【文档说明】湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.849 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-1be15b5125a2efc9239759f88d33fedb.html

以下为本文档部分文字说明：

明德中学2025届高三8月阶段检测数学试卷满分：150分时间：120分钟命题：高三数学备课组审题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合12{N

|N}3Axyx==+，则集合A的真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案】C【解析】【分析】根据集合A对元素x的要求，求得集合A，即得其真子集个数.【详解】由12N3yx=+且Nx可知，3x+可以取3,4,6,12，则x可取0,1,3,9，即{0,1,3,9}A=，故集合A

的真子集个数为42115−=.故选：C.2.若复数z满足13iz=−，则z等于（）A.12B.22C.2D.2【答案】A【解析】【分析】由复数的除法法则求得43i4z=+，可求1||2z=.【详解】由13iz=−，可得13iz=−，所以11(3+i)3

+i3i3i(34i)(3+i)44z====+−−，所以311||16162z=+=.故选：A.3.已知向量()()1,,3,1atb==−，且()2abb+⊥，则ab−等于（）A.5B.25C.27D.26【答案】A【解析】【分析】根据()2ab

b+⊥得到2t=−，再计算ab−即可.【详解】因为()()1,,3,1atb==−，()2abb+⊥，所以()()22223910abbabbt+=+=−+++=，解得2t=−.所以()()1,2,3,1ab=−=−，()4,3ab−=−，()22435−

=+−=ab.故选：A4.若()1sin2+=，tan5tan=，则()sin−=（）A.16B.13C.79D.223【答案】B【解析】【分析】根据tan5tan=切化弦可得sincos5cossin=，

结合两角和差公式运算求解.【详解】因为tan5tan=，即sin5sincoscos=，可得sincos5cossin=，又因为()1sinsincoscossin6cossin2+=+==，可得1cossin12=，所以()1sinsinc

oscossin4cossin3+=−==.故选：B.5.如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（）A.154B.152C.34

D.32【答案】B【解析】【分析】设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，结合题意面积比得到15hr=，再计算二者的体积比即可.【详解】设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，则母线长为22lrh=+，所以圆锥的侧面积是22ππrlrrh=+，半球的面积

22πr，由题意可得222π22πrrhr+=，解得15hr=，所以圆锥的体积为23115ππ33rhr=，半球的体积为3314π2π233rr=，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为3315π1532π23rr=，故选：B.6.已知函数()()

221,2log12,2axaxxfxxax−+−=−+，则“2a”是“()fx在R上单调递增”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】由分段函数在

R上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为()fx在R上单调递增，所以2?251?122441log1252aaaaaaaaa−+−+，所以2a

是522a的必要不充分条件，即2a是“()fx在R上单调递增”的必要不充分条件，故选：C.7.已知函数()sin([0,π])fxxx=和函数3()tan5gxx=的图象相交于,,ABC三点，则ABCV的面积为（）A.π5B.2π5C.3π5D.

4π5【答案】B【解析】【分析】由3sintan5xx=，求出两个函数图象的交点坐标，再根据面积公式可求出结果.【详解】由3sintan5xx=，得3sinsin5cosxxx=，得3sin(1)05cosxx−=，得sin0x=或3cos5x=，又0πx，所以0x=或πx=或3arcco

s5x=，所以sin00=，sinπ0=，3sinarccos5=223341cosarccos1555−=−=，所以不妨设(0,0)A，(π,0)B，34(arccos,)55C，所以ABCV的面积为142ππ255=

.故选：B8.已知函数()()0yfxx=满足()()()1fxyfxfy=+−，当1x时，()1fx，则（）的A.()fx为奇函数B.若()211fx+，则10x−C.若()122f=，则()10244f=

−D.若122f=，则1101024f=【答案】C【解析】【分析】根据赋值法可得()11f=，()11f−=，进而可得()()fxfx−=，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断()()0yfxx=在()0,+上为减函数，即可求解B，代值

