【文档说明】重庆市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，999.314 KB，由小赞的店铺上传

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高2025届高三上期开学考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题专上指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答

案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8

小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合()2log211Axx=−∣，1222xBx=∣，则AB=（）A.112xx∣B.32xx∣C.312xx−∣D.{11}xx−

∣【答案】C【解析】【分析】分别解对数,指数不等式，求出,AB，再求并集即可.【详解】由于()2log211x−,即()22log21log2x−，即0212x−，解得1322x.则1322Axx=∣.由于1222x，即11222x−，则11x−，则

11Bxx=−∣.则312ABxx=−∣.故选：C.2.若幂函数()()215mfxmmx−=−−在()0,+上单调递减，则实数m的值为（）A.3−B.2−C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据幂函数定义和单调性求

参数即可.【详解】根据幂函数定义和单调性,知道25110mmm−−=−，解得3,21mmm==−，则3m=.故选：D3.子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意得到答案.【详解】从逻辑上讲，工匠把活作好了，必然有锐利的工具，但有了锐利的工具，不一定能把活做好，“善其事”是“利其器”的充分

不必要条件.故选：A4.已知定义在R上的函数()fx满足()()2exfxfx−−=，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点()()0,0f处的切线斜率为（）A.1−B.13−C.13D.1【答案】C【解析】【分析】先求出()2ee3xxfx−+=−，再求出切点和切线的斜率即得解.【详解】因为

()()2exfxfx=−+，所以()()2exfxfx−−=+，联立可解得()2ee3xxfx−+=−，所以()2ee3xxfx−−=，1(0)3f=.故选：C5.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的部分图象如图所示，则()fx的解析式可

能为（）A.3cos22xxx−+B.122xxx−++C.()32121xxx−+D.21cos21xxx+−【答案】A【解析】【分析】由定义域排除D，由函数在0x时函数值正负排除B，由函数的奇偶性排除C，即得正确选项．【详解】2cos

21xxxy+=−有0x，而由函数𝑦=𝑓(𝑥)的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D选项；函数𝑦=𝑓(𝑥)的部分图象关于y轴对称是偶函数，而()()122xxxfxfx−−+−=+,不合题意排除B选项

；当0x时，03220,2110,210,xxxx+=−，()321021xxx−+，由图可知0,()xfx有正有负，不合题意排除C选项；故选：A.6.已知函数()3sinfxxxax=+−是定义

在R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A.(),1−B.(,1−C.(),2−D.(,2−【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，则原问题转化为()2cos30fxxxa=+−在R上恒成立，分离参数得2cos3

axx+恒成立，构造函数2()cos3gxxx=+，结合其奇偶性以及利用导数求其最值，即可求得答案.【详解】由于()3sinfxxxax=+−，故()2cos3,Rfxxxax=+−，函数()3sinfxxxax=+−是定义在R上的增函数，故()2cos30fxx

xa=+−在R上恒成立，即2cos3axx+恒成立，令2()cos3gxxx=+，()gx为偶函数，故考虑0x时，()sin6gxxx=−+，令()sin6,()cos60hxxxhxx=−+=−+，即()gx在(0,)+上单调递增，则()(0)0g

xg=，则()gx在(0,)+上单调递增，在(,0)−上单调递减，故min()(0)1gxg==，故1a，实数a的取值范围是(,1−，故选：B7.已知函数()fx的定义域为R，且()21fx−的图象关于直线1x=对称

，()32fx+是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）A.72fB.()2024fC.𝑓(1)D.32f【答案】B【解析】【分析】运用已知条件得到()fx关于1x=对称，也关于(2,0)对称，进而得到

周期4.再用赋值法，得到(0)(2)(4)0fff===.进而得到()20240f=.【详解】()21fx−的图象关于直线1x=对称，则()()212(2)1(23)fxfxfx−=−+−=−+.即()()212(2)1((21)2)fxfx

fx−=−+−=−−+，令21tx=−，则()(2)ftft=−+，则()fx也关于1x=对称.()32fx+是奇函数，则()32(32)0fxfx++−+=，()32((32)4)0fxfx++−++=，令32tx=+，

则()(4)0ftft+−+=，则()fx也关于(2,0)对称.且令2t=，得(2)0f=.由前面知道()(2)(4)ftftft=−+=−−+，且令0t=，则(0)(2)(4)0fff===且(2)(4)((6))(6)ftftftft−+=−−+=−−−+=−+，

