【文档说明】《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题05函数的性质（解析版）.docx，共(34)页，2.000 MB，由管理员店铺上传

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2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题05函数的性质考点命题分析1地位分析函数是数学高考考查的重点，函数的性质是函数的核心内容；函数的观点和方法贯穿整个高中代数的学习过程，初等函数又是学习高等数学的基础，所以，函数试题在高考中所占

比例较大，往往达到百分之三十左右.2试题特点以函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性为切人点，有时融入参数，对数学基础知识、基本技能和基本方法进行全面考查，能力要求高，能有效甄别学生灵活分析问题的能力、综合解决问题的能力；此类试题综合性强，灵活多样，变化万千，难度小的试题较少；试题题型

多以选择题、填空题的形式出现，时常也融入解答题中；试题或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用.3内容分类考查的主要内容有:(1)对基本初等函数的考查，如通过二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、高次整式函数以及

简单复合函数等，考查函数的性质及应用；(2)对分段函数的考查，如通过对分段函数的理解、求值以及应用，考查函数的性质；(3)对函数性质的考查，如单调性、奇偶性、周期性、对称性等，往往是将两个以上的性质融合在一起进行考查；(4)对抽象函数的考查，如通过抽象

函数考查函数性质.以上内容进行单一考查较少，试题往往是其中两个以上内容的融合.4知识要点(1)函数的单调性.注意单调性定义的等价表述(或)，则函数f(x)为增(减)函数；也可等价表述为(或)，则函数f(x)为增(减)函数.除此之外，也经常用导数研究函数的单调性.(2)函数的最

值.设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足:对于任意的x∈D，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；存在x∈D，使f(x)=M那么，就将M叫作函数f(x)的最大值(最小值)(3)函数的奇偶性.

定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要条件；对于偶函数f(x)，有f(x)=f(－x)=f(|x|)；偶函数的图像关于y轴对称，是特殊的轴对称图形；一般地，函数f(x)的图像关于直线x=a对称的等价条件是f(a+x)=f(a－x)(或f(2a－x)=f(x)).

奇函数的图像关于原点对称，是特殊的中心对称图形；一般地，函数f(x)的图像关于点(a，b)对称的等价条件是f(2a－x)=2b－f(x).(4)函数的周期性.T是函数f(x)的周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是f(x)的周期.(5)函数的对

称性.除前述对称问题外，还有:若对于任意的x，f(a+x)=f(b－x)恒成立，则f(x)的图像关于直线对称；若函数f(x)有两个对称轴x=a，x=b，那么该函数必是周期为2|a－b|的函数.5典例讲解解题教学的关键在于分析清

楚题意，凭借所掌握的知识和获得的解题经验，识别每个条件的结构特征，理解其内涵意蕴，探求问题解决的切入口，进而确立解题方向，对求解进程中的障碍找到突破方法、手段；由于函数性质类试题题型以选择题、填空题居多，故采用解决此类题目的简洁解法为上，目标是求得正确答案.5.

1函数性质的判断此类题一般为简单题.如果要确认一个函数具有某种性质，往往需要严谨的推理证明；若要否定一个函数不具有某种性质，只需举一个反例即可；或者采用数形结合思想，利用函数图像加以判断.例1已知函数，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C

.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[－1，+∞)思路探求:相对简单的分段函数，探求其性质，可结合定义及函数图像判断；主要涉及数形结合思想、分类与整合思想.方法点睛:分段研究，对选择支逐一辨析.对于选项A，f(－1)=cos1，f(1)=2，显然，f(－1)≠f(

1)，故排除A；对于选项B，显然当x≤0时，f(x)=cosx不是增函数，排除B；对于选项C，当x>0时，f(x)=x2+1不是周期函数，排除C；故选D，事实上，易得f(x)的值域为[－1，+∞).也可结合图像，迅速识别:从f(x)的图像上看，排除选项A，B，C，

选择D5.2函数性质的应用函数性质的应用一般有两种类型:一种是在已知条件中告知函数所具有的性质，只需应用这些已知的性质解决问题即可；另一种是仅给出函数的解析式，函数所具有的性质隐含于其中，这就需要根据问题情境挖掘其性质，然后再利用性质解决问题.例2已知函数，则使得f(x)>f(2x－1)成立的

x的取值范围是()A.B.C.D.思路探求:首先需要研究函数f(x)的性质，再利用性质解决问题方法点睛:易求得函数f(x)的定义域为R，且f(x)是偶函数，当x≥0时，函数f(x)单调递增.由f(x)>f(2x－1)得|x|>|2x－1|，解得.故选A.例3已知函数f(x)(x∈

R)满足f(－x)=2－f(x)，若函数与y=f(x)图像的交点为(x1，y1)，，则()A．0B．mC．2mD．4m思路探求:该题的表象是求两个函数图像交点所有坐标之和.从交点数量来看，关键是弄清其规律，故需研究两个函数的性质；主要涉及数形结合思想、化归与转化思想.方

法点睛:本题有两个已知条件，切入点是弄清f(－x)=2－f(x)的含义.若教师在复习中知识拓展得较深入，学生不难迅速识别出函数f(x)的图像关于点(0，1)成中心对称，因为“函数f(x)的图像若关于点(a，b)成

中心对称图形，则f(2a－x)=2b－f(x)”若学生忘记这一知识点，则需要进一步分析探索.将f(－x)=2－f(x)变形为，不难发现f(x)的图像关于点(0，1)成中心对称图形.继而猜想，函数的图像也关于点(0，1)成中心对称.事实上，将函数变形为，其图像也关

