【文档说明】江苏省南京市、镇江市部分名校2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.665 MB，由小赞的店铺上传

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高二年级期中考试数学试题2022.04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线1:10lxy−+=和直线2:30lxy−+=，则1l与2l之间的距离是（）A.2B

.22C.2D.22【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离公式计算即可【详解】由平行线间的距离公式得22|13|21(1)d−==+−故选：A2.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二

季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于15%−的概率为（）A.310B.12C.35D.710【答案】D【解析】【分析】利用列举法求解即可【详

解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于15%−，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于

15%−有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为710.故选：D.3.若()()10222101221121xxxaaxaxax+−+=++++，则1221aaa+++的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用赋值法可求出

结果.【详解】在()()10222101221121xxxaaxaxax+−+=++++中，令0x=，得01a=，在()()10222101221121xxxaaxaxax+−+=++++中，令1x=，得012213aaaa+++=+，所以1

221aaa+++2=.故选：C4.统计某校1000名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分）根据成绩依次分为六组，)90,100，)100,110，)110,120，)130140,，

140,150，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）A.0.031m=B.0.31m=C.100分以下的人数为60D.成绩在区间)120,140的人数有470人【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图中所有频率和为1可得m值，由频率分布直方图得频率，

从而可得相应区间人数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图得(0.0060.0160.020.0160.011)101m+++++=，0.031m=，A正确，B错误；100分以下的人数为1000(0.00610)60=，C正确；成绩在区间)120,140的人数为1000(0.0310

.016)10470+=，D正确．故选：B．5.已知函数()3232fxxx=−+，若函数()fx在()2,3aa+上存在最小值，则a的取值范围是（）A.1,12−B.11,2−+

C.)1,2−D.)1,1−【答案】A【解析】【分析】对()fx求导，并求出单调性，进而求出极值，通过题意列出不等数组，求解即可.【详解】依题意求导得()()2'3632fxxxxx=−=−，可得0x=和2x=为函数的极值，函数()fx的增区间

为(),0−，()2,+，减区间为()0,2，由()02f=，()22f=−，又由32322xx−+=−，因式分解为()()2120xx+−=，解得1x=−或2x=(或观察出()12f−=−)，若函数()fx在()2,3aa+上存在最

小值，有2312232aaaa+−+，解得112a−，故选：A.6.现有5名抗疫志愿者被分配到栗雨、南塘、泰山、云里四个不同社区进行疫情防疫控制，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配1

名志愿者，则不同的分配方案有（）A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，将5名抗疫志愿者分成4组，再分配到4个社区列式计算作答.【详解】依题意，有2人去一个社区，其余每个人去1个社区，先将5人分成4组，有25C种分法

，再将4组人分到4个社区有44A种方法，由分步乘法计数原理得：2454CA240=，所以不同的分配方案有240种.故选：C7.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，

当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A.581B.1481C.2281D.2581【答案】B【解析】【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据

互斥事件的概率得到结果．【详解】分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的基本事件总数事件是53，满足条件的事件数是131342CCC∴这种结果发生的概率是13134258381CCC=同理

求得第二种结果的概率是12234256381CCC=根据互斥事件的概率公式得到8614818181P=+=.故选：B．【点睛】此题考查根据古典概型求解概率，关键在于准确分类，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.8.曲线2:1615Cxyy=−+−上存在两点A，B到直线12y=−到距离等于

到10,2F的距离，则AFBF+=（）A.12B.13C.14D.15【答案】D【解析】【分析】由题可知A，B为半圆C与抛物线22xy=的交点，利用韦达定理及抛物线的定义即求.【详解】由曲线2:1615Cxyy=−+−，可得2216150xyy+−+=，即()2284

9,0xyx+−=，为圆心为()0,8C，半径为7的半圆，又直线12y=−为抛物线22xy=的准线，点10,2F为抛物线22xy=的焦点，依题意可知A，B为半圆C与抛物线22xy=的交点，由()222849,02xyxxy+−==，得214150y

y−+=，设()()1122,,,AxyBxy，则()21441151360=−−=，1214yy+=，∴12111522AFBFyy+=+++=.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图是函数()yfx=的导函数()yfx=的图像，则以下说法正确的是（）A.-2是函数()yfx=的极值点；B.函数()yfx=1x=处取最小值；C.函数()yfx=在0

x=处切线的斜率小于零；D.函数()yfx=在区间(2,2)−上单调递增.【答案】AD【解析】分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断【详解】根据导函数()yfx=的图象可得，当(),2x−−上，()0fx，在()()2,11,x−+上，()0fx

