【文档说明】2020年真题+高考模拟题 专项版解析 文科数学——11 坐标系与参数方程（教师版）【高考】.docx，共(19)页，810.166 KB，由小赞的店铺上传

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专题11坐标系与参数方程1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt==(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4

cos16sin30−+=．（1）当1k=时，1C是什么曲线？（2）当4k=时，求1C与2C的公共点的直角坐标．【解析】当k=1时，1cos,:sin,xtCyt==消去参数t得221xy+=，故曲线1C是圆心为坐标原点，半径为1的圆．（2）当k=4时，414cos,:si

n,xtCyt==消去参数t得1C的直角坐标方程为1xy+=．2C的直角坐标方程为41630xy−+=．由1,41630xyxy+=−+=解得1414xy==．故1C与2C的公共点

的直角坐标为11(,)44．【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4

sinxy==，（θ为参数），C2：1,1xttytt=+=−（t为参数）．（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆

的极坐标方程．【解析】（1）1C的普通方程为4(04)xyx+=．由2C的参数方程得22212xtt=++，22212ytt=+−，所以224xy−=．故2C的普通方程为224xy−=．（2）由2

24,4xyxy+=−=得5,23,2xy==所以P的直角坐标为53(,)22．设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x，由题意得220059()24xx=−+，解得01710x=．因此，所求圆的极坐标方程为17cos5=．【点睛】本题考查极坐标与参数

方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2222xttytt==−−−，﹢(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||AB；（

2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.【解析】（1）因为t≠1，由220tt−−=得2t=−，所以C与y轴的交点为（0，12）；由2230tt−+=得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)−．故||410AB=．（2）由（1）可

知，直线AB的直角坐标方程为1412xy+=−，将cossinxy==，代入，得直线AB的极坐标方程3cossin120−+=．【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程

化极坐标方程，属于中档题.4．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点1π(,)3A在直线:cos2l=上，点2π(,)6B在圆:4sinC=上（其中0，02）．（1）求1，2的值；（2）求出直线l与圆

C的公共点的极坐标．【解析】（1）由1cos23=，得14=；24sin26==，又（0，0）（即（0，6））也在圆C上，因此22=或0．（2）由cos2,4sin,==得4sincos2=，所以sin21=．因为0

，02，所以4=，=22．所以公共点的极坐标为(22,)4．1．【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为42xtyt==−（t为参数）.以坐标原

点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2221cos=+.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P在直线l上，点Q在曲线C上，求PQ的最小值.【答案】（1）42yx=−，2212yx+=；（2）45305−.【

解析】（1）直线l的普通方程为42yx=−曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为2212yx+=（2）曲线的参数方程为cos2sinxy==设点Q的坐标为()cos,2sin()2cos2sin46sin4464530=5

555PQ+−+−−−==故PQ的最小值为45305−.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.2．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2sin＝cosa（a＞0），过点(2,4)P−−的直线l的参数方程为222242xtyt＝－＋，＝－＋（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B

两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若2||PAPBAB=，求a的值．【答案】（Ⅰ），2yx=−（Ⅱ）2．【解析】（Ⅰ）根据222cos,sinxyxy=+==，可将曲线C的

极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线l的普通方程为2yx=−．（Ⅱ）由直线参数方程几何意义有1212,PAPBttABtt==−，因此将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得22(8)4(8)

0tata−+++=,由韦达定理有12122(8),4(8)ttatta+=+=+．解之得：2a=或8a=−（舍去）试题解析：（Ⅰ）由2sincos(0)aa=得22sincos(0)aa=,∴曲线C的直角坐

标方程为．直线l的普通方程为2yx=−．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得22(8)4(8)0tata−+++=,设AB、两点对应的参数分别为12,tt,则有12122(8),4(8)ttatta+=+=+．∵2PAPBAB=,∴21212()tttt−=,即21212

()5tttt+=．∴22[2(8)]20(8),6160aaaa+=++−=．解之得：2a=或8a=−（舍去）,∴a的值为2．3．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为21222xtyt=+=（t为参数），以坐标原点O为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin4=+．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点()2,1P，直线l与曲线C的交点为A、B，求PAPBPBPA+的值．【答案】

