【文档说明】安徽省示范高中2022-2023学年高三上学期第二次联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.331 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023高三上学期安徽省示范高中第二次联考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2log1Mxx=，集合1222xNx=，则MN=（）A.()0,

1B.()0,2C.()1,1−D.()1,2−【答案】A【解析】【分析】分别解不等式可得集合M与N，进而可得MN.【详解】因为()2log10,2Mxx==，()1221,12xNx==−，所以()0,1MN=，故选：A．2.已知命题:Rpx

，2220xx−+，则p是（）A.Rx，2220xx−+B.Rx，2220xx−+C.Rx，2220xx−+D.Rx，2220xx−+【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定的概念直接得解.【详解】全称量词改

成存在量词，再否定结论，即Rx，2220xx−+，故选：C．3.设130.6a=，1412b−=，3log0.6c=，则a，b，c的大小关系是（）A.cbaB.cabC.acbD.abc【答案】B【解

析】【分析】利用指数函数和对数函数的图象性质得到a，b，c的范围，然后比较大小即可.【详解】因为1300.61a=，14112b−=，3log0.60c=，所以cab．故选：B．4.角A是ABC的内角，则“π3π24A”是“si

ncos0AA+，且tansin0AA−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的性质分析即可.【详解】因为角A是ABC的内角，所以0πA，当π3π24A，根据三角函数的性质可得2sin,

12A，2cos,02A−，()tan,1A−−，所以由“π3π24A”能推出“sincos0AA+，且tansin0AA−”，当0πA，sincos0AA+，可得π3π24A，此时tansin0AA−也成立

，所以由“sincos0AA+，且tansin0AA−”能推出“π3π24A”．故选：C．5.已知()cosfxx是周期为的奇函数，则()fx可以是（）A.cos2xB.cosxC.sin2xD.si

nx【答案】D【解析】【分析】令()()cosgxfxx=，利用奇偶性定义和()gx+与()gx的关系依次判断各个选项即可.【详解】令()()cosgxfxx=，对于A，()cos2cosgxxx=，()()()()cos2cos

cos2cosgxxxxxgx−=−−==，()gx为偶函数，A错误；对于B，()2cosgxx=，()()()22coscosgxxxgx−=−==，()gx为偶函数，B错误；对于C，()sin2cosgxxx=，()()()()sin22cossin2cosgxxxxxgx+=++=

−=−，不是()gx的周期，C错误；对于D，()1sincossin22gxxxx==，()()()11sin2sin222gxxxgx−=−=−=−，()gx为奇函数；又()1sin22gxx=的最小正周期22T==，()sinfxx=满足题意

，D正确.故选：D.6.如图是函数()Hx图象的一部分，设函数()()1sin,fxxgxx==，则()Hx可以表示为（）A.()()fxgxB.()()fxgxC.()()fxgx+D.()()fxgx−【答案】C【解析】【分析】结合函数图象利用奇偶性排除部

分选项，再根据当0x时，x趋于0时，函数值趋于负无穷大判断.【详解】因为()()sinxfxgxx=与()()sinfxxxgx=都是偶函数，排除A，B.因为()()fxgx−和()()fxgx+都是奇函数，

且当0x时，x趋于0时，函数值趋于负无穷大，排除D,故选：C7.下列几个不等式中，不能取到等号的是（）A.()120xxx+B.()2220xxx+C.()41016xxx−−D.()221525xxx

+++R【答案】D【解析】【分析】由均值不等式取等号的条件判断即可【详解】对A，当且仅当1xx=即1x=等号成立；对B，当且仅当2xx=即2x=等号成立；对C，当且仅当416xx−=−即8x=−时等号成立；对D，当且仅当22155xx+=+得24x=−时等号成立，

无解，等号不成立．故选：D．8.在ABC中，=ABAC，AD是其中线，且=2BC，=3AD，则ABAC=（）A.8−B.8C.4−D.4【答案】B【解析】【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的

运算律，可得答案.【详解】由题意，ADBC⊥，()()22918ABACADDBADDCADDC=++=−=−=．故选：B．9.已知函数()()sin,02fxAx=+图象的一

部分如图所示，则以下四个结论中，正确的是（）①6π=；②2=；③12是()fx的一个零点；④()fx的图象关于直线65x=−对称．A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】【分析】由函数最值可知2A=，根据()01f=可求得6π=

；由五点法可求得2=，进而得到()fx，利用代入检验的方法可知12不是()fx的零点，65x=−是()fx的对称轴.【详解】由图象得：2A=，()02sin1f==，1sin2=，又2，6=，①正确；由五点法知：112126

+=，2=，②正确；()2sin26fxx=+，2sin3123f==，则12不是()fx的零点，③错误；当65x=−时，3262x+=−，56x=−是()fx的一个对称轴，④正确.故选：C.10.