，故函数在(),2x−−上函数()fx单调递减；在()2,1−，()1,+函数()fx单调递增，所以2−是函数()yfx=的极小值点，所以A正确；其中1x=两侧函数的单调性不变，则在1x=处不是函数()yfx=的最小值

，所以B不正确；由()yfx=图象得()00f，所以函数()yfx=在0x=处的切线的斜率大于零，所以C不正确；由()yfx=图象可得，当()2,2x−时，()0fx，所以函数()yfx=在()2,2x−上单调递增，所以D是正确的，

故选：AD10.已知双曲线C：2213xy−=，则（）A.双曲线C的焦距为4B.双曲线C的两条渐近线方程为：33yx=C.双曲线C的离心率为433D.双曲线C有且仅有两条过点()1,0Q的切线【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线的方程求焦距、渐近

线方程、离心率，判断ABC，由直线与双曲线的位置关系判断D．【详解】由双曲线标准方程得3a=，1b=，所以312c=+=，焦距为4，A正确；在【1333ba==，渐近线方程为33yx=，B正确；离心率

为22333cea===，C错误；设过(1,0)Q的直线的方程为(1)ykx=−，代入双曲线方程得：2222(13)6(33)0kxkxk−+−+=（*），2130k−=，即33k=时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由422364(

13)(33)0kkk=+−+=得22k=，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D正确．故选：ABD．11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“

御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，

共有144种排法D.课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法【答案】ACD【解析】【分析】利用直接法、间接法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可.【详解】A：6门中选2门共有2615C=种选法，故A正确；B：利用间接

法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有22A种排法，然后全排列有55120A=种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有2525240AA=种，没有限制条件时共有66720A=种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有625625480AAA−=种排法

，故B错误；C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有336A=种排法，然后全排列有4424A=种排法，根据分步乘法计数原理，得共有3434144AA=种排法，故C正确；D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有14C4=种排法，再把剩下4个全排列，有4

424A=种排法，根据分步乘法计数原理，得共有144496CA=种排法，故D正确.故选：ACD.12.在长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，12AA=，动点P在体对角线1BD上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当P为1BD中点时，APC为锐角B.存在点P

，使得1BD⊥平面APCC.APPC+的最小值25D.顶点B到平面APC的最大距离为22【答案】ABD【解析】【分析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设()101BPBD=，当P为1BD中点时，根据cosPAPCAPCPAPC=判断

cosAPC得符号即可判断A；当1BD⊥平面APC，则11,BDAPBDCP⊥⊥，则有1100BDAPBDCP==，求出，即可判断B；当11,BDAPBDCP⊥⊥时，APPC+取得最小值，

结合B即可判断C；利用向量法求出点B到平面APC的距离，分析即可判断D.【详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设()101BPBD=，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2

ABCD，则()11,1,2BD=−−，故()1,,2BPBD==−−，则()()()0,1,0,,2,1,2APABBP=+=+−−=−−，()()()1,0,0,,21,,2CPCBBP

=+=+−−=−−，对于A，当P为1BD中点时，则11,,122AP=−，11,,122CP=−，则11,,122PA=−−，11,,122PC=−−，所以1cos03PAPCAPCPAPC==，所以A

PC为锐角，故A正确；当1BD⊥平面APC，因为,APCP平面APC，所以11,BDAPBDCP⊥⊥，则11140140BDAPBDCP=+−+==−++=，解得16=，故

存在点P，使得1BD⊥平面APC，故B正确；对于C，当11,BDAPBDCP⊥⊥时，APPC+取得最小值，由B得，此时16=，则151,,663AP=−，511,,663CP=−

，所以306APCP==，即APPC+的最小值为303，故C错误；对于D，()()0,1,0,1,1,0ABAC=−，设平面APC的法向量(),,nxyz=，则有()0120nACxynAPxz=−+==

−+−+=，可取()2,2,21n−，则点B到平面APC的距离为22cos,1241ABnABABnn==−+，当0=时，点B到平面APC的距离为0，当01时，222211221124111312244==−+−++−，当且

仅当12=时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为22，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等差数列na中，已知17215aa+=，则28aa+=___________.【答案】10【解析