于点(0，1)成中心对称.所以，两个函数图像的交点成对出现，且关于点(0，1)对称，故有.故.5.3函数性质与其他知识的融合应用求参数的值，往往需要根据已知条件建立关于该参数的方程；求参数的取值范围，同样往往需要根据已知条件建立关于该参数的不等式；在建立关于参数的方程或不等式

时，经常需要运用数形结合思想，以降低思维量和运算量.例4已知函数f(x)=x2－2x+a()有唯一零点，则a=()A．B．C．D．1思路探求:该题表象是函数的零点问题，其实质涉及函数性质的探求与应用；主

要涉及化归与转化思想、分类与整合思想.方法点睛:切入点是函数解析式，方向是将形式迥异的两部分分离.解法1:依题意，存在唯一的，使，即，将其变形为(*)若a>0，则(*)式左边(等号当且仅当x0=1时成立)而(*)式右

边(当且仅当时等号成立).故当2a=1，即时，函数f(x)有唯一零点.由于是选择题，答案已得，对于a=0和a<0两种情形，不再讨论.解法2:局部突破，发现g(x)=x2－2x的图像关于直线x=1对称，探究的对称性，h(x)的图像也关于直线x=1对称，从而判断函数f(x

)的图像关于直线x=1对称.由，得f(2－x)，所以f(2－x)=f(x)，即函数f(x)图像的对称轴是x=1.因为函数f(x)有唯一零点，从而函数f(x)的零点只能为1.所以，解得.例5定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=f(x)，

且当x∈[1，2]时，f(x)=lnx－x+1；若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点，则实数m的取值范围为()A．B．C．D．思路探求:由偶函数f(x)满足f(2－x)=f(x)这一条件，不难发现函数f(x)是周期为2的周期函数，题中已知函数

g(x)有7个零点，可以转化为y=f(x)的图像与函数y=－mx的图像有7个交点，从而运用数形结合思想予以解决，在求解过程中又涉及分类讨论思想、化归与转化思想.方法点睛:切入点选在弄清函数f(x)所具有的

性质，由f(x)是偶函数且满足f(2－x)=f(x)得f(2+x)=f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数.因为函数g(x)有7个零点，所以y=f(x)的图像与函数y=－mx的图像有7个交点，

因而将解题方向确定为利用图像解题.当x∈[1，2]时，f(x)=lnx－x+1，故f'(x)=，因此函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，且f(1)=0，f(2)=ln2－1.由题意知m≠0，作出函数y=f

(x)与y=－mx的图像，如图.当－m>0，即m<0时，要使y=f(x)与y=－mx的图像有7个交点，需有，即，解得.同理，当－m<0，即m>0时，可得.综上所述，实数m的取值范围为.故选：A.例6已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数，e为自然对

数的底数)是实数集R上的奇函数，函数在区间[－1，1]上是减函数.(I)求实数a的值；(Ⅱ)若在x∈[－1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数.思路探求:本题涉及函数的奇偶性、单调性、最值，需要用到转化与化归思想、数形结合思想

等.具体手段是利用导数这一工具研究函数的单调性与最值，解题方向的确立需要较高的分析问题能力、洞察力和丰富的解题经验.方法点睛:三问逐次解决，切入点较为简单，第(Ⅱ)问的求解方向为先将“g(x)在区间[－1，1]上为减

函数”转化为“g'(x)≤0在区间[－1，1]上恒成立”，得到≤－1后，再将“g(x)≤t2+xt+1在x∈[－1，1]上恒成立”转化为“[g(x)]max≤t2+at+1”求解；第(Ⅲ)问将讨论方程根的个数问题转化为

讨论两函数图像交点个数的问题.解:(I)由是奇函数，得f(－x)=－f(x)，故，即恒成立，所以a=0.(Ⅱ)由(I)知，所以g'(x)=+cosx，x∈[－1，1].从而要使在区间[－1，1]上是减函数，则有g'(x)≤0在区间[－

1，1]上恒成立，所以λ≤－1.又因为，所以要使g(x)≤t2+t+1在x∈[－1，1]上恒成立，只需在时恒成立即可.即证(其中≤－1)恒成立.令，则，即.由恒成立，得t≤－1.(III)由(I)知方程，即.令，从而，故当x∈(0，e]时，F'(x)≥0，所以F(x)在区间(0，e]内

为增函数；当x∈[e，+∞)时，F'(x)≤0，所以F(x)在区间[e，+∞)内为减函数，所以F(x)的图像先递增后递减.当x=e时，.另一方面，的图像是开口向上的抛物线，当x=e时，.结合图像易知:当，即时，方程无实根；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根.最新模拟题

强化1．函数()fx是定义在)0,+上的增函数，则满足()1213fxf−的x的取值范围是（）A．12,33B．12,33C．12,23D．12,

23【答案】D【解析】因为函数()fx是定义在)0,+，所以210x−，即12x又函数()fx是定义在)0,+上为增函数所以1213x−，即23x综上：1223x故答案为：D2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+

∞）上单调递增的函数是（）A．y＝1﹣x2B．y＝x3C．y＝|x|+1D．y＝lnx【答案】C【解析】因为函数21yx=−在R上为偶函数，但在(0,)+为减函数，故A错误.因为函数3yx=在R上为奇函数，故B错误.因为函数lnyx=在(0,)+上为非奇非偶函数，故D错误.因为

函数1yx=+在R上为偶函数，在(0,)+为增函数，故C正确.故选C3．已知()yfx=是定义在R上的奇函数，且在(0,)+上单调递增，若()2log80,f=，则()0xfx的解集为（）A．(3,0)(3,)−+B．(3,0)(0,3)−C．(,3)