（1）10xy−−=；22220xyxy+−−=；（2）4【解析】（1）l的参数方程消去参数，易得l的普通方程为10xy−−=，曲线C：()22sin2cossin2=+=+，即()22cossin=+，∴

22220xyxy+−−=，所以曲线C的直角坐标方程为：22220xyxy+−−=.（2）l的参数方程22,221,2xtyt=+=+（t为参数），设A对应参数为1t，B对应参数为2t，将l的参数方程与22220xyxy+−−=联立得：2210tt+−=，得：122tt

+=，121tt=−，所以2212122112PAPBttttPBPAtttt++=+=()()()22121212221222411tttttt−−+−+====−即4PAPBPBPA+=.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公

式将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，联立写出韦达定理，运用直线参数方程中参数t的几何意义进行求解.4．【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系xOy中，曲

线C的参数方程为cossin1xy==−（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）直线1l，2l的极坐标方程分别为()6R=，()3R=，直线1l与曲线C的交点为O、M，直线2l与曲线C的交点为O、N，求线段

MN的长度．【答案】（1）2sin=−；（2）1．【解析】（1）由曲线C的参数方程为cossin1xy==−得曲线C的直角坐标方程为：()2211xy++=，所以极坐标方程为2222cossin2sin0

++=即2sin=−．（2）将6=代入2sin=−中有1M=−，即1OM=，将3=代入2sin=−中有3N=−，即3ON=，366MON=−=，余弦定理得2222cos1

6MNOMONOMON=+−=，1MN=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.5．【2020·山西省太原五中高三其他】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1+cos1cos2sin1cosx

y=−=−(为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0=(0(0,π))，将曲线1C向左平移2个单位长度得到曲线C.（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，求11OAOB+的取

值范围.【答案】（1）C的极坐标方程为22sin4cos80−−=，普通方程为24(2)yx=+；（2）12(,]22【解析】（1）22222coscos1+cos221cos2sinsin22x===−，24sincos2co

s2sin2221cos2sinsin22y===−2224cos24sin2yx==，即曲线1C的普通方程为24yx=，依题意得曲线C的普通方程为24(2)yx=+，令cosx=，siny=得曲线C的极坐标方程为22sin4cos80−−=；（2）法一：将0

=代入曲线C的极坐标方程得2200sin4cos80−−=，则012204cossin+=，12208sin=−，120，12,异号202221200121220121212204cos32()si

nsin()4111111sin82sinOAOB+−+−+=+====+，0(0,π)，0sin(0,1]，1112(,]22OAOB+；法二:设直线l的参数方程为cossinxtyt==(t为参数，为直线的倾

斜角)，代入曲线C的普通方程得22sin4cos80tt−−=，则1224cossintt+=，1228sintt=−，120tt，12,tt异号2222121212212121224cos32()()4sinsin111111sin82sinttttttOAOBt

ttttt+−+−+=+====+(0,π)，sin(0,1]，1112(,]22OAOB+.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中

极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.6．【2020·山西省太原五中高三月考】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为93,xtyt=+=（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为221613sin=+．（

1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离．【答案】（1）221164xy+=．390xy−−=．（2）最大距离为972+．【解析】（1）由221613sin=+，得2223sin16+=，则曲线C的直角坐标方程为2

2416+=xy，即221164xy+=．直线l的直角坐标方程为390xy−−=．（2）可知曲线C的参数方程为4cos,2sinxy==（为参数），设()4cos,2sinP，)0,2，则()2cos,sinM到直线:390lxy−−=的距离为()2cos3si

n97sin997222d−−−−+==，所以线段OP的中点M到直线l的最大距离为972+．【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他】在直角坐标系xOy中，直线l1的

参数方程为2+,,xtykt==（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk=−+=（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标

原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cossin20l+−=，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】（1）()2240xyy−=（2）5【解析】（1）消去参数t得1l的普通方程(

