【文档说明】重庆市第八中学2023-2024学年高二上学期定时检测（四）数学试题 含解析.docx，共(16)页，1.678 MB，由小赞的店铺上传

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重庆八中高2025级高二（上）定时检测（四）―、单选题（本大题5小题，共50分．在每小题列出的选项中选出符合题目的一项）1.过点()1,4A的直线的方向向量为()1,2m=，则该直线方程为（）A.220xy−+=B.260xy+−=C270xy−+=D.22100xy+−=【答案】A【解析】【分析

】根据直线的方向向量确定直线的斜率，利用直线点斜式方程进行求解即可.【详解】由于直线的方向向量为()1,2m=，故直线的斜率为221=，故直线的方程为()421yx−=−，即220xy−+=，故选：A2.已知圆221:2220Cxyxy+−+−=与圆222:20(0)Cxymxm+−=的公共弦长

为2，则m的值为（）A.62B.32C.6D.3【答案】A【解析】【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立222220xyxy+−+−=和2220xymx+−=,得(1)10mxy−+−=，由题得两圆公共弦长2l=，圆22

1:2220Cxyxy+−+−=的圆心为(1,1)−，半径r为221(2)24(2)22−+−−=，圆心(1,1)−到直线(1)10mxy−+−=的距离为222(1)11(1)13(1)122mmmmm−+−−−=−+−+，所以2222232232222mlrmm−=−=−

=−+，平方后整理得,2230m−=，.所以62=m或62m=−（舍去）；故选：A.3.过点()0,2−与圆22410xyx+−−=相切的两条直线的夹角为，则sin=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切

线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810kk++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410xyx+−−=，即

()2225xy−+=，可得圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，因为()222222PC=+−=，则223PAPCr=−=，可得51036sin,cos442222APCAPC====，则1061

5sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC====，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC==−=−=−，

即APB为钝角，所以()15sinsinπsin4APBAPB=−==；法二：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得()22222

2PC=+−=，则223PAPBPCr==−=，因为22222cos2cosPAPBPAPBAPBCACBCACBACB+−=+−且πACBAPB=−，则()336cos5510cosπAPBAPB+−=+−−，即3cos55cosAPBAPB−

=+，解得1cos04APB=−，即APB为钝角，则()1coscosπcos4APBAPB=−=−=，且为锐角，所以215sin1cos4=−=；方法三：圆22410xyx+−−=

的圆心()2,0C，半径5r=，若切线斜率不存在，则切线方程为0y=，则圆心到切点的距离2dr=，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx=−，即20kxy−−=，则22251kk−=+，整理得2

810kk++=，且644600=−=设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk+=−=，可得()21212124215kkkkkk−=+−=，所以1212tan151kkkk−==+，即sin15cos=，可得sincos15=，则2222

sinsincossin115+=+=，且π0,2，则sin0，解得15sin4=.故选：B.4.已知椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPF=

，则||PO=（）A.25B.302C.35D.352【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PFPFPFPF+的值，利用()1212POPFPF=+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点，可得3,

6,3abc===，则1226PFPFa+==①，即221212236PFPFPFPF++=，由余弦定理得2222121212122cos(23)FFPFPFPFPFFPF=+−=，123cos5FPF=，故212123()2(1)125PFPFPFPF+−+=，②联立①②，解得：221212

15,212PFPFPFPF=+=，而()1212POPFPF=+，所以1212POPOPFPF==+，即22121122111153302212222252POPFPFPFPFPFPF=+=++=+=，故选：B【点睛】方法点睛：本题

综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为12FF的中点，从而可以利用向量知识求解||PO.5.已知()0023231,,1,,,33ABPxy−−为椭圆22:132xyC+=上不同的三点，直线:2lx=，

直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若PABPMNSS=△△，则0x=（）A0B.54C.53D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积公式及APBMPN=或πAPBMPN+=得PAPBPNPM=，再应

用相交弦长公式列方程，即可求0x.【详解】由PABPMNSS=△△，则11sinsin22APBPAPBMPNPNPM=，由图知：当P位置变化时，APBMPN=或πAPBMPN+=，故sinsinAPBMPN=，所以PAPBPNPM=，而直

线AP、BP斜率存在且不为00(1)x，故22001111APBPPAPBkxkx=+++−，22001212APBPPNPMkxkx=+−+−，所以22001(2)xx−=−，即22000144xxx−=−+或22000144xxx−=−+，当220

00144xxx−=−+，化简得054x=.当22000144xxx−=−+时，2002430xx−+=，显然16200=−，无解.所以054x=.故选：B.二、多选题（本大题共3小题，共39分．在每小题有