(0,3)−−D．(,3)(3,)−−+【答案】D【解析】∵()2log80,f=即()30f=，∵()yfx=在(0,)+上单调递增，∴当()0,3x时，()0fx，此时()0xfx，当()3,x+时，()0fx，此时()0xfx，又∵

()yfx=是定义在R上的奇函数，∴()yfx=在(,0)−上单调递增，且()30f−=，当(),3x−−时，()0fx，此时()0xfx，当()3,0x−时，()0fx，此时()0xfx，综上可知，()0xfx的解

集为(,3)(3,)−−+，故选:D4．定义在R上的函数1()()23xmfx−=−为偶函數，21(log)2af=，131(())2bf=，()cfm=，则A．cabB．acbC．abcD．bac【答案】C【解析】∵1

()()23xmfx−=−为偶函数，∴0m=，即1()()23xfx=−，且其在)0,+上单调递减，又1310()21，∴()()13211(())(log02))2(1cbffafffm====

=故选：C5．已知函数22,0(),0xxfxxx=−，若对任意,322mmx+，都有()()3fxmfx+，则实数m的取值范围是（）A．)4,+B．)23,+C．)3,+D．)22,+【答案】B【解析】函数22,0(),0xxfxxx=

−，当0x时，()2fxx=，在)0,x+上单调递增，当0x时，()2fxx=−，在()0,x+上单调递增，所以()fx在R上单调递增，()()33fxfx=所以不等式()()3fxmfx+转化为()()3fxmm

f+因为()fx在R上单调递增，所以3xmm+对任意,322mmx+恒成立，即()031xm−−而()31yxm=−−单调递增，所以得到()03132mm−+−解得23m故选：B.6．关于函数()1211xfxxe=+−

有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在(),0−上单调递增；④()fx恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④【答案】D【解析】函数()1211xfxxe=+

−，在①中，()()12121121211111111xxxxxxxxeeefxfxxexexeexe−−−=+=−+=+=+=−−−−−−．函数()1211

xfxxe=+−是偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；在②中，函数()1211xfxxe=+−是偶函数，图象关于y轴对称，故②错误；在③中，任取120xx，则()()()211212122222211111111xxxxxxxxeeeeeeee−+−+

=−=−−−−−−，120xx，210xxee−，110xe−，210xe−，12221111xxee++−−，111211011xxxeee++=−−，同理22101xe+−，即212211011xxee+

+−−，120xx，21110xx，212112121111xxxexe++−−，即()()12fxfx，所以，函数()yfx=在区间()0,+上为减函数，则该函数在区间(),0−上为增函数，故③正确；在④中，当0x时，10x，210

1xe+−，()0fx，当0x时，10x，2101xe+−，()0fx，()fx恒大于0，故④正确．故选：D．7．对于三次函数()()320axbxdafxcx=+++，给出定义：设()'fx是()yfx=的导数，()''fx是()'fx的导数，若方程()

''0fx=有实数解0x，则称点()()00,xfx为函数()yfx=的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212gxxxx

=−+−，则122019202020202020ggg++=（）A．2017B．2018C．2019D．2020【答案】C【解析】32115()33212gxxxx

=−+−，故2()3gxxx=−+，()21gxx=−，令()0gx=，解得：12x=，而1()12g=，故函数()gx的对称中心坐标是1(2，1)，由于函数()gx的对称中心为1(2，1)．(1)()2gxgx−+=．122019202020202020ggg

+++1120192201820191[()()()()()()]2202020202020202020202020gggggg=++++++1(22019)2=2019=．故选：C.8．已知函数()fx是定义在R

上的奇函数，当0x时，()31xfx=−，则使不等式()839xxfee−−成立的x的取值范围是（）A．(ln3,)+B．(0,ln3)C．(),ln3−D．()1,3−【答案】C【解析】当0x时，()31xfx=−是增函数且(

)0fx，又函数()fx是定义在R上的奇函数，则()00f=满足()31xfx=−，所以，函数()yfx=在R上是连续函数，所以函数()fx在R上是增函数，8(2)9f−=−，∴8(2)(2)9ff=−−=()83(2)9xxfeef−−

=，∴32xxee−−，即2230xxee−−，(3)(1)0xxee−+，又10xe+，∴3xe，ln3x，即原不等式的解集为(,ln3)−．故选：C.9．设函数，则是()A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数，且在（0,1）上是减函数C．偶函数，

且在（0,1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，则，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.10

．设()fx、()gx、()hx是定义域为R的三个函数，对于命题：①若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均为增函数，则()fx、()gx、()hx中至少有一个增函数；②若()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，则()fx、()g

x、()hx均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】因为[()()][()()][()()]()2fxgxfxhxgxhxfx+++−+=，所以[(+)(+)][(

+)(+)][(+)(+)](+)2fxTgxTfxThxTgxThxTfxT+++−+=,又()()fxgx+、()()fxhx+、()()gxhx+均是以T为周期的函数，所以[()()][()()][()()](+)=()2fxgxfxhxgxhxfxTfx+++−+=，所以()fx是周期为T

的函数，同理可得()gx、()hx均是以T为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.选D.11．已知函数(1)yfx=+的图象关于直线1x=−对称，且当0x时，()ln(1)fxxx=−+−，设()8af=−，1cos45()2bf−=，22tan16()1tan

16cf=−，则,,abc的大小关系为（）A．cabB．cbaC．acbD．bac【答案】A【解析】由题：函数(1)yfx=+的图象关于直线1x=−对称，所以()yfx=的图象关于直线0x=对称，当0x时，()ln(1)fxxx=−+−，即

