【文档说明】四川省成都市第十八中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，2.929 MB，由管理员店铺上传

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成都十八中2022-2023学年度下期高一半期考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分命审人：高一数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.下列几何体中，面的个数最小的是（）A.四面体B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台【答案】A【解析】分析

】根据棱柱棱锥得结构特征逐一判断即可.【详解】四面体有4个面，四棱锥有5个面，三棱柱有5个面，三棱台有5个面，所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.故选：A.2.已知4sin5=，π,π2，则cos2

的值为（）A.725B.2425C.2425−D.725−【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式可求得cos2的值.【详解】由题意知，2167cos212sin122525=−=−=−，故选

：D.3.已知平面向量(1,)ax=，(2,2)bx=−，且a//b→，则x=（）A.12B.23C.1−D.23−【答案】B【解析】【【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设22xx=−，则23

x=.故选：B4.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：

222222142cabSca+−=−．在ABC中，已知角A、B、C所对边长分别为,,abc，其中,ac为方程2320xx−+=的两根，π3B=，则ABC的面积为（）A.1B.2C.32D.12【答案

】C【解析】【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求ABC的面积即可.【详解】由题意2ac=，则13sin22ABCSacB==.故选：C5.已知曲线1:sinCyx=，22:sin23Cyx=+，则下面结论正确的是

（）A.将曲线1C向左平移23个单位长度，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线2CB.把1C上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3个单位长度，得到曲线2CC.把1C上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把得到的

曲线向左平移23个单位长度，得到曲线2CD.将曲线1C向左平移3个单位长度，再把得到曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线2C的【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的变换即可得出答案.【详解】对于A答案：将曲线1C

向左平移23个单位长度得2sin3yx=+，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到12sin23yx=+，故A错误.对于B答案:把1C上各点的横坐标

缩短为原来的12，纵坐标不变得到sin2yx=，再把得到的曲线向左平移3个单位长度，得到2sin23yx=+，故B正确.对于C答案:把1C上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin2yx=，再把得到的曲线向左平移23个单位长度，得到4sin23y

x=+，故C错误.对于D答案：将曲线1C向左平移3个单位长度，得到sin3yx=+，再把得到的曲线上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到1sin23yx=+故D错误.故选：B6.在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤

凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为（）A.32mB.39mC.45mD.55m【答案】C【解析

】【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】在RtABC△中，245ACAB==，在AMC中，153045MAC=+=，1803045105ACM=−−=，1801054530AMC=−

−=，由正弦定理得45sin45,452sin45sin30sin30CMACCM===，所以在等腰直角三角形MNC中，有245245m2MN==.故选：C7.在ABC中，已知角,,ABC所对边长分别为,,abc，且满足5,7cb==

，D为BC的中点，5AD=，则=a（）A.23B.3C.43D.4【答案】C【解析】【分析】在ADB和ADC△中，利用余弦定理求出cosADB和cosADC，再利用coscos0ADBADC+=建立关系式即可求出结果.【详解】因为5,7cb==，D为BC的中点，5AD=，如图

，ADB中，根据余弦定理可得，2222225254cos220252aDBDABAaADBaDBDAa+−+−===，在ADC△中，根据余弦定理可得，222222549964cos220252aDCDACAaADCa

DCDAa+−+−−===，又因为πADBADC+=，所以coscos0ADBADC+=故有222962960202020aaaaaa−−+==，得到22960a−=，即248a=，所以43

a=，故选：C.8.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且20OAaOBbOC−−=，则11bab−+的最小值是（）在A.322+B.222+C.22D.1【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线定理推论可得21ab+=且0,0ab

，再根据()111111121babababab−+=+−=++−结合基本不等式即可得解.【详解】由20OAaOBbOC−−=，得2OAaOBbOC=+，又因为点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，所以21ab+=且0,0ab

，则()11111122121222222bbabaabababababab−+=+−=++−=+++=+，当且仅当2baab=，即221ba==−时取等号，所以11bab−+的最小值是222+.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，