已知()fx是定义在R上的函数，()()()1212fxfxfx+−=−−，且()223f=+，则()2022f=（）A.23−B.32−C.23+D.23−−【答案】B【解析】【分析】由已知关系式可推导得到()()()

184fxfxfx=−=−−，可知()fx周期为8，结合()2f的值可求得()2f−，由()()20222ff=−可得结果.【详解】()()()()()()()()()()()14211214141142412411414fxfxfxfxfxfxfxfxfx

fxfx+−++−−−−−====−+−−−−−−−−−−−，()()()()118148fxfxfxfx=−=−=−−−−，()fx是周期为8的周期函数，()()12232ff=−=+−，()123223f−=−=−+，()

()()202282532232fff=−=−=−.故选：B.11.在ABC中，=1AB，3AC=，334ABCS=△，角A是锐角，O为ABC的外心．若OPmOBnOC=+，其中,0,1mn，则点P的轨迹所对应图形的面积是（）A.736B.7312C.76D.712【

答案】A【解析】【分析】利用三角形面积公式求出角A，再利用余弦定理得到BC，利用正弦定理得到外接圆半径OB，根据,,0,1OPmOBnOCmn=+得到点P的轨迹对于的图形是菱形，最后求面积即可.【详解】因为=1AB，3AC=，33113sin42ABCSA==△，所以3sin2A=，

又角A为锐角，所以60A=．因此2222cos7BCABACABACA=+−=，7BC=．由72sin60OB=得213OB=．由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为OB的菱形，120BOC=．于是这个菱形的面积21737322sin120232

6BOCSOB===△．故选：A．12.已知函数()22logeafxxx=−（0a且1a）有唯一极值点，则a的取值范围是（）A.()0,1B.()1,eC.()1,+D.()3,+

【答案】C【解析】【分析】求导后，令()0fx=得：21elnxa=；在平面直角坐标系中作出()2e0yxx=与1lnya=的图象，通过图象可确定当1a时()fx有唯一极值点，由此可得结论.【详解】由题意知：()fx定义域为()0,

+，()22elnfxxxa=−，令()0fx=得：21elnxa=；在平面直角坐标系中，作出()2e0yxx=与1lnya=的图象如下图所示，由图象可知：当1a时，()2e0yxx=与1lnya=有唯一交点0xx=，则当()00

,xx时，()0fx；当()0,xx+时，()0fx；()fx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，0xx=是()fx唯一的极值点，满足题意；当01a时，21elnyxa=恒成

立，即()0fx恒成立，()fx在()0,+上单调递减，无极值点，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为()1,+.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的求解问题，进一步将问题转化为两函数图象交点的问题，

从而采用数形结合的方式来进行求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sincos3sincos+=−，则tan的值为_____.【答案】2【解析】【分析】将sincos3sincos+=−等式左边分子、分母同时除以co

s即可得解.【详解】解：由sincos3sincos+=−，等式左边分子、分母同时除以cos得：tan13tan1+=−，解得：tan2=，故答案为：2.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求

值问题，属基础题.14.若不等式13xmx+−对任意3x恒成立，则实数m的最小值是______．【答案】5−【解析】【分析】因为不等式13xmx+−对任意3x恒成立，则13mxx−−，由均值不等式求出13xx−−的最大值即可得出答案.【详解】因为不等式13xmx+−对任意3x恒

成立，所以13xmx+−，则13mxx−−而()()111332335333xxxxxx−=−−+−−−−=−−−−，当且仅当133xx−=−，即=4x时等号成立．即13xx−−的最大值是5−，5m−．故答案为：5−.15.在ABC中，三个内

角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量()sin,1cosmBB=−与向量()2,0n=夹角的余弦值为12，且=2b，则+ac的取值范围是______．【答案】432,3【解析】【分