令2mt=−+，则()(4)fmfm=+，故()fx周期为4.则()2024(0)0ff==.713()()222fff=−=−，𝑓(1)，都不确定是否为0．故选：B..8.若存在实数a，使得关于x的不等式()()1

eln0xaxmaxx−+−在()0,+上恒成立，则实数m的取值范围是（）A.21,e1−−B.()2,e1−−C.()2e1,−+D.211,e−+【答案】D【解析】【分析】结合题意把不等式变形()1eln0xmxa

axx+−−后将问题转化为ℎ(𝑥)的最小值大于()gx的最大值，再利用导数讨论单调性即可求出结果；【详解】因0x，所以不等式可变形为()1eln0xmxaaxx+−−，令()

()()1eln,xmxgxhxxx+==，由题意可得函数𝑦=𝑔(𝑥)和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=的上方，一个在直线ya=的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值.由()lnxgxx=求导可得()

21ln,0xgxxx=−，令()0egxx==，所以当()0,ex时，()0gx，()gx单调递增；当()e,+x时，()0gx，()gx单调递减；所以()()maxlne1eeegxg===，由()()1

exmhxx+=求导可得()()()()()221e1e1e1xxxmxmmxhxxx+−++−==，令()0hx=，可得1m=−或1x=，当1m−时，𝑥∈(0,1)时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调递增；𝑥∈(1,+∞)时，ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减；所以ℎ

(𝑥)有最大值，无最小值，不符合题意，当1m−时，𝑥∈(0,1)时，ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减；𝑥∈(1,+∞)时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调递增；为此时()()()min11ehxhm==+，所以()()1ehg

，即()11e>em+，即211em−，所以实数m的取值范围是211,e−+.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够由已知对不等式两边同时除以x后变形，再设出()()()1eln,xmxgxhxxx+==，然后把问题等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，求导分

析即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若正实数,xy满足21xy+=，则下列说法正确的是（）A.xy有最大值为18B.14xy+有最小值为642+C.224xy+有最小值为12D.

()1xy+有最大值为12【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.【详解】对于A：因为2122xyxy+=，则18xy，当且仅当2xy=，即11,42xy==时取等号，

故A正确，对于B，()4214288626642xyxyxyxyxyxyyxyx+++=+=+++=+，当且仅当8xyyx=，即21,222xy−==−时取等号，故B正确，对于C：因为222422xyxy++，则22142xy+，当且仅当2xy=，即11,42xy==

时取等号，故C正确，对于D：因为()()()2211111212222xyxyxy+++=+=，当且仅当21xy=+，即12x=，0y=时取等号，这与,xy均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．10.已知函数()2ln11fxxx=−−−，则下列说法正确的是（）A.

()fx在区间()0,1上单调递增B()()20242025log2025log20242ff+=C.若()21ln221bbfab+=−−，()0,1a，()0,b+，则21ba=D.函数()fx有唯一零点【答案

】AC【解析】【分析】对于A，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于B，证明()01ffxx+=，再赋值，结合对数性质即可计算；对于C，变形()()2bfaf−=，由a，b的范围即可证.对于D，由(

)fx的单调性大概得到函数图像趋势，结合零点存在性定理可判断.【详解】()2ln11fxxx=−−−的定义域为()()0,11,+，()()21201fxxx=+−在定义域上恒成立，所以()fx的单调递增区间为()0,1和()1,+，故A正确；当x趋近于0时，()fx趋于−，当

x趋近于1，且在1的左侧时，()fx趋于+.当x趋近于1，且在1的右侧时，()fx趋于−,当x趋近于+，()fx趋于+.故()fx在()0,1和()1,+都有1个零点，共2个零点，故D错误.1122ln1ln1111xfxxxxx=−−=−−+−−，所以(

)122201xffxxx−+=−+=−，又202420251log2025log2024=，所以()()20242025log2025log20240ff+=，故B错误；.()()2122ln21ln2ln212212121bbbbbbbfa

bf−−−+=−=+−=−−=−−−，因()0,b+，所以0<21b−，又()0,1a，所以2ba−=，即21ba=，故C正确.故选：AC.11.定义在()0,+上的可导函数()fx满足()()22lnxfxxfxx+=，若(

)e0f=，则下列说法正确的是（）A.函数()fx在2ex=处取得极大值B.()()343log4log52fffC.过原点可以作2条直线与曲线()yfx=相切D.若()22exfxmx+−在()0,+上恒成立，则实数m的取值范围是(,2−