()yfx=在(,0x−单调递减，在)0,x+单调递增，()()88aff=−=，()22sin22.51cos45()()sin228bfff−===，22tan16()(tan)81

tan16cff==−，以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角8，与单位圆交于点P，单位圆交x轴的正半轴于点T，作PMx⊥于M，过T作x轴的垂线交8的终边于A，则11sin228POTS

OTPM==，记扇形POT面积11228POTSOTPT==，11tan228AOTSOTAT==由图易得：POTPOTAOTSSS，所以0sintan888，所以cab.故答案为：

A12．定义在R上的偶函数()fx满足(1)(1)fxfx−=+，且当[1,0]x−时，2()fxx=，函数()gx是定义在R上的奇函数，当0x时，()lggxx=，则函数()()()hxfxgx=−的零点的的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】由于()()

11fxfx−=+，所以，函数()yfx=的周期为2，且函数()yfx=为偶函数，由()0hx=，得出()()fxgx=，问题转化为函数()yfx=与函数()ygx=图象的交点个数，作出函数()yfx=与函数()ygx=的图象如下图所示，由图象可知，()01fx≤≤，当10x时，()lg1gxx

=，则函数()yfx=与函数()ygx=在()10,+上没有交点，结合图像可知，函数()yfx=与函数()ygx=图象共有11个交点，故选C.13．设mR，若函数()()2311fxmxmx=+++是偶函数，则()fx的单调递增区间是_______

__.【答案】[0,)+【解析】由题意，函数()()2311fxmxmx=+++是偶函数，所以()()fxfx−=，即()()()22331()()111fxmxmxmxmx−=+−+−+=+−+，所以()()22331111mxmxmxmx+−+=+++，可得0

m=，所以函数的解析式为()231fxx=+，根据幂函数的性质，可得函数()fx的单调递增区间为[0,)+。故答案为：[0,)+.14．已知2243,0()23,0xxxfxxxx−+=−−+，不等式()(2)fxafax+−在[,1]aa+上恒成

立，则实数a的取值范围是________【答案】2a−【解析】因为2243,0()23,0xxxfxxxx−+=−−+所以当0x时，()243fxxx=−+，开口向上，对称轴为2x=，所以在(,0x−上单调递减；当0

x时，()223fxxx=−−+，开口向下，对称轴为1x=−所以在()0,x+上单调递减；所以得到()fx在R上单调递减.所以由不等式()(2)fxafax+−在[,1]aa+上恒成立，可得2xaax+

−在[,1]aa+上恒成立，即20xa−在[,1]aa+上恒成立，根据一次函数保号性，可得()20210aaaa−+−，解得02aa−所以a的范围为2a−.故答案为：2a−15．已知点()3,1A，5,23B，且平行四边形ABCD

的四个顶点都在函数()21log1xfxx+=−的图像上，则四边形ABCD的面积为______.【答案】263【解析】由101xx+−得：1x−或1x，即()fx定义域为()(),11,−−+U()()222111logloglog111xxxfxfxxxx−+−+−===−=−−−+

−()fx为定义在()(),11,−−+U上的奇函数C与A关于原点O对称，B与D关于原点O对称4ABCDOABSS=又2135433ABk−==−−直线AB方程为：()3134yx−=−−，即34130xy+−=O到直线AB距离135d=，又()2251653

121393AB=−+−=+=113526442533ABCDOABSS===故答案为：26316．已知定义在R上的函数()fx，满足1(1)3f=−，且对任意的x都有1(3)()fxfx+=−，

则(2020)f=_________【答案】3【解析】定义在R上的函数()fx，对任意的x都有1(3)()fxfx+=−，1(6)()(3)fxfxfx+=−=+，()fx是周期为6的函数，()113f=−()()()()112020633644311

3ffff=+==−=−=−故答案为：317．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①对于圆22:1Oxy+=的所有非

常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；②函数()sin1fxx=+是圆()22:11Oxy+−=的一个太极函数；③直线()()12110mxmy+−+−=所对应的函数一定是圆()()()222:210OxyRR−+−=的太极函数；④若函数()()3fxkx

kxkR=−是圆22:1Oxy+=的太极函数，则()2,2.k−所有正确的是__________．【答案】（2）（3）（4）【解析】①显然错误，如图②点()01，均为两曲线的对称中心，且()sin1fxx=+能把圆()2211xy+−=一分为二，故正确③直线(

)()12110mxmy+−+−=恒过定点()21，，经过圆的圆心，满足题意，故正确④函数()()3fxkxkxkR=−为奇函数，3221ykxkxxy=−+=，则()2624222110kxkxkx−++−=令2tx=，得()23

2222110ktktkt−++−=即()()2222110tktkt−−+=1t=即1x=对22221ktkt−+，当0k=时显然无解，0即204k时也无解即()22k−，时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分若2k=时，函数图象与圆有四个交点，若24k时，

函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二综上所述，故正确的是②③④18．已知曲线()22:90,0Cxyxy+=与函数lnyx=及函数xye=的图像分别交于点()11,Axy、()22,Bxy，则221

2xx+的值为__________【答案】9【解析】画出图形，如图．由于函数ylnx==和函数xye=是互为反函数，故函数ylnx==及函数xye=的图象关于直线yx=对称，从而曲线22:9(0,0)Cxyxy+=厖与函数ylnx==及函数xye=的图象的交点1(Ax，1)y，

