【文档说明】《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题33 圆中的存在性综合问题(解析版).docx，共(30)页，340.411 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题33圆中的存在性综合问题1、如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距

离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，∵点F是BC的中点，∴EF

＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，2∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH

＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为，∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．2、如图，直径为10的⊙O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、

B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x2+kx+48＝0的两根．3（1）求线段OA、OB的长；（2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2＝CD•CB时，求C点的坐标；（3）在⊙O上是否存在点P，使S△POD＝S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解

：（1）连接AB，∵∠BOA＝90°，∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB＝﹣k，OA×OB＝48；根据勾股定理，得OA2+OB2＝100，即（OA+OB）2﹣2OA×OB＝100，解得：k2＝196，∴k＝±14（正值舍去）．则有方

程x2﹣14x+48＝0，解得：x＝6或8．又∵OA＞OB，∴OA＝8，OB＝6；（2）若OC2＝CD×CB，则△OCB∽△DCO，4∴∠COD＝∠CBO，又∵∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，所以点C是弧OA的中点．连接O′C交OA于点D，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA

，根据垂径定理，得OD＝4，根据勾股定理，得O′D＝3，故CD＝2，即C（4，﹣2）；（3）设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B（0，6），C（4，﹣2）代入得：，解得：．则直线BC的解析式是：y＝﹣2x+6，令y＝0，解得：x＝3，则OD

＝3，AD＝8﹣3＝5，故S△ABD＝×5×6＝15．若S△ABD＝S△OBD，P到x轴的距离是h，则×3h＝15，解得：h＝10．而⊙O′的直径是10，因而P不能在⊙O′上，5故P不存在．3、如图，B，E是⊙

O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）已知∠A＝30°．①若BE＝3，求BD的长；②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的

四边形的形状，并说明理由．（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，∴∠EBD+∠GBE＝90°，6∴∠GBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD与

⊙O相切；（2）解：如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，∴＝＝tan30°＝，

又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，∴BG＝2BE＝6，∴BD＝6×＝2；（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，由（2）知＝，＝，∴＝，7∵B，E为定点，BE为定值，∴BD为定值，D为定点，∵∠BCD＝90°，∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，∴当

点C在线段OM上时，OC最小，此时在Rt△OBM中，＝＝，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝

180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．84、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP（1）求证：∠APO＝∠BPO；（2）若∠C＝60°，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值

．（1）证明：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在RT△PAO和RT△PBO中，，∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），∴∠APO＝∠BPO；（2）解：∵PA、PB是⊙

O的切线，∴∠PAB＝∠PBA＝∠C＝60°，OP⊥AB，9∴△PAB为等边三角形，延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°∴PQ＝2×AP＝2×AB＝2××6＝6．5、如图，在△ABC中，∠ACB＝

90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．（1）求证：△BEF是直角三角形；（2）求证：△BEF∽△B

CA；（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．（1）证明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，10∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）

证明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB

，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：设EF交AB于J．连接AE．∵EF与AB互相平分，∴四边形AFBE是平行四边形，∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，11∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ＝BD＝，∴EF＝m，∵△ABC∽

△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM＝，∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE＝，∵△BEF∽△BCA，∴＝，即＝，解得m＝2（负根已经舍弃）．126、（1）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC

为⊙O直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝3，BD＝4，则点D到直线AB的距离是（2）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E（E在B、C之间，且不与B、C重合）．探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．（3

）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，∠BCD为锐角．BD平分∠ABC，BD＝7，AB＝6．求⊙O的面积．解：（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．13∵BD平分∠ABC

，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵S△BDC＝•BC•DE＝•BD•DC，∴DE＝，∴DF＝DE＝．故答案为；（2）如图②中，结论：AB+BC＝2BE

．理由：作DF⊥BA于F，连接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE，∠DFB＝∠DEB＝90°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EDF＝180°，∴∠ADC＝∠EDF，14∴∠FDA＝∠CDE，∵∠DFA＝∠DEC＝90

°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF＝CE，∵BD＝BD，DF＝DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF＝BE，∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE；（3）如图③，连接AC，延长

BC至H，使CH＝AB，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴＝，∴AD＝CD，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠DCH＝∠BAD，又∵AD＝CD，AB＝CH，∴△ABD≌△CHD（SA

S）15∴BD＝DH＝7，∠ABD＝∠DHB＝45°，∴∠BDH＝180°﹣∠DBH﹣∠DHB＝90°，∴BH＝＝＝14，∵AB＝CH＝6，∴BC＝8，∵∠ABC＝90°，∴AC是直径，∵AC＝＝＝10，∴OC

＝5，∴⊙O的面积＝25π．7、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交C于点D，连接CE，且CE＝CA．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，连接AD并延长交⊙O于点F，连接EF．①如果∠B

AC＝60°，求证：EF⊥BC．②如果∠BAC≠60°，EF⊥BC是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．16证明：（1）如图1，连接EO，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CA＝CE，OE＝OB，∴∠A＝∠CEA，∠B＝∠OEB，∴∠CEA+∠OEB＝

90°，∴∠CEO＝90°，∴CE⊥OE，且OE为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）如图2，连接DE，17∵∠BAC＝60°，AC＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝AC，∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠CF

D＝∠ABC＝30°，∵DB是直径，∴∠DEB＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∵AD＝AD，AC＝AE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠CAD＝∠EAD＝∠CAB＝30°，∵∠BEF＝∠DAE+

∠DFE，∴∠BEF＝60°，∴∠BHE＝180°﹣∠CBE﹣∠BEF＝90°，18∴EF⊥BC；②仍然成立，理由如下：如图3，连接OE，DE，∵DB是直径，∴∠DEB＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴点A，点C，点D，点E四点共圆，∴∠CAD＝∠CED，∵∠CEO＝90°＝∠BED，

∴∠CED＝∠OEB，∴∠CAD＝∠OEB，∵∠OEB＝∠OBE＝∠DFE，∴∠CAD＝∠DFE，∴AC∥EF，∴∠ACB＝∠EHB＝90°，19∴EF⊥BC．8、如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE＝1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G．（1）证明

∠EFG＝90°．（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积．（3）在点F整个运动过程中，①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长．②连接EG，若＝时，求⊙O的半径（请直接写出答案）．解：（1）连结EG．在正方形ABCD中，得∠C＝90

°．∴EG为⊙O的直径，∴∠EFG＝90°．（2）过点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N（如图1）．20由（1）得：∠AFE＝90°，∠ADF＝45°．∴设MF＝MD＝a，且AD＝MN，∴AM＝FN，∵∠NFE+

∠AFM＝∠AFM+∠MAF，∴∠NFE＝∠MAF，∴△AMF≌△FNE（AAS），∴MF＝EN，即a＝3﹣a，∴a＝1.5，∴S△ADE＝×4×1.5＝3．（3）①Ⅰ当EF＝CG时（如图2）．21∴EF＝CG．∴EF∥CG．∴∠BEF＝∠C＝90°．

∴BE＝EF＝1．∴BF＝．Ⅱ当EF＝FG时（如图3）．∵EF＝FG，∴＝，∴∠ECF＝∠ACE＝45°，∴点A，C，E共线．∴F为对角线的交点．22∴BF＝BD＝2．Ⅲ当GF＝GC时，点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N．∵∠ECG＝90°，∴EG是直径，∴∠EFG＝90°

，∴∠ECG＝∠EFG＝90°，∵EG＝EG，EG＝GC，∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），∴EF＝CE，∴EF＝CE＝3，设FN＝x．则AM＝BN＝x．∴EN＝x﹣1．根据EN2+FN2＝EF2，得：（x﹣1）2+x2＝32，解得x＝或（舍弃

），23∴BF＝NF＝，∴综上所述，所有满足条件的BF长分别为，2，．②如图4中，连接EG，作EM⊥BD于M，GN⊥BD于N．由△EMF∽△FNG，可得＝＝＝，设FM＝x，则GN＝DN＝2x，EM＝BM＝，FM＝，∵BD＝4，∴

++3x＝4，∴x＝，∴DG＝DN＝，∴CG＝CD﹣DG＝4﹣＝，∴EG＝＝＝，∴⊙O的半径为．249、如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点

A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为；（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值

．（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∵＝，25∴AB⊥OC，∴∠OAD＝∠OAC＝30°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠OAD，∴OA∥BF，∵AF⊥BF，∴OA⊥

AF，∴AF是⊙O的切线．（2）解：∵＝，∴∠CBD＝∠BEC，∵∠BCD＝∠BCE，∴△BCD∽△ECB，∴＝，∴＝，∴EC＝12，∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．故答案为9．（3）解：结论：＝，的值不变．26理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥E

C交BE的延长线于N．∵＝，∴OC⊥AB，CB＝CA，∴BH＝AH＝AB，∵∠ABC＝30°，∴BH＝BC，∴AC＝AB，∵CE∥AN，∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，∴∠CEA＝∠ABC

＝30°，∠EAN＝∠N，∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，∵∠ACE＝∠ABN，∴△ACE∽△ABN，∴＝＝，27∴＝，∴的值不变．10、如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y

轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？解：（1）连接GD，EC．∵∠

OAB的角平分线交y轴于点D，∴∠GAD＝∠DAO，∵GD＝GA，∴∠GDA＝∠GAD，∴∠GDA＝∠DAO，∴GD∥OA，∴∠BDG＝∠BOA＝90°，∵GD为半径，28∴y轴是⊙G的切线；∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝

设半径GD＝r，则BG＝﹣r，∵GD∥OA，∴△BDG∽△BOA，∴＝，∴r＝2（﹣r），∴r＝，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∴EC∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2，AE＝，∴OE＝2﹣＝，29∴C的坐标为（，2）；（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，∵AC是直径，

∴AC＝2×＝∴∠AEC＝∠AFC＝90°∵∠FEA＝45°∴∠FCA＝45°∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：AF＝CF＝，设OE＝a∴AE＝2﹣a∵CE∥OB∴△ACE∽△ABO∴＝，∴CE＝2，∵CE2+AE2＝AC2，∴22+（2﹣a）2

＝∴a＝或a＝（不合题意，舍去）30∴AE＝∴在Rt△AEH中，由勾股定理可得，AH＝EH＝，∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，∴FH＝，∴EF＝EH+FH＝．