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专练37直线、平面垂直的判定与性质授课提示：对应学生用书79页[基础强化]一、选择题1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D解析：如图ABCD为矩形，PA⊥平面A

BCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．2．已知α，β是

两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n答案：D解析：易知A、B、C均正确，D错误，m与n也可能异面．3．设a，b是两条不同的直线，α，β

是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β答案：C解析：当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b

⊥a，故C正确.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC答案：C解析：∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C且B1C∩A1B1＝B1

，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．A1C1B．BDC．A1D1D．AA1答案：B解析：连接B1D1，∵ABCD－A1

B1C1D1为正方体，∴E∈B1D1且B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，又A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，又CE⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥CE，又BD∥B1D1，∴BD⊥CE.6．若l，m是两条不同的直线，m

垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“

l∥α”的必要而不充分条件，故选B.7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案：C解析：∵α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l.8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝

5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为()A．22B．43C．35D．1D答案：解析：如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵AA1＝5，∴tan

∠ACA1＝1，故选D.9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥

平面ACD且平面ACD⊥平面BDE答案：C解析：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，同理平面ABC⊥平面BDE.二、填空题10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P

在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．答案：外解析：连结OA，OB，OC，OP，∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，又PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两

条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).答案：②④解析：∵γ∩β＝l，∴l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m

，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l⊂β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．答案：5解析：∵PA⊥平面ABCD，又PA⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD；同理平面PAB⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD，同理平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，共有5对．[能力提升]1

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F分别为A

B，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知DD1⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因为EF⊂平面B1EF，所以平面B

1EF⊥平面BDD1，A正确．假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误．设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1

EF与平面A1AC不平行，C错误．连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．故选A.14.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个

结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案：C解析：如图，因为D、F分别是AB、AC中点，所以BC∥DF，因为DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF

，所以BC∥平面PDF.因为该几何体是正四面体，E是BC中点，所以BC⊥PE，BC⊥AE，因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，又因为DF⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故A、B、D都成立．故选C.15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面A

BCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.答案：BM⊥PC(DM⊥PC)解析：当BM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD，证明如下：如图所示，∵PA⊥平面AB

CD，AB＝AD，∴PB＝PD，又BC＝CD，∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，DM⊥PC，∴PC⊥平面MBD，又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.16.如图，VA⊥平面ABC，△ABC的

外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)①MN∥平面ABC；②OC⊥平面VAC；③MN与BC所成的角为60°；④MN⊥OP；⑤平面VAC⊥平面VBC.答

案：①④⑤解析：对于①，因为点M，N分别为VA，VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正

确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A

，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.