【文档说明】山东省济南市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题word版含解析.docx，共(19)页，1.843 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用并使用完毕前2024年1月高二期末学习质量检测数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10xy−+=的倾斜角是（）A.30B.45C.60D.120【答案】B【解析】【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10xy−+=的斜率为1

，故倾斜角为45.故选：B2.已知双曲线2212yx−=，则其渐近线方程为（）A.12yx=B.22yx=C.2yx=D.2yx=【答案】C【解析】【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212yx−=，所以其渐近线方程为2

yx=.故选：C.3.已知正项等比数列na中，2816=aa，则5a等于（）A.2B.4C.5D.8【答案】B【解析】【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516aaa==，又na各项为正数，所以54a=.故选：B4.在三棱柱111ABCABC-中

，若ACa=，ABb=，1AAc=，则1CB=（）A.abc+−rrrB.abc−+rrrC.abc−+−D.abc−++【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111C

BCCCBAAABACabc=+=+−=−++.故选：D5.2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给

站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第n1−站多n千瓶（2n且*Nn），第10站准备的饮用水的数量为（）A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶【答案

】C【解析】【分析】设第n站的饮用水的数量为na(1,2,3,,10)n=，由题意得：11a=，212aa−=，323aa−=，L，10910aa−=，然后利用累加法即可求解.【详解】设第n站的饮用水的数量为na(1,2,3,,

10)n=，由题意得：11a=，212aa−=，323aa−=，L，10910aa−=，以上等式相加得：，()()()()10121321091101012310552aaaaaaaa+=+−+−++−=+

+++==，即1055a=.故选：C6.已知(2,0)A，(8,0)B，若直线ykx=上存在点M使得0AMBM=，则实数k的取值范围为（）A.33,44−B.44,33−C.33,,44−−+D.44,,33−−+

【答案】A【解析】【分析】由题可得点M的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.【详解】因为0AMBM=，所以AMBM⊥，则点M在以AB为直径的圆上，因为AB的中点坐标为(5,0)，6AB=，所以点M的轨迹方程为22(5)9xy−+=，由题

可知，直线ykx=与圆22(5)9xy−+=有公共点，所以2531kk+，解得：3344k−.故选：C7.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=，其中A、2F分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足2PF垂直于x轴且222AFPF=，则双曲

线的离心率为（）A.32B.43C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设()0,Pcy，代入双曲线方程求出0y，根据222AFPF=可得答案.【详解】设()0,Pcy，则220221ycab−=，解得20bya=，即22bPFa=，2AFac=

+，因为222AFPF=，所以22+=baca，可得()2222aacca+=−，2230ee−−=，解得32e=.故选：A.8.如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，

则P到直线AB距离的最小值为（）A.22B.63C.74D.105【答案】B【解析】【分析】作出该几何体，确定直线DE和直线AB为异面直线，再根据平面ABC//平面DEF，结合等体积法求得D到平面ABC的距离即可.【详解】

把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P到直线AB距离的最小值即直线DF到直线AB的距离，又DF//AC，AC平面ABC，DF平面ABC，故DF//平面ABC.又1BCBDECED====，故四边形BC

ED为菱形，则DE//BC.BC平面ABC，DE平面ABC，故DE//平面ABC.又DFDED=，,DFDE平面DEF，故平面DEF//平面ABC.故直线DF到直线AB的距离为平面DEF到平面ABC的距离.则D

到平面ABC的距离即为P到直线AB距离的最小值.设AF与CD交于O，则易得O为正四棱锥BADFC−中心.则1BABCBDACAD=====，22222CDACADBCBD=+==+，故BCD△为直角三角形，故22OB=.设

D到平面ABC的距离为h，则由BACDDABCVV−−=，故1133ACDABCSBOSh=，故12311224h=，解得63h=.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分．9.一条光线从点(2,3)A−射出，射向点(1,0)B，经x轴反射后过点(,1)Ca，则下列结论正确的是（）A.直线AB的斜率是1−B.ABBC⊥C.3a=D.||||42ABB

C+=【答案】ABD【解析】【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点A关于x轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点C的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可.【详解】对于A，由于(2,3)A−

、(1,0)B，由斜率公式得：0311(2)ABk−==−−−，选项A正确；对于B，点(2,3)A−关于x轴的对称点1A的坐标为(2,3)−−，经x轴反射后直线BC的斜率为：10(3)11(2)BCABkk−−===

−−，且1BCABkk=−，所以ABBC⊥，选项B正确；对于C，直线BC即直线1AB的方程为：01(1)yx−=−，即1yx=−，将1y=代入得：2x=，所以点(2,1)C，2a=，选项C不正确；对于D，由两点间距离公式得：2

