【文档说明】上海市敬业中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，3.987 MB，由小赞的店铺上传

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上海市敬业中学2021-2022学年高三下开学考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知球的主视图所表示图像的面积为9π，则该球的体积是__．【答案】36π【解析】【分析】根据球的视图特征，结合圆的面积公

式、球的体积公式进行求解即可.【详解】设球的半径为r，则2π9πr=，所以3r=，所以该球的体积是34π36π3r=．故答案为：36π2.直线1{2xtyt=−=−（t为参数）与曲线3{2xcosysin==（为参数）的交点个数是_______．【答案】2【解析】【

详解】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：22194xy+=，再消去y，得21318270xx−−=，0，所以两个交点．答案：23.设直线l经过曲线12cos:12sinxCy=+=+（为参数，02

）的中心，且其方向向量(1,1)d=，则直线l的方程为____【答案】yx=【解析】【分析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程.【详解】由12cos:12sinxCy=+=+消去参数可得22(1)(1

)4xy−+−=，所以曲线C表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆；因此直线l过点(1,1)，又直线l的方向向量为(1,1)d=，所以斜率为1k=，因此，所求直线方程为：11yx−=−，即yx=.故答案为：yx=【点睛】本题主要考查求直

线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.4.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为______．【答案】0.3【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直

接进行求解【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3=P故答案为0.3【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立5.设x、y均为非负实数，且满足526xy

xy++，则68xy+的最大值为________【答案】40【解析】【分析】先由约束条件，作出可行域，再令68zxy=+，由68zxy=+得到348=−+zyx，因此，当直线348=−+zyx在y轴截距最大时，68zxy=+取最大值，结合图像，即可求出结果.【详解】由约

束条件526xyxy++可出可行域如图所示，令68zxy=+，则348=−+zyx，因此68zxy=+表示直线348=−+zyx在y轴截距的8倍，当直线348=−+zyx在y轴截距最大时，68zxy=+取最大值，由图像可得：当直线348=−+zyx过点A时，在y

轴截距最大，令0x=，由5xy+=得，(0,5)A；所以max8540==z.故答案为40【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.6.已知等差数列{}na的前n项和为nS，若5

70SS==，则nS=__．【答案】0【解析】【分析】由570SS==，可得10ad==，再代入等差数列前n项和公式，即可得答案.【详解】解：设等差数列{}na的首项为1a，公差为d，则115(51)5027(71)702adad−+=−+=，解得10ad==，所以1(1)02nn

ndSna−=+=．故答案为：07.若实数,xy满足条件110220xyxyxy+−+−−，则22xy+的最小值为________【答案】12##0.5【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化

为可行域内的点到原点()0,0O距离的平方的最小值的求解，结合图形，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，令22zxy=+，则z表示可行域内的点到原点()0,0O距离的平方，则当

可行域内的点到原点距离最小时，z取得最小值，可行域内的点到原点()0,0O距离最小值为()0,0O到直线1yx=−+的距离，2min1122z==.故答案为：12.8.哥德巴赫猜想是“每个大于2

的偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________（用分数表示）【答案】23【解析】分析】本题可以列举出从不超过13的素数中取两个的所有和的情况，以及和为偶数的情况，代入概率公式即可．【详解】解：

设A＝{两素数和为偶数}．不超过13的素数有2，3，5，7，11，13．从中任取两个，共包含（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），

（11，13）共15个．事件A包含（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）共10个基本事件．故p（A）102153==．本题也可用组合数计算．p（A）2526102153

CC===．故答案为23．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，得到事件A包含的基本事件个数和基本事件的总数是解题的关键，属于基础题．【9.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为__（结

果用数值表示）【答案】0.75##34##75%【解析】【分析】甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率乘法和加法公式求概率即可.【详解】甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队在两局内只要再赢一局

就获冠军，由题意两队在每局赢的概率都是0.5，当第一局甲队获胜，其概率为0.5，当第一局甲队输，第二局甲队获胜，其概率为0.50.50.25=，所以甲队获得冠军的概率为0.50.250.75+=，故答案为：0.7510.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_

