【文档说明】山东省济宁市第一中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性测试数学试卷（解析版）.docx，共(14)页，828.335 KB，由小赞的店铺上传

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济宁市第一中学2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,at=，()3,9b=，若//abrr，则t=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数t的等式，即可得解.【详解】因为//abrr，则39t=，解得3t=.故选：C.2.若t

an2=−，则1sin2π2sinsin4−=−（）A.12B.12−C.32−D.32【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含tan的式子再代入即可解出答案．【详解】()()()2212sincos1sin2sin

cos2sincosπsinsincossinsincos2sinsin4−−+−==−−−()()2sincossincos11sinsincossintan−−===−−，∵tan2=−

，1131=1=tanθ22-+\，故选：D3.已知点E为平行四边形ABCD对角线BD上一点，且2DEBE=，则AE=（）A.2133ABAD+B.2133ABAD−C.1233ABAD+D.1323ABAD−【答案】A【解析】【分析

】根据条件，利用向量的线性运算即可得出结果.【详解】因为AEADDE=+，又2DEBE=，所以2221()3333AEADDBADABADABAD=+=+−=+.故选：A.4.若向量a，b满足2a=，1b=，()26aba+=，则cos,a

b=（）．A.32B.12C.12−D.32−【答案】B【解析】【分析】将()26aba+=展开，利用数量积的定义以及2a=，1b=即可求解.【详解】由()26aba+=可得：226aab+=，即22cos,6aabab+=，将2a=，1b

=代入可得：2222cos,6ab+=，所以1cos,2ab=，故选：B5.若函数()()sin3cos0xfxx=−的图象的一条对称轴为3x=，则的最小值为（）A.32B.2C.52D.3【答案】C【解析】【分析】由对称轴为3x=可知3f为最大值或最小

值，即可求解.【详解】∵()132sincos2sin223fxxxx=−=−，且函数()fx的图象的一条对称轴为3x=，∴当3x=时，()2sin333fxf==−取最大值或最小值，∴,332k

k−=+Z，∴53,2kk=+Z，∵0，∴的最小值为52.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.6.若1cos23−=−，则A.429−B.79−C.79D.429【答案】B【解析】【详

解】试题分析：由1cos23−=−得，则，故选B.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.7.函数sin(2)3yx=+的图象可由函数cosyx=的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单

位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12个单位【答案】B【解析】【详解】分析：由函数sin2cos236yxx=+=−，再由伸缩平移变换可得解.详解：由函数sin2cos2cos2

366yxyxx=+==−=−.只需将函数cosyx=的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到cos2yx=；再向右平移12个单位得到：cos2?cos2126yxx=−=−.故选B.点睛：1．利用变换作图法作y＝

Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin2x的图象向左平移6个单位得到的是y＝sin26x+的图象，这是初

学者容易犯的错误．事实上，将y＝sin2x的图象向左平移6个单位应得到y＝sin2(x＋6)，即y＝sin(2x＋3)的图象．2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”，即平

移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．8.已知点G为ABC的重心，,DE分别为AB，AC边上一点，D，G，E三点共线，

F为BC的中点，若AFADAE=+，则14+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6【答案】D【解析】【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了2:1，即23AGAF=，由三点共线定理可知()213A

GAFmADmAE==+−，所以32m=，()312m=−.得(3,,0,12+=.再利用基本不等式解决最值问题即可.【详解】因为点G为ABC重心，所以23AGAF=，则32AFAG=.因为,,DGE三点共线，()213AGAFmADmAE==+−，所以3

2m=，()312m=−.所以(3,,0,12+=.所以()()1414224255246333+=++=+++=，当且仅当4=，即1=，12=

时，等号成立，故14+的最小值为6.故选：D二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB的中线且交于点O，则下列结

论正确的是（）A.ABBCCA−=B.()13=+AOABACC.0ADBECF++=D.0OAOBOC++=【答案】BCD【解析】【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.【详解】依题意，如图所示：的因为AD，BE，CF分别

是BC，CA，AB的中线且交于点O，所以O是ABC的重心.对于A：若ABBCCA−=，则ABBCCA=+，因为BABCCA=+，所以BAAB=，显然不成立，故A错误；对于B：()()22113323AOADABACABAC==+=+，故B正确；对于C：()()()111222ADBECABA