析】根据向量夹角的计算公式求出角B，再根据余弦定理求得,ac，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案.【详解】解：∵()sin,1cosmBB=−，()2,0n=，∴1cos,2mnmnmn==，即2

sin12222cosBB=−，∴22coscos10BB−−=，解得1cos2B=−或cos1B=（舍），∵0πB，∴2π3B=，∵4sinsinsin3abcABC===，∴44sin,sin33aAcC==，则()44πsinsinsinsin3

33acACAA+=+=+−4134πsincossin22333AAA=+=+，∵π03A，∴ππ2π333A+，∴π3sin,132A+，∴+ac的取值范围是432,3

．故答案为：432,3．16.已知函数()()()()2log+1=23xxxmfxxm−，其中0m．若存在实数b，使得关于x的方程()fxb=有两个不同的实数根，则m的整数值是_____

_．【答案】1或2【解析】【分析】首先分析函数的单调性，当点()()2,log1Pmm+在点(),23mAm−上方时，存在实数b，使直线yb=与曲线()yfx=有两个交点，即可得到()2log123mm+−，再结合两函数

图象即可得解.【详解】解：当xm时，()()2log1fxx=+，是增函数．当xm时，()23xfx=−，也是增函数．所以当点()()2,log1Pmm+在点(),23mAm−上方时，存在实数b，

使直线yb=与曲线()yfx=有两个交点，即存在实数b，使得关于x的方程()fxb=有两个不同的实数根．所以()2log123mm+−，又()22log21231+−=，结合23xy=−与()2log1yx=+的图象可得整数

1m=或2，故答案为：1或2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知关于x的不等式()220Rxxaaa−+++．（1）若此不等式的解集是()1,2−，求a的值；（2）

讨论此不等式的解集．【答案】（1）2a=−或=1a（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意知，1−，2是220xxaa−+++=的两根，从而可求出a；（2）通过讨论对应方程两根的大小，得出不等式的解集．【小问

1详解】由题意知，1−，2是220xxaa−+++=的两根，所以212aa−=−−，解得2a=−或=1a．【小问2详解】220xxaa−+++就是()210xxaa−−+，即()()10xaxa−++．方程()()

10xaxa−++=的两根是11xa=+，2xa=−．①当1aa+−，即12a−时，此不等式的解集是()1,aa+−．②当1aa+=−，即12a=−时，此不等式是2102x−，解集是．

③当1aa+−，即12a−时，此不等式的解集是(),1aa−+．18.已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得()1APAMAN=+−”．此结论往往称为向量的爪子模型．（1）给出

这个结论的证明；（2）在OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使13OEOA=，14OFOB=，连结BE、AF交于点G．设OAa=，OBb=．利用上述结论，求出用a、b表示向量OG的表达式．【答案】（1）证明见解析（2）321111OGab=+【解析】【分析】（1）根据向量共线的判定定理结合

充要条件理解证明；（2）利用题中结论结合平面向量基本定理运算求解.【小问1详解】先证充分性．若()1APAMAN=+−，则()APAMANAN=−+，()APANAMAN−=−，即NPNM=，NPNM∥，故M，P，N三点共线．再证必要性．若M，P，N三点共

线，则存在实数，使得NPNM=，即()APANAMAN−=−，()APAMANAN=−+，故()1APAMAN=+−．综上知，结论成立．【小问2详解】利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数，使得()()111143OGabuaub

=+−=+−则()1=311=14uu−−，解得3=119=11u．故321111OGab=+．19.某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地修建一个矩形花园，如图所示．已知扇形角2π=3AOB

，半径120OA=米，截出的内接矩形花园MNPQ的一边平行于扇形弦AB．设=POA，PQy=．（1）以为自变量，求出y关于的函数关系式，并求函数的定义域；（2）当为何值时，矩形花园MNPQ的面积最大，并求其最大面积．【答案】（1）803siny=，定义域是π0,3

（2）当π6=时，矩形花园MNPQ的面积最大，其最大面积为48003平方米【解析】【分析】（1）利用三角函数将OD、OE表示出来，即可求出y；（2）求出S，再利用和差公式、二倍角公式和辅助角公式进行整理得到π480032sin216S

=+−，最后利用三角函数的性质求最值即可.【小问1详解】如图，过O作ODPN⊥，D为垂足．OD交MQ于E，ODMQ⊥，E为垂足．在直角三角形ODP中，π120cos3OD=−，π120sin3PDQE=

=−．在直角三角形OEQ中，π403sinπ3tan3QEOE==−．于是ππ120cos403sin803sin33yPQODOE==−=−−−=，其定义域是π0,3．【小问2详解】矩形花园MNPQ的面积π

