【文档说明】北京市第十五中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，931.963 KB，由小赞的店铺上传

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2024北京十五中高三10月月考数学2024.10本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40

分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,2,3A=，ln1Bxx=，则AB=（）A.B.3C.2,3D.()2,3【答案】B【解析】【分析】求出集合B

，结合交集运算性质计算即可.【详解】由集合ln1Bxx=，解得eBxx=，故3=AB.故选：B2.已知0.10.644,2,log0.6abc===，则,,abc的大小关系为（）AcabB.cbaC.abcD.bac【答案】A【解

析】【分析】化简a，通过讨论函数()2xfx=和()4loggxx=的单调性和取值范围即可得出,,abc的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a==，在()2xfx=中，函数单调递增，且()0fx，∴0.20.6022ba==，.在()4logg

xx=中，函数单调递增，且当01x时，()0gx，∴4log0.60c=，∴cab，故选：A.3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是A.()ln||fxx=B.()2−=xfxC.3()fxx=D.2()fxx=−【答案】A【解析】

【详解】对于A,()()lnfxxfx−==,()lnfxx=是偶函数，且在区间()0,+上单调递增，符合题意；对于B,对于()2xfx−=既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C,()3fxx=是奇函数，不合题意；对于D,()2fxx=−在区间()0,+上单调递减，不合题意，

只有()lnfxx=合题意，故选A.4.已知等差数列na的前n项和为nS，若38304Sa==,，则9S=（）A.54B.63C.72D.135【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a，再求出9S.【详解】

等差数列na中，由330S=，得2123330aaaa=++=，解得210a=，而84a=，所以192899()9()6322aaaaS++===.故选：B5.若函数()sin2fxx=的图象向右平移6个单位长度得到函数()gx的图象，若

函数()gx在区间[0,]a上单调递增，则a的最大值为（）．A.2B.3C.512D.712【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数sin()yAx=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a的最大值

．【详解】解：把函数()sin2fxx=的图象向右平移6个单位长度得到函数()sin(2)3gxx=−的图象，若函数()gx在区间[0，]a上单调递增，在区间[0，]a上，2[33x−−，2]3a−，则当a

最大时，232a−=，求得512a=，故选：C．【点睛】本题主要考查函数sin()yAx=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．6.设xR且0x,则“1x”是“12xx+”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.

充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】易知当1x时，1122xxxx+=成立，又当112x=时，1522xx+=，所以“𝑥>1”是“12xx+”成立的充分而不必要条件.故选A.7.若函数()()πsi

n0,0,02fxAxA=+的部分图象如图所示，则的值是（）A.π3B.π6C.π4D.π12【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03，即可求得最小正周期T，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值.【详解

】由图可知()2π0,3fmfm==−，所以π,03是()fx的一个对称中心，由图象可得最小正周期T满足：1πππ2362T=−−=，则2ππT==，又0，所以2=，则由图象可得π2π6k−+=，Zk，所以ππ3k=+，Zk

，又π02，所以π3=.故选：A.8.在ABCV中，,,abc分别是角,,ABC的对应边，若sin3cosCC=，则下列式子正确的是A.2abc+=B.2abc+C.2abc+D.2abc+【答案】C【解析】【分析】由条件求角

C，再由余弦定理确定三边关系.【详解】由题意可知sintan3cosCCC==，所以3C=由余弦定理可得2221cos22abcCab+−==，所以222abcab+−=，所以2223()()34ababcab++−=22()4abc+,即2abc+,故

选：C.9.已知函数2,0,()(2),0xxfxfxx=−当1324m时，方程1()8fxxm=−+的根的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解.【详解】

当0x时，()(2),fxfx=−即(2)(),fxfx+=则()fx的周期为2.画出函数()fx的图像，令10,8xm−+=则8,xm=又因为13,24m则486,m由图可知方程()18fxxm=−+的根的个数即为两个函数图像交点的

个数，由图像可知，当0x时，存在一个零点，因为0x=时，021,m=当1x=−时，1112.88xmm−−+=+则在(1,0)−两函数存在一个零点，当2x=时，01112.442m−则在(0,2)两函数存在一个零点，当4x=时，01102.24m−

则在(2,4)两函数存在一个零点，当4x时，(4)128xxm−−+恒成立，则两函数无零点.综上所述，两函数有三个零点故选：D.10.数列{}na各项均为实数，对任意*nN满足3nnaa+=，且312nnnnaaaac+++=+，则下列选项中不可能的是（）A.11a=