逐步求解即可判断CD.【详解】令1x=，1y=−，()()()1111fff−=+−−，所以()11f=；令=1x−，1y=−，()()()1111fff=−+−−则()11f−=．令1y=−，得()()fxfx−=，故()()0yfxx=为偶函数．A错误，任取1x，()20,x+，12x

x，则211xx，则()()()221111xfxfxffxx=+−，故()()0yfxx=在()0,+上为减函数．由已知()211fx+，可得()()211fxf+，故211x+，解

得10x−，且12x−．B错误，若()122f=，则()()()()()1091024222110294fffff==+−=−=−，C正确，若122f=，则21121322ff=−=，421121522ff

=−=，5511116222fff=+−=，所以511211110242ff=−=，故D错误，故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）近似服从正态

分布()2100,10N.已知()2~,XN时，有(||)0.6827PX−，(||2)0.9545PX−，(||3)0.9973PX−.下列说法正确的是（）A.该地水稻的平均株高约为100cmB.该地水稻株高的方差约为100C

.该地株高超过110cm的水稻约占68.27％D.该地株高低于130cm的水稻约占99.87％【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.详解】由题意可知，100=，2100

=，故A，B正确；由题意得110+=，3130+=所以()()()()1110.317315.87%22PXPX+=−−+=，故C错误；所以()()()()13113310.00135

99.87%2PXPX+=−−−+−=，故D正确；故选：ABD.10.设函数32()231fxxax=−+，则（）A.当1a时，()fx有三个零点B.当a<0时，0x=是()fx的极大值点C.存在a，b，使得xb=为曲线()yfx=的对称轴D.存在a，使得点()

()1,1f为曲线()yfx=的对称中心【答案】AD【解析】【分析】A选项，先分析出函数的极值点为0,xxa==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()fx在(1,0),(0,),(,2)aaa−上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，

假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，则()(2)fxfbx=−为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，2()666()fxxax

xxa=−=−，由于1a，【故()(),0,xa−+时()0fx，故()fx在()(),0,,a−+上单调递增，(0,)xa时，()0fx，()fx单调递减，则()fx在0x=处取到极大值，在xa=处取到极小值

，由(0)10=f，3()10faa=−，则(0)()0ffa，根据零点存在定理()fx在(0,)a上有一个零点，又(1)130fa−=−−，3(2)410faa=+，则(1)(0)0,()(

2)0fffafa−，则()fx在(1,0),(,2)aa−上各有一个零点，于是1a时，()fx有三个零点，A选项正确；B选项，()6()fxxxa=−，0a时，(,0),()0xafx，()fx单调递减，(0,)x+时()0fx

，()fx单调递增，此时()fx在0x=处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，即存在这样的,ab使得()(2)fxfbx=−，即32322312(2)3(2)1xaxbxabx−+=−−−+，根据二项式定理，等式右边3(2)bx−展开式含

有3x的项为303332C(2)()2bxx−=−，于是等式左右两边3x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33fa=−，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的

对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812fxfxxaxxaxaxaxa+−=−++−−−+=−+−+−，于266(126)(1224)18

12aaxaxa−=−+−+−是即126012240181266aaaa−=−=−=−，解得2a=，即存在2a=使得(1,(1))f是()fx的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231fxxax=−+，2(

)66fxxax=−，()126fxxa=−，由()02afxx==，于是该三次函数的对称中心为,22aaf，由题意(1,(1))f也是对称中心，故122aa==，即存在2a=使得(1,(1))f

是()fx的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()fx的对称轴为()(2)xbfxfbx==−；（2）()fx关于(,)ab对称()(2)2fxfaxb+−=；（3）任何三次函数32()fxaxbxcxd=+++都有对称

中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0fx=的解，即,33bbfaa−−是三次函数的对称中心11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为()Sfx=，则下