】【分析】根据等差数列的通项公式可化简得到5a，根据等差数列的性质即可求得答案.【详解】由题意在等差数列na中，设公差为d,则11573123215aaada=+==+所以55a=，于是285210aaa+==，故答案为：1014.如图，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域

不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种．【答案】72【解析】【分析】分成选用3种颜色和4种颜色全选两类分别计算，再求和即可【详解】选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同

色，与①进行全排列，涂色方法有334324CA=种；4种颜色全选时，②④同色或③⑤同色，涂色方法有142448CA=种．所以共有244872+=种不同的涂色方法．故答案为：7215.设函数(),0ln,0xaxfxxx

−=，已知12xx，且()()12fxfx=，若21xx−的最小值为21e，则a的值为___________.【答案】2【解析】【分析】设()()12fxfxt==，则ta−，可得出()21etxxta−=−+，ta−，令()etgtta=

−−，ta−，对实数a的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数()gt在(,a−−上的单调性，结合()2min1egt=可求得实数a的值.【详解】因为(),0ln,0xaxfxxx−=，所以，函数()fx在(,0−

、()0,+上均为增函数，设()()12fxfxt==，则ta−，且1xat−=，2lnxt=，则()21etxxta−=−+，ta−，令()etgtta=−−，ta−，则()e1tgt=−，①

当0a−时，即0a时，()e10tgt=−，()gt在(,a−−上单调递减，()()2min1eeagtga−=−==，解得2a=，合乎题意；②当0a−时，即0a时，若0t，则()0gt，若

0ta−，则()0gt，函数()gt在(,0−上单调递减，在(0,a−上单调递增，()()2min101egtga==−=，得211ea=−（舍去），综上，2a=.故答案为：2.16.在圆22260xyxy+−−=内

，过点()0,1E互相垂直两条直线1l，2l与圆分别相交于点A，C和B，D，则四边形ABCD的面积的最大值为_______.【答案】15【解析】【分析】先求出1l、2l有一条斜率为零，另外一条斜率不存在时的四边形ABCD的面积，当1l、2l斜率均存在且不为零时，

设AC中点为H，BD中点为G，设FG=d，根据几何条件表示出AC和BD，根据对角线互相垂直的四边形面积公式12ABCDSACBD=结合基本不等式即可求四边形面积的最大值，与1l、2l有一条斜率为零时的

面积比较即可得结果．的【详解】由2222260(1)(3)10xyxyxy+−−=−+−=，设圆心为F(1，3)，半径r=10，当1l，2l有一条垂直于x轴时，不妨设1l⊥x轴，2l⊥y轴，则2222210426ACr=−=−=，222121016BDr=−=−

=，112666622ABCDSACBD===；当1l，2l斜率均存在且不为零时，设AC中点为H，BD中点为G，则FH⊥AC，FG⊥BD，又∵AC⊥BD，故四边形EHFG是矩形，设圆心F到BD的距离FG=d，则2222210BDrdd=−=−，22222||||5FHEGEF

FGd==−=−，22222||210525ACrFHdd=−=−+=+，()()222221510251021522ABCDddSACBDdd++−==+−=，当且仅当22510dd+=−，即102d=时取等号；6615，∴四边形ABCD面积的

最大值为15﹒故答案为：15．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数2()lnfxaxbxx=++在其图象上的点(1,)c处的切线方程为620xy−−=．（1）求a，b，c的值；（2）求()f

x的单调区间与极值．【答案】（1）1,3,4abc=−==；（2）单调减区间为10,3，单调增区间为1,3+，()fx的极小值为2ln33+，无极大值.【解析】【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线

上求出c，再由()()161ffc==求出参数a、b即可.（2）由（1）得()()()3121xxfxx−+=()0x，根据()fx¢的符号判断()fx的单调区间，并确定极值情况.【小问1详解】由题设，()21a

fxbxx=++，且624c=−=，又()()1216114fabfbc=++==+==，解得13ab=−=．【小问2详解】由（1）得：()2ln3fxxxx=−++，∴()()()3121161xxfxxxx−+=−++=()0x，令()0fx¢>，解

得13x；令()0fx¢<，解得103x，∴()fx的单调减区间为10,3，单调增区间为1,3+，∴当13x=时，()fx的极小值为2ln33+，无极大值．18.在二项式