，1c=B.11a=−，4c=C.12a=，2c=D.12a=，0c=【答案】C【解析】【分析】由已知有212nnnaaac++−=，令1,2,3n=，代入选项中的1a和c，求23,aa是否有解即可.【详解】对任意*nN满足3nnaa+=，且312nnnnaaaac+++=+，则有212

nnnaaac++−=.对于A，若11a=，1c=，则12231aaa−=，故230aa=，故20a=或30a=，若20a=，则24233101aaaaa−−==，故31a=−，此时321ka−=，310ka−=，31ka=−，*

Nk.当32nk=−时，2121nnnaaa++−=；当31nk=−时，2121nnnaaa++−=；当3nk=时，2121nnnaaa++−=，故A成立；对于B，若11a=−，4c=，则12234aaa−=，故233aa=−，又223423122324aaaaaaaa−=−+

==，234531232224aaaaaaaa−=−+==，故231aa+=或23aa=，若23aa=，则23223232344aaaaaa=−+=+=无解；若231aa+=，则232232

32344aaaaaa=−+=+=，故2311321132aa+=−=或2311321132aa−=+=，此时321ka−=−，311132ka−+=，31132ka−=，*Nk；或321ka−=−，311132ka−−=，31132ka+=，*Nk，都

满足2124nnnaaa++−=，故B成立；对于C，若12a=，2c=，则12232aaa−=，故232aa=，且222343222aaaaa−=−=，故32222aa−=，又1222345232322

aaaaaaaa−−===−，故232aa+=−或23aa=，若23aa=，则2322323222222aaaaaa=−=−=无解；若232aa+=−，则2322323222222aaaaaa=−=−

=也无解，故C错误；对于D，若12a=，0c=，则12230aaa−=，故234aa=，又3222234212320aaaaaaaa=−=−−=，故322aa==，此时2na=，满足2120nnnaaa++−=，故D成立.故选：C【点睛】方法点睛：由数列周期为3，由选项中的1a和c，

令1,2,3n=，代入已知条件中，23,aa若无解，则此时的1a和c不可能成立.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()lg(3)1fxxx=++−的定义域为________________.【答案】()3,1−【解析】【分析】由函数定义域的求法直

接求解.【详解】由1030xx−+13xx−31x−.故答案为：()3,1−12.在平面直角坐标系xOy中，角和角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若1sin3=，则sin=__________．【答案】13−【解析】【分析】根据终边关于x轴对称的两个角

的正弦值互为相反数，得出结论．【详解】角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若1sin3=，则1sinsin3=−=−，故答案为：13−．13.已知数列na的前n项和为1,(1)21nnnnSaan++−=−，则8S=__________．【答案】3

6【解析】【分析】根据条件分奇偶项讨论得22nnaa++=，计算求和即可.【详解】由题意可得n为奇数时，12121,21nnnnaanaan+++−=−+=+，两式相减得22nnaa++=；n为偶数时，121

21,21nnnnaanaan++++=−−=+，两式相加得24nnaan++=，故()()()()8135724682282436Saaaaaaaa=+++++++=+++=.故答案为：3614.已知函数()fx为

在R上的偶函数，且满足条件：①在)0+，上单调递减；②()21f=，则关于x的不等式()11fx−的解集是______.【答案】()1,3−【解析】【分析】确定函数的单调性，画出函数简图，根据图像得到212x−

−，解得答案.【详解】函数()fx为在R上的偶函数，在)0+，上单调递减，故在(),0−上单调递增；()21f=，故()21f−=.画出函数简图，如图所示：()11fx−，故()()12fxf−，故212x−−，解得13x

−.故答案为：()1,3−15.已知函数1()e1xxfxx+=−−，对于函数()fx有下述四个结论：①函数()fx在其定义域上为增函数；②()fx有且仅有一个零点；③对于任意的1a，都有()1fa−成立；④若曲线exy=在点000(,e)(1)xxx处的切线也是曲线

lnyx=的切线，则0x必是()fx的零点.其中所有正确的结论序号是_______________【答案】③④【解析】【分析】由反例判断结论①；利用导数得函数单调性，由零点存在定理求零点个数判断结论②；作差法比大小判断结论③；结论④利

用导数求曲线exy=在点000(,e)(1)xxx处的切线l，切线l与lnyx=相切于点()11,lnxx，建立方程组证明0x是()fx的零点.【详解】对于①，12()ee111xxxfxxx+=−=−−−−的

定义域为|1xx，因为90109e19e192010f=++=，()292e32010ff=−，①错误；对于②，因为()22()e01xfxx=+−，所以()fx在(),1−和()1,+上单调递增，又()31130e2f−=−，545e904f

=−，9010f，()20f，所以()fx在区间93,10−和5,24上都存在零点，又()fx在(),1−和()1,+上单调递增，即()fx在区间(),1−和()1