2(Bx，2)y也关于直线yx=对称，21xy=．又1(Ax，1)y在圆弧229(0,0)xyxy+=厖上，22119xy+=，即22129xx+=．故答案为：9．19．设函数21()lg(1)1fxxx=+−+，则使(2)(32)fxfx−成立的x取值范围是_____【答案】2

(,)(2,)5−+【解析】函数()()21lg11fxxx=+−+，∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，

化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜25．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是()2,2,5−+．故答案为()2,2,5−+．20．已知点5(3,1),(,2),3AB，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数21()log1x

fxx+=−的图像上，设O为原点，已知三角形OAB的面积为S，则平行四边形ABCD的面积为_____.【答案】4S【解析】由101xx+−得1x−或1x，又∵222111()logloglog()111xxxfxfxxxx−+−+−===−=−−−+−∴()fx是

奇函数，其图象关于原点对称，平行四边形ABCD的四个顶点都在函数()fx的图象上，则,AC关于原点对称，,BD关于原点对称，即O是行四边形ABCD对角线的交点，而OABSS=，∴44ABCDOABSSS==．故答案为：4S．21．

若函数2()sin3131xfxx=+−+([2018,2018])x−的值域为[,]ab，则ab+=________【答案】0【解析】函数f（x）＝sin3x231x+−+1＝sin3x1313xx−++．由f（﹣x）＝sin（﹣3x

）1313xx−−−++═﹣（sin3x1313xx−++）＝﹣f（x）．可知f（x）是奇函数，它在x∈[﹣2018，2018]）上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．∴a+b＝0，故答案为：022．若函数()fx满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a

bc都在函数()fx的定义域内，就有函数值()()(),,fafbfc也是某个三角形的三边长.则称函数()fx为保三角形函数，下面四个函数：①()()20fxxx=；②()()0fxxx=；③()

sin02fxxx=；④()cos02fxxx=为保三角形函数的序号为___________．【答案】②③【解析】任给三角形，设它的三边长分别为abc，，，则abc+，不妨设

ac，bc，①()()20fxxx=，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数②()()0fxxx=，bca+，bcbca++，则()()0fxx

x=是保三角形函数③()02fxsinxx=，02abc+，()()()sinsinsinfafbabcfc+=+=()02fxsinxx=是保三角形函数④()02fxcosxx=，当512ab==，1

2c=时，55121212coscoscos+，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是②③23．已知函数()()131log312xfxabx=++为偶函数，()22xxabgx+=+为奇函数，其中a、b为常数，则()()()()2233100100ababa

bab++++++++=___________【答案】1−【解析】()fx为偶函数，()gx为奇函数，(1)(1)(0)0ffg=−=，即1(1)(31)33311loglog2210ababab+++=−+++=，解得11abab=+=−；复数a、b是

方程210xx++=的两个根，解得，1322ai=−+，1322bi=−−；331ab==已知1ab+=−，1ab=；则222()21ababab+=+−=−，332ab+=，同理可求441ab+=−，551ab+=−，662ab+=，，归纳出有周期性且3T=

，22331001002233()()()()99[()()()]()1abababababababab++++++++=+++++++=−故答案为：1−．24．已知函数()()()224fxxxaxb−++＝的图象关于

直线1x＝对称，则ab+＝_____，()fx的最大值为_____．【答案】−416【解析】由240x−＝可得=2x或2x=-，即2,2−是函数的零点，()224fxxxaxb−++（）＝（）的图象关于直线1x＝对

称，故()()2020−，,，关于1x＝对称的点()()0040，,，，所以04，也是函数的零点，故04，是20xaxb++＝的根，故044baab+=,=-,=-，又()2244fxxxx（）＝-（-），24

124fxxxx−−−（）＝-()()，令241)240fxxxx−−−（）=-(()>可得，当15x+或151x−，()0fx，此时函数单调递减，当115x+或15x−时，()0fx，此时函数单调递增，又当x→时，0fx

（）＜，151516ff+（）＝（-）＝．故答案为：416-，．25．已知函数()(0)afxxax=+，若对任意的1,13mnp、、，长为()()()fmfnfp、、的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是______.【答案】1(15，1)[19，5)3【解析】函数(

)(0)afxxax=+的导数为2()1afxx=−，当xa时，()0fx，()fx递增；当xa时，()0fx，()fx递减．当1a…即1a…时，1[3，1]为减区间，即有()fx的最大值为133a+；最小值为1a+．由题意可得只要满足12(1

)33aa++，解得513a„；当113a„且1()(1)3ff„即1193a剟时，1[3，]a为减区间，(a，1)为增区间，即有()fx的最大值为1a+；最小值为2a．由题意可得只要满足14aa+，解得0743a−，不成立；当113a„且1

()3ff（1）即113a时，1[3，]a为减区间，(a，1)为增区间，即有()fx的最大值为133a+；最小值为2a．由题意可得只要满足1343aa+，解得74309a−，不成立；当13a，即109a时，1[3，1]为增区间，即有()f

x的最小值为133a+；最大值为1a+．由题意可得只要满足12(3)13aa++，解得11159a．综上可得，a的取值范围是1(15，1)[19，5)3．故答案为：1(15，1)[19，5)3．26．已知函数()||fxxa=−，2()21gxxax=++（a为正常数

），且函数()fx与()gx的图像在y轴上的截距相等；（1）求a的值；（2）若()()()hxfxbgx=+（b为常数），试讨论函数()hx的奇偶性.【答案】（1）1a=；（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）由题意，∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，∴f（

