【文档说明】四川省仁寿第一中学校南校区2024届高三上学期理科数学周考（二）答案.docx，共(12)页，1.055 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中南校区2021级高三数学周考（二）理科数学一、选择题1．集合2,0xAyyx==，1,0,1,2B=−，则AB=（）A．1B．0C．1,2D．1,0−【详解】函数2xy=，

当0x时，可得集合01Ayy=，又由集合1,0,1,2B=−，所以AB=1.故选：A.2．已知向量()2,5a=r，()cos,sin2b=，且//abrr．则sin的值为（）A．54B．0C．1

D．不存在【详解】因为()2,5a=r，()cos,sin2b=，且//abrr,所以5cos2sin2=，即5cos4sincos=，即()cos54sin0−=，因为sin1,1−，所以54sin0−，所以cos0=，又22sinc

os0+=，所以sin1=.故选：C3．实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（）A．1abB．tantanabC．21ab−D．()ln0ab−【详解】取1,1ab==−,满足ab,但1ab=−,所以A错误；取3ππ,44ab

==,满足ab,但tan1tan1ab=−=，所以B错误；若ab，则0ab−,0221ab−=,所以C正确；取1eab−=,则()1lnln1eab−==−,所以D错误.故选:C.4．早在公

元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积1S、2S总相等，则这两个几何体的体积1V、2V相等.根据“祖暅原理”，“12VV=”是“12SS=”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【详解】据祖暅原理可知，当12SS=时，一定有12VV=成立，反之，当12VV=成立时，不一定有12SS=成立，比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，1S，2S不一定相等，故“12VV=”是“12SS=”的必要不充分条

件.故选：B5．已知函数()2()log14xfxx=+−，则下列说法正确的是（）A．函数()fx在(,0−上为增函数B．函数()fx的值域为RC．函数()fx是奇函数D．函数()fx是偶函数【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log14fxxx=

+−，其定义域为R，有()()()221log1log144xfxxxxfx−=++=+−=，所以函数()fx是偶函数，则D正确，C错误，对于A，()()251log102ff−==，()fx不是增函数，A错误，对于B，22()log(14)log(xfxx=+−=12)2x

x+，设1222xxt=+…，当且仅当0x=时等号成立，则t的最小值为2，故2()log21fx=…，即函数的值域为[1，)+，B错误，故选D6．设na是等比数列，且121aa−=，322aa−=，则45aa−=（）A．8B．-8C．4D．-4【详解】设等比数列na

的公比为q，则1121112aaqaqaq−=−=，解得：2q=−，113a=，所以3445118aaaqaq−=−=−.故选：B7．已知两个平面，，及两条直线l，m．则下列命题错误的是（）A．若⊥，l，m=，lm⊥，则l⊥B．若l⊥，//，m，则lm⊥C．

若l，m，//m，//l，则//D．若l，m是异面直线，l，//l，m，//m，则//【详解】对于A，若⊥，l，m=，lm⊥，根据面面垂直的性质定理可得l⊥，A正确；对于B

，若l⊥，//，则l⊥，又m，则lm⊥，B正确；对于C，若l，m，//m，//l，则与可以相交或平行，C错误；对于D，因为m，//m，所以存在直线m，//mm

，因为l，m是异面直线，所以l与m相交，因为//mm，m，m，所以//m，又因为l，//l，所以//，D正确，故选：C8．已知函数()sπ3πinfxx=+，其在

一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则()BCBDOA+=（）A．118B．89C．49D．29【详解】因为()sπ3πinfxx=+

，可得π3(0)sin32f==，即30,2B，由图可知：点A为减区间的对称中心，令ππ2ππ,3xkk+=+Z，解得22,3xkk=+Z，取0k=，则23x=，即2,03A，可得232,,,0323BAOA=−=

uuruur，因为点A为线段CD的中点，则42,33BCBDBA+==−uuuruuuruur，所以()428339BCBDOA+==uuuruuuruur.故选：B.9．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁

上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于1000的

概率为（）A．12B．23C．34D．58【详解】依题意得所拨数字共有1244CC24=种可能，要使所拨数字大于1000，则：①上珠拨的是千位档,则所拨数字一定大于1000，有24C6=种;②上珠拨不是千位档,则再随机选择两个档位必有千分位,有11

33CC9=种,则所拨数字大于1000的概率为695248+=.故选:D.10．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同

心的圆上，称为蒙日圆，椭圆22221(0)xyabab+=的蒙日圆方程为2222xyab+=+.若圆22(3)()9xym−+−=与椭圆2213xy+=的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（）A．±3B．±4C．±5

D．25【详解】由题意可得椭圆2213xy+=的蒙日圆的半径1312r=+=，所以蒙日圆方程为224xy+=，因为圆22(3)()9xym−+−=与椭圆2213xy+=的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以22332m+=+，4m=

．故选：B．11．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（）（单位：万元）参考数据：910111.021

.1951.021.2191.021.243A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为()10210.02+万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为()9210.02+万元，2

032年存的2万元共存了1年，本息和为()210.02+万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为()()()()101091.021.021210.02210.02210.0221.021−

++++++=−()2.041.219122.30.02−万元，故选：C.12．如图，球O的半径为3，球面上的三个点A，B，C的外接圆为圆1O，且12BCOO=，则三棱锥1OOBC−的体积最大值是（）A．13B．32149C．35D．24【详解】设

圆1O的半径为r，则121sin22OBCSrA=，又12BCOO=，所以11sin2OOBCrA==，所以11332111sin2sinco3ssin631OOBCOBCSOOrAArAAV−===，又()22222131sinRrOOrA==+=+，所以231sinrA=

+，所以132213cossin31sinOOBCAVAA−+=，()0,πA，所以()()1342423222133sincossincos91sin1sinOOBCVAAAAAA−=++=()222323sinsincos1sin

AAAA=+()()3322223322sinsincossin13333191sin1sinAAAAAA+++==++，当且仅当π4A=或3π4A=时取等号，所以三棱锥1OOBC−的体积最大值是13.故选：A二、填空题13．

已知复数z满足13izz−=−，则z=__________.【详解】设izab=+，,Rab，则22zab=+，因为13izz−=−，所以22i13iabab+−−=−，所以2213abab+−==，所以43ab==

，即43iz=+，所以22435z=+=.故答案为：514．已知变量xy､满足约束条件11yxxyy+−，则32xy+的最大值__________.【详解】作出可行域，如图，令1yyx=−=，可得()1,1A−−，令1xyyx+==，可得

11,22B，设32zxy=+，则直线32xyz+=过点()1,1A−−时，z取最小值5−，过点11,22B时，z取最大值52，因此32xy+的最大值是5.故答案为:5.15．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小

组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则()PAB=∣__________.【详解】由题意可知()2265211CC5C11PB+==，()26211C3C11PAB==，()3(|)()5PABPA

BPB==．故答案为：35．16．已知正项数列na满足11,12a，数列nb满足lnnnba=，且1e2nbnnbb+=−−对任意的*nN恒成立，则下列结论中正确的是______

____.①0nb②数列nb从第二项起是单调递减数列③311eea④202312eea【详解】因为{}na为正项数列，得0na，lnnnba=，11lnnnba++=，又1e2nbnnbb+=−−，则ln1lneln2ln2

nannnnaaaa+=−−=−−，1lnln2nnnaaa+−=−即1ln2nnnaaa+=−，由11,12a，得120a−，所以21ln0aa，即2101aa，21aa，即220a−，则32ln0aa，所以3201aa，，所以{}na为递

减数列，{}nb也为递减数列，故②正确；因为11lnba=，11,12a，则10b，又nb为递减数列，所以0nb，故①正确；由1lnln2nnnaaa+=−−，得ln2122111eeeeennnnaaaannnaaa−−+===，令e(