多项符合题目要求）.6.已知椭圆22142xy+=的左、右焦点为1F，2F，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于12PFF△的说法正确的有（）A.12PFF△周长为422+B.当1290PFF=时，12PFF△的边12PF=C.当1260FPF=时，1

2PFF△的面积为233D.椭圆上有且仅有6个点P，使得12PFF△为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求得2,2ac==，进而求得124PFPF+=，1222FF=；根据1290PFF=，可求得11PF=；根据余弦定理可求得12

83PFPF=，进而求得面积；根据12PFF△为直角三角形分情况求得满足题意的点P的个数即可．【详解】解：由22142xy+=易得2,2ac==，∴12PFF△的周长为422+，故A对；令2x=−得1y=，11PF=，故B错；设1122,PFrPFr==，由余弦定理得()2221212222

cos60rrrr=+−，()2121238rrrr+−=，1283rr=，∴121823sin60233PFFS==△，故C对；当1290PFF=，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；

的同理当2190PFF=，满足的点P也有2个；当2190FPF=，有12221248rrrr+=+=，解得12r=，所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，综上满足的点P共6个，故D对．故选：AC

D．7.已知实数,xy满足曲线C的方程22220xyx+−−=，则下列选项正确的是（）A.22xy+的最大值是31+B.11yx++的最大值是26+C.3xy−+的最小值是223−D.过点()0,2作曲线C的切线，则切线方程为220xy−+=【

答案】BD【解析】【分析】由22xy+表示圆C上的点到定点()0,0O的距离的平方，可判定A错误；由11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的斜率k，设11ykx+=+，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由3xy−

+表示圆上任意一点到直线30xy−+=的距离的2倍，进而可判定C错误；根据点()0,2在圆C上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.【详解】由圆22:220Cxyx+−−=可化为()2213xy−+=，可得圆心()1,0，半径为3r=，对于A中，由22xy+表示圆C上的点到定

点()0,0O的距离的平方，所以它的最大值为222[(10)03]423−++=+，所以A错误；对于B中，11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的斜率k，设11ykx+=+，即()11ykx+=+，由圆心()1,0到直线()11ykx+=+的距离22131kdk−=+，解得2626k−

+，所以11yx++的最大值为26+，所以B正确；对于C中，由3xy−+表示圆上任意一点到直线30xy−+=的距离的2倍，圆心到直线的距离4222d==，所以其最小值为()222346−=−，所以C错误；对于D中，因为点()0,2满足圆C的方程，即点

()0,2在圆C上，则点C与圆心连线的斜率为12k=−，根据圆的性质，可得过点()0,2作圆C的切线的斜率为1122kk=−=，所以切线方程为22(0)2yx−=−，即220xy−+=，所以D正确.故选：BD.8.已知F为椭圆C

：22142xy+=的左焦点，直线l：()0ykxk=与椭圆C交于A，B两点，AEx⊥轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A.14AFBF+的最小值为2B.ABE面积的最大值为2C.直线BE的斜率为12kD

.PAB为钝角【答案】BC【解析】【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，4AFBF+=，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设()00,Axy，则()00,

Bxy−−，()0,0Ex，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得2212PAPBbkka=−=−，又由C项可知12PBBEkkk==，得1PAABkk=−，即90PAB=，排除D项.【详解】对于A，设椭圆C的右焦点为F，连接AF，BF，则

四边形AFBF为平行四边形，AFBF+24AFAFa=+==，()414114195444BFAFAFBFAFBFAFBFAFBF+=++=++，当且仅当2BFAF=时等号成立，A错误；对于B

，由22142xyykx+==得2212xk=+，AByy−=2412kk+，ABE的面积2414212122AABkSxyykkk=−==++，当且仅当22k=时等号成立，B正确；对于

C，设()00,Axy，则()00,Bxy−−，()0,0Ex，故直线BE的斜率000012BEykxx+==+0012ykx=，C正确；对于D，设(),Pmn，直线PA的斜率额为PAk，直线PB的斜率为PBk

，则PAPBkk=2200022000nynynymxmxmx−+−=−+−，又点P和点A在椭圆C上，22142mn+=①，2200142xy+=②，①−②得22022012nymx−=−−，易知12PBBEkkk==，则1122PAkk=−，得1P

Akk=−，11PAABkkkk=−=−，90PAB=，D错误.故选：BC.【点睛】椭圆常用结论：已知椭圆22221(0)xyabab+=，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若,PAPBkk都存在，则2

2PAPBbkka=−.三、填空题（本大题3小题，共30分）9.若直线120kxyk−+−=与圆229xy+=分别交于M、N两点.则弦MN长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229xy+=可得圆心()0,0O，

半径为3，直线120kxyk−+−=，即()210kxy−−+=，直线过定点P(2,1)，又因为22219+，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时OPMN⊥，此时22222329(21)4MNOP=−=−+=，故答案为：4.10.已知圆1

