【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第十七讲 全称量词与存在量词 Word版含解析.docx，共(14)页，1.214 MB，由小赞的店铺上传

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第十七讲：全称量词与存在量词【教学目标】1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．【基础知识】知识

点：全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记

为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【题型目录】考点一：全称量词与存在量词命题的识别考点二：全称量词与存在量词命题真假判断考点三：含量词的命题真假求参（一）考点四：含量词的命题真假求参（二）【考点剖析】考

点一：全称量词与存在量词命题的识别例1．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题．(1)所有实数x都能使10x+成立；(2)对所有实数a，b，方程0axb+=恰有一个解；(3)存在整数x，y，使得3210xy−=成立；(4)存在实数m，使得m与m的倒数之和等于

1．【答案】（1）“所有”是全称量词；xR，10x+；（2）“所有”是全称量词；a，bR，方程0axb+=恰有一个解；（3）“存在”是存在量词；x，yZ，3210xy−=；（4）“存在”是存在量词；mR，11mm+=．变式

训练1．下列命题中是存在量词命题的是（）A．平行四边形的对边相等B．同位角相等C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数【答案】D【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等

”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”

为存在量词，其为存在量词命题.故选：D变式训练2．下列语句不是存在量词命题的是（）A．至少有一个x，使210xx++=成立B．有的无理数的平方不是有理数C．存在xR，32x+是偶数D．梯形有两边平行【答案】D【详解】对于A，至少有一个x，使210xx++=成立，有存在量词“至

少有一个”，是存在量词命题；对于B，有的无理数的平方不是有理数，有存在量词“有的”，是存在量词命题；对于C，存在xR，32x+是偶数，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D，梯形有两边平行，为梯形几何性质，省略了全称量词“所有”

，是全称量词命题．故选：D.变式训练3．用符号“”“”表示下列含有量词的命题．（1）实数m的平方大于等于0；（2）存在实数对00()xy，使002320xy++成立．（3）至少有一个实数使不等式2

360xx−+成立．（4）对所有正实数,tt为正数，且tt．【答案】（1）原命题可改为：,mR20m；（2）原命题可改为：0xR，0yR，002320xy++；（3）原命题可改为：0xR,200360xx−+；（

4）原命题可改为：0t，0t，且tt.考点二：全称量词与存在量词命题真假判断例2．用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性．(1)当0x时，2220xx−+；(2)自然数不都是正整数；(3)至少

存在一个实数x，使得20x.【答案】（1）命题表示为“0x，2220xx−+”．因为2x−222(1)10xx+=−+，所以该命题为真命题．（2）命题表示为“Nx，+Nx”．因为0N，0+N，所以

该命题为真命题．（3）命题表示为“Rx，20x”．因为2240=，所以该命题为真命题．变式训练1．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（）A．菱形的四条边都相等B．Nx，使2x为偶数C．2R,210xxx

++D．π是无理数【答案】A【详解】对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.对于B，Nx，使2x为偶数，是存在量词命题.对于C，2R,210xxx++，是全称量词命题，当=1x−时，2210xx++=，故是假命题.对于D，π是无理数，是真命题，但

不是全称量词命题，故选：A.变式训练2．下列四个命题中，是真命题的为（）A．任意Rx，有230x+B．任意Nx，有21xC．存在Zx，使51xD．存在Qx，使23x=【答案】C【详解】由于对任意Rx，都有20x，因而有233x+，故A为假命题．由于

0N，当0x=时，21x不成立，故B为假命题．由于1Z−，当1x=−时，51x，故C为真命题．由于使23x=成立的数只有3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．故选：C变式训练3．用量词

符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假．（1）任意实数x都有，2210xx++；（2）存在实数x，2210xx++；（3）存在一对实数a、b，使20ab+成立；（4）有理数x的平方仍为有理数；（5）实数的平方大于0：（6）有一个实数乘以任意一个实数都等于0．【答案】（1）命

题为：2210xxx++R，，假命题，当=1x−时，结论不成立；（2）命题为：2210xxx++R，，假命题，对任意的xR，()222110xxx++=+；（3）命题为：a、bR，20ab+，真命题

，如1a=，2b=−，则210ab+=−；（4）命题为：xQ，2xQ，真命题；（5）命题为：xR，20x，假命题，当0x=时，命题不成立；（6）命题为：aR，xR，有0ax=，真命题，0a=即满足．考点三：含量词的命题真假求参（一）

例3．．若:1,5px，240axx−−是真命题，则实数a的取值范围是（）A．925aB．116a−C．5aD．5a【答案】C【详解】对任意的1,5x，240axx−−，则241axx+

