取出的是2号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．（1）写出这个试验的样本空间；（2）判断事件A与事件B是否相互独立，请说明理由；（3）两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）事件A与事件B是相互独立，理由见解析（3）两次取

出号码之和最有可能是5，理由见解析【解析】【分析】（1）用数组()12,xx表示可能的结果,即可得出试验样本空间；（2）利用独立事件的定义判断；（3）两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7，求出对应的概率比较即可得出答案．【小问1详解】用数组()12,xx表示可能的结果，1x表

示第一次抽到球的标号，2x表示第二次抽到球的标号，则试验样本空间为()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,24,3=．【小问2详解】()()()2,1

,2,3,2,4A=，()()()()1,4,2,3,3,2,4,1B=，()2,3AB=．所以()()()31411,,12412312PAPBPAB=====．因为()()()PABPAPB=，所以事件A与事件B是相互独立．【小问3详解】两次取出的号码之和的有：

3，4，5，6，7．分别记作事件：C，D，E，F，G．则()()()(),()()()(),1,2,2,11,3,3,11,4,2,3,3,2,4,1CDE===,2,4,4,2,),()(4))343(,,(FG==．()()()()()212141

2121,,,,126126123126126PCPDPEPFPG==========．因()()()()()PEPCPDPFPG===．所以两次取出号码之和最有可能5．21.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．请从条件①、条件②中选择一个条件作为已知，求：（1）A的度数：

（2）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．是条件①：cos3sinaCaCbc+=+；条件②：△ABC的面积()22234bcaS+−=．【答案】（1）选①②均为π3A=（2）33,82【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理和()sinsinBAC=+，辅助角公式得到π1sin6

2A−=，由A的范围求出答案；选②，由面积公式和余弦定理得到tan3A=，结合A的范围求出答案；（2）由正弦定理和面积公式可得3318tanABCSC=+△，因为ABC为锐角三角形，从而得到

ππ62C，求出答案.【小问1详解】选择条件①：由正弦定理得sincos3sinsinsinsinACACBC+=+，()sincos3sinsinsinsinACACACC+=++，所以3sinsinsincossin

ACCAC=+，因为sinC＞0，所以3sincos1AA=+，所以π1sin62A−=，又πππ,663A−−，所以πππ,663AA−==，选择条件②：由面积公式得()22231sin24bcabcA+−=，由余弦定理得2222cosb

cabcA+−=，所以123cossin24bcAbcA=，所以tan3A=，又π0,2A，所以π3A=.【小问2详解】由正弦定理sinsinbcBC=得sinsincBbC=，由面积公式可得13s

incossin2213sin33333sin124sin4sin4sin8tanABCCCCBSbcACCCC++=====+△，因为ABC为锐角三角形，故π

022ππ032CBC=−，得ππ62C，所以3tan3C，3333188tan2C+，所以ABCS的取值范围为33,82.22.如图1，平面四边形ACBD满足AB⊥CD，AB∩CD＝O，AO＝3，BO＝1，

33CO=，3DO=．将三角形ABC沿着AB翻折到三角形ABE的位置，连接ED得到三棱锥E－ABD（如图2）．（1）证明：AB⊥DE；（2）若平面ABE⊥平面ABD，M是线段DE上的一个动点，记∠ABM，∠BAM分别为,，当−取得最大值时，求二面角M－AB－D的余弦值．【答

案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）由翻折可知，AB⊥EO，AB⊥OD，所以AB⊥平面EOD，即可证得结论；（2）连接OM，可以证得EO⊥平面ABD，所以EO⊥OD，在直角三角形EOD中，求出cosEDO及OM的范围，由AB⊥OM，结合两角差的正切公式得(

)tan−的表达式，利用基本不等式求得−取最大值时OM的长，因为OM⊥AB，OD⊥AB，所以∠MOD是二面角M－AB－D的平面角，结合二倍角公式求出答案．【小问1详解】由翻折可知，在图2中，AB⊥EO，AB⊥OD，EO∩OD＝O，

,EOOD平面EOD，所以AB⊥平面EOD，又因为DE平面EOD，所以AB⊥ED，【小问2详解】连接OM，因为平面EAB⊥平面ABD，平面EAB∩平面ABD＝AB，EO⊥AB，EO平面EAB，所以EO⊥平面ABD，又OD平面ABD，所以EO⊥OD，所以在直角三角形EOD中，33,

3,30OEODDE===，所以10cos10EDO=，DE边上的高为3333301030OEODDE==，所以3303310OM，由（1）可知AB⊥平面EOD，OM平面EOD，所以AB⊥OM，tan,tan3OMOMOMOMOBOA====，()22tanta

n233tan31tantan313OMOMOMOM−−===+++，当且仅当3OM=取等号，所以当−取最大值时，3OM=，因为OM⊥AB，OD⊥AB，所以∠MOD是二面角M－AB－D

的平面角，在等腰三角形MOD中，()22104coscosπ212cos12105MODMDOMDO=−=−=−=，所以二面角M－AB－D的余弦值为45．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com