_______【答案】22【解析】【分析】在正方体中作出该四棱锥，借助长方体求出各棱长，即可得出最大值.【详解】由三视图在正方体中作出该四棱锥PABCD−，由三视图可知该正方体的棱长为3，所以ABBCCDDA3===

=，22PC3110=+=，22PD3213=+=，222PB33119=++=，222PA33222=++=.因此该四棱锥的最长棱的长度为22.故答案为22的【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图先还原几何体，进而

可求解，属于常考题型.11.在平面直角坐标系中，设点(0,0)O，(3,3)A，点(,)Pxy的坐标满足303200xyxyy−−+，则OA在OP上的投影的取值范围是__．【答案】[3,3]−【解析】

【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用三角函数图象和性质分析得解.【详解】解：由题得22||33=23OA=+.不等式组对应的可行域如图所示，OA在OP上的投影||cos23cos||OAOPzOAAOPAOPOP===，由题得

π6AOx=，π3BOx=，所以π5π[,]66AOP，所以当π6AOP=时，max23cosz=π36=，当5π6AOP=时，min5π23cos36z==−，所以OA在OP上的投影的取值范围是的取值范围是[3,3]−．故答案为：[3,3]−

12.已知实数,xy满足14xxyy+=，则24xy+−的取值范围是___________.【答案】)422,4−【解析】【分析】讨论,xy得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得24zxy=+−的取值范围，进而可得24xy

+−的取值范围.【详解】因为实数,xy满足14xxyy+=，当0,0xy时，方程为2214xy+=的图象为椭圆在第一象限的部分；当0,0xy时，方程为2214xy−=的图象为双曲线在第四象限的部分；当0,0xy时，方程为2

214xy−+=的图象为双曲线在第二象限的部分；当0,0xy时，方程为2214xy−−=图象不存在；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为12yx=，令24zxy=+−，即1222zyx=−++，与双曲线渐近线平行，当z最大时，直线

与椭圆相切，的联立方程组22141222xyzyx+==−++，得()222288120xzxzz−++++=，()()2228428120zzz=+−++=，解得422z=−，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，所以422z=−+，当直线与

双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即112222zyxx=−++=−，所以4z−综上所述，4422z−−+，所以4224z−，即)24422,4xy+−−，故答案为：)422,4−.【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或

y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.满足条件i34iz−=+（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答

案】B【解析】【分析】设izxy=+，表示出iz−，代入模长公式即可求解.【详解】因为2234i345+=+=，设izxy=+(),Rxy，所以()i1izxy−=+−，所以()2215zxy−=+−=i，两边平方得()22125xy+

−=，满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是圆，故选：B14.如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌

文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：cm)，经该鼎青铜密度为a（单位：3kg/cm)，则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量=体积密度，单位：kg)（）A.1250πaB.5000πaC.37

50πaD.15000πa【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，鼎足是一个外半径为10cm，内半径为5cm的中空圆柱体，然后利用体积的计算公式即可求解.【详解】由三视图得，鼎足可看成一个中空圆柱体，外

半径为10cm，内半径为5cm，则其重量为(100π25π)503750πaa−=，故选：C．15.已知曲线3:xsecytan==（是参数），过点()6,2P作直线l与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线l

有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】【分析】先由曲线的参数方程消去参数，化为普通方程，再判断定点与曲线关系，进而可得出结果.【详解】由3xsecytan==消去参数可得221

9xy−=；因此点()6,2P在双曲线2219xy−=的渐近线3xy=上，由双曲线的特征可知，当直线l与双曲线的另一条条渐近线平行、或直线l与双曲线的右支相切时，满足直线与双曲线只有一个公共点，因此，这样直线l只有2条.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的特征以及直

线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.16.若函数()3sin4cos(0,0)3fxxxx=+的值域为[4,5]，则cos3的取值范围为（）A.74[,]255B.73[,]

255C.74[,]255−D.73[,]255−【答案】A【解析】【分析】由题知4()5sin(),tan,032fxx=+=，再结合函数值值域得223−−，再结合余弦函数的单调性求解即可得答案【详解】解：

()3sin4cos5sin(),(0,0)3fxxxxx=+=+，443tan,sin,cos355===，令tx=+，则()5singtt=，因为0,03x，所以,032t

+，因为函数()fx的值域为[4,5]，则()4,()52gg−==所以23+−，即223−−，因为022x−−，函数cosyx=单

调递减，2241697cos()sin,cos(2)cos2sincos25252525−==−=−=−=−=所以cos3的取值范围为74[,]255故选：A三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()(

