【文档说明】湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.191 MB，由小赞的店铺上传

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2023年上学期期末考试试卷高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合|13Axx=，1,1,2,3B=−，则AB等于A

.1,2B.2,3C.1,2,3D.1,1,2,3−【答案】C【解析】【详解】试题分析：AB是由集合A,B的相同的元素构成的，由已知条件可得1,2,3AB=考点：集合的交集运算2.已知复数2ii2iz+=−−，其中i为虚

数单位，则复数z的实部与虚部之和为（）A.15−B.15C.25D.35【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算法则计算出3i5z−=，得到实部和虚部，得到答案.【详解】由题意得，()()()22i2i34i3iiii2i2i2i55z

+++−=−=−=−=−−+，所以实部为35，虚部为15−，实部与虚部之和为25．故选：C3.若向量a，b满足()4,3a=−，()5,12b=，则向量b在向量a上的投影向量为（）A.6448,6565

−B.6448,2525−C.6448,2525−D.6448,6565−【答案】B【解析】【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量

b在向量a上的投影向量.【详解】设向量a与b的夹角为，则()()4,35,1216cos,5,1351365ababab−=====，则b在a上的投影向量为cos6448,2525baa=−．故选：

B．4.若不等式224221mxmxxx+−+−对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A.()2,2−B.(10,2−C.()),22,−−+D.(,2−−【答案】B【解析】【分析】化简已知不等式，对m进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识

求得m的取值范围.【详解】依题意，不等式224221mxmxxx+−+−对任意实数x均成立，即不等式()()22230mxmx−+−−恒成立，当2m=时，不等式可化为30−恒成立，当2m时，()()222122820mmmm=−+−=+−()

()1020mm=+−，解得102m−，综上所述，m的取值范围是(10,2−.故选：B5.今天是星期四，经过20236天后是星期（）A.二B.三C.四D.五【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式求一个数除

以7的余数，从而求得结果．【详解】因为()()()()()202301220232023020231202222021202302023202320232023671C71C71C71C71=−=−+−+−++−因为前展开式中的前2023

项都包含有7的倍数，所以20236最后除以7的余数取决于最后一项即1−除以7的余数，为6，所以应该是星期三，故选：B.6.()()242xyxy+−的展开式中24xy的系数为（）A.88B.104C.40−D.24−【答案】D【解析】【分析】分别求2()xy+、4(2)xy−的二

项式展开式通项1mT+、1nT+，可得原式的通项11mnTTT++=，结合指定项的指数值求m、n，进而求该项的系数.【详解】由题设，2()xy+的通项为212mmmmTCxy−+=，4(2)xy−的通项为414(2)nnnnTCxy−+=−；∴原多项式的展开式通项可写为61124(2)nmn

mnmnmnTTTCCxy−−+++==−，∴6240204mnmnmn−−=+=，可得04mn==或13mn==或22mn==，∴24xy的系数为40431322

2242424(2)(2)(2)24CCCCCC−+−+−=−.故选：D.【点睛】关键点点睛：将原式分成两个二项式分别求通项，结合指定项未知数的指数值求参数，进而求该项的系数.7.设随机变量()2~3,XN，若()0.3PXm=，则(6)PXm−=（）A.0.3B.0.

4C.0.6D.0.7【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用()0.3PXm=，可得(6)PXm−，即得.【详解】随机变量X服从正态分布()23,N，且正态曲线的对称轴是：3X=，由()0.3PXm=，可得(6)0

.3PXm−=，则(6)10.30.7PXm−=−=.故选：D【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题.8.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，

特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.60种B.78种

C.84种D.144种【答案】B【解析】【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243

222CCCA种不同方式.再分配到三个学年共有33A种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236CCCAA=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343CC种不同方式，再分配到三个学年共有33A种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324

CCA=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222CCA种不同方式，再分配到三个学年共有33A种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218CCAA=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若()gx是定义域为R的奇函数，且()πgx+是偶函数，(

)π1g−=−，则可以选择()sin2xgx=，由此计算出结果．已知函数()fx是定义域为R的偶函数，且()01f=，()3fx+是奇函数，则（）A.()90f−=B.()60f=C.()181f=−D.()241f=【答