222||||[1(2)](03)(21)(10)42ABBC+=−−+−+−+−=，选项D正确；故选：ABD.10.已知1F，2F分别是椭圆22:12516xyC+=的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论

正确的是（）A.椭圆C的焦距为6B.12PFF△的周长为16C.128PFD.12PFF△的面积的最大值为16【答案】AB【解析】【分析】由椭圆方程求得a，b，c的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22

:12516xyC+=，得5a=，4b=，3c=，椭圆C的焦距为26c=，故A正确；又P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，△12PFF的周长为2216ac+=，故B正确；12||8acPFac=−+=，故C错误；当P为椭圆C的短轴的一

个端点时，△12PFF的面积取最大值为12122cbbc==，故D错误．故选：AB．11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P，Q分别满足111DPDB=，1DQDA=，则（）A.()0,1，使1

PQAD⊥且11PQBD⊥B.()0,1，//PQ平面11ABBAC.()0,1，使PQ与平面ABCD所成角的正切值为23D.()0,1，BP与AQ是异面直线【答案】BCD【解析】【分

析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0PQADBA，则

()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQDABPAQ=−−==−−=−，平面11ABBA一个法向量为()1,0,0m=，平面ABCD的一个法向量为()0,0,1n=，对于A，若1P

QAD⊥，则()()10,,11,0,110PQDA=−−=−=()10,1=，故A错误；对于B，易知()()0,,11,0,00PQm=−−=恒成立，且PQ平面11ABBA，的则//PQ平面11ABBA，故B

正确；对于C，设PQ与平面ABCD所成角为π0,2，若22tansin313==，即()2212sincos,131PQnPQnPQn−====−+，解之得35=或3=，显然()0,1，使得结论成立，故C正确；对于D，

因为()()1,1,1,1,0,BPAQ=−−=−，若,BPAQ共线，则存在实数k，使得()11101kBPkAQkk−=−=−==，解得()10,1=，所以()0,1，,BPAQ不共线，故D正确.故选：BCD12.

已知集合*21,Axxnn==−N，*32,Bxxnn==−N．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列na，记nS为数列na的前n项和，则下列说法正确的是（）A.23a=B.46nnaa+−=C.20233035a=D.若2024nS，则

52n【答案】ABD【解析】【分析】求得,ABAB中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得：*65,ABxxnn==−N,可得1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,AB=，则123456781,3,4,

5,7,9,10,11,,aaaaaaaa========对于选项A:易得23a=，故A正确；对于选项B:易得46nnaa+−=，故B正确；对于选项C:由46nnaa+−=，可得202335056430303034aa=+=+=，故C错误；对于选项D:易得数列na每隔四个一组

求和，可构成等差数列，其首项为13，公差为24，由11312121124107020242+=，11313131224204120242+=，则2024nS，此时有52n，故D正确故选：ABD.【点睛】关键点点睛：关键是通过123456781,3,4,5

,7,9,10,11,,aaaaaaaa========找到46nnaa+−=，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,1,1)a=，(6,,3)b=−−，若ab∥，则的值为_______

_．【答案】3−【解析】【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a=，(6,,3)b=−−，ab∥，可得3ba=−rr，故3=−，故答案为：3−14.已知等差数列na首项17a=，公差2d=−，则前n项和nS的最

大值为________．【答案】16【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式和,结合二次函数的性质即可求解．【详解】等差数列{}na首项17a=，公差2d=−，22(1)7(2)8(4)162nnnSnnnn−=+−=−+=−−+．则前n项和n

S的最大值为16．故答案为：16．15.已知圆22:4Cxy+=，直线:10lmxym+−−=，直线l被圆C截得最短弦长为________．【答案】22【解析】.的【分析】先求出直线l过定点()1,1A，数形结合得到当AC与故直线l垂直时，直线l被圆

C截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10lmxym+−−=变形为()110mxy−+−=，故直线l过定点()1,1A，故当AC与故直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，其中22:4Cxy+=的圆心为()0,0C，半径为2，此时弦长为22422AC−=.故答案为：2216.已知抛物线

2:4Cyx=的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是ABD△的外心，则||||ABMF的值为________．【答案】2【解析】【分析】设直线():10lxmym=+，联立方程，利用韦达定

理求AB以及点M的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线2:4Cyx=的焦点()1,0F，可知直线l与抛物线必相交，设直线():10lxmym=+，()()1122,,,AxyBxy，可得()

11,Axy−，联立方程241xxyym=+=，消去x得2440ymy−−=，则12124,4yymyy+==−，可得()2221161641ABmmm=++=+，1222yym+=，且212212xxm+=+，即