0）＝g（0），即|a|＝1，又a＞0，故a＝1．（2）h（x）＝f（x）+b()gx＝|x﹣1|+b|x+1|，其定义域为R，∴h（﹣x）＝|x+1|+b|x﹣1|．若h（x）为偶函数，即h（x）＝h（﹣x），则有b＝1，此时h（2）＝4，h（﹣2）＝4，故h（2）≠﹣h（﹣

2），即h（x）不为奇函数；若h（x）为奇函数，即h（x）＝﹣h（﹣x），则b＝﹣1，此时h（2）＝2，h（﹣2）＝﹣2，故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不为偶函数；综上，当且仅当b＝1时，函数h（x）为偶函数，且不为奇函数，当

且仅当b＝﹣1时，函数h（x）为奇函数，且不为偶函数，当b≠±1时，函数h（x）既非奇函数又非偶函数．27．已知函数()1log(01)1axfxax−=+．（1）求函数()fx的定义域D，并判断()fx的奇偶性；（2）

如果当()1,xa−时，()fx的值域是(),1−，求a的值；（3）对任意的m，nD，是否存在tD，使得()()()fmfnft+=，若存在，求出t，若不存在，请说明理由．【答案】（1）定义域为()1,1−，奇函数；（2）21a

=−；（3）存在，1mntmn+=+，详见解析【解析】（1）由函数有意义可得：101xx−+，解得：11x−()fx的定义域为()1,1−()()11loglog11xxfxfxxx+−−==−=−−+()fx是()1,1−上的奇函数（2）()()2log1011afxax=−+

+211x=−++为()1,1−上的减函数，logay=为()0,+上的减函数()fx在()1,1−上单调递增()1fa=，即1log11aaa−=+11aaa−=+，解得：21a=−−（舍）或21a=−21a=−（3）()()()()()()111

1logloglog1111aaamnmnfmfnmnmn−−−−+=+=++++，()1log1atftt−=+假设存在()1,1t−，使得()()()fmfnft+=，则：()()()()111111mntmnt−−−=++

+()()()()()()()()11111111mnmntmnmnt−−+−−=++−++解得：()()()()()()()()111111111mnmnmntmnmnmn++−−−+==−−++++()()111

1111nmmnmnmnmnmnmn−−++−−−==+++()1,1m−，()1,1n−()()1101nmmn−−+11mnmn++又()()11110111mnmnmnmnmnmnmn+

++++++==+++11mnmn+−+()1,11mnmn+−+对任意的,mnD，存在tD满足()()()fmfnft+=，此时1mntmn+=+28．已知函数()21axbfxx+=+是定

义在()1,1−上的奇函数，且1225f=.(1)确定函数()fx的解析式；(2)用定义证明函数()fx在区间()1,1−上是增函数；(3)解不等式()()10ftft−+.【答案】（1）2(

)(11)1xfxxx=−+；（2）详见解析；（3）1(0,)2.【解析】（1）解：函数2()1axbfxx+=+是定义在(1,1)−上的奇函数，则(0)0f=，即有0b=，且12()25f=，则1221514a=+，解得，1a=，则函数()fx的

解析式：2()(11)1xfxxx=−+；满足奇函数（2）证明：设11mn−，则22()()11mnfmfnmn−=−++22()(1)(1)(1)mnmnmn−−=++，由于11mn−，则0mn−

，1mn，即10mn−，22(1)(1)0mn++，则有()()0fmfn−，则()fx在(1,1)−上是增函数；（3）解：由于奇函数()fx在(1,1)−上是增函数，则不等式(1)()0ftft−+即为(1)()()ftftft-<-=-，即有11

1111tttt−−−−−，解得021112ttt−，则有102t，即解集为1(0,)2．29．已知函数()yfx=，若存在实数(),0mkm，使得对于定义域内的任意实数x，均有()()()mfxfxkfxk=++−

成立，则称函数()fx为“可平衡”函数，有序数对(),mk称为函数()fx的“平衡”数对.（1）若1m=，判断()sinfxx=是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若aR，0a，当a变化时，求证：()2fxx=与()2xgxa=+的“平衡”数对相同；（

3）若12,mmR，且1,2m、2,4m均为函数()2cosfxx=的“平衡”数对.当04x时，求2212mm+的取值范围.【答案】（1）()sinfxx=是“可平衡”函数,详见解析（2）证明

见解析（3）221218mm+【解析】（1）若1m=,则()sinmfxx=,()()()()sinsinfxkfxkxkxk++−=++−2sincosxk=,要使得()fx为“可平衡”函数,需使故()12cossin0kx−=对于任意实数x均成

立,只有1cos2k=,此时23kn=,nZ,故k存在,所以()sinfxx=是“可平衡”函数.（2）()2fxx=及()2xgxa=+的定义域均为R,根据题意可知,对于任意实数x,()()2222

2=22mxxkxkxk++−=+,即22222mxxk=+,即()22220mxk−−=对于任意实数x恒成立,只有2m=,0k=,故函数()2fxx=的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xgxa=+而言,()222xxkxkmaaa+−+=+++()2222xkk

a−=++,所以()()22222xxkkmaa−+=++,()()22220xkkmam−−++−=,()2220kkmam−=+−=,即22mm=,故2m=,只有0k=,所

以函数()2xgxa=+的“平衡”数对为()2,0,综上可得函数()2fxx=与()2xgxa=+的“平衡”数对相同.（3）2221coscoscos22mxxx=++−,所以221cos2sinmxx=,22