，因为1,5x，则1115x，则2419,525xx+，5a.故选：C.变式训练1．已知命题:{|13}pxxx，0xa−，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．{|1}

aaB．{|3}aaC．{|1}aaD．{|}3aa【答案】C【详解】由题意，p是真命题，则13{|}xxx，0xa−即min()1ax=则实数a的取值范围是{|1}aa故选：C变式训练2．已知命题：“xR，方程240xxa++=有解”是真命题，则实数a的取值

范围是（）A．4aB．4aC．4aD．4a【答案】B【详解】“xR，方程240xxa++=有解”是真命题，故1640a=−，解得：4a，故选：B变式训练3．对xR，210kxkx−−是真命题，则k的取值范围是（）A．40k−B．40k−C

．40k−D．40k−【答案】C【详解】由题意即210kxkx−−对任意xR恒成立，当0k=时，10−恒成立，当0k时，有2040kkk=+，即40k−，∴40k−，故选C.考点四：含量词的命题真假求参（二）例4．已知集合25Axx=−，12

1Bxmxm=+−，且B.(1)若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围；(2)若命题q：“xA，xB”是真命题，求m的取值范围．【答案】(1)2,3；(2)2,4【详解

】（1）命题p：“xB，xA”是真命题，故,BAB，所以12112215mmmm+−+−−，解得23m，故m的取值范围是2,3.（2）由于命题q为真命题，则AB，因为B

，所以121mm+−，所以2m,当2m时，一定有13m+，要想满足AB，则要满足15m+，解得4m，故AB时，24m，故m的取值范围为2,4.变式训练1．设全集U=R，集合|04Axx=，集合|212Bxaxa=−+

，其中Ra.若命题“,xAxB”是真命题，求a的取值范围.【答案】2a【详解】因为,xAxB是真命题，所以AB,即21220124aaaa−+−+，解得2a故a的取值范围为2a.变式训练2．已知集合25Axx

=−，121Bxmxm=+−，且B.若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围；【答案】23m【详解】由于命题p：“xB，xA”是真命题，所以BA，B，则121

,12,215,mmmm+−+−−解得23m综上m的取值范围是23m.变式训练3．已知全集U=R，集合22Axx=−，121Bxaxa=+−.(1)若ABB=，求实数

a的取值范围；(2)若xA，均有xB，直接写出实数a的取值范围；(3)若xB，且xA，直接写出实数a的取值范围.【答案】(1)(),23,−+；(2)5,2−；(3)()2,3【详解】（1）由题意，04Axxx=或.∵ABB=，∴B

A当B=，即121aa+−，即2a时，符合题意；当B，即2a时，由BA，得14a+或210a−，得3a.综上，实数a的取值范围为(),23,−+.（2）若xA，均有xB，2a

时，B=满足题意，2a时，10214aa+−，解得512a−，所以522a，综上，52a，即a的取值范围是(5,]2−；（3）若xB，且xA，它的否定是xB，xA，先求xB，则xA时a的范围，这样若

B=，即2a时，满足题意，在2a时，210a−或14a+，12a或3a，所以3a，综上2a或3a，因此原命题xB，且xA，为真时，a的范围是23a即(2,3)a．【课堂小结】1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含

量词的命题的真假判断．(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围．2．方法归纳：定义法、转化法．3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．【课后作业】1、

下列不是存在量词的是（）．A．有些B．至少有一个C．有一个D．所有【答案】D【详解】A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D．2、下列不是全称量词的是（）．A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多【答案】D【详解】很明显A，B，C中的量词均是全称量词，

D中的量词不是全称量词．故选D.3、下列命题是全称量词命题的是（）A．有一个偶数是素数B．至少存在一个奇数能被15整除C．有些三角形是直角三角形D．每个四边形的内角和都是360【答案】D【详解】因为“有一个”，“至少存在一个”，“有些”均为存在量词，

即ABC不合题意；“每个”是全称量词，即D符合题意.故选：D4、下列命题是特称命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0B．每一个向量都有大小C．偶函数的图象关于y轴对称D．存在实数不小于3【答案】D【详解】对于A，任何一个实数乘以0都等于0，

是全称命题；对于B，每一个向量都有大小，是全称命题；对于C，偶函数的图象关于y轴对称，是全称命题；对于D，存在实数不小于3，是特称命题.故选：D.5、下列命题与“200,3xRx”的表述方法不同的是（）A．有一个0xR

，使得203xB．有些0xR，使得203xC．任选一个0xR，使得203xD．至少有一个0xR，使得203x【答案】C【详解】由题意，根据存在性命题的概念，可得命题“200,3xRx”为存在命题，所以A、B、D与命题“200,3xRx

”的表述方法相同，但命题“任选一个0xR，使得203x”为全称命题，所以与题设中命题表述不同.故选：C.6、下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（）A．是无理数B．0xN，使02x为偶数C．对任意xR，都有2210xx++D．