列说法正确的是（）A.π164f=B.()fx的图象关于直线π4x=对称C.S的最大值为642−D.S的最大值为322−【答案】BC【解析】【分析】假设斜边长为a，则cossin1axaxa++=，2()2sin2Sfxax==，即可代入求

解A，根据正弦的对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD．【详解】设三角形的斜边长为a，则cossin1axaxa++=①，所以21()cossin82sin22Sfxaxaxax===，对于A，当π6x=时，由①式得，333a−=，所以2333436()2()323Sfx

−−===，故A错误；对于B，sin2x的对称轴为π2π2xk=+ππ42kx=+，Zk，当0k=时，π4x=，即()fx的图像关于直线π4x=对称，故B正确；对于CD，24sincosSaxx=，因为2(sinco

s)sincos4xxxx+，当且仅当sincosxx=时，等号成立，又由①可得，π1sincos2sin()4axxxa−+=+=，所以22222(sincos)14()(1)4xxaSaaaa+−==−，因为x为锐角，所以π(0,

)2x，所以ππ(44x+,3π)4，所以π12sin()(14axa−+=,2]，所以[21a−,1)2，所以1(1)(2a−,22]−，所以22(1)(22)642a−−=−，即642S−，故C正确，D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：根据旋

转的性质结合锐角三角函数得到cossin1axaxa++=，进而根据三角形面积公式得面积表达式21()cossin82sin22Sfxaxaxax===.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()22xxfxa−=−

是偶函数，则a=______．【答案】1−【解析】【分析】利用特值法求出a值，再证明()fx是偶函数即可.【详解】函数()22xxfxa−=−，xR是偶函数，(1)(1)ff−=，则112222aa−=−，解得1a=−，当1a=−时，

()22xxfx−=+，()22()xxfxfx−−=+=，故()fx是偶函数.综上所述，1a=−.故答案为：1−.13.若双曲线2221xya−=（0a）的一条渐近线与直线6310xy−+=垂直，则该双曲线的离心率为______.【答案】52

##152【解析】【分析】易得双曲线渐近线为1yxa=，再利用两直线垂直斜率之积为1−求出a，结合离心率公式即可求解.【详解】双曲线2221xya−=（0a）的渐近线方程为1yxa=，直线6310xy−+=斜率为2，由一条渐近线与直线垂直得121a−=−，解得2a=，所以离心率为22

41522abea++===.故答案为：5214.在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若事件12,,,nAAA两两互斥，12nAAA=，则对任意的事件B，有()()()()1122(|)(|)(|)nnPBPAPBAPAPBAPAPBA=+++．若甲盒

中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球()xN、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于512，则x的最大值为_

_____．【答案】6【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式列式求解即可.【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为1A，2A，3A，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B，则()()(

)12312321143,,(|),(|),(|)55666xPAPAPAPBAPBAPBAxxx+======+++，可得()()()()112233(|)(|)(|)PBPAPBAPAPBAPAPBA=++()21241321355656565612xxxxxx++=++=++++

，解得6x，则x的最大值为6．故答案：6.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABCV的面积，且(

)2243Sabc=−−．（1）求角A；（2）求222bca+的取值范围．【答案】（1）2π3（2）2,13【解析】【分析】（1）应用三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式即可求解;（2）应用余弦定理及正弦定理，结合辅助角公式，

二倍角公式即可求解.【小问1详解】由三角形面积公式可得：()2214343sin2SabcbcA=−−=，即2221243sin2Aabccbbc+−−=，则222223sincAbcab−+=−，为即cos13sinAA−+=，则31π3sincos2(sincos)2si

n()1226AAAAA+=+=+=，则π1sin()62A+=因为ππ7π(0,π),(,)666AA+，所以π5π2π,663AA+==.【小问2详解】2222221cos,22bcaAbcabcbc+−==−+=−，则2222221bcabcb

caaa+−==−，由正弦定理得，22sinsin4π111[sinsin()]sin33bcBCBBaA−=−=−−24311[sincossin]322BBB=−−4311[sin2(1cos2)]344BB=−−−43111[

sin2cos2]3444BB=−+−41π11[(sin(2)]3264B=−+−42πsin(2)336B=−+，又πππ5π(0,),2(,)3666BB+，则π1sin(2)(,1]62B+，所以2222,13bca+16.已知椭圆()2222:10xyC

abab+=的右顶点为()2,0A，离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，若1227AB=，求直线l的方程．【答案】（1）22143xy+=（2）20xy−=【解析】【分析】（1）借助右顶点坐标及离心率计算即可得椭圆方程；（2）设出直线