案】ACD【解析】【分析】根据题中()fx时偶函数的性质及()3fx+是奇函数的性质，可先判断出周期，再结合()01f=列举出一个具体的实例，即可得出答案的结果.【详解】由函数()fx是定义域为R的偶函数，且()01f=，()3fx+是奇函数，可以选择π()

cos6fxx=，则()9π9cos()06f−=−=，故A正确，()6π6cos16f==−，故B错误，()18π18cos16f==−，故C正确，()24π24cos16f==，故D正确，故选：ACD.10.双曲线22221xyab−=的离心率为1e，双曲线

22221yxba−=的离心率为2e，则12ee+的值不可能是（）A.3B.22C.145D.52【答案】CD【解析】【分析】根据双曲线的离心率表示()22222122222222baabeeabba+=+++++，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围.【详解】()2221212122

eeeeee+=++22222222222abababababab++++=++2244222222222baabababab++=+++22222222222baababba=+++++222228+++=，当且仅当

2222baab=即ab=时取等号，所以1222ee+.故选：CD.11.若3344xyxy−−−−，则下列结论正确的是（）A.xyB.xyC.22yx−−D.33yx−−【答案】BC【解析】【分析】将不等式变形后得到3434xxyy−−−−，

构造函数，根据函数的单调性得到xy，从而AD可举出反例，C可根据函数单调性得到.【详解】由3344xyxy−−−−变形得到3434xxyy−−−−，令()34xxfx−=−，显然()fx在R上为增函数，所以xy，显然B

正确；A选项，若0x或0y时，A不满足要求，舍去；C选项，xy−−，故22yx−−，C正确；D选项，不妨设2,3xy==，则3332−−，即33yx−−，D错误.故选：BC12.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次

品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品的概率为0.053C.如果取到的零件

是次品，且是第2台车床加工的概率为1553D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2053【答案】BCD【解析】【分析】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第i台车床加工的零件，则1(|)6%PAB=，23(|)(|)5%PABPAB==，1()30%PB=，2()30%PB=

，3()40%PB=，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件A：车床加工零件为次品，记事件iB：第i台车床加工的零件，则1(|)6%PAB=，23(|)(|)5%PABPAB==，的1()30%PB=，2()30%PB=，3()40%PB=，对于选项A，任取一个零件

是第1台生产出来的次品概率为1()6%30%0.018PAB==，故错误；对于选项B，任取一个零件是次品的概率为123()()()()6%30%5%30%5%40%0.053PAPABPABPAB=++=++=，故正确；对于选项C，如果取到的零件是次品，且是第2

台车床加工的概率为2222()(|)()5%30%(|)()150.0535)3(PABPABPBPBAPAPA====，故正确；对于选项D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3333()(|)()5%40%(|)()200.0535)3(PABPABP

BPBAPAPA====，故正确；故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.173213CCnnnn−++=___________.【答案】31【解析】【分析】根据组合数的定

义及性质即可求解.【详解】解：由题意，01720313nnnn−+，解得171332n，又Zn，所以6n=，所以17311181121121319192CCCCC31Cnnnn−++=+=+=，故答案

为：31.14.已知52345012345(2)mxaaxaxaxaxax−=+++++，若340a=，则m=______．【答案】1−【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】()33323532,40,1axCmxam

=−==−.故答案为：1−.15.为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为__．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据古典

概型求解即可．【详解】从10人中任选3人的事件个数为3101098C120321==，恰有1名男生2名女生的事件个数为124665CC46021==，则恰有1名男生2名女生概率为6011202=，故答案为：1216.埃及金字塔是地球上的古文明之

一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________

2m．（注：球壳厚度不计）.【答案】800π【解析】【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱

锥的外接球.如图所示，在正四棱锥SABCD−中，20SASBSCSD====，20ABBCCDDA====，O为其外接球的球心，连接AC与BD相交点于O，连接AO，O为顶点S在底面ABCD上的投影，即为正方形ABCD的中心，设球的半径为R，表面积为S，则在正方形ABCD中，2