)1:2lykx=−；消去参数m得l2的普通方程()21:2lyxk=+.设(),Pxy,由题设得()()212ykxyxk=−=+，消去k得()2240xyy−=.所以C的普通方程为()2240xyy−=.（2）C的极坐标方程为()()222cos

sin402π,π−=.联立()()222cossin4,cossin20−=+−=得()cossin2cossin−=+.故1tan3=−，从而2291cos,sin1010==.代入(

)222cossin4−=得25=，所以交点M的极径为5.【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目

本身特点，确定选择何种方程.8．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos23sin2xy=+=+（为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取

相同的单位长度建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，,MN是曲线C上的两点，若3MON=，求OMON+的最大值.【答案】（1）2sin6=+；（2）23.【解析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为：2213122xy−+−=

即：2230xyxy+−−=根据cosx=，siny=，222xy+=可得：曲线C的极坐标方程为：2sin6=+（2）设()1,M，2,3N+

则12312sin2sin2sincos2cos63622OMON+=+=++++=++()3sin3cos23sin3=+=+当sin13+=时，()max23OMON+=【点睛】本题考查参

数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题，属于常规题型.9．【2020·麻城市实验高级中学高三其他】在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为sincossin2xy=+=（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴

为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin()4t+=（其中t为常数）.（1）求曲线1C和2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C和2C有且仅有一个公共点，求t的取值范围.【答案】（1）21xy=+；0xyt+−=；

（2）5(12,12]4t−+−.【解析】（1）由2(sincos)1sin2+=+，可知曲线1C的直角坐标方程为21xy=+，其中sincos2sin()[2,2]4x=+=+−，所以曲线1C的直角坐标方程为21yx=−，[2,2]x−，由2sin()4

t+=，可得sincost+=，由siny=，cosx=，曲线2C的直角坐标方程为0xyt+−=；（2）由21,[2,2]0yxxxyt=−−+−=，可知21txx=+−，令()21,[2,2]=+−−gxxxx

，其图象如下：由曲线1C和2C有且仅有一个公共点，所以函数yt=与()21,[2,2]=+−−gxxxx的图象有且仅有一个公共点，所以由图象可知5(12,12]4t−+−.【点睛】本题主要考

查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及用数形结合思想求参数范围.10．【2020·辽宁省大连二十四中高三其他】已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为222111txttyt+=−=−（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρco

s（3+）54=.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求11PAPB+的值.【答案】（1）x2﹣4y2=1（1x−），135224xy−=；（2）8.【解析】（

1）曲线C的参数方程为222111txttyt+=−=−（t为参数），转化为直角坐标方程为x2﹣4y2=1（1x−）直线l的极坐标方程为ρcos（3+）54=.转化为直角坐标方程为：

135224xy−=.（2）由于直线与x轴的交点坐标为（502，），所以直线的参数方程为532212xtyt=+=（t为参数），代入x2﹣4y2=1得到：221510tt−−=，所以：12215tt+=，t1t2=-1，则：21212121212()411ttttttP

APBtttt−+−+===8.【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化，考查了参数方程和普通方程的转化，同时考查了直线的标准参数的几何意义，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.11．【2020·重庆高三月考】在直角坐标系xOy中，曲线C的参

数方程为2cos22sinxy==+（为参数），直线l的参数方程为332132xtyt=−=+（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2

3,)，其中(,)2．（1）求的值；（2）若射线OA与直线l相交于点B，求AB的值．【答案】（1）23=；（2）23.【解析】（1）由题意知，曲线C的普通方程为222)4xy=－+(，因为cossinxy==，

，所以曲线C的极坐标方程为22(cos)sin2)4(+=－，即4sin=.由23=，得3sin2=，因为(,)2，所以23=.（2）由题，易知直线l的普通方程为3430xy+−=，所以直线l的极坐标方程为cos3sin430

+−=.又射线OA的极坐标方程为23=（0），联立，得2π(0)3cos3sin430=+−=，解得43=.所以点B的极坐标为2π(43,)3，所以||432323BAAB=−=−=.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直角坐标方