CBAFBCCACB=+++++++()()()1110222ABBAACCABCCB=+++++=，故C正确；对于D：222333OAOBOCADBECF++=−−−()220033ADBECF=−++=−=，故D

正确.故选：BCD.10.与向量()6,8=−a共线的单位向量的坐标为（）A.45,35B.45,35−C.34,55−D.34,55−【答案】CD【解析】【分析】与a共线的单位向量为aa，求出答案.【详解】与(

)6,8=−a共线的单位向量为()6,834,1055aa−==−或()6,834,1055aa−−=−=−.故选：CD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a、b、c，满足//abrr，//b

c，则//acrrB.若向量()1,3a=−，()2,6b=r，则a、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a=，()4,3b=，则a在b上的投影向量为1612,55D.若向量m、n满足2m=，3n=，3mn=，则7mn+=【答案】BC【解析】【分析】取0b=，可判断A选项

；利用基底的概念可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，若0b=且//abrr，//bc，则a、c不一定共线，A错；对于B选项，若向量()1,3a=−，()2,6b=r，则(

)1623−，则a、b不共线，所以，a、b可作为平面向量的一组基底，B对；对于C选项，因为向量()5,0a=，()4,3b=，所以，a在b上的投影向量为()2220cos,4,325bababaababbbabb=

==1612,55=，C对；对于D选项，因为向量m、n满足2m=，3n=，3mn=，则()2222492319mnmnmnmn+=+=++=++=，D错.故选：BC.第II卷（非选择题）三､填空题：

本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC中，若30A=，72a=，14c=，则C=________．【答案】45或135【解析】【分析】根据正弦定理直接求解即可.【详解】解：根据正弦定理sinsinacAC=得s

in14sin302sin272cACa===，因为()0,150C，所以45C=或135C=故答案为：45或13513.已知向量,ab满足2,1ab==，,ab的夹角为60，则2ab+=______.【答案】21【解析】【分析】根

据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】()222224444421cos60121ababaabb+=+=++=++=，故答案为：21.14.已知正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，动点M在线段AD上，点M关于点O的

对称点为点N，则AMAN的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算AMAN的最值；法二用极化恒等式得()222AMANMO=−，当MOAD⊥时MO最小，从而AMAN最大.【详解】法一：以A为坐标原点，AB为x轴正半轴建立平面直角坐

标系，设()0,My，则()2,2Ny−，0,2y，所以()()22111AMANyyy=−=−−+，当且仅当1y=时取得最大值．法二：由极化恒等式可得：()22222AMANAOMOMO=−=−，当MOA

D⊥时，min1MO=此时AMAN的最大值为1．【点睛】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1abtc==−=−．（1）若()ab+rr∥(

)2ac−，求实数t的值；（2）若()abc⊥+，求a与b夹角的余弦值．【答案】（1）23t=（2）210【解析】【分析】（1）先求出ab+和2ac−的坐标，再由()ab+rr∥()2ac−列方程可求出实数t的值；（2）由()abc⊥+，

得()0abc+=，求出t的值，再利用向量的夹角公式可求得结果.【小问1详解】因为()()()1,2,,1,3,1abtc==−=−，所以(1,1)abt+=+，22(1,2)(3,1)(5,3)ac−=−−=

，所以()ab+rr∥()2ac−，所以1153t+=，解得23t=；【小问2详解】因为()(),1,3,1btc=−=−，所以()3,0bct+=−，因为()abc⊥+，所以()30abct+=−=，得3t=，所以()3,1b=−，设a与b夹角为，则322cos101491abab−

===++，所以a与b夹角的余弦值为210.16.已知()()()4,0,0,4,cos,sin,(0π)ABC．（1）若21OAOC+=（O为坐标原点），求OB与OC的夹角；（2）若⊥ACBC，求33s

incos,sincos−+的值．【答案】16617.31sincos4−=，33sincos+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积