共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列叙述中正确的是（）A.若//,//abbc，则//acrrB.若ab=，则32abC.已知非零向量a与b且a//

b，则a与b的方向相同或相反D.对任一非零向量,aaa一个单位向量【答案】CD【解析】【分析】A注意0b=即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.是【详解】A：若0

b=时，//,//abbc不一定有//acrr，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反，正确；D：非零向量a，则aa是一个单位向量，正确.故选：CD10.已知复数213iz=+则（）A.复数z在复平面内对应的点在第三象限B.复数z的实部为

12C.1zz=D.复数2z的虚部为32【答案】BC【解析】【分析】求解复数z，根据复数z的性质，依次判断各项正误.【详解】由题意得213i13i22213iz−===−+，故复数z在复平面内对应的点为13,22−，在第四象限，故A选项错误；

易知复数z的实部为12，故B选项正确；因为21zzz==，所以1zz=，故C选项正确；因为221313ii2222z=−=−−，所以复数2z的虚部为32−，故D选项错误．故选：BC．11.下列说法错误的有（）A.在ABC平面中若有一点O满足0OAOBOC+

+=，则O为ABC的垂心．B.已知(,1)ax=，(4,2)b=−，且a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为1,2−C.若(3,4)a=−，则与a方向相同的单位向量坐标为34,55−D.在ABC中，sinsinAB是AB的充要条件【答案】AB【解析】【分析

】对于选项A，结合图形，由三角形重心的性质即可判断；对于选项B，由向量的夹角公式即可解出实数x的取值范围；对于选项C，由向量共线且同向的性质和单位向量的模为1即可计算；对于选项D，由正弦定理和三角形边角关系即可判断.【

详解】对于选项A，如图，在ABC中，取AB的中点D，连接OD.则2OAOBOD+=，又因为点O满足0OAOBOC++=，所以02OCOD+=，即2OCOD=−，所以O是线段CD一个三等分点，2COOD=，又因为CD是ABC的一条中线，所以O是ABC的重心．故选项A错误.

对于选项B，因为(,1)ax=，(4,2)b=−，又因为a与b的夹角为锐角，所以42042abxx=−+−解得12x且2x−，所以当a与b的夹角为锐角时，实数x的取值范围为122xxx−且，故选项B

错误.对于选项C，设与a方向相同的单位向量坐标为(3,4),0b=−，则()22(3)41b=+−=解得15=，所以与a方向相同的单位向量坐标为34,55−.故选项C正确.的对于选项D，若在ABC中，sinsinAB，则由正弦定理得ab，由三角形大边对大角得AB

；反之，若在ABC中，AB，则由三角形大角对大边得ab，则由正弦定理得sinsinAB，故选项D正确.故选：AB12.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知()()()::4:5:6bccaab+

++=，则下列结论正确的是（）A.sin:sin:sin7:5:3ABC=B.0CACBuuuruuurC.若6c=，则ABC的面积是15D.若8+=bc，则ABC外接圆半径是733【答案】AD【解析】【分析】设4bct+=，5cat+=，6abt+=，0t，求出

72at=，52bt=，32ct=，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.【详解】设4bct+=，5cat+=，6abt+=，0t，则72at=，52bt=，32c

t=，对于A，753sin:sin:sin::::222ABCabcttt==7:5:3=，故A正确；对于B，CACBcosbaC=2222abcabab+−=222214925965()24448tttt=+−=0，故B不正确；对于C

，若6c=，则4t=，14a=，10b=，所以22219610036cos221410abcCab+−+−==1314=，所以216933sin1cos119614CC=−=−=，所以ABC的面积是1133sin1

4101532214abC==，故C不正确；对于D，若8+=bc，则53822tt+=，则2t=，则7a=，5b=，3c=，所以2224925913cos227514abcCab+−+−===，2169

33sin1cos119614CC=−=−=，所以ABC外接圆半径为3732sin333214cC==.故D正确.故选：AD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）13.在ABC中，E是AB的中点，点F在BC上，满足2BFFC=

，设,ABaACb==，则EF=______________（用,ab表示）．【答案】1263ab−+【解析】【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用,ABAC表示出EF，即可得结果.【详解】如下图示，12121212()23236363EFEBBFABBCABBAACABACa

b=+=+=++=−+=−+.故答案为：1263ab−+14.如图是函数()()πcos0,2fxx=+的部分图象，则π3f=______．【答案】32−【解析】【分析】先根据图象求出函数的周期，即可求得，再利用待定系数法求出