22coscoscos44mxxx=++−,所以22cos1mx=,由于04x,所以21cos12x,故(212tan0,2mx=,(22sec1,2mx=,()22224121tan4tanmmxx+=++()22222145tan2t

an15tan55xxx=++=++,由于04x,所以20tan1x时,2116tan555x+,()2212tan238x+−,所以221218mm+.30．对于定义在区间D上的函数()fx，若存在闭区间[,]abD和常数c，使得对任

意1[,]xab，都有1()fxc=，且对任意2x∈D，当2[,]xab时，2()fxc恒成立，则称函数()fx为区间D上的“平底型”函数.（Ⅰ）判断函数1()12fxxx=−+−和2()2fxxx=+−是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（Ⅱ）设()fx是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k

为非零常数，若不等式()tktkkfx−++对一切tR恒成立，求实数x的取值范围；（Ⅲ）若函数2()2gxmxxxn=+++是区间[2,)−+上的“平底型”函数，求m和n的值..【答案】（1）2()fx不是“平底型”函

数（2）实数x的范围是15[,]22⑶m＝1，n＝1【解析】【解】（1）对于函数1()12fxxx=−+−，当[1,2]x时，1()1fx=.当1x或2x时，1()(1)(2)1fxxx−−−=恒成立，故1()fx是

“平底型”函数……………………………………………………………2分对于函数2()2fxxx=+−，当(,2]x−时，2()2fx=；当(2,)x+时，2()222fxx=−.所以不存在闭区间[,]a

b，使当[,]xab时，()2fx恒成立.故2()fx不是“平底型”函数.……………………………………4分（Ⅱ）若()tktkkfx−++对一切tR恒成立，则min()()tktkkfx−++.因为min()2tktkk−++=，所以2()kkfx.又0k，则()2fx

.……6分因为()12fxxx=−+−，则122xx−+−，解得1522x.故实数x的范围是15[,]22.…………………………………………………8分（Ⅲ）因为函数2()2gxmxxxn=+++是区间[2,)−+上的“平底型”函数，则存在区间[

,]ab[2,)−+和常数c，使得22mxxxnc+++=恒成立.所以222()xxnmxc++=−恒成立，即221{22mmccn=−==.解得1{11mcn==−=或1{11mcn=−==.……10分

当1{11mcn==−=时，()1gxxx=++.当[2,1]x−−时，()1gx=−，当(1,)x−+时，()211gxx=+−恒成立.此时，()gx是区间[2,)−+上的“平底型”函数.………………12分当1{11mcn=−=

=时，()1gxxx=−++.当[2,1]x−−时，()211gxx=−−，当(1,)x−+时，()1gx=.此时，()gx不是区间[2,)−+上的“平底型”函数.………………13分综上分析，m＝1，n＝1为所求.

………………………………………14分31．已知函数()22xxfxa−=+()aR．（1）讨论函数()fx的奇偶性；（2）若函数()fx在(,2]−上为减函数，求a的取值范围．【答案】（1）当1a=时，()fx是奇函数；当1a=−时，()fx是偶函数；

当1a时，()fx是非奇非偶函数，（2）4a.【解析】（1）()22xxfxa−−=+若()fx为偶函数，则对任意的xR，都有()()fxfx=−，即2222xxxxaa−−+=+，2(1)2(1)xxaa−−=−，(22)

(1)0xxa−−−=对任意的xR都成立．由于22xx−−不恒等于0，故有10a−=，即1a=∴当1a=时，()fx是偶函数．若()fx为奇函数，则对任意的xR，都有()()fxfx=−−，即22220xxxxaa−−+++=，(22)

(1)0xxa−++=对任意的xR都成立．由于22xx−+不恒等于0，故有10a+=，即1a=−∴当1a=−时，()fx是奇函数．∴当1a=时，()fx是奇函数；当1a=−时，()fx是偶函数；当1a时，()fx是非奇非偶函数

．（2）因函数()fx在(,2]−上为减函数，故对任意的122xx，都有12())0(fxfx−，即12()()fxfx−=1122121222(22)(22)(1)022xxxxxxxxaaa−−+−+=−−恒成立．由12220xx−，知121022xxa

−恒成立，即1222xxa恒成立．由于当122xx时12max(22)4xx∴4a32．对于在某个区间),a+上有意义的函数()fx，如果存在一次函数()gxkxb=+使得对于任意的),xa+，有()()1fxgx−恒成立，则称函数()

gx是函数()fx的一个弱渐近函数.（1）若函数()3gxx=是函数()3mfxxx=+在区间)4,+上的一个弱渐近函数，求实数m的取值范围；（2）证明：函数()32gxx=是函数()23242fxxx=−+在区间)4,+上的弱渐近函数；（3）试问：函数()21

21xfxx=+与函数()()221xfxex−=−−（其中e为自然对数的底数）在区间)1,+上是否存在相同的弱渐近函数？如果存在，请求出对应的弱渐近函数应满足的条件；如不存在，请说明理由.【答案】（1）4,4−；（2）见解析；（3）存

在，()2gxxb=+，其中22,1be−−−.【解析】（1）依题意，当)4,x+时，()()331mfxgxxxx−=+−恒成立，即1mmxx恒成立，故4m，所以，实数m的取值范围是4,4−；（2）

当4x时，()()22233234262624222244gxfxxxxxxxxxxxx−=−−−=−=−−+−+−10x=，()()2233234234244122224gxfxxxxxxxxxx−=−−−=−−=

+−，.故()()()()011gxfxgxfx−−，得证；（3）假设存在满足题意的弱渐近函数()gxkxb=+，()()()()212222122111xfgxkxbxkxbkxbxxxx−=−−=−+−−=−+−−+++，若2k，由于当1x时，2011

x+，故(222,11bbbx−−−−−−+，但是，当x→+时，()2kx−→，故()()fxgx−→，不符合“()()1fxgx−恒成立”的要求，所以2k=，此时()()(1222,11,11fgxbbxbx−=−−−−−−−+，则2111bb−−−−−