1tan)sin2fxxx=+.（1）求()fx的定义域；的（2）求函数()()2Fxfx=−在区间(0,)内的零点.【答案】（1）{|,,}2xxxkk+RZ；（2）4x=.【解析】【分析】（1）

由正切函数的性质可求f（x）的定义域；（2）利用三角函数恒等变换的应用可求F（x）2=sin（2x4−）﹣1＝0，解得x＝kπ4+，或x＝kπ2+，k∈Z，又x∈（0，π），即可解得F（x）在（0，π）内的零点．【详解】（1）

由正切函数的性质可求f（x）的定义域为：{|}2xxRxkkZ+，，；（2）∵f（x）＝（1sinxcosx+）•2sinxcosx＝sin2x+2sin2x＝sin2x﹣cos2x+12=sin（2x4−）+1，∴F（x）＝f（x）﹣22=sin（2x4−）﹣1＝0，解得：2x

4−=2kπ4+，或2x4−=2kπ34+，k∈Z，即：x＝kπ4+，或x＝kπ2+，k∈Z，又x∈（0，π），∴k＝0时，x4=或x2=，又f（x）的定义域为：{|}2xxRxkkZ+，，故F（x）在（0，π）内的零点为4x=．【点睛】本题主要考查了正

切函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.（1）某堑

堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵111ABCABC-中，如图2，ACBC⊥，若12AAAB==，当阳马11BAACC−的体积最大时，求二面角11CABC−

−的大小.【答案】（1）2；（2）43V=，arcsin223（或arccos13）.【解析】【分析】（1）由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；（2）阳马B﹣A1ACC1的体积V111133AACCSBC==矩

形A1A×AC×BC23=AC×BC13（AC2+BC2）13=AB243=，当且仅当AC＝BC2=时，43maxV=，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角．【详解】（1）

由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为2，直三棱柱的高为2，则其体积为V122222==；（2）∵A1A＝AB＝2，阳马B﹣A1ACC1的体积：V111133AACCSBC==矩形A1A×AC×BC23=AC×BC13（AC2+BC2）

13=AB243=，当且仅当AC＝BC2=时，43maxV=，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，2，2），B（2，0，0），C1（0，0，2），∴1CA=（0，2，2），CB=（2，0，0），11CA=（

0，2，0），1CB=（2，0，﹣2），设平面CA1B的法向量n=（x，y，z），则122020nCAyznCBx=+===，取y2=，得n=（0，2，﹣1），设平面C1A1B的法向量m=（a，b

，c），则11120220mCAbmCBac===−=，取a2=，得m=（2，0，1），设当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角为θ，则cosθ11333mnmn===，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的大小为a

rccos13．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾

驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，该函数近似模型如下：()20

.5347.42,02254.27e10.18,2xaxxfxx−−+=+，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计

算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整分钟计算）【答案】（1）喝1瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值47.42；（2）5小时42分钟.【解析】【分析】（1）运用代入法，结合配方法、指数函数的单调性进行求解即可；（2）根据指数函数和对数函数单调性进行求解即可.

【小问1详解】由题意得当1x=时，23(1)()47.4244.422fax=−+=，即12a=−，所以当02x时，23()12()47.422fxx=−−+，在32x=时取到最大值47.42，又当2x时，()0.354

.27e10.18xfx−=+是单调递减函数，在2x=时取到最大值39.96，39.9647.42，所以喝1瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值47.42；【小问2详解】当02x时，23()

12()47.422fxx=−−+，此时血液中酒精含量范围是(20.42,47.42]，不可以驾车；当2x时，0.3()54.27e10.18xfx−=+单调递减函数所以令0.3()54.27e10.1820xfx−=+，的即982ln54275.6990.3x−小时，所

以喝1瓶啤酒后5小时42分钟后才可以驾车.20.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点(),Pxy，总存在一个点(),Qxy满足关系式:(0,0)xxyy==，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换1，使得椭圆2

24936xy+=变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换:(0,0)xxyy==得到AOB△，记AOB和AOB△的面积分别为S与S，求证：SS=；（3）若E