线段AB的中点()221,2mm+，则线段AB的中垂线方程为()2221ymmxm−=−−−，由题意可知：点M在x轴上，令0y=，可得223xm=+，即()223,0Mm+，则()221MFm=+，所以()()2241221mABMFm+==+.故答案为：2.【点睛】方法点睛：

对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．四、解答题：本题共6小题，共70分．

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列na，满足25215aa+=，47a=．（1）求数列na的通项公式；（2）令(1)nnnba=−，求nb的前2n项和2nT．【答案】（1）21nan=−（2）22nTn=

【解析】【分析】（1）由题意得()111241537adadad+++=+=，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由(1)(21)nnbn=−−，代入求和即可.【小问1详解】由已知，得()111241537adadad++

+=+=，解得112ad==，故21nan=−【小问2详解】由（1）得(1)(21)nnbn=−−，所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2nnnnbbnnnn−−=−−+−−=−−+−=，得21234212()()()2nnnTbbbbbbn−=++++++=

．18.已知圆心为C的圆经过()0,0O，()0,23A两点，且圆心C在直线:3lyx=上．（1）求圆C的标准方程；（2）点P在圆C上运动，求22POPA+的取值范围．【答案】（1）()()22134xy−+−=（2）8,24【解析】【分析】（1）利用圆的对称性先

确定圆心，再求半径即可；（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【小问1详解】圆经过()0,0O，()0,23A两点，得圆心在OA的中垂线3y=上，又圆心C直线:3lyx=上，联立直线方程

有33yyx==，得13xy==，即圆心坐标为()1,3C，又224rCO==，故圆C的标准方程为()()22134xy−+−=．【小问2详解】设()00,Pxy，易知01,3x−，则()()2222222200000023223

6POPAxyxyxy+=+++−=+−+（*），因为点P在圆C上运动，则()()2200134xy−+−=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412POPAxxx+=+−−+=+，由01,3x−得22POPA+的取值范围为8,24．19.已知抛物线的准线方

程为2x=−，直线l与抛物线交于,AB两点，O为坐标原点．（1）若OAB为等腰直角三角形，求OAB的面积；（2）若OAOB⊥，证明：直线l过定点P，并求出定点P的坐标．【答案】（1）64（2）证明见解析，(8,0)P【解析】【分析】（1）先

根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB90=，在OAOB=，从而求得,AB坐标计算面积即可；（2）设直线l方程及,AB坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可.

【小问1详解】因为抛物线的准线为2x=−，可得抛物线的方程为：28yx=，又AOB为等腰直角三角形，根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：AOB90=，OAOB=，且,AB两点关于横轴对称，则直线:OA

yx=．于是28yxyx==得()8,8A，则()8,8B−，所以()1888642OABS=+=．【小问2详解】设直线:lxmyn=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立28xmynyx=+=，得2880ymyn−−=，264320mn+=，且128yym+=

，128yyn=−又因为OAOB⊥，则12121OAOByykkxx==−，即12120yyxx+=．由28yx=，得2118yx=，2228yx=，222121264yyxxn==，即2121280yyxxnn+=−=，解得8n=或0n=（舍去）．当8n=时，满足0．此时，直线l

的方程8xmy=+．则l过定点(8,0)P．20.如图（1）所示PAB中，APAB⊥，12ABAP==．,DC分别为,PAPB中点．将PDC△沿DC向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得62PA=．连接,,PAPBPC得到四棱锥PABCD−．记PB的中点为

N，连接CN．（1）证明：CN⊥平面PAB；（2）点Q在线段CN上且2QCQN=，连接,AQPQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31919【解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，（2）建

立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【小问1详解】取AB中点M，连接NM，CM．则//,CDAMCDAM=，即四边形AMCD为平行四边形，所以CMAD∥，又因为ABAD⊥，所以ABCM⊥，由PDCD⊥，CDAB∥，即ABPD⊥，又ABAD⊥，=PDADD，,PDAD平面

PAD,所以AB⊥平面PAD，又AP平面PAD，故ABAP⊥，又因为NMAP∥，则ABNM⊥，又NMCMM=，,NMCM平面NCM所以AB⊥平面NCM，又CN平面NCM，所以CNAB⊥，又在PCD中，6PDCD==且PDCD⊥，

在BCM中，6CMBM==且⊥CMBM，则62PCBC==，又N为PB中点，所以CNPB⊥，又ABPBB=，,ABPB平面PAB,所以CN⊥平面PAB．【小问2详解】由6PDAD==，62AP=，则222PDADAP+=，即PDAD⊥，又

PDCD⊥，ADCD⊥，故以D为坐标原点，以,,DADCDP所在直线x分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,6)P，(0,0,0)D，(0,6,0)C，(6,0,0)A，(6,12,0)B，(3,6,3)N，故(3,0,3)CN=，(6,0,6)PA=−，因为2(2,0,