方程联立曲线计算可表示出B点坐标，借助两点间距离公式计算即可得直线l的方程.【小问1详解】由题意可得，2a=．因为12cea==，所以1c=，则223bac=−=，故椭圆C的方程为22143xy+=；【小问2详解】由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为()2ykx=−．联立()22143

2xyykx+==−，得()2222431616120kxkxk+−+−=，易知Δ0．设()22,Bxy，则2221612243kxk−=+，所以2228643kxk−=+，221243kyk−=+，因为()22222212227ABxy=−+=

，所以2222228612122243437kkkk−−−+=++，即()()22132310kk−+=，解得1k=，所以直线l的方程为()2yx=−，即20xy−=．17.如图，在三棱锥SABC−中，底

面ABC是正三角形，4,23ABSASC===，侧面SAC⊥底面,,ABCDE分别为,ABSB的中点．（1）求证：ACSB⊥；（2）求直线SC与平面ECD所成角的正弦值；（3）求二面角ECDB−−的余弦值．【答案】（1）证明见

解析（2）269（3）1.3【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一证明线线垂直，再证明AC⊥平面OBS，由此得线线垂直；（2）建立平面直角坐标系，利用法向量方法求直线与平面所成角；（3）利用法向量方法求二面角的平面角.【小问1详解】取A

C的中点O，连接,OBOS．,,,SASCABCBACSOACBO==⊥⊥．又BO平面OBS，SO平面OBS，SOBOO=，则AC⊥平面OBS，SB平面OBS，ACSB⊥；【小问2详解】平面SAC⊥平面ABC，平面SAC平面A

BCAC=，又SO平面SAC，SOAC⊥,SO⊥平面ABC，又OAOB⊥.在RtSAO中，()222223222SOSAOA=−=−=.在等边ABCV中，3232OBAB==.如图所示，分别以,,OAOBOS所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()2,

0,0,0,23,0,2,0,0,0,0,22ABCS−，由,DE分别为,ABSB的中点，则()()1,3,0,0,3,2DE，所以()()()2,3,2,1,0,2,2,0,22CEDESC==−=−−．设平面ECD的法向量为(),,nxyz=，则0,0nCEnDE=

=，232020xyzxz++=−+=今1z=，则2,6==−xy，故()2,6,1n=−为平面ECD的一个法向量，设直线SC与平面ECD所成角为，则4226sincos,9323nSCnSCnSC====，

直线SC与平面ECD所成角的正弦值为269；【小问3详解】由（2）可知()2,6,1n=−为平面ECD的一个法向量，而()0,0,22OS=为平面BCD的一个法向量．设二面角ECDB−−的大小为，又二面角ECDB−−是锐角，221cos3322nOSnOS

===，二面角ECDB−−的余弦值等于1.318.已知函数()ln1fxaxx=−−.（1）若()0fx恒成立，求a的最小值；（2）求证：ln10xexxx−++−；（3）已知2()lnxkex

xxx−+−恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）[1,)+．【解析】【分析】（1）求()0fx恒成立，即()0fx等价于ln1xax+，求出ln1xx+的最大值，a大于等于ln1xx+的最大值，即可求出a的最小值；（2）当1a=时，得ln1xx+，即l

n1(0)ttt+，xetx−=，代入化简即可证明.（3）由题意知2()lnxkexxxx−+−恒成立，即分离参数后得ln11xxexxxkexx−−++−−+，再结合第二问的结论，即可求出k的取值范