)xfxx=，则2e(1)()xxfxx−=，当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x+时，()0fx，又11,12a，若112a=时，()fx取得最大值且为12231e2

1ee2=；若11a=时，()fx取得最小值且21e1e1e=，所以2312,eea，而3112e，同理可得1na+的最大值一定小于1e，所以20231ea，故④错误；由④可知，31ea，故③错误．故答案为：①②．三､解答题：本

大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，()22sinsincos2ABAB−−=．(1)求角C的大小；(2)已知4b=，ABC的面积为6，求sinB的值．【详解】（1）

()()2sinsincoscoscos22sinsincosAABABABBAB=−−+−−==即()2cos2AB+=−，则()2coscos2CAB=−+=,且()0,πC，则π4C=；，1sin262ABCS

abCa===，所以32a=，根据余弦定理可知，22222cos18162324102cababC=+−=+−=,即10c=，根据正弦定理，sinsinbcBC=，即410sin22B=，解得：25sin5B=.18．如图

，在正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−中，124AAAB==，M，N分别为1EE，1BB的中点.(1)证明：C，M，1F，N四点共面；(2)求平面1CMFN与平面11ABBA所成角的正弦值.【详解】（1）取1CC的中点P，连接111,,PBPMBF,又M

为1EE的中点，再结合正六棱柱的性质易得：11//PMBF，且11PMBF=,四边形11MPBF为平行四边形，11//MFPB，又,NP均为对应棱的中点，1//PBCN，1//MFCNC，M，1F，N四点共面；（2）根据正六棱柱的性质可得：1,,CECBCC

两两相互垂直，分别以直线1,,CECBCC为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间坐标系，则根据题意可得：()()()()()3,3,0,0,0,0,23,0,0,23,0,2,0,2,2ACEMN()3,

3,0AE=−,()()23,0,2,0,2,2CMCN==,根据正六棱柱的性质知10,0,ABAEAAAE==平面11ABBA的法向量()3,3,0mAE==−,设平面1CMFN的法向量为(),,nxyz=,则2320220nCMxzn

CNyz=+==+=,令3,1,3zxy=−==，则()1,3,3n=−,设平面1CMFN与平面11ABBA所成角平面1CMFN与平面11ABBA所成角的余弦值为：231cos2377mnmn===；所以平面1CMFN与平面11ABBA所成角的正弦

值为642sin77==；19．环保部门随机调查了某市2022年中100天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天）：锻炼人次空气质量等级0,200(200,400(400,6001（优）61

0252（良）910123（轻度污染）7874（中度污染)321若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．(1)估计该市2022年（365天）“空气质量好”的天数（结果四舍

五入保留整数）；(2)根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：()(

)()()()22nadbcKabcdacbd−=++++．()20PKk0.10.010.0010k2.7066.63510.828【详解】（1）依题意可得，该市一天的空气质量等级为1的概率为610250.41100++=，等级为2的概率为910120.31100++

=，所以“空气质量好”的概率为0.410.310.72+=，所以该市2022年（365天）“空气质量好”的天数为3650.72262.8263=（天）.（2）依题意22列联表如下所示：人次400人次400

空气质量好3537空气质量不好208所以22100(3583720)264504.2416.635722855456237K−==，因此没有99%的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线:2l

x=−与x轴交于点A，过l右侧的点P作PMl⊥，垂足为M，且PAPMOA=+．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点()10B,的动直线l交轨迹C于S，T．证明：以线段ST为直径的圆过定点．【详解】（1）设点(),Pxy，因为PAPMOA=+,所以()()222222xyxx++=++

−，化简得()()2432yxx=+−，所以轨迹C的方程为()()2432yxx=+−.（2）设直线()()1122:1,,,,lxmySxyTxy=+，联立()2431yxxmy=+=+得24160ymy−−=,216640m=+,从而12124,16yymyy+