21122AOACABBC==+22120201022=+=，在RtSOA中，222220(102)102SOSAAO=−=−=，则102OOSOSOR=−=−，在RtAOO△中，OAR=，102OOR=−

，102AO=，因为222OAAOOO=+，所以222(102)(102)RR=+−，的化简得4002020R−=，则102R=，所以外接球的表面积为224π4π(102)800πSR===.故答案为：800π.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.17.已知ABC的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且cos1cos2BCA+=−．（Ⅰ）求角A的值．（Ⅱ）若ABC的面积为33，且()7bcbc+=，求a的值．【答案】（Ⅰ）3A=；（Ⅱ）13a=

.【解析】【分析】（I）由三角形内角和为去掉BC+,二倍角公式化简可得1sin22A=,从而求出3A=；（Ⅱ）代入三角形面积公式可得12bc=，结合条件解出b，c，余弦定理求a.【详解】解：（I）由cos1cos2BCA+=−，得cos()1co

s22AA−=−，即2sin2sin22AA=，∵sin02A，∴1sin22A=，又(0,)22A，∴26A=，故3A=．（Ⅱ）由ABC面积113sin33222SbcAbc===，得12bc=，又()7bcbc+=，∴4b=，3c=，由余弦定理22212cos

169243132abcbcA=+−=+−=，∴13a=．18.从A，B，C等8人中选出5人排成一排.（1）A必须内，有多少种排法？（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站

在中间（第三位），有多少种排法？【答案】（1）4200（2）5520（3）240（4）4440【解析】【分析】（1）先选后排，然后根据分步乘法原理计算即可；（2）正难则反，从反面出发，用全部的排法减去A，B，C三人全在内的排法即可；（3）相

邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，分步计算即可；（4）对所选的5人有无A，B进行分类讨论即可.【小问1详解】由题意，先从余下的7人中选4人共有47C种不同结果，再将这4人与A进行全排列有55A种不同的排法，故由乘法原理可知共有4575CA420

0=种不同排法；【小问2详解】从8人中任选5人排列共有58A种不同排法，A，B，C三人全在内有2555CA种不同排法，由间接法可得A，B，C三人不全在内共有525855ACA5520−=种不同排法；【小问3详解】因A，B，C都在内

，所以只需从余下5人中选2人有25C种不同结果，A，B必须相邻，有22A种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有22A种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有23A种不同排法，由乘法原理可得共有22225223CAAA240=种

不同排法；【小问4详解】分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有56A720=种排法；第二类：所选的5人有A、无B，共有414634CCA1080=种排法；第三类：所选的5人无A、有B，共有414644C

CA1440=种排法；在第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有3464CA种排法，若A不排中间时，有31136233CCCA种排法，共有()3411364233CA+CCA1200=种排法；综上，共有4440种不同排法.19.如图，正三棱柱111ABCABC-中，

,EF分别是棱11,AABB上的点，1113AEBFAA==.（1）证明：平面CEF⊥平面11ACCA；（2）若2ACAE==，求二面角1ECFC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【

分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.【小问1详解】证明：取BC的中点O,连接OA，在正三棱柱111ABCABC-中，不妨设12,3ABaAA==;以O为原点，,

OBOA分别为x轴和y轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则(),0,0Ca−,()()()0,3,0,,0,1,0,3,2AaFaEa，()()()()12,0,1,,3,2,,3,0,0,0,3CFaCEaaCAaaCC====；设平面CEF的一个法向量为(),,nxyz=

，则00nCFnCE==,20320axzaxayz+=++=，取=1x−，则3,2yza=−=，即()1,3,2na=−−；设平面11ACCA的一个法向量为()111,,mx

yz=，则100mCAmCC==,即1113030axayz+==，取11y=−得()3,1,0m=−.因为330mn=−+=，所以平面CEF⊥平面11ACCA；【小问2详解】因2ACAE==，由（1）可得1a=，即()1,3,2n=−−，易知平面1CFC的一个

法向量为()0,3,0OA=,36cos,483nOAnOAnOA−===−；二面角1ECFC−−的余弦值为64.20.设函数()()()221,Rfxaxaxbab=−++.（1）若不等式()0fx的解集为()1,2，求a，b的值；（2）若4

b=，求不等式()0fx的解集.【答案】（1）2a=，4b=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；（2）4b=时，不等式可化为()()220axx−−，讨论0,0,0aaa=，分别求出不等式的解集.【小问1详解】函数(