FG的三个顶点都在椭圆22221(0)xyabab+=上，且椭圆中心恰好是EFG的重心，求EFG的面积.【答案】（1）113:12xxyy==（2）证明见解析（3）334ab【解析】【分析】（1）将伸缩变换1代入单位圆，

利用待定系数法即可求得,的值，由此得解；（2）对AOB建立直角坐标系，利用面积公式与伸缩变换求得AOB和AOBV的面积，从而得证；（3）结合（1）中结论取伸缩变换2将椭圆变换为单位圆，先利用重心的坐标表示证得()0,0O是EFG的重心，又由()0,0O是EFG

的外心推得EFG为正三角形，从而求得EFGS，由此利用（2）中结论即可求得EFG的面积.【小问1详解】将伸缩变换为11111:(0,0)xxyy==代入()()221xy+=，得

到2211()()1xy+=，则222211363636xy+=，将上式与224936xy+=比较，得22114,93636==，故1111,32==，所以所求的伸缩变换为113:12xxyy==.【小问2详解】以OA所在直

线为x轴，建立平面直角坐标系，设()()111,0,,AaBbc，则1112Sac=，经平面直角坐标系中的伸缩变换:(0,0)xxyy==，得到()()111,0,,AaBbc.所以11111122Sacac==，故

11111212acSSac==.【小问3详解】取伸缩变换21:(0)1xxaabyyb==，则椭圆22221xyab+=经2变换后为单位圆221xy+=，不妨设点,,EFG分别经2变换后得到

点,,EFG，先证EFG的重心与EFG的重心相同，设()()()112233,,,,,ExyFxyGxy，则1231230303xxxyyy++=++=，又112233111111(,),(,),(,)ExyFxyGxya

babab，故12312312312311110331111033xxxxxxaaaayyyyyybbbb++++==++++==，所以EFG的重心为()0,0O，又()0,0O为EFG的外心（,,

EFG在单位圆O上），所以EFG为正三角形，所以()23332sin6044EFGS==，故由（2）得1EFGEFOEOGOFGEFGEFOEOGOFGSSSSSSSSab==++++，所以334EFGSab=.21.已知数列{}na满足：11a=，

2118nnaam+=+，其中*nN，mR.（1）若1a、m、2a成等差数列，求m的值；（2）若0m=，求数列{}na的通项na；（3）若对任意正整数n，都有4na，求m的最大值.【答案】（1）98m=；（2）1(12)8nna−−=；（3）2.【解析】【

分析】（1）根据等差数列的定义建立方程进行求解即可；（2）当m＝0时，利用取对数法结合数列的递推关系构造等比数列进行求解；（3）讨论当m＝2时，结合数列的递推关系证明成立，然后当m＞2时，不等式不成立即可．【详解

】解：（1）a1＝1，a218=a1+m18=+m，若a1、m、a2成等差数列，则a1+a2＝2m，即118++m＝2m，得98m=；（2）若m＝0，则an+118=an2，两边取2为底的对数，得log2an+1＝log2（18an2）＝2lo

g2an﹣3，即log2（an+1﹣3）＝2（log2an﹣3），即数列{log2an﹣3}是以﹣3为首项，2为公比的等比数列，则log2an﹣3＝﹣3•2n﹣1，得an＝21332n−−，即()1128nna−−=；（3）①当m＝2时，

an+118=an2+2，由a1＝1，则由an+118=an2+2得当n≥2时，an＞2，则4+an＞0，若an＜4，则必有an+1﹣418=（an2﹣16）18=（an﹣4）（an+4）＜0，即an+1﹣4＜0，即m＝2满

足条件．②下证m＞2时，不符合题意，假设存在m＞2，则an+1﹣an18=an2+m﹣an18=（an﹣4）2+m﹣2≥m﹣2＞0，应用累加法得an+1﹣a1≥（n﹣1）（m﹣2），即an≥1+（n﹣1）（m﹣2），取N＝[32m−]

+2，（[x]表示不超过x的最大整数），则当n≥N，n∈N•，an≥4与题设条件an＜4矛盾，即m＞2时，不符合题意，综上m的最大值为2．【点睛】本题主要考查递推数列的应用，结合等差数列的定义，以及数列递推

关系，利用取对数法以及构造法是解决本题的关键．