==−，于是()21212242xxmyym+=++=+,()()()212121212111xxmymymyymyy=++=+++2221641112mmm=−++=−.以线段ST为直径的圆的方程为()()()()12120xxxxyyyy−−+−−=,即()()2212

1212120xyxxxyyyxxyy+−+−+++=，所以()222242412150xymxmym+−+−−−=.由对称性知定点在x轴上,令0y=得()2224212150xmxm−+−−=，于是()()2241

22150xmxx+−−−=，由m的任意性,所以241202150xxx+=−−=，解得3x=−.所以以线段ST为直径的圆过定点为()3,0−.21．已知函数()22ee=−+xfxaxx有两个极值点()1212,xxxx．(1)求实数a的取值范围；(2)

证明：12ln2xxa．【详解】（1）由题意可得()2e2e0xfxax=−+=有两个两侧异号的零点()1212,xxxx，又()201e0f=+,于是2ee2xax+=.令()2eexgxx

+=,则()()221eexxgxx−−=,令()()21eexhxx=−−,则()exhxx=，当(),0x−时,()()21ee0xhxx=−−,于是()()221ee0xxgxx−−=,所以

()gx在(),0−上单调递减且()2ee0xgxx+=.当()0,x+时,()0hx,()hx在()0,+上单调递增,又()20h=,所以当()0,2x时,()0hx,()0gx,()gx在()0

,2上单调递减.当()2,x+时,()0hx,()0gx,()gx在()2,+上单调递增.又()22eg=且x→+时,()gx→+.0x→且0x时,()gx→+.所以22ea，所以实

数a的取值范围为2e,2+.（2）因为()()120fxfx==,所以122212ee2,ee2xxaxax+=+=.于是()2121ee2xxaxx−=−，从而2121ee2xxaxx−=−.下面证明1221221eeexxxxxx+−−，即证明2121221e1exx

xxxx−−−−.令()2102xxuu−=,即证明()2e1e02uuuu−，即证明()ee20uuuu−−.令()()=ee20uuuuu−−−,则()=ee22ee20uuuuu−−+−−=，当且仅当0u=时等号成立，所以()0

u恒成立.所以()u在()0,+上单调递增,所以()()00u=.从而()ee20uuuu−−，所以1221221eeexxxxxx+−−，于是1222exxa+.由（1）知120xx,22ea,从而1212ln22xxxxa+.请考生在第22、23题中任选一题

作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为24cos234sinxy=+=+（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l和2l的极坐标方程

分别为π6=和()12π,3l=R和2l与曲线C分别相交于,AB两点（,AB两点异于坐标原点）.(1)求C的极坐标方程；(2)求ABO的面积.【详解】（1）曲线C的参数方程为24cos234sinxy

=+=+（为参数），转换为直角坐标方程为()()2222316xy−+−=，整理得224430xyxy+−−=，根据222cossinxyxy==+=，转换为极坐标方程为24cos43si

n0−−=，即4cos43sin=+.根据题意可设,AB两点的极坐标分别为π2π,,,,063ABABAB，则ππ2π2π4cos43sin43,4cos43sin46633

AB=+==+=，所以12ππ1sin4341832362ABOABS=−==V.[选修4—5：不等式选讲]23．设函数()31223xxfxx+−−=+的最大值M.（1）求M；（2）已知a、b、c均为正实数，且abcM++=，求证：1111

118abc−−−.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()()31223122133xxxxfxxx+−−+−−==++，当且仅当1x时，等号成立，所以，1M=；（2）由（1）可得1abc++=，11

1abcaaa−+−==，同理可得11acbb+−=，11abcc+−=，由基本不等式可得()()()1112221118bccaabbccaababcabcabc+++−−−==，当且仅当13abc===时，等号成立，

因此，1111118abc−−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com