围.【小问1详解】()0fx等价于ln1xax+，令'2ln1ln()(0),()xxgxxgxxx+−==，当(0,1)x时，'()0gx，当(1,)x+时，'()0gx.则()gx在(0,1)上单调递

增，在(1,)+上单调递减，max()(1)1gxg==，则1a，a的最小值为1.【小问2详解】证明：当1a=时，由（1）得ln1xx+，即ln1(0)ttt+.令xetx−=，则lnln,ln1xexxtxxx−−−=−−+

，即ln10xexxx−++−.小问3详解】2()lnxkexxxx−+−恒成立，即()1lnxekxxx−+−恒成立,ln11ln1xxxexxxxkeexxxx−−−++−−=−++，由（2）知l

n10xexxx−++−恒成立，ln1111xxexxxkexx−−++−−+，，故k的取值范围为[1,)+.19.若数列na的各项均为正数，对任意*Nn，有212nnnaaa++，

则称数列na为“对数凹性”数列．（1）已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；（2）若函数231234()fxbbxbxbx=+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)ibi=．证明：数列1234,,,bbbb为

“对数凹性”数列；（3）若数列nc的各项均为正数，21cc，记nc的前n项和为nS，1nnWSn=，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得()()()rpqpqWqrWrpWt−+−+−=．证明

：数列nS为“对数凹性”数列．【答案】（1）只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数

研究三次函数的性质结合()1,ffxx零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；（3）将,pq互换计算可得0t=，令1,2pq==，可证明nW是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11nW

cnd=+−，利用1nnWSn=及,nnSc的关系可得()121nccdn=+−，并判定nc为单调递增【的等差数列，根据等差数列求和公式计算()2124nnnSSS++−结合基本不等式放缩证明其大于0即可.【小问1详解

】根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中222214423342均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；【小问2详解】根据题意

及三次函数的性质易知2234()23fxbbxbx=++有两个不等实数根，所以221324324Δ44303bbbbbb=−，又0(1,2,3,4)ibi=，所以2324243bbbbb，显然()1000xfb==，

即0x=不是()fx的零点，又2312341111fbbbbxxxx=+++，令1tx=，则()231234ftbbtbtbt=+++也有三个零点，即32123431bxbxb

xbfxx+++=有三个零点，则()321234gxbxbxbxb=+++有三个零点，所以()212332gxbxbxb=++有两个零点，所以同上有22221321313Δ44303bbb

bbbbb=−，故数列1234,,,bbbb为“对数凹性”数列【小问3详解】将,pq互换得：()()()rqptqpWpvrWrqWt=−+−+−=−，所以0t=，令1,2pq==，得()()(2210rWrWrW−+−+−=，所以()()()()12121211rW

rWrWWrWW=−+−=+−−，故数列nW是等差数列，记221211022SccdWWc−=−=−=，所以()()2111112nccWcncnd−=+−=+−，所以()21nnSnWdncdn==+

−，又因为11,1,2nnncncSSn−==−，所以()121nccdn=+−，所以120nnccd+−=，所以nc为单调递增的等差数列，所以()11210,2,2nnnnnnnncccccccS+++++==.所以()()()()()22212111

124(1)2nnnnnnSSSnccnncccc++++−=++−+++()()()()22112211(1)22nnnccccnccnn+++++++−+()()222112112(1)22nncccnccnn++++=++−+()()()22

21111(1)2nnnccnncc++=++−++()()2211(1)2nnnncc+=+−++()2110ncc+=+所以212nnnSSS++，数列nS是“对数凹性”数列【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2324243bbbbb，

再判定()1,ffxx零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133bbbbb即可；第三问根据条件将,pq互换得0t=，利用赋值法证明nW是等差数列，再根据1nnWSn=及,n

nSc的关系可得nc从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2124nnnSSS++−结合基本不等式放缩证明其大于0即可.