，即可得解.【详解】由图可知2πππ2362T=−=，则2ππT==，所以2=，则()()cos2fxxφ=+，由ππcos063f=+=，且点π,06在减区间上，得ππ2π32k+=+，所以πZπ2,6kk=+，又π2，所以π6=，所以()

πcos26fxx=+，故π5π3cos362f==−.故答案为：32−.15.（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝2，求OC的坐标为_____

________________．【答案】10310(,)55−【解析】【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OAOBOCtOAOB=+,再根据|OC|＝2，求t,即得结果.【详解

】由题意可设0OAOBOCttOAOB=+，，所以39(,)55ttOC=−，因为|OC|＝2，所以31010253tt==,即OC的坐标为10310,55−.【点睛】与a共线的向量为a，当0时，为同向；当

0时，为反向；与a共线的单位向量为||aa；与(,)axy=垂直的向量为(,)yx−.与AOB平分线共线的向量为()||||OAOBOAOB+.16.在ABC中，若222abcbc=+−，AD是BC边上的高，2a=，则AD的最大值为_____

_．【答案】3【解析】【分析】先利用余弦定理求出角A，再利用基本不等式结合三角形得面积公式求出三角形面积得最大值，再利用等面积法即可得解.【详解】因为222222cosabcbcbcbcA=+−=+−，所以1cos2A=，

又()0,πA，所以π3A=，由222abcbc=+−，得2242bcbcbcbcbc=+−−=，所以4bc，当且仅当2bc==时，取等号，又1π1sin232ABCSbcADa==，所以132324ADbc=，即3AD，所以AD的最大值为3.故答案为：3.四

、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【答案

】（1）m=0（2）（0，1）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.【小问1详解】若复数是纯虚数，则()22020mmmm+=+−，解得0m

=或2m=−且1m，2m−，所以0m=.【小问2详解】复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则()22020mmmm++−，解得01m，故m的取值范围为()0,1.18.已知函数()()2cossin3cos

3fxxxx=−+.（1）求()fx的最小正周期和()fx的单调递减区间；（2）当,2x时，求函数()fx的最小值及取得最小值时x的值.【答案】（1）π；()511,1212kkkZ++；（2）当1112=x时

，函数()yfx=取得最小值，最小值为2−．【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出()2sin23fxx=−，利用周期公式可计算出函数()yfx=的最小正周期，解方程()23

xkkZ−=可得出函数()yfx=的对称中心坐标；解不等式()3222232kxkkZ+−+，可得出函数()yfx=的单调递减区间；（2）由,2x，计算出23x−的取值范围，

利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的x的值.【详解】（1）()21cos22sincos23cos3sin22332xfxxxxx+=−+=−+sin23cos22sin23xxx=−=−，所

以，函数()yfx=的最小正周期为22T==.由()23xkkZ−=，可得()26kxkZ=+，函数()yfx=的对称中心为(),026kkZ+；解不等式()3222232kxkkZ+−+，解得()5111212kxk

kZ++.因此，函数()yfx=的单调递减区间为()511,1212kkkZ++；（2）当,2x时，252333x−，当3232x−=时，即当1112=x时，函数(

)yfx=取得最小值，最小值为2−．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.已知向量()3,2a=,(),

1bx=−.（1）当()2abb−⊥时,求2ab+；（2）当()8,1c=−−，()//abc+，求向量a与b的夹角.【答案】（1）5或13（2）4【解析】【小问1详解】向量()3,2a=,(),1

bx=−，则()26,5abx−=−，()232,0abx+=+.由()2abb−⊥,可得()20abb−=即()()6,5,10xx−−=，即2650xx−+=，解得1x=或5x=,当1x=,则,则()25,0ab+=,所以25ab+=，当5x=，()213,0ab+=，213ab+

=，综上2513ab+=或.【小问2详解】由(8,1),(,1)cbx=−−=−,(3,2)a=,则(8,2)bcx+=−−由//()abc+,可得3(2)2(8)0x−−−=,解得5x=,所以||13,||26ab

==,352(1)13ab=+−=,132cos2||||1326abab===又0,,所以4=.20.如图，在ABC中，3B=，8AB=，点D在BC边上，且2CD=，1cos7ADC=.（1）求sinBAD；（2）求,BDAC的长.【答案