，解得：21b−；()()()()221222xxfgxxexbbex−−−=−−−+=−−−，当1x时，10xee−，故2222,2[1,1]xbebbe−−−−−−−−−−，得22121

beb−−−−−−，解得：231be−−−.综上所述，函数()2121xfxx=+与函数()()221xfxex−=−−在区间)1,+上存在相同的弱渐近函数，对应的弱渐近函数是()2gxxb=+，其中22,1be−−−.3

3．对于函数()fx，若存在实数m，使得()()fxmfm+−为R上的奇函数，则称()fx是位差值为m的“位差奇函数”.（1）判断函数()21fxx=+和()2xgx=是否为位差奇函数？说明理由；（2）若()sin()fxx=+是位

差值为4的位差奇函数，求的值；（3）若32()fxxbxcx=++对任意属于区间1[,)2−+中的m都不是位差奇函数，求实数b、c满足的条件.【答案】（1）()21fxx=+是位差奇函数，详见解析

()2xgx=不是位差奇函数；（2）4k=−，kZ；（3）32b，cR.【解析】（1）对于f（x）＝2x+1，f（x+m）﹣f（m）＝2（x+m）+1﹣（2m+1）＝2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x

）＝2x，记h（x）＝g（x+m）﹣g（m）＝2x+m﹣2m＝2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）＝2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）＝0，当且仅当x＝0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不

是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，4444fxfsinxsin+−=++−+是奇函数，∴44kk+==−（k∈Z）．（3）记h（x）＝f（x+m）﹣f（m）＝（

x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm＝x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意12m−+，都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b＝0，此时332bm=−．故要使h（x）不是奇函数，必

须且只需32b＞，且c∈R．34．函数()yfx=的定义域为D，若存在0xD，使得00()fxx=成立，则称0x为函数()yfx=的“不动点”；（1）若2()fxaxbxc=++（0a）有两个不动点1−、3，求bc的最小值；（2）若0a，且2()fxax

bxc=++有两个不动点m、n满足：10mna，求证：当(0,)xm时，()fxm；【答案】（1）38−；（2）证明见解析；【解析】（1）由题意得1−、3为2axbxcx++=两根，所以113,13bcaa−−

+=−−=因此2213321,3636()488bacabcaaa=−+=−=−=−−−（2）由题意得,mn为2axbxcx++=两根，所以1,1bmnbamana−+=−+=−当(0,)xm时，()()()()()()(1)fxmfxfmxmaxambxmaxa

n−=−=−++=−+−因为(0,)xm，10mna，0a，所以0,10()0,().xmanfxmfxm−−−35．已知函数1()lg(211)fxxa=−++，2()lg(2)fxxa=−

+，xR.（1）试判断函数2()lg(2)fxxa=−+的奇偶性，并说明理由；（2）若2a=，求12()()()fxfxfx=在[2,3]x上的最大值；（3）若aR，求函数1212()()()()()22fxfxfxfxgx−+=−在[1,6]x上的最小值.【答案

】（1）当0a=，为偶函数，当0a，为非奇非偶函数；详见解析（2）最大值2lg2；（3）()()minlg(3),0lg(32),010,13.5lg26,3.54lg2,46lg(4),6aaaaagxaaaaa−−=−−.【解析】（1）当

0a=时，2()lg(2)fxx=+，其定义域为R.因为22()lg(2)()fxxfx−=−+=，故2()fx为偶函数.当0a时，2()lg(2)faa=+，而2()lg(22)faa−=+，因为222aa++，故22()()fafa−，

又()20lg20f=，故2()fx为非奇非偶函数.综上，0a=时2()fx为偶函数，0a时，2()fx为非奇非偶函数.（2）当2a=时，1()lg(31)fxx=−+，2()lg(22)fxx=−

+当[2,3]x时，()12()lg(4)lgfxfxxx=−.又()()()22lg4lglg4lg24lg4xxxxx−+=−=−−+，由基本不等式有()222lg4lg1lg(4)lglg4lg224xxxx−+−=，当且仅当2x=时等号成立，故()12

()fxfx的最大值为2lg2.（3）11212212(),()()()min(),(),1,6(),()()fxfxfxgxfxfxxfxfxfx==.所以min12minmin()min(),()gxfxfx=，其中1,6x.当1a时，()()1lg22fx

xa=−+，()()2lg2fxxa=−+当1,6x时，1min()lg(32)fxa=−，min2()lg(3)fxa=−，当0a时，因为323aa−−故min()lg(3)gxa=−；当01a时，因为

323aa−−故min()lg(32)gxa=−.当6a时，1()lg(2)fxax=−，2()lg(2)fxax=−+，当1,6x时，1min()lg(26)fxa=−，min2()lg(4)fxa=−，因为264aa−−，故min()lg(4)gxa=−.当

16a时，当3.56a时，216a−，()1,6a此时1()lg(2)fxax=−，故()1min()lg26fxa=−，min2()lg2fx=，当3.54a时，由()lg26lg2a−，故()min()lg26gxa=−.当46a时，由()lg26

lg2a−，故min()lg2gx=.当13.5a时，1216a−，故1min()0fx=，min2()lg2fx=，故min()0gx=.综上，()()minlg(3),0lg(32),010,13.5lg

26,3.54lg2,46lg(4),6aaaaagxaaaaa−−=−−.