【文档说明】福建省厦门市集美中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题含答案.docx，共(11)页，1.191 MB，由小赞的店铺上传

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集美中学2020-2021学年高二（下）第一次月考数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、排名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择

题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l的方向向量()1,2,1a=−，平面的一个法向量()3,6,mk=，若l⊥，则实数k=（）A.3B.15C.3−D.15−2．双曲线2213xy−=与双曲线221

3yx−=有相同的（）A．离心率B．焦点C．实轴长D．渐近线3．如图，函数()yfx=的图象在点P处的切线方程是6yx=−+，则()()33ff+=（）A.12B.1C.2D.04.在空间四边形OABC中，OA

a=，OBb=，OCc=，且AMMB=，则MC=（）A.1122abc+−B.1122abc++C.1122abc−−−D.1122abc−−+5．曲线()2lnfxx=在xt=处的切线l过原点，则l的方程为（）A.20xey−

=B.20xey+=C.20exy−=D.20exy+=6.下面四个图象中，有一个是函数()()32211103()fxxaxaxa=++−+的导函数()yfx=的图象，则()1f−等于（）①②③④A.13B.13−C.53D.

13−或537.在三棱锥PABC−中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，2PAAC==，4AB=，当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为（）A.223B.13C.31111D.22118．设函数()fx是定义在R上的

奇函数，其导函数为()fx，当0x时，有()()0fxxfx+，且()10f−=，则不等式()0fx的解集为（）A.()(),10,1−−B.()(),10,−−+C.()()1,00,1−D.()()1,01,−+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给

出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.下列导数运算错误的有（）A.sincos33=B.()()21xxxeexe+=+C.211xx=D.()1ln22xx=10．如图所示，两个椭圆

221259xy+=，221259yx+=，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列说法正确的是（）A．曲线C关于直线yx=，yx=−对称B．两个椭圆的离心率不相等C.P到()14,0F−，()24,0

F，()10,4E−，()20,4E四点的距离之和为定值D．曲线所围区域面积必小于3611．在正方体1111ABCDABCD−中，点M在线段1BC上运动，则（）A．直线1BD⊥平面1ABCB．三棱锥11MACD−的体积为定值C．异面直

线AM与1AD所成角的取值范围是,42D.直线1CM与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为6312.下列命题，正确的是（）A．若空间向量a，b满足ab=，则ab=；B．已知()yfx=是R上的连续可导函数，则“0x

x=是函数()yfx=的一个极值点”是“()00fx=”的充分不必要条件；C.在空间中，已知A，B，C，D四点共面，若1136PAPBPCmDP=++，则12m=；D.已知函数()sin2cosxfxx=+，当0x时，函数()fx的图象恒在直线ykx=的下方，则k的取值范围是1

3k≥.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面和平面的法向量分别为()1,1,2a=，(),2,3bx=−，且⊥，则x=___________.14.过抛物线C：24yx=的焦点且倾斜角为45的直线与C于A、B两点，则AB=_________

__.15．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点()1,0,0A，()0,2,0B，()0,0,2C，()0,0,1D−，则直线AD与BC所成角的大小是___________.16.已知函数()lnxfxx=，若函数()fxk−有两个零点，则实数k

的取值范围是___________；方程()()26510fxfx−+=有___________个实数根.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()()3113fxxaxaR

=−+，()fx是()fx的导函数，且()13f=−.（1）求a的值；（2）求函数()fx的单调区间和极值点.18.（12分）如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点E为AD的中点，设OAa=，OBb=，OCc=.（1）试用向量a，b，c表示向量O

E；（2）若3OAOC==，2OB=，60AOCBOCAOB===，求OEAC的值.19.（12分）己知函数()xfxeax=−.（1）当2a=时，求函数()yfx=在点0x=处的切线方程；（2）讨论()fx

的单调性.20.（12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ACBC⊥，2ACBC==，14AA=，1ADAA=（1）证明：当12=时，求证：1DC⊥平面BCD；（2）当34=时，求二面角1DBCC−−的余弦值.21.（12分）

己知椭圆C：22221xyab+=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为12，经过点1F且倾斜角为02的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），2ABF的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所

确定的半平面（平面12AFF）与轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面12BFF）互相垂直.折叠前折叠后①若3=，求异面直线1AF和2BF所成角的余弦值；②是否存在02，使得折叠后2ABF的周长为152﹖若存在，求tan

的值；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数()()1lnfxxxaxa=+−+（a为正实数，且为常数）.（1）若函数()fx在区间()0,+上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若不等式()()10xfx−≥恒成立，求实数a的取值范围.集美中学2020-202l

学年高二（下）第一次月考数学参考答案1~8CBCDABAD9.ACD10.AD11．ABD12．BD13.414.8l5.6016.10,e211.【详解】A正确；B正确，1111MACDCAMDVV−−=，因为点M在线段1BC上运动，所以1

112ADMSADAB=，面积为定值，且1C到平面11AMD的距离即为1C到平面11ABCD的距离，也为定值，故体积为定值；C错，由11ADBC∥，当点M与线段1BC的端点重合时，AM与1AD所成角为60；设1BC的中点为

0M，当点M由1BC的端点向中点0M运动时，0AMM为异面直线AM与1AD所成角在1ACB中，1ACAB=，所以01AMBC⊥在0AMM中，0AM不变，0MM逐渐变小.所以000tanAMAMMMM

=逐渐增大，当点M与0M重合时，异面直线AM与1AD所成角为90所以异面直线AM与1AD所成角的取值范围是,32.所以C不正确.D正确，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111