312nxx+展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为310.（1）求n的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项是第几项.【答案】（1）12n=，常数项为55128（2）5【解析】【分析】（1）求出二项式的通项公式，求出第3项和第4项的二项式系数，再利用已知条件列

方程求出n的值，从而可求出常数项，（2）设展开式中系数最大的项是第1r+项，则11121211121211221122rrrrrrrrCCCC−−++，从而可求出结果【小问1详

解】二项式312nxx+展开式的通项公式为43131122rrnrrnrrrnnTCxCxx−−+==，因为第3项和第4项的二项式系数比为310，所以23310nnCC=，化简得23103nnCC=，解得12n=，所以412311212rrrr

TCx−+=，令41203r−=，得9r=，所以常数项为99121552128C=【小问2详解】设展开式中系数最大的项是第1r+项，则11121211121211221122rrrrrrrrCCCC−−++

，1322(1)12rrrr−+−，解得101333r，因为*rN，所以4r=，所以展开式中系数最大的项是第5项19.这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a=，()11232,nnnSSSnn+−−+=N；②2

5a=，()111322,nnnnSSSann+−−=−−N；③()132,12nnSSnnnn−−=−N.问题：已知数列na的前n项和为nS，12a=，且___________.（1）求数列na的通项公式；（2）已知nb是na、1na+的等比中项

，求数列21nb的前n项和nT.【答案】（1）条件选择见解析，31nan=−（2）()232nnTn=+【解析】【分析】（1）选①，可推导出数列na为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列

na的通项公式；选②，可推导出112nnnaaa+−+=，可知数列na为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列na的通项公式；选③，分析可知数列nSn为等差数列数列，确定该数列的首项和公差，可求得nS，再由11,1,2nnnSnaSSn−==−可求得数列n

a的通项公式；（2）求得()()23132nbnn=−+，可得出2111133132nbnn=−−+，利用裂项求和法可求得nT.小问1详解】解：选条件①时，25a=，1123nnnSSS+−−+=，整理得()()113nnnnSSSS+−−−−=，故13nnaa+−=

（常数），且213aa−=，所以数列na是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131naann=+−=−；选条件②时，25a=，()*111322,nnnnSSSann+−−=−−N，整理得()1112nnnnnSSSSa+−−−=−−，故112nnnaaa+−+

=，故数列na是等差数列，公差213daa=−=，故()13131naann=+−=−；选条件③时，()*132,12nnSSnnnn−−=−N，且121S=，所以数列nSn是以2为首项，32为公差的等差数

列，则()33121222nSnnn=+−=+，所以23122nSnn=+，【则2n时，131nnnaSSn−=−=−.又112311aS===−满足31nan=−，所以31nan=−，*nN.【小

问2详解】解：由（1）得：31nan=−，由于nb是na、1na+的等比中项，所以()()213132nnnbaann+==−+，则()()211111313233132nbnnnn==−−+−+，故()1111

1111113255831323232232nnTnnnn=−+−++−=−=−+++L.20.如图，在四棱锥EABCD−中，平面ABCD⊥平面ABE，//ABDC，ABBC⊥，2

22ABBCCD===，3AEBE==，点M为BE的中点.（1）求证：//CM平面ADE；（2）求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析．（2）255【解析】【分析】（1）取AE中点N，连接,NMND，证明MNDC是平行四边形，得//CMDN，从而得线面平行；

（2）取AB中点F，连接,EFCF，CF交BD于点O，连接OE，证明EOC是二面角EBDC−−的平面角，然后求出此角（或EOF）的正弦值即可得．【小问1详解】取AE中点N，连接,NMND，如图，因为M是EB中点，则//MNAB且12MNAB=，又//ABCD，2ABCD=，所以//MNCD且

MNCD=，所以MNDC是平行四边形，所以//CMDN，DN平面ADE，CM平面ADE，所以//CM平面ADE；【小问2详解】取AB中点F，连接,EFCF，CF交BD于点O，连接OE，由已知//ABDC，ABBC⊥，2ABCD=，得CDFB是正方形，CFBD⊥，EAEB=，则E

FAB⊥，因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD平面ABEAB=，EF平面ABE，所以EF⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，同理EFOF⊥，所以EFBD⊥，BFCFF=，,BFCF平面BCF，所以BD⊥平面BCF，又OE平面BCF，所以BDOE⊥，所以EOC是二面角EBDC−−

