【文档说明】吉林省长春市2021届高三下学期质量监测（二）（二模）数学理试题 含答案.docx，共(8)页，736.807 KB，由小赞的店铺上传

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长春市2021届高三质量监测（二)理科数学3月一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cosisin33z=+，则复数z的虚部是1313

A.B.C.2222D.−−2.设全集2R,{|40},{|1}UAxxBxx==−=−≥≤，则右图阴影部分表示的集合为，A.(1,2]B.[1,2]C.[2,1)D.(,1]−−−−−−3.已知,mn是平面内的两条直线，则“直线lm⊥且ln⊥”是“l⊥”的A

.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.

2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图.根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上:③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;④

历年减贫人数的中位数是1240(万人).A.1B.2C.3D.45．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为1213A.B.C.D.45256.已知nS为等差数列{}na的前n项和，若2515,

65aS==，则14aa+=A.24B.26C.28D.307.已知直线l将圆22:210Cxyxy++−+=平分，且与直线230xy++=垂直，则l的方程为A.20B.230C.240D.220xyx

yxyxy+=+−=−−=−+=8.四边形ABCD中，2,0,||2ABDCABBCAB===,则ADDC=A.1B.1C.2D.2−−9.现有如下信息:(1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度

之比，其比值为512−.(2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126=B.4AC.515151251.D24.−+−+10.已知抛物线22(0)ypxp=上一点

0(2,)Ay，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足2FAAM=，则抛物线方程为2222AB.C..86D.12432yxyxyxyx====11.已知函数()2sin()(0,||)fxx=+的部分图象如图所示，关于此

函数的下列描述:①2=;②3=;③若123xx+=，则12()()fxfx=;④若123xx+=，则12()()0fxfx+=.其中正确的命题是A.②③B.①④C.①③D.①②12.已知函数2()xxxefxee−=−与函数3()121gxxx=−++的图象交点分别

为：111(,)Pxy，222(,),,(,)(N)kkkPxyPxyk，则1212()()kkxxxyyy+++++++=A.2B.0C.2D.4−二、本题共4小题，每小题5分.13.已知点(,)Pxy满足约束条件404xyxyx+−……

„，则2zxy=+的最小值为.14.写出一个符合“对12,Rxx，当12xx时，1212()[()()]0xxfxfx−−”的函数.15.已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为2yx=，则该双曲线的离心率为.16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界

最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图)，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高,球冠表面积2SRh=，其中R为球的半径，h球冠的高)，设球冠底的半径为r,周长为C，球冠的面积为S，则rR的值

为(结果用S、C表示）﹒三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题:共60分.17.

随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示

(其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和）．现已知55118850,2000iiiiixyy====，求解下列问题：(Ⅰ)经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程;(II)按照经验，超市

每年在网上销售获得的总利润w(单位:万元）满足25140wyx=−−，请根据:(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.参考公式：线性回归方程ybxa=+，其中aybx=−，1221

iniiiinxynxybxxn==−−=.18.已知三棱柱111-ABCABC,ABAC⊥,1AA⊥平面ABC，124AAABAC===,M为棱AB上一点，若3AMBM=.(Ⅰ)求证：平面11ABC⊥平面11BC

M；(II)求平面11AACC与平面11BCM所成锐二面角的余弦值.19.已知等比数列{}na满足：122320,80aaaa+=+=.(Ⅰ)求{}na的通项公式；(II)令2lognnba=，其前n项和为nS，若11nnbS+≤恒成立，求的最小值.20.已知函数2()

,()ln.fxaxgxx==(Ⅰ)当1a=时，求()()fxgx−的最小值；(II)若曲线()yfx=与()ygx=有两条公切线，求a的取值范围.21.已知椭圆2222:1(0)>xyCabab+=的离心率为12，3(1,)2P为椭圆上一点，,

AB为椭圆上不同两点，O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(II)线段AB的中点为M，当AOB面积取最大值时，是否存在两定点,GH，使||||GMHM+为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.22.[选修4-4坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中,曲线1C的参数方程为cossinxtyt==(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos3−=.(I)求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程;(II

)曲线1C与2C相交于A、B两点，求||||OAOB的值.23．[选修4-5不等式选讲]已知函数()|1|fxx=−.(Ⅰ)解不等式()(4)8fxfx++≥;(II)若||1,||1,0aba，求证：()||()

bfabafa.长春市普通高中2021届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【试题解析】D复数z的虚部为23sin32=，故选D.2.【试题解析】A易知阴影部分为集合()(1,2]UAB=−ð，故选A.3.【试题解析

】B若m与n不相交，则“直线lm⊥且ln⊥”不能推出“l⊥”；反之，如果“l⊥”，无论m与n是否相交，都能推出“直线lm⊥且ln⊥”，故“直线lm⊥且ln⊥”是“l⊥”的必要不充分条件，故选B.4.【试题解析】C由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5.【试题解

析】C设事件A=“第1次抽到代数题”，事件B=“第2次抽到几何题”，则321(|)342PBA==，故选C.6.【试题解析】C由题意533565,13Saa===，所以142328aaaa+=+=，故选C.7.【试题解析】D由题意知，直线l过点1(,1)2−，斜率为2，所

以直线:220lxy−+=，故选D.8.【试题解析】B由题意知||1,0DCDCBC==，所以()1ADDCABBCCDDCABDCCDDC=++=+=，故选B9.【试题解析】D由题意，设ABC△为36A=的黄金三角形，有51,2abcb−==，所以2

2251cos3624bcabc+−+==，所以51sin126cos364+==，另外36AB==，108C=，也可获得此结果，故选D.10.【试题解析】C由2FAAM=知A为线段FM上靠近F的三等分点，所以0(,0),(,