【答案】AD【解析】【分析】根据导数的求导法则可得()ln1xfxx−=，即可利用导数求解A，根据对数的运算性质，结合基本不等式可判断B，求切点处的切线方程，代入原点坐标，即可求解C，分离参数，构造函数()2ln1exxgxx+=−，求导，结合零点存在性定理可得函数的最小值，根据指

对数的性质可得0201exx=，即可代入求解D.【详解】由()()22lnxfxxfxx+=可得()2lnxfxx=，又()lnlnxxxx−=，故()2lnxfxxxxc=−+，其中c为常数，由于()e0f=，故()2eeelnee0fc=−+=，

所以0c=，因此()()2ln1lnxxfxxxxfxx−=−=，故()22lnxfxx−=，当2ex时，()()0,fxfx单调递减，当20ex时，()()0,fxfx单调递增，故()fx

在2ex=处取得极大值，A正确，由于()()()2222322224log4lg4lg4lg44lg44lg44lg41log5lg3lg5lg3lg5lg15lg162lg42====+，结合34log4,log50，故为34log4log51，3343

log33log4log512=由于函数在20ex时，()fx单调递增，故()()343log4log52fff，B错误，对于C，设切点为(𝑥0,𝑓(𝑥0))，则切线方程为()000200ln12lnx

xyxxxx−−−=−，将()0,0代入可得0000ln12lnxxxx−−−=−，解得320ex=，故过原点可以作1条直线与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相切，C错误，对于D，由()22exfxmx+−可得2ln1ex

xmx+−，记()2ln1exxgxx+=−，则22222ln2eln()2exxxxxgxxx+=+=，由于222,exyxy==均为(0,+∞)上的单调递增函数，且恒为正，lnyx=为(0,+∞)上的单调递增函数，故()222elnxhxxx=+在(0,+∞)为

递增函数，()()10,0,hxhx→→−，故存在唯一的0x，使得()00hx=，即022002eln0xxx+=，当()()()00,,0,()0,xxhxgxgx单调递减，当()()()0,,0,()0,xxh

xgxgx+单调递增，故()()0002222000min00ln12e1eexxxxxgxgxxx+−+==−=−由022002eln0xxx+=得()020002eln0xxxx+=，令020e,xxt=则0000ln2ln2ln0xxtxtx+=+=，故1t=，因

此0201exx=，则()()00min00211=2xgxgxxx−+=−=，故2m，D正确，故选：AD【点睛】关键点点睛：①根据()lnlnxxxx−=得()ln1xfxx−=，②对于022002eln0xxx+=有唯一的实数根0x，令020e,xxt=由0000ln2ln2ln0x

xtxtx+=+=，根据唯一性可得0201exx=是求解D的关键.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数()()e20cosxfxfx=+，则()0f=______．【答案】1【解

析】【分析】求导，即可代入求解.【详解】由()()e20cosxfxfx=+可得()()e20sinxfxfx−=，故()()00e20sin01ff−==，故答案为：113.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在

剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为23，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．【答案】2532##0.78

125【解析】【分析】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可.【详解】设小万从这8题中任选1题，且作对为事件

A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则()4182PB==，()38PC=，()18PD=，由全概率公式得()()()()()()()PAPBPABPCPACPDPAD=++13211251283843

2=++=.故答案为：2532.14.已知函数()e2xfx=−，()()2ee24xxgxaaa=−++R，用min,mn表示,mn中较小者，若函数()()()min,hxfxgx=有三个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】()12,28【解

析】【分析】分析函数()()2e2,ee24xxxfxgxaa=−=−++的零点，可知()gx必须有两个零点，且其零点与函数𝑓(𝑥)的零点不相等，由条件列不等式求a的取值范围.【详解】()()2e2,ee24xxxfxgxaa=−=−++，因为函数()fx有一个零

点，函数()gx至多有两个零点，又ℎ(𝑥)有三个零点，所以()gx必须有两个零点，且其零点与函数()fx的零点不相等，且函数()fx与函数()gx的零点均为函数ℎ(𝑥)的零点，由()0fx=可得，e20x−=，所以ln2x=，所以ln2x=为函数ℎ(�

�)的零点，即()2ln2ln2ln2ee244224280gaaaaa=−++=−++=−，所以28a，令𝑔(𝑥)=0，可得2ee240xxaa−++=，由已知2ee240xxaa−++=有两个根，设ext=，则2240tata−++=有两

个正根，所以()24240aa−+，0,240aa+，所以12a，故1228a，当1228a时，2240tata−++=有两个根，设其根为12,tt，12tt，则22at，设()224Fttata=−+