】（1）3314；（2）7.【解析】【详解】试题分析：（I）在ABD中，利用外角的性质，得()sinsinBADADCB=−即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得3BD=，在ABC中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I）在ADC中，∵1

cos7ADC=，∴43sin7ADC=∴()33sinsin14BADADCB=−=（II）在ABD中，由正弦定理得：sin3sinABBADBDADB==在ABC中，由余弦定理得：2222cos49ACABBCAB

BCB=+−=∴7AC=考点：正弦定理与余弦定理．21.已知向量(cossin,sin)axxx=−，(cossin,23cos)bxxx=−−，设函数()()fxabxR=+的图像关于直线πx=对称，其中，为

常数，且1(2，1)．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若()yfx=的图像经过点π(4，0)，求函数()fx在区间[0，3π]5上的取值范围．【答案】（1）6π5（2）[12−−，22]−【解析】【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化

简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期．(2)通过x的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．【小问1详解】向量(cossin,sin)axxx=−，(cossinbxx=−−

，23cos)x，函数()fxab=+，所以22()sincos23sincosfxxxxx=−++cos23sin2xx=−++π2sin(2)6x=−+，由直线πx=是()yfx=图像的一条对称轴，可得πsin(2π)16−=，所以ππ2π(Z)62kk

−=+，即1(Z)23kk=+．又1(2，1)，所以1k=时，56=．所以()fx的最小正周期是6π5．【小问2详解】由(1)可知5π()2sin()36fxx=−+，若()yfx=的图像经过点π(4，0)，则5

ππ2sin()0346−+=，解得2=−，所以5π()2sin()236fxx=−−，由3π05x剟，得π5π5π6366x−−剟，所以15πsin()1236x−−剟，得5π122sin()22236x−−−−−剟，故函数()f

x在区间[0，3π]5上的取值范围为[12−−，22]−．22.一个ABC，它的内角,,ABC所对的边分别为,,abc.（1）如果这个三角形为锐角三角形，且满足22abbc−=，求ab的取值范围；（2）若ABC内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着ABC的边内侧

滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种ABC的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）【答案】（1）(2,3)（2）设计方案答案见解析，路程最大值为21-63，理由见解析【解析】【分析】由22ab

bc−=利用余弦定理消去参数2a，化简得到2cosaBbc=+，再利用正弦定理把边化成角并化简得到sinsin()BAB=−，最后根据角的范围算出ab的取值范围；（2）数形结合得出P经过的路程1111112()212()tan

tantantantantan222222LabcABCABC=++−++=−++并进行三角恒等变化得到：111111tantantantantantan222222ABCABC++=，最后利用基本不等式得出P经过的路

程最大【小问1详解】由22abbc−=（消2a也可）222(2cos)aacacBbc−+−=即22cos()acBbcccbc=+=+所以2cosaBbc=+再由正弦定理，有：2sincossinsinsinsin()ABBCBAB=+=++所以sin2s

incossin()sin()BABABAB=−+=−因为三角形为锐角三角形，所以BAB=−，即2AB=得：sinsin22sincos2cossinsinsinaABBBBbBBB====由,,0,2ABC，2AB=则20,2B骣p÷çÎ÷ç

÷ç桫得：0,4B又3CBp-=，得：,63B，因此可得：,64B所以(,)64B23cos(,)22B故2cos(2,3)aBb=【小问2详解】1tan2ADAEA==，1tan

2BGBFB==，1tan2CHCIC==，P的路程L为：1111112()212()tantantantantantan222222LabcABCABC=++−++=−++又sincossin1tantan222122222tan

2costantansintancos2222222222BCBCABCAABCBCBCBC−++−=====+++−+所以tantantantantantan1222

222ABBCCA++=两边同时除以tantantan222ABC可得：111111tantantantantantan222222ABCABC++=,,0,2222ABC1110,0,0tantantan222ABC3111tantantan1112223

tantantan222ABCABC++，当且仅当3ABC===，等号成立.即()33111tantantan22233ABC++故可得：11133tantantan222ABC++1111112()212()2163tantantantanta

ntan222222LabcABCABC=++−++=−++−故路程最大值为2163−，此时围成的三角形为边长为7的等边三角形.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com