2)3CQCN==，所以(2,6,2)Q，(2,6,4)PQ=−，设平面PAQ的法向量()1111,,nxyz=，平面ABCD的法向量()2222,,nxyz=，则111116602640PAnxzPQnxyz=

−==+−=，取13x=，解得1(3,1,3)n=，易知DP⊥平面ABCD，即2(0,0,1)n=，所以123319cos,19119nn==，所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为3191

9．21.设数列na，其前n项和为nS，2233nSnn=+，nb为单调递增的等比数列，123729bbb=，1236baba+=−．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记mc为nb在区间(()*0,mamN中的项的个数

，求数列mc的前100项和100T．【答案】（1）3nan=，()*3nnbn=N（2）384【解析】【分析】（1）根据,nnaS的关系即可求解3nan=，根据等比数列基本量的计算即可求解()*3nnbn=N，（2）利用列举法即可逐一求解

mc的前100项，即可求和得解.【小问1详解】对于数列na，因为2233nSnn=+①，所以2123(1)3(1)nSnn−=−+−，2n，*nN②−①②得()*32,nannn=N由①式，当1n=时，得13a=，也满足3nan=

，所以()*3nann=N．因为数列nb为等比数列，由等比数列的性质得31232729bbbb==，得29b=，设数列nb的公比为q，又因为26a=，618=a，所以1236baba+=−即96918qq+=−，解得3q=或13−，又因为nb为单调递增的等比数列，所以3q=，所以(

)*3nnbn=N【小问2详解】由于133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，所以1c，2c对应的区间为(0,3]，(0,6]，则121cc==，即有2个1；3c，4c，…,8c

对应的区间为(0,9]，(0,12]，…,(0,24]，则3482ccc====，即有6个2；9c，10c，…,26c对应的区间为(0,27]，(0,30]，…,(0,78]，则910263ccc====，即有18个3；27c，28c，…,80c对应的区间为

(0,81]，(0,84]，…,(0,240]，则2728804ccc====，即有54个4；81c，82c，…,100c对应的区间为(0,243]，(0,246]，…,(0,300]，则81821005ccc====

，即有20个5；所以1001226318454520384T=++++=22.在平面直角坐标系．xOy中，设1A，2A两点的坐标分别为(2,0)−，(2,0)．直线1AM，2AM相交于点M，且它们的

斜率之积是12−．（1）求动点M的轨迹方程；（2）记动点M的轨迹为曲线E，过(1,0)P作两条互相垂直的直线1l，2l，1l与曲线E交于A、B两点，2l与曲线E交于C、D两点，求ACBD的最大值．【答案】（1）221(0)42xy

y+=（2）4−【解析】【分析】（1）设出点M的坐标为(,)xy，根据斜率之积得到方程，求出轨迹方程，注意0y；（2）设1:(1)lykx=−，()11,Axy，()22,Bxy，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设()33,Cxy，()44,Dxy，同理得到两根之和，两根之积，根据直线

1l，2l相互垂直，得到()()()222291212kACBDkk−+=++，利用基本不等式求出最大值【小问1详解】设点M的坐标为(,)xy，因为直线1AM，2AM的斜率之积是12−，所以1222yyxx=−+−，.所以22142xy+=，因为点M与1A，2A两点不重

合，所以点M的轨迹方程为221(0)42xyy+=．【小问2详解】显然直线1l，2l的斜率都存在且不为0，设1:(1)lykx=−，21:(1)lyxk=−−，()11,Axy，()22,Bxy，(

)33,Cxy，()44,Dxy，联立22142(1)xyykx+==−，得()2222214240kxkxk+−+−=，显然()()4222Δ164212424160kkkk=−+−=+，所以212221224212421

kxxkkxxk+=+−=+，所以()()()2222221212121222224431111212121kkkyykxxkxxxxkkkk−−=−−=−++=−+=+++，同理2342222

3422234221442121124242121133,2121kxxkkkkxxkkkyykk−+==+−+−−−==+−+−−−

==+−+，因为直线1l，2l相互垂直，所以0APPDPCBP==，所以()()ACBDAPPCBPPDAPBPPCPD=++=+()()()()121234341111xxyyxxyy=−−++−−+()()12121234343411xxxxyyxxxx

yy=−++++−+++22222222222443244311212121222kkkkkkkkkk−−−−=−+++−++++++++22223333212kkkk−−−−=+++，则()()()()()(

)222222222911942122122kkACBDkkkk−++=−=−+++++，当且仅当22212kk+=+，即1k=时取得等号，所以ACBD的最大值为4−．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条

件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；