+，则()24224280Faaa=−++=−，02aF，所以12t，令1212e,exxtt==，则1122ln,lnxtxt==，则()10gx=，()20gx=，且()1ln11e220tfxt=−=−，()2ln22e220tfxt=−=−，所以当

1228a时，()()120hxhx==，所以当1228a时，12,xx为函数ℎ(𝑥)的零点，又ln2x=也为函数ℎ(𝑥)的零点，且12,xx与ln2互不相等，所以当1228a时，函数ℎ(𝑥)有三个零点.故答案为：()12,28.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与

判断方法：(1)直接求零点：令()0fx=，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间,ab上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图像交点的个数：将函数变

形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.已知定义在()1,b−上的奇函数()lgaxfxbx−=+．（1）求实数,

ab的值：（2）若()fx在(),mn上的值域为()1,−+，求实数,mn的值．【答案】（1）1ab==；（2）91,11mn=−=【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，得到10b−+=，()()0fxfx−+=，求出,ab的值；（2）根据函

数的单调性解不等式，结合函数定义域得到91,11mn=−=.【小问1详解】由于10b−+=，故1b=，()lg1axfxx−=+，由()lgaxfxbx−=+为奇函数得()()()()()()lg+lglg01111axaxaxaxfxfxxxxx+−+−−+

===−+−+，故()()()()111axaxxx+−=−+，解得1a=或1−(舍)，故1ab==；【小问2详解】()1lg11xfxx−=−+，故11110xx−+，又11x−，解得9111x−

，故91,11mn=−=.16.甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得4分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是23．（1）求比赛结束时恰好打了5局

的概率：（2）若甲以2:1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望．【答案】（1）827（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分两种情况甲胜或乙胜，如果第5局甲胜则前4局甲胜3局，若第5局乙胜则前4局乙胜3局，即可求出概率；（2）根据题意，分析接下去的

对局数量，从而得到X的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得X各取值的概率，由此求得X的分布列和数学期望．【小问1详解】第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，则概率为331421264C333243P==；第二种情况：比赛结束时恰好

打了5局且乙获胜，则概率为33242228C(1)(1)333243P−==−；所以比赛结束时恰好打了5局的概率为12864824324327PPP=+=+=．【小问2详解】甲队以2:1的比分领先，甲队目前的战绩两胜一负，接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多

的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，X的可能取值为2，3，4，又224(2)()39PX===，133232121811(3)C()()()C()333327273PX==+=+

=，223122(4)C()339PX===，随机变量X的分布列为：X234P49132941225()2349399EX=++=，即X的数学期望为259．17.已知函数()lnfxxxaxb=++在3xe−=时取得

极值，且满足()11f=．（1）求函数()fx的解析式；（2）若存在实数0x，使得()1kxfx+成立，求整数k的最小值．【答案】（1）()ln21fxxxx=+−（2）5【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案；

（2）将原问题转化为()()1ln121xxxkx++++恒成立，令()()1ln121()xxxgxx++++=，0x，利用导数求解函数最值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知()lnfxxxaxb=++定义域

为(0,)+，()ln1fxxa=++，由于函数()lnfxxxaxb=++在3xe−=时取得极值，且满足()11f=，故()3e310fa−=−++=，且()11fab=+=，解得2,1ab==−，则()ln3fxx=+，经验证函数(

)fx在3xe−=时取得极小值，适合题意故()ln21fxxxx=+−；【小问2详解】的由题意存在实数0x，使得()1kxfx+成立，即()()1ln121xxxkx++++恒成立；令()()1ln121()xxxgxx++++=，0x，则()()()21ln1,0,x

xgxxx−−+=+，令()1ln(1)hxxx=−−+，则()11011xhxxx=−=++在(0)+上恒成立，故()1ln(1)hxxx=−−+在(0)+单调递增，又(2)1ln30,(3)2l

n40hh=−=−，故存在唯一的0(2,3)x使得0()0hx=，即()001ln1xx−=+，则当00xx时，()0hx，即()0gx，当0xx时，()0hx，即()0gx，所以()gx在()00,x上单调递减，在()

0,x+上单调递增，故()()()()()()00000000min001ln12111212xxxxxxgxgxxxx+++++−++====+，故02kx+，结合0(2,3)x，得()024,5x+