C：224240xyxy−−++=与圆2C：226210xyxy+−−+=，点A，B在圆2C上，且27AB=，线段AB的中点为D，O为坐标原点，当OD最大时，直线OD被圆1C截得的弦长为______．【答案】26【解析】【分析】先得到两个圆的圆心和半径，通过2

7AB=和垂径定理可得22CD=，即点D在以2C为圆心，2为半径的圆上，故可得到OD最大时，直线OD的方程为30xy−=，然后利用几何法进行求弦长即可【详解】因为圆1C：224240xyxy−−++=即()()22219xy++−=与圆2C：226210xyxy+−−+=即()()

22319xy−+−=，所以圆1C的圆心为()12,1C−，半径13r=；圆2C的圆心为()23,1C，半径23r=．因为27AB=，所以2972CD=−=，即点D在以2C为圆心，2为半径的圆上，故当点D在线段2OC的延长线上时，OD最大，此时直线OD

的方程为30xy−=，则圆心()12,1C−到直线OD的距离为222351013−−=+，故直线OD被圆1C截得的弦长为225232610−=．故答案为：2611.如图，12,FF分别是椭圆的左、右焦点，点P是以12FF为直径的圆与椭圆在

第一象限内的一个交点，延长2PF与椭圆交于点Q，若124PFQF=，则直线2PF的斜率为__________【答案】2−【解析】【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于90，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及

斜率的定义即可求解.【详解】连接1QF，如图所示设()20,QFxx=则14PFx=，由椭圆的定义得12122,2,PFPFaQFQFa+=+=所以2124,2,PFaxQFax=−=−222423,PQ

PFQFaxxax=+=−+=−在1PFQ△中，190FPQ=,所以22211PFPQQF+=,即()()()2224242xaxxax+−+=−，整理得3ax=，所以121244tan22464PFxxPFFP

Faxxx====−−，所以直线2PF的斜率为()212tan180tan2kPFFPFF=−=−=−.故答案为：2−.四、解答题（本大题2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.设椭圆22221(0)xyabab+=的左右顶点分别为12,AA，

右焦点为F，已知123,1AFAF==．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2AFP面积的二倍，求直线2AP的方程．【答案】（1）椭

圆的方程为22143xy+=，离心率为12e=.（2）()622yx=−.【解析】【分析】（1）由31acac+=−=解得2,1ac==，从而求出3b=，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2AP的方程，与椭圆方程联立，消去y，再由

韦达定理可得2APxx，从而得到P点和Q点坐标.由211122122AQAAPQAAPAPFAAPSSSSS=+=+得23QPyy=，即可得到关于k的方程，解出k，代入直线2AP的方程即可得到答案.【小问1详解】如图，由题意得31acac+=

−=，解得2,1ac==，所以22213b=−=，所以椭圆的方程为22143xy+=，离心率为12cea==.【小问2详解】由题意得，直线2AP斜率存在，由椭圆的方程为22143xy+=可得()22,

0A，设直线2AP的方程为()2ykx=−，联立方程组()221432xyykx+==−，消去y整理得：()2222341616120kxkxk+−+−=，由韦达定理得222161234APkxxk−=+，所以228634Pkxk

−=+，所以2228612,3434kkPkk−−−++，()0,2Qk−.所以21142AQAQSy=,2112APFPSy=,12142AAPPSy=，所以211122122

AQAAPQAAPAPFAAPSSSSS=+=+，所以23QPyy=，即21222334kkk−=−+，解得62k=，所以直线2AP的方程为()622yx=−.13.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=经过

点31,2M，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，OFM△的面积为34.（1）求椭圆C标准方程；（2）过点()4,0P作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称

.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，利用代入法进行求解即可；（2）根据对称性与直线间斜率的关系，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为OFM△的面积为34，则有133224

c=，解得1c=，又因为31,2M在椭圆C上，则222219141abab+=−=，解得2243ab==，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=；【小问2详解】根据椭圆对称性，欲证A，D关于x轴对称，只需证FA

FDkk=−，即证0FAFBkk+=，设()22,Axy，()11,Bxy，直线AB方程为4xmy=+，的的由2243412xmyxy=++=消去x得()223424360mymy+++=，所以12224

34myym−+=+，1223634yym=+则()()()()()()()12211221121212121211111111FAFByxyxyxyxyyyykkxxxxxx−+−+−++=+==−−−−−−因为()()1221121212223

624232303434myxyxyymyyyymmm−+−+=++=+=++所以0FAFBkk+=，即A，D关于x轴对称.【点睛】关键点睛：本题的关键是由0FAFBkk+=，可以判断A，D关于x轴对称.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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