)()()221,Rfxaxaxbab=−++，由不等式()0fx的解集为()1,2，得0a，为且1和2是方程()2210axaxb−++=的两根；则2(1)1212aaba++==，解得2a=，4b=【小问2详解】4b=时，

不等式为()22140axax−++，可化为()()220axx−−，则当0a=时，不等式为()220x−−，解得2x当0a时，不等式化为()220xxa−−，令22a=，得1

a=，当1a时，22a，解不等式得2xa或2x；当1a=时，不等式为()220x−，解得2x；当01a时，22a，解不等式得2x或2xa；当a<0时，不等式化为()220xxa−−，且22a，解不等式得22xa综上知：当1a时，不等式的解集为()2,2,

a−+；当1a=时，不等式的解集为2xx；当01a时，不等式的解集为()2,2,a−+；当0a=时，不等式的解集为(),2−；当a<0时，不等式的解集为2,

2a.21.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①2yx=+，②exty

+=，其中,,,t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量ix和年销售额iy的数据，1,2,,12i=，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令2,iiux=lniivy=(1,2,,12)i=，经计算得如下数据

：xy1221()iixx=−1221()iiyy=−uv20667702004604.201221()iiuu=−121()()iiiuuyy=−−1221()iivv=−121()()iiixxvv=−−3125000215000.30

814（1）设iu和iy的相关系数为1r，ix和iv的相关系数为2r，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研

发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归直线ˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−；②参考数据：308477=

，909.4868，4.4998e90．【答案】（1）模型exty+=的拟合程度更好；（2）（i）0.023.84vx=+；（ii）32.99亿元.【解析】【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先

建立v关于x的线性回归方程，从而得出y关于x的回归方程；（ii）把90y=代入（i）中的回归方程可得x值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体

现基础性、综合性与应用性．解：（1）121112122211()()()()iiiiiiiuuyyruuyy===−−=−−2150021500430.8625000503125000200===

=，121212122211()()()()iiiiiiixxvvrxxvv===−−=−−1414100.91770.2117700.308===，则12rr，因此从相关系数的角度，模型exty+

=的拟合程度更好（2）（i）先建立v关于x的线性回归方程.由exty+=，得lnytx=+，即=vtx+．由于1211221()()140.018770()iiiiixxvvxx==−−==−，4.200.018203.84,tvx=−=−=所以v关于x的线性回归方程为

0.023.84vx=+，所以ˆln0.023.84yx=+，则0.023.84ˆe.xy+=（ii）下一年销售额y需达到90亿元，即90y=，代入0.023.84ˆexy+=得，0.023.8490ex+=，又4.4998e90，所以4.49980

.023.84x+，所以4.49983.8432.990.02x−=，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等

基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性22.某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷

”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：理工迷非理工迷总计男243660女122840总计3664100（1）根据0.010=的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？（2）在人工智能中常用

()(|)|(|)PBALBAPBA=表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计()|LBA的值.（3）现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从

抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X的概率分布列及数学期望.参考数据与公式：0.0500.0100.001x3.841663510.828()()()()22()nadbcKabcd

acbd−=++++，其中nabcd=+++.【答案】（1）认为理工迷与性别无关（2）97（3）分布列见解析，数学期望为2【解析】【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）根据条件概率公式计算可得；（3）首先利用分层抽样求出

男生、女生抽取的人数，则X的所有可能取值为1，2，3，求出所对应的概.率，从而得到分布列与数学期望.【小问1详解】提出假设0H：“理工迷”与性别无关.则22100(24281236)251.046040366424K−==，而1.

046.635，根据0.010=的独立性检验，可以推断0H成立，所以认为理工迷与性别无关.【小问2详解】因为()()(|)()()369()|287(|)()()()()PABPBAPABnABPALBAPBAPABPABnABPA======，所以估计()

|LBA的值为97.【小问3详解】按照分层抽样，男生抽取246436=人，女生抽取126236=人，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，所以()124236CC11C5PX===，()214236CC32C5PX===，()304236CC13C5PX===，所以X的分布列为：

X123P153515则()1311232555EX=++=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com