,+上各有一个零点，②错误；对于③，因为1a，所以201a−−，所以()21e01afaa+=−−，即()1fa−，所以③正确；对于④，因为()eexx=，所以曲线exy=在点000(,e)(1)

xxx处的切线斜率为0ex，得切线l方程为()000eexxyxx−=−，即0000eeexxxyxx=−+，设l与lnyx=相切于点()11,lnxx，因为()1lnxx=，所以切线斜率为11x，得切线l方程为()1111lnyxxxx−=−，即111ln1yxxx=+−，所以0

001011eeeln1xxxxxx=−+=−，即000101lneeln1xxxxxx=−−+=−，消去1lnx得0000ee1xxxx−+=−−，整理得0001e01xxx+−=−，即0x是()fx的零点，④正确.

故答案为：③④【点睛】关键点睛：本题结论④判断的关键在于利用导数求出两曲线的切线方程，利用方程为同一方程得到两切点坐标之间的关系，联立化简即可.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1

6.已知函数2()2cossincosfxxaxx=+，()06f=（1）求实数a的值;（2）求函数()fx的最小正周期及单调增区间.【答案】23a=−（2）T=，单调递增区间为2[,]36kk−−

（Zk）．【解析】【详解】试题分析：（1）由()06f=可求出23a=−；（2）先化简得()2cos(2)13fxx=++，由三角函数的图象和性质可求出函数的周期及单调递增区间．试题解析：（1）由()06f=知

22cossincos0666a+=∴31320422a+=∴23a=−（2）解：∵23a=−∴2()2cos23sincosfxxxx=−cos213sin2xx=+−2cos(2)13x=++∴222T===，∴2223kxk−+（Zk）∴

236kxk−−（Zk）∴函数的最小正周期为，单调增区间为2[,]36kk−−（Zk）考点：三角函数图象和性质．17.已知函数2()(3)exfxx=−．（1）求函数()fx的极值；（2）若对[1,2]x−都有()fxa恒成立，求实数a的

取值范围．【答案】（1）极大值3(3)6ef−−=；极小值(1)2ef=−（2）2ea−【解析】【分析】（1）对函数求导，结合函数极值的定义即可求解；（2）只需求出不等式左边的最小值即可，结合导数与最值的关系即可得解.【小问1详解】由2()(3)exfxx=−，得2()(23)exfx

xx=+−.令()()223e0xfxxx−=+=得3x=−或1.当x变化时，()fx在各区间上的正负，以及()fx的单调性如下表所示：x(,3)−−3−(3,1)−1(1,)+()fx＋0－0＋()fx↗极大↘极小↗所以当3x=−时()f

x取极大值3(3)6ef−−=；当1x=时()fx取极小值(1)2ef=−.【小问2详解】由（1）可得函数()fx在)1,1−上单调递减，在(1,2上单调递增，则()fx在1,2−上的最小值为(

)12ef=−.对[1,2]x−都有()fxa恒成立，所以2ea−.18.在ABCV中，sincosbAaB=.（1）求B大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得ABCV存在且唯一，求ABCV的面积.条件①

1cos2A=−；条件②2b=；条件③AB边上的高为62.【答案】（1）π4B=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系求出tanB，即可得答案；（2）若选①②，根据1cos2A=−求出A，由

正弦定理求出a，再利用两角和的正弦公式求出sinC，由三角形面积公式，即可求得答案；若选①③，根据1cos2A=−求出A，再根据AB边上的高h求出b，下面解法同选①②；若选②③，根据条件可求出A的值不唯一，即可判断不合题意.【小问1详解】在ABCV中，sincos

bAaB=，由正弦定理得sinsinsincosBAAB=，由于(0,π),sin0AA，则sincos,tan1BBB==，由于(0,π)B，故π4B=；【小问2详解】若选①②，ABCV存在且唯一，解答如下

：由于1cos2A=−，2π(0,π),3AA=，又2b=，故2ππ342sinsina=，则3a=；的又2ππππ34CAB=−−=−−，故2ππ321262sinsin3422224C−=+=−=，故116233sin322244−−===ABCSabC；若选①③，A

BCV存在且唯一，解答如下：由于1cos2A=−，2π(0,π),3AA=，AB边上高h为62，故622sin32hbA===则2ππ342sinsina=，则3a=；又2ππππ34CAB=−−=−−，故2ππ321262sinsin3422224

C−=+=−=，故116233sin322244−−===ABCSabC；若选②③，ABCV不唯一，解答如下：2b=，AB边上的高h为62，故632sin22hAb===，2π(0,π)