3)22ppFMy−，有22(2)2,12,2422pppyx−=+==，故选C.11.【试题解析】C由图知，125,221212=+=，2()2,0,126kk−+===，故①正确，②错误；③中，12,26xx+=而直线6x=是函数()fx的对称轴，故③正确，④错

误，故选C.12.【试题解析】D由题意化简，()1xxxxeefxee−−+=+−，可知()fx的图象与()gx的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xxefxe−=−，所以()fx在(,0),(0,)−

+上单调递减，由2()3(4)gxx=−−可知，()gx在(,2),(2,)−−+上单调递减，在(2,2)−上单调递增，由图象可知，()fx与()gx的图象有四个交点，且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共

20分）13.【答案】6【解析】可行域为由2zxy=+得2yxz=−+，过（2,2）点时有最小值6.14.【答案】例如x−【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可.15.【答案】52【解析】注意到双曲线的焦点在y轴上，可得2521()2abeba==+=.16.【

答案】242CSCS−【解析】2222()SRhRRRr==−−①,22224CrCr==②①②两式对应相除得222222222222()()2[()1]42SRRRrSRRRrSRRRCrCrCrrr−−−−===−−设Rmr=得2222222222222[1]

114SSSSmmmmmmmmmmCCCCSC=−−=−−−=−=−所以242rCSCRS−=.三、解答题17.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意，5218850204

00ˆ90,4,859080iixxb=−====−，ˆ40085460a=−=，所以ˆ8560yx=+.（6分）（2）由（1）知，22171125585805()24wxxx=−+−=−−+，所以当8x=或9x=时能获得总利润最大.（1

2分）18.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）证明：11111111111AAABCAAACACAABBACABCACBMACBMABACBMAABB⊥⊥⊥⊥⊥⊥平面平面平面，即平面111111111111111ACBMBMA

BCABBMBCMABCBMBCM⊥⊥⊥⊥平面平面平面平面.（6分）（2）以A为原点，AB方向为x轴，AC方向为y轴，1AA方向为z轴，建立空间直角坐标系.1(4,0,2)B，1(0,4,2)C，(3,0,0)M，11(4,4,0)BC=−，1(1,0,2)BM=−−

平面11BCM的法向量为1(2,2,1)n=−，平面11AACC的法向量为2(1,0,0)n=即平面11AACC与平面11BCM所成锐二面角的余弦值为1212||2cos3||||nnnn==，即平面11AACC与平面11BCM所成锐二面角的余弦

值为23.（12分）19.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意112112080aaqaqaq+=+=，可知4q=，进一步解得14a=.即{}na的通项公式为4nna=.（6分）（2）22log

log42nnnban===，212(1)22nSnnnnn=+−=+，2221111111nnbnSnnnn==+++++，由*nN，利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203nn+≥得61123nnbS+≤则的最小值为623.（12分）20.(本小题

满分12分)【试题解析】解：（1）当1a=时，令2()()()lnFxfxgxxx=−=−，1()2Fxxx=−（0x）2121()2xFxxxx−=−=，令()0Fx=且0x可得22x=，min21111()(ln2)ln22

2222FF==−−=+.（4分）（2）方法一：由函数()fx和()gx的图象可知，当()()fxgx时，曲线()yfx=与()ygx=有两条公切线.即2lnaxx在(0,)+上恒成立，即2lnxax在(0,)+上恒成立，设2ln()xhxx=，312ln()xhxx−=令312l

n()0xhxx−==，xe=即max1()2hhee==，因此，12ae.（12分）法二：取两个函数相切的临界条件：20000ln12axxaxx==解得0xe=，12ae=，由此可知，若两条曲线具有两条公切

线时，12ae.（12分）21.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由12e=可设2at=，ct=，则3bt=，则方程化为2222143xytt+=，又点3(1,)2P在椭圆上，则22914143tt+=，解得1t=，因此椭圆C

的方程为22143xy+=.（4分）（2）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为ykxm=+，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得，2234()120xkxm++−=，化简得：222(34)84120kxkmxm+++−=，222212112

221118412||||||()4||()42223434AOBkmmSmxxmxxxxmkk−−=−=+−=−++△22222222242222222||2||4(3)(34)9312343423||34233

434(34)mmkmmkmkkkmmmkmkkk=−−+=−+++=+−=−+++当221342mk=+时，S取得最大值3，即此时22234mk=+，又122834kmxxk−+=+，121226()234myy

kxxmk+=++=+，则1212(,)22xxyyM++，即2243(,)3434kmmMkk−++令22434334kmxkmyk−=+=+，则221322xy+=，因此平面内存在两点G、H使得||||22GMHM+=.当直线AB的斜率不存在时，设(2cos

,3sin)A，则(2cos,3sin)B−23sincos3sin2AOBS==△，即当4=取得最大值3.此时AB中点M的坐标为(2,0)，满足方程221322xy+=，即||||22GMHM+=.（12分）2

2.(本小题满分10分)【试题解析】（1）曲线1C的普通方程为cossin0yx−=，即极坐标方程为=（R）.曲线2C的直角坐标方程为2223xyx+−=，即22(1)4xy−+=.（5分）（2）曲线2C的极坐标方程为22

cos30−−=，代入=，可得123=−，则12||||||3OAOB==.（10分）23.(本小题满分10分)【试题解析】（1）()(4)|1||3|8fxfxxx++=−++≥，则(,5][3,)x−−+

.（5分）（2）要证()||()bfabafa成立，即证|1|||abba−−成立，即证22221baba++成立，只需证222(1)(1)0abb−−−成立即证22(1)(1)0ab−−成立，由已知||1,||1ab得22(1)(1)0ab−

−显然成立.（10分）