所有菱形的四条边都相等【答案】D【详解】解：对于A，是特称命题；对于B，是特称命题，是假命题；对于C，是全称命题，而2221(1)0xxx++=+，所以是假命题；对于D，是全称命题，是真命题，故选：D7、下列命题中，是假命题的是（）A．,0xRx=B．,2101xRx

−=C．3,0xRxD．2,10xx+R【答案】C【详解】当0x=时，0x=，故A正确当112x=时，2101x−=，故B正确当0x=时，30x=，故选项C为假命题210x+>恒成立，故D正确故选

：C8、下列命题中是全称命题并且是假命题的是（）A．是无理数B．若2x为偶数，则任意xNC．对任意xR，2210xx++D．所有菱形的四条边都相等【答案】C【详解】含有全称量词的命题是全称命题，故选项A、B不是全称命题，排除选项A、B；对于选项C：对任意

xR，2210xx++是全称命题，当1x=−时，2210xx++=，所以是假命题，故选项C合乎要求；对于选项D：所有菱形的四条边都相等是全称命题并且是真命题，故选项D不合乎要求；故选：C.9、下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（）A．三角形内角和为180

B．有些梯形是平行四边形C．R320xx+，D．至少有一个整数m，使得21m【答案】B【详解】对于A，含有全称量词，故A不正确；对于B，有些梯形是平行四边形不是真命题，故B错误；对于C，R320xx+，，含有存在量词命题，是真命题，如0x=，故

C正确；对于D，至少有一个整数m，使得21m，含存在量词的命题，是真命题，如0m=，故D正确.故选：B10、下列是存在量词命题且是假命题的是（）A．2Z,2xxB．2R,0xxC．22,R,0xyxy

+D．2R,Nxx【答案】C【详解】A为真命题；B和D为全称量词命题；因为,Rxy，所以2200xy，，故220+xy，故C为假命题故选：C11、“0x，220xax++…”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．22aB．22a−C．22aD．22a−【答

案】A【详解】由0x，220xax++…可得：2axx−−，令()2gxxx=−−()0x，只需()minagx，()()()222222gxxxxxxx=−−=−+−−−=，当

且仅当2xx−=−，即2x=−时等号成立，所以()min22gx=，所以22a，故选：A12、已知对13xxx，都有mx，则m的取值范围为（）A．3mB．3mC．1m>D．1m【答案

】A【详解】因为对13xxx，都有3x，所以要使mx成立，只需maxmx即可，即3m.故选：A.13、命题“2[1,2],20xxa−”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．1aB．2aC．3aD

．4a【答案】A【详解】命题“2[1,2],20xxa−”为真命题，则()2min2ax，即2a，又1a¿2a，但21aa，故选：A14、已知“0xR，0200xxa−−”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．14a−B．14a−C．14a−≤

D．14a−【答案】A【详解】因为命题“0xR，0200xxa−−”为真命题，所以命题“0xR，002axx−”为真命题，所以xR时，()2minaxx−，因为221124yxxx=−=−−，所以当12x=时，min14y=−，所以14a−.故选：A1

5、已知命题“Rx，使得()2110xax+−+”是真命题，则a的取值范围是（）A．(),1−−B．()1,3−C．()3,+D．()(),13,−−+【答案】D【详解】因为命题“Rx，使得()2110xax

+−+”是真命题，所以方程()2110xax+−+=有两个不等的实数根，所以2(1)40a=−−，解得：1a−或3a，故选：D.16、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。(1)若1,3,5x，则31x+是偶数；(2)在平面直角坐标系

中，任一有序实数对(),xy都对应一点；(3)存在一个实数x，使得210xx−+=；(4)至少有一个xZ，使x能同时被2和3整除．【答案】(1)全称命题；真命题(2)全称命题；真命题(3)特称命题；假命题(4)特称命题；

真命题【详解】（1）全称命题．∵3114+=，33110+=，53116+=均为偶数，∴其为真命题．（2）全称命题．任一有序实数对(,)xy都与平面直角坐标系中的点(,)xy唯一对应，其为真命题．（3）特称命题．∵方程210

xx−+=中，1430D=-=-<，∴2x−10x+=无实数根，∴其为假命题．（4）特称命题．∵6能同时被2和3整除，∴其为真命题．17、已知集合=25Axx−，=123Bxmxm−−．(1)若命题:pxB，xA是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题:qxA，xB

是真命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)(,4]−；(2)[2,6]【详解】（1）因为命题:pxB，xA是真命题，所以BA．当B=时，满足BA，此时123mm−−，解得2m；当B时，由BA

，可得12312235mmmm−−−−−，解得24m．综上，实数m的取值范围为(,4]−．（2）因为:qxA，xB是真命题，所以AB，所以B，则123mm−−即2m，所

以11m−，要使AB，仍需满足15m−，即6m．综上，实数m的取值范围为[2,6]．