,3AA=或π3，此时ABCV有两解，不唯一，不合题意.19.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数20

05601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；的（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这

3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望()EX；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(098)a人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s．当a为何值时，2s最小．（

结论不要求证明）【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得

.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学

生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125PXC==−=，()21311481155125PXC

==−=，()22311122155125PXC==−=，()30331113155125PXC==−=．的所以X的分布列为X0123P64125481251212

5112564481213()01231251251251255Ex=+++=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．20.已知函数1()ln=+fxaxx.(

)aR（1）若2a=，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）求()fx的极值和单调区间；（3）若()fx在1,e上不是单调函数，且()efx在1,e上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）yx=（2）答案见解析（3）1,1e【解析】【

分析】（1）求出导函数()fx，计算出切线斜率(1)f，然后由点斜式得切线方程；（2）求出导函数()fx，分类讨论确定()fx的正负，确定函数()fx单调性、极值．（3）由函数不单调，结合（2）得出函数在[1,e]的最值，由最大值满足的不等关系可得a的范围．【小问1详解】当2a=时，函数

()12lnfxxx=+，()221fxxx=−．所以()11f=，()11f=．所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程yx=．【小问2详解】函数()fx定义域()0,x+．求导得2211()aaxfxxxx−=−=.①当0a时，因为()0,x+，所以

()0fx．故()fx的单调递减区间是(0,)+，此时()fx无极值.②当0a时，x变化时，(),()fxfx变化如下表：x1(0,)a1a1(,)a+()fx−0+()fx极小值所以()fx的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a+．此时

函数()fx的极小值是1()lnfaaaa=−，无极大值．【小问3详解】因为()fx在1,e不是单调函数，由第（2）可知此时0a，且11,ea，x11(1,)a1a1(,)eae()fx−0+()fx(1)f极小值(

)fe又因为()efx在1,e上恒成立，只需11e(1)e(e)eaff即可，所以1ee1e11eaa+，解得a的取值范围是1,1e21.若有穷数列A：1

a，2a，…，()*,3nannN，满足()1121,2,,2iiiiaaaain+++−−=−，则称数列A为M数列．（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1（2）已知M数列A：1a，2a

，…，9a，其中14a=，27a=，求349aaa+++的最小值．（3）已知M数列A是1，2，…，n的一个排列．若1112nkkkaan−+=−=+，求n的所有取值．【答案】（1）①不是M数列；②是M数列．（2）13（3）4

或5．【解析】【分析】（1）直接利用定义进行判断即可；（2）利用绝对值三角不等式累加后求得结果；（3）对n取不同的值进行判断，再对kb分情况讨论即可．【小问1详解】①因为|24||43|−−，所以该数列不是M数列；②因为|42||28|81|−−

−，所以该数列是M数列．【小问2详解】由()1121,2,,2iiiiaaaain+++−−=−，则3221=3aaaa−−，得34a或310a，4332213aaaaaa−−−=恒成立，得41a或413a，同理得543aa−，故3494121212=13aaa+++++++

++.【小问3详解】当3n=时，因为1||2(1,2)iiaai+−=„，所以1223||||5aaaa−+−，不符合题意；当4n=时，数列为3，2，4，1．此时122334||||||6aaaaaa−+−+−=，符合题意；当5n=时，数列为2，3，4，5，1．此时12233445|||

|||||7aaaaaaaa−+−+−+−=，符合题意；下证当6n…时，不存在n满足题意．令1||(1kkkbaak+=−=，2，L，1)n−，则1211nbbb−剟剟，且112nkkbn−==+，所以kb有以下三种可能：①1,(1,

2,,2)4,(1)kknbkn=−==−；②1,(1,2,,3)2,(2)3,(1)kknbknkn=−==−=−；③1,(1,2,,4)2,(3,2,1)kknbknnn=−==−−−．当1,(1,2,,2)4,(1)kknbkn=−==−时，因为122n

bbb−===，即112||||(1kkkkaaaak+++−=−=，2，，2)n−．所以112kkkkaaaa+++−=−或112()kkkkaaaa+++−=−−．因为数列{}ka的各项互不相同，所以112kkkkaaaa+++−

=−．所以数列{}ka是等差数列．∴1a，2a，L，1na−是公差为1（或1−)的等差数列．当公差为1时，由14nb−=得14nnaa−=+或14nnaa−=−，所以1142nnaaann−=+=++或14nnnsaaa−−=−

=，与已知矛盾．当公差为1−时，同理得出与已知矛盾．所以当1,(1,2,,2)4,(1)kknbkn=−==−时，不存在n满足题意．其它情况同理．综上可知，n的所有取值为4或5．