为0，进而得到1sincos4+=，通过平方得到2sincos，进而可得()2sincos−，再根据范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sincos+，进而得解.【小问1详解】由21OAOC+=得()224+cossin21+=，1co

s2=，又0π，3=，13,22C，设OB与OC的夹角为,()0π，则cosOBOCOBOC=23342==,又0π，故OB与OC的夹角为6.【小问2详解】由⊥ACBC得0ACBC=，即()()cos4cos

sinsin40−+−=，1sincos4+=，152sincos016−=，故ππ2,()21531sincos11616−−=−=，31sincos4−=.又3

3sincos+()()22sincossinsincoscos=+−+1151432=+47128=..的17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos2f+−−=−−−−．（1）化简：()

f；（2）在ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若2c=，1()2fC=−，且ABC的面积3S=，求a、b的值．【答案】（1）()cosf=−；（2）2ab==．【解析】【分析】（1）根据诱导公式可化简()f；（2）由（1）可得3C=，再根据三角形的面积

公式和余弦定理可求得224+8abab==，解之得答案.【详解】（1）因为sincos(tan)()costansinf−−==−−，所以()cosf=−；（2）因为1()2fC=−，即1cos2C−=−，又0C，所以3C=，因为ABC的面

积3S=，所以1sin323Sab==，解得4ab=，又22221cos22abCab+−==，所以22+8ab=，由224+8abab==，解得22ab==，所以2ab==.【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公

式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.18.已知向量()cos,3ax=，()1,sinbx=，函数()1fxab=+．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若()23gxfx=−，,34x−时，求函数()gx的最值．【答

案】（1）()22,2Z33kkk−++；（2）函数()gx的最大值、最小值分别为：31+，1−．【解析】【分析】（1）利用向量数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）通过x

的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．【详解】（1）()1cos3sin12sin16fxabxxx=+=++=++．由22262kxk−++，Zk，可得22233kxk−+，Zk，∴单调递增区间为：()22,2Z33k

kk−++．（2）若()22sin2136gxfxx=−=−+．当,34x−时，52663x−−，即31sin262x−−，则()131gx−+，所以

函数()gx最大值、最小值分别为：31+，1−．【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知函数2211()cossin3sincos222222xxxxfx=−+（1）将函数(

)fx化简成sin()Ax+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()fx的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()ygx=的图象.若方程2()1g

xm−=在[0,]2x上有两个不同的解1x，2x，求实数m的取值范围，并求12tan()xx+的值.【答案】（1）()πsin6fxx=+，最小正周期为2π（2）实数m的取值范围是)31,1−，()123tan3xx+=【解析】的的【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化

简()fx，并利用2πT=求出最小正周期即可.（2）先使用伸缩和平移变换得到()gx，再将方程2()1gxm−=等价变换为1()2mgx+=，由()gx的图象和性质求出12+m的取值范围，即可求出实数m的取值范围，同时，利用()gx的对称性，可求出12tan()xx

+的值.【小问1详解】2211()cossin3sincos222222xxxxfx=−+2213cossin2sincos222222xxxx=−+13cossin22xx=+πsin6x=+，∴函数(

)fx的最小正周期2π2π1T==.【小问2详解】由（1）()πsin6fxx=+，将函数()fx的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()ygx=的图象，∴()π

ππsin2sin21263gxxx=++=+，由πππ2π22π232kxk−+++，kZ，得5ππππ1212kxk−++，kZ，∴()πsin23gxx=+在区间5πππ,

π1212kk++−（kZ）上单调递增，同理可求得()πsin23gxx=+在区间π7ππ,π1212kk++（kZ）上单调递减，且()gx的图象关于直线ππ122kx=+，kZ对称，方程2()1gxm−=等价于1()2mgx+=，∴当[

0,]2x时，方程1()2mgx+=有两个不同的解1x，2x，由()gx单调性知，()gx在区间π0,12上单调递增，在区间ππ,122上单调递减，且()3π026gg==，π112g

=，π322g=−，∴当31122m+时，方程1()2mgx+=有两个不同的解1x，2x，∴311m−，实数m的取值范围是)31,1−.又∵()gx的图象关于直线π12x=对称，∴12π212xx+=

，即12π6xx+=，∴()123tan3xx+=.