程与极坐标方程的互化，考查极坐标方程的应用，正确转化方程的形式是解题的关键，属于常考题.12．【2020·河南省高三三模】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos1sinxy==+（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为23cos=，曲线C1和C2在第一象限交于点A．（1）求点A的直角坐标；（2）直线((0,),)3=R与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，若△ABC的面积为3，求α的值．【答案】（1）（3322，）；（2

）12=.【解析】（1）曲线C1的参数方程为cos1sinxy==+（为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1yx+−=.根据222cossinxyxy==+=22(1)1yx+−=转换为极坐标方

程为2sin=.联立曲线C1和C2得到：23cos2sin==，解得3π3==，即(3)3A，转换为直角坐标为（3322，）．（2）连接OA，由（1）得：(3)3A，，可得：|OA|3=，3AOx=，

将直线=与曲线C1和C2联立可得：(2sin)，B，(23cos)C，.2sin=OB，23OCcos=，==COxBOx，所以3AOBAOC==−．则：S△ABC＝S△AOC﹣S△AOB11sinsin22OAOCAOCOAOBAOB=−，1132

3sinsin32sinsin2323=−−−，()33cossin3sin=−−，223sin33=−=，整理得21sin32−=，所以12=．【点睛】本题考查了参数

方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】直线l的极坐标方程为sin8cos=+，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线

C的参数方程为4cos4sinxy==（为参数）（1）写出C的极坐标方程；（2）射线3=与C和l的交点分别为M，N，射线23=与C和l的交点分别为A、B，求四边形ABNM的面积．【答案】（

1）4=；（2）283.【解析】（1）由22cossin1+=消去参数得圆C的普通方程为2216xy+=，所以C的极坐标方程为2222cossin16+=，即4=；（2）把3=代入直线l的极坐标方程得sin8cos33NN

=+，31()822N−=，8(31)N=+，同理8(31)B=−，所以13sin8(31)8(31)323234OBNBNS==−+=△，又144sin4323OAMS==△，∴283ABNMOBNOAMSSS=−=．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查

普通方程与极坐标方程的互化，考查直线极坐标方程的应用．掌握极坐标的定义是解题关键．14．【2020·山西省高三月考】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C的极坐标方程为4sin=，M为

曲线1C上异于极点的动点，点P在射线OM上，且OP，25，OM成等比数列.（1）求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）已知(0,3)A，B是曲线2C上的一点且横坐标为2，直线AB与1C交于D，E两点，试求ADAE−的值.【答案】

(1)5y=;(2)122ADAEtt−=+=.【解析】（1）设()()1,,,,PM则由,25,OPOM成等比数列，可得20,OPOM=即112020.==，又()1,M满足14sin,=即204sin,=sin5,=化为直角坐标方程

为5.y=（2）依题意可得()2,5,B故1,ABk=即直线AB倾斜角为4，直线AB的参数方程为2,223,2xtyt==+代入圆的直角坐标方程()2224,xy+−=得2230,tt+−=故12122,30,tttt+=−=−122.ADAEtt−

=+=【点睛】1、求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进

行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．2、有关直线与曲线相交，求距离的和、差时，注意直线的参数方程中参数几何意义的运用．15．【2020·山西省高三其他】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：2,22.2xmtyt=+=（t是参数）.以原点O为极点，x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是6sin=.（1）若直线l与曲线C相交于,AB两点，且||2AB=，试求实数m值；（2）设(,)Mxy为曲线C上任意一点，求yx−的取值范围.【答案】（1）1m=或7m=−；（2）[332,332]−+.【解析】（1）曲

线C的极坐标方程是6sin=化为直角坐标方程为：2260xyy+−=，直线l的直角坐标方程为：yxm=−.所以圆心(0,3)到直线l的距离（弦心距）223122d=−=，圆心(0,3)到直线yxm=−的距离为：|03|222m−−=，所以|3|4m+=所以1m=或7m=−，

（2）曲线C的方程可化为22(3)9xy+−=，其参数方程为3cos,33sin,xy==+（为参数）因为(,)Mxy为曲线C上任意一点，33sin3cos332sin()4yx−=+−=+−所以yx−的取值范围是[332,332]−+.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐

标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系．