ABCDABCD−中棱长为1，则()0,0,0D，()11,0,1A，()10,1,1C，(),1,Maa，()11,0,1DA=，()10,1,1DC=，()1,0,1CMaa=−由前面可得，BD⊥平面1ACD，所以()11,1,1BD=−−为平面11ACD的一个法向量∴直线1

CM与平面11ACD所成角的正弦值为；()11112221111sincos31113222CMBDCMBDCMBDaaa====+−−+当12a=时，sin有最大值63，直线1CM与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63，故D正

确.12.对于D，()()22cos12cosxfxx+=+，由()103f=，()00f=，则在()0,0处的切线方程为13yx=，令2cos11,3tx=+−，则1cos2tx−=，则()22c

os12cosxx++可化为2246932ttttt=+++，当10t−≤时，()0fx，()fx递减，当0t=时，()0fx=，当03t≤时，24441096939626ttttttt

==+++++≤，()fx递增，当仅当9tt=，3t=等号成立.所以()()22cos1132cosxfxx+=+≤.17.【详解】（1）∵()()3113fxxaxxR=−+，∴()2fxxa=−，∵()113fa

=−=−，∴4a=.（2）由（1）可得：()31413fxxx=−+，()24fxx=−，令()240fxx=−=，解得2x=．列出表格如下：x(),2−−2−()2,2−2()2,+()fx+0−0+()fx极大值极小值所以函数()fx的单调增区间为(),2−−和

()2,+，单调减区间为()2,2−.极大值点为2−，极小值点为2.18.【详解】（1）∵2BDDC=，∴()()111333BDBCOCOBcb==−=−故()121333ODOBBDbcbbc=+=+−=+.∵点E为AD的中点，故()11112236OEOA

ODabc=+=++；（2）由题意得92ac=，3ab=，3cb=，又ACca=−故()221111111123626333OEACabccaacacbcba=++−=−+++−1111139933cos6032cos6032cos6026333

2=−+++−=−.19.【详解】（1）当2a=时，()2xfxex=−，∴()2xfxe=−.()01f=−又()01f=，所以函数()yfx=在点0x=处的切线方程为()0yxx−=−−，

即1yx=−+.（2）∵()xfxeax=−，∴()xfxea=−.当0a≤时，则()0fx在(),−+上恒成立，所以()fx在(),−+上单调递增；当0a时，由()0fx，得lnxa，由()0fx，得lnxa

，所以()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增.综上所述，当0a≤时，函数()fx在(),−+上单调递增；当0a时，函数()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增；20.【详解】（1）∵直棱柱111ABCABC−，∴1CC⊥平面A

BC∵BC平面ABC，∴1BCCC⊥∵ACBC⊥且1ACCCC=，∴BC⊥平面11AACC∵1DC平面11AACC，∴1BCDC⊥，又122DCDC==，14CC=，由勾股定理可得1DCDC⊥，因为DCCBC=，∴1DC⊥平面BCD；（2）以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0

,0C，()0,2,0B，()10,0,4C，()2,0,3D所以()10,2,4BC=−，()12,0,1DC=−设平面1BCD的一个法向量为(),,mxyz=，则1100mBCmDC==

，即24020yzxz−+=−+=令1x=，则2z=，4y=，所以可取()1,4,2m=，同理平面1BCC的一个法向量为()1,0,0n=，121cos,2121mnmnmn===，∴锐二

面角1DBCC−−的余弦值为212121.（1）22143xy+=（2）①由直线l：()031yx−=+与22143xy+=联立求得()0,3A，（因为点A在x轴上方）以及83,355B−−再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，

z轴建立空间直角坐标系，则()10,1,0F−，()0,0,3A，383,,055B−，()20,1,0F，()10,1,3FA=，23133,,055BF=−.记异面直线1AF和2BF所成角为，则21121213coscos,28FABFFABFFAB

F===；②由22152AFBFAB++=，22||8AFBFAB++=，故12ABAB−=设折叠前()11,Axy，()22,Bxy.直线l与椭圆联立方程221143myxxy=++=，得()2234

690mymy+−−=122634myym+=+，122934yym−=+在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）；设A，B在新图形中对应点记为A，

B，()11,,0Axy，()22,0,Bxy−()()2221212ABxxyy=−++−，()()221212ABxxyy=−+−()()()222221212121212ABABxxyyxxyy−

=−+−−−++=（i）()()()122222212121212212yyxxyyxxyy−=−+−+−++所以()()()2222211121211124xxyyxxyyyy−+−+−++=−（ii）由（i）（ii）可得()()22121212

124xxyyyy−+−=−()()()()22222121212121124xxyymyyyy−+−=+−=−()222222222263611811181144343443434434mm

mmmmmm+++=+=++++++222121211834434mmm+=+++，22312121184mm+=++解得22845m=，∵02，所以335

tan14=.22.（1）()()1lnfxxxaxa=+−+，()1lnxfxxax+=+−.因()fx在()0,+上单调递增，则()0fx≥，1ln1axx++≤恒成立..令()1ln1gxxx

=++，则()21xgxx−=，x()0,11()gx−0+()gx减极小值增因此，()()min12gxg==，即02a≤.（2）当02a≤时，由（1）知，当()0,x+时，()fx单调递增.又()10f=，当()

0,1x，()0fx；当()1,x+时，()0fx.故不等式()()10xfx−≥恒成立.若2a，()()ln11xxaxfxx+−+=.设()()ln11pxxxax=+−+，令()ln20pxxa=+−=，则21axe−=.当()

21,axe−时，()0px，()px单调递减，则()()120pxpa=−，则()()0pxfxx=，所以当()21,axe−时，()fx单调递减，则当()21,axe−时，()()10fxf=，此时()()1

0xfx−，矛盾.因此，02a≤.