的平面角，又22OF=，22(3)12EF=−=，所以22110222OEOFEF=+=+=，225sin5102EFEOFOE===，25sinsin(π)sin5EOCEOFEOF=−==，所以平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为255．21.已知椭圆()2222:10xyCabab+

=左、右焦点分别为1F，2F，离心率为32，过左焦点1F的直线l与椭圆C交于A，B两点，2ABF的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，1B，2B是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点1B，

2B的动点，点Q满足11QBPB⊥，22QBPB⊥，求证12PBB△与12QBB的面积之比为定值．【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2ABF的周长为8，求得a，再根据离心率32cea==求解；（2）方法一：设(

)00,Pxy，()11,Qxy，得到直线1QB和直线2QB的方程，联立求得Q的横坐标，根据()00,Pxy在椭圆2214xy+=上，得到222014xy−=−，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线1PB，2PB的斜率分别为k，k，点()00,Pxy，()11,Qxy，直线1PB的方程为

1ykx=+，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由12,QBQB的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.【小问1详解】解：∵2ABF的周长为8，∴48a=，即2a=，∵离心率32cea==，∴3c=，221bac=−=，的∴椭圆C的标准方程为2214xy+=．【小问

2详解】方法一：设()00,Pxy，()11,Qxy则直线1PB斜率1001PBykx−=，∵11QBPB⊥，∴直线1QB斜率1001QBxky=−−，∴直线1QB的方程为：0011xyxy=−+−，同理直线2QB的方程为：0011xyxy=−−+，联立上面两直线方程，消去y，得201

01yxx−=，∵()00,Pxy在椭圆2214xy+=上，∴220014xy+=，即222014xy−=−，∴20200100144xyxxxx−−===−，∴1212014PBBQBBSxSx==△△所以1

2PBB△与12QBB的面积之比为定值4．方法二：设直线1PB，2PB的斜率分别为k，k，点()00,Pxy，()11,Qxy，则直线1PB的方程为1ykx=+，∵11QBPB⊥，∴直线1QB的方程

为11yxk=−+，将1ykx=+代入2214xy+=，得()221480kxkx++=，∵P是椭圆上异于点1B，2B的点，∴02814kxk=−+，又∵220014xy+=，即220014xy−=，∴2000200011114yyykkxxx−+−===−，即14kk=−，由22QB

PB⊥，得直线2QB的方程为41ykx=−，联立11,41,yxkykx=−+=−得12214kxk=+，∴121220128144214PBBQBBkSxkkSxk−+===+△△所以12PBB△与12QBB的面积之比为定值

4．22.设函数2()lnafxxx=+，32()21gxxx=−+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）如果对于任意的121,,22xx，都有()()112xfxgx成立，试求a的取值范围.【答案】（1）当0a时，函数()fx在区间()0,+上单调递增；当0a时，函数()

fx在区间()0,2a上单调递减，在区间()2,a+上单调递增.（2）)1,+【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值范围，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）由题意可知先求得函数32()21gxxx=−+

在1,22x的最大值，则得到当1,22x时，()1xfx恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求得所构造函数的最值，可得答案.【小问1详解】函数()fx的定义域为()0,+，233212()axafxxxx−=−+=，当0a时，()0fx，函数()fx在区间(

)0,+上单调递增；当0a时，若2xa，则()0fx，函数()fx单调递增；若02xa，则()0fx，函数()fx单调递减；∴函数()fx在区间()02a，上单调递减，在区间()2,a+上单调递增，综上得：当0a时，函数()fx在区间()0,

+上单调递增；当0a时，函数()fx在区间()0,2a上单调递减，在区间()2,a+上单调递增.【小问2详解】∵24()3433gxxxxx=−=−，1,22x，∴当14,23x时，()0

gx，()gx在区间14,23x单调递减，当4,23x时，()0gx，()gx在区间4,23x单调递增，而15(2)128gg==，所以()gx在区间1,22上的最大值是1.依题意，

需要有当1,22x时，()1xfx恒成立，即ln1axxx+恒成立，亦即2lnaxxx−；令21()ln,22hxxxxx=−，则()12lnhxxxx=−−，显然()10h=，当1,12x时，10x−，ln0xx，()

0hx，即()hx在区间1,12上单调递增；当(1,2x时，10x−，ln0xx，()0hx，即()hx在区间(1,2上单调递减；所以，当1x=时，函数()hx取得最大值()11h=，故1a，即实数a的取值范围是)1,+.