，故整数k的最小值为5.18.已知椭圆：22143xy+=的右焦点F与抛物线()2:20Cypxp=的焦点重合．（1）求抛物线C的方程：（2）已知P为抛物线C上一个动点，直线1:=-1lx，2:30lxy++=，求点P到直线12,ll的距离之和

的最小值；（3）若点D是抛物线C上一点（不同于坐标原点O），I是DOF的内心，求IOF面积的取值范围．【答案】（1）24yx=（2）22（3）830,51【解析】【分析】（1）利用题意求出焦点坐标求解就可以了；（2）找到距离之间关系，利用几何法求解即可；（3

）利用内心的性质找到面积之间的关系，然后表示出IOF面积，再利用函数关系求其范围即可.【小问1详解】由题可知，椭圆右焦点坐标为(1,0)，抛物线焦点坐标为,02p所以122pp==,所以抛物线方程为24yx=,【小问2详解】由题可知，1l为抛物线准线，所以点P

到1l的距离等于点P到焦点(1,0)的距离1d；联立()2224412028030yxyyyxy=++=++=++=，显然无实数根，故直线2l与抛物线相离，记点P到2l的距离为2d,所以12dd+的最小值为焦点(1,0)到直线2:30lxy++=的距离为221032211

++=+.【小问3详解】设点()00,Dxy，已知点()()0,0,1,0OF所以DOF的面积012DOFSy=,设DOF的内切圆半径为r,则有111;;222IOFIDFIODSOFrSDFrSODr===,所以()::

::::IOFIDFIODDOFSSSSOFDFODOFDFOD=++,所以02200011211IOFDOFOFSSyOFDFODxyx==++++++,因为点D是抛物线C上一点（不同于坐标原点O）,所以2004yx=，00y,所以00224220000001111221121

64IOFSyyxyxyyy==+++++++,经整理得：20002816IOFSyyy=+++,构造函数()()28160fxxxxx=+++,得()22181161fxxx=−++,显然(

)22181161fxxx=−++单调增,令()221810161fxxx−=+=+，解得433x=,所以当430,3x时，𝑓′(𝑥)<0，()fx单调递减；当43,3x+

时，𝑓′(𝑥)>0，()fx单调递増；所以()4317334fxf=,所以()2830,51IOFSfx=.【点睛】对于距离问题先用几何法找到其中关系；对于内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解

即可，当处理的式子比较复杂的时候，可以构造函数求解.19.如果函数𝐹(𝑥)的导数()()Fxfx=，可记为()()Fxfxdx=．若()0fx，则()()()bafxdxFbFa=−表示曲

线𝑦=𝑓(𝑥)，xa=，xb=以及x轴围成的曲边梯形”的面积（其中)ab．（1）若()Fxxdx=，且()11F=，求𝐹(𝑥)；（2）当π02时，证明：0coscosaxdx；（3）证明：()()()*111

1ln12321nnnnn+++++++N．【答案】（1）()2122xFx=+（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义得到.（2）先由新定义的运算得到0cossinsin0sinaxdxaa=-=ò，再构造函数(

)sincoshxxxx=−，利用导数分析单调性，证明结论.（3）先证明1x时11ln2xxx−，再利用结论，得11111ln21nnnnn+−−+，累加法可得答案.【小

问1详解】因为2()2xx=，所以设()22xFxC=+，又()11F=，代入上式可得()1112FC=+=，解得12C=，所以()2122xFx=+；【小问2详解】因为()cossinFxxdxxC==+，所以0cossinsin0sinaxdxaa=-=ò，设(

)sincoshxxxx=−，π02x，则()sin0hxxx=恒成立，所以ℎ(𝑥)在π02x上单调递增，()()min00hxh=，所以0coscosaxdxaa<ò.【小问3详解】令11()ln2fxxxx=−−，当1

x，()222111(1)1022xfxxxx−−=−+=，∴𝑓(𝑥)在)1,+上单调递减，()10f=，1x时()0fx恒成立；知当1x时11ln2xxx−，

当且仅当1x=时取等.11nn+，1111111ln2121nnnnnnnnn++−=−−++，211ln11122−−，31111ln22223−−，41111ln33234−−，1111

1ln21nnnnn+−−+，累加得()11111111ln1112322231nnn+++++−−+−+−+，即()()11111111ln111123212321nnnnnn+++++−−=++++−++，()()1111ln12321

nnnn+++++++得证.【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与新定义的运算互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、构造函数11()ln2fxxxx=−−，求导证明11ln2xxx−，进而得到11111ln21nnnnn+

−−+，利用累加法得出答案.