803sin240sin3SPQQM==−231192003sincossin22=−π480032sin216=+−当ππ262+=，π6=时，S取到最大值，且最大值为48003平方米．20.若函数()fx满足(

)21log1aafxxax=−+，其中0a，且1a．（1）若()315f=−，求函数()fx的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）若01a，()40fx−在2x时恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）()()2225xxfx−=−，()fx是R上的奇函数

和减函数；（2）)25,1−+.【解析】【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用指数函数的单调性判断函数单调性；（2）利用指数函数的单调性判断()fx的增减性，根据单调性可

转化为()240f−，解不等式即可求解.【小问1详解】令logaxt=，则txa=，所以()()21ttaftaaa−=−+．于是()()21xxafxaaa−=−+，由()315f=−得()12315aaaa−−=−+，解得=2a，因此函数()fx的解析式是()()2225xxfx−=−因为

Rx，()()()()22222255xxxxfxfx−−−=−=−−=−，所以函数()fx为奇函数，因为2xy−=是减函数，2xy=−是减函数，所以()fx是R上的减函数．【小问2详解】因为01a，所以()()21xxafxaa

a−=−+在R上是增函数，因此()4fx−也是R上的增函数．由2x，得()()2fxf．要使()4fx−在(),2−内恒为负数，只需要()240f−，即()22241aaaa−−+，整理得2410aa+−，解得25a−−，或25a−+，又01a，故a的取值范

围是)25,1−+．21.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，60D=．（1）若3AC=，求ACD△周长的最大值；（2）若2CDAB=，45BCD=，求tanDAC的值．【答案】（1）9（2）

323−−【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式可求得ADCD+的最大值，即得出ACD△周长的最大值；（2）利用正弦定理可得出sinsin60CDAC=、()sin135sin75ABAC=−，两式相除可

得出关于的等式，即可求得tan的值.【小问1详解】解：在ACD△中，222222cosACADDCADDCDADDCADDC=+−=+−()()()22223324ADCDADDCADDCADDCADDC+

+=+−+−=，因此6ADDC+，当且仅当3ADDC==时取等号．故ACD△周长的最大值是9．【小问2详解】解：设DAC=，则120DCA=−，75BCA=−．在ACD△中，sinsin60CDAC=，在ACB

△中，()sin135sin75ABAC=−．两式相除得，()2sin756sin3−=，()sin6sin75=−，因为()62sin75sin4530sin45cos30cos45sin304+

=+=+=，()62cos75cos4530cos45cos30sin45sin304−=+=−=，1333sincos22−+=，故33tantan32313DAC+===−−−．22.已知函数()()ln1e

xfxxax−=++，Ra．（1）若曲线()=yfx在点()()0,0f处的切线方程是2yx=，求a的值；（2）若()fx的导函数()fx恰有两个零点，求a的取值范围．【答案】（1）1a=（2）()()121

221e21e,,22−++−−−+【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）求导，根据()fx恰有两个零点，可转化为()e11xaxx=−+有两个解，即过点()1,0的直线与函数()e1xgxx=+有两个交点，计算临界值，即

直线与函数相切时的参数值，即可得到参数范围.【小问1详解】因为()()ln1exfxxax−=++，则()()11e1xfxaxx−=+−+，所以()01fa=+，又曲线()=yfx在点()()0,0f处的切线方程是2yx=

，则12a+=，解得1a=；【小问2详解】由()()11e1xfxaxx−=+−+有两个零点，得()e11xaxx=−+有两个解，令()e1xgxx=+，()()1hxax=−，1x−，则()()2e1xxgxx

=+，当()1,0x−时，()0gx，函数()gx单调递减，当()0,x+时，()0gx，函数()gx单调递增，所以函数()e1xgxx=+图象如图所示，设经过点()1,0的直线与曲线()e1xgxx=+相切于点()00,xy，()()2e1xxgxx=+，则

切线l的方程是()()0000200ee11xxxyxxxx−=−++．将点()1,0代入就是()()0000200ee0111xxxxxx−=−++，200210xx−−=，012x=，因此()()01202021ee21xlxk

x+−==+或()1221e2−+−．当()1221e2a+−或()1221e2a−+−时，直线()()1hxax=−与曲线()gx分别有两个交点，即函数()fx恰有两个零点．故a的取值范围是()()121221e21e,,

22−++−−−+．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题

处理．