【文档说明】河南省信阳市高级中学2022-2023学年高一上学期1月测试（一）数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.320 MB，由小赞的店铺上传

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河南省信阳高级中学2022-2023学年高一上期01月测试（一）数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lnxye=的定义域和值域相同的是（）A.y=xB.y=lnxC.y=x

eD.y=1x【答案】D【解析】【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【详解】解：函数lnxye=的定义域和值域均为(0,)+，函数yx=的定义域为R，值域为R，不满足要求；函数lnyx=的定义域为(0,)+，值域为R，不满足要求；

函数xye=的定义域为R，值域为(0,)+，不满足要求；函数1yx=的定义域和值域均为(0,)+，满足要求；故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．2.

已知5ab=−，则baabab−+−的值是A.25B.0C.25−D.25【答案】B【解析】【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意知0ab，22225555||||baabababababab

abababab−+−=−+−=+=+，由于0ab，故abab=−，则原式0=.故选B.【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.3.区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有

5122种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行131.2510次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据：lg20.3，103.16）A1416.3210sB.1406.3210sC.1413.161

0sD.1403.1610s【答案】D【解析】【分析】根据题意所求时间为5121321.2510，利用对数的运算进行求解即可.【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则有5121321.2510x=；两边取常用对数，得51251213132lglglg

2lg1.25101.2510x==−；()lg512lg2lg1.2513x=−+()512lg23lg511=−+()512lg231lg211=−−−515lg214=−140.5；所以1

40.51400.51401010103.1610x==.故选：D.4.已知0.85sin53,log2,0.5abc===，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.b<c<aD.c<a<b【答案】C【解析】.【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和

性质求解即可.【详解】因为2sin53sin452=，541log2log22=，10.80.5120.50.50.522==，所以0.85log20.5sin53，故选：C5.已知

函数2log||()2axmfxxb+=+的图象如图所示，当xn时，有()0fx，则下列判断中正确．．的是（）A.1,0,0ambB.1,0,0ambC.01,0,0ambD.01,0,0amb【答案】B【解析】【分析】根据()fx的定义域为2

x得到0m，排除A选项；根据()2log02anmfnxb+==+，得到1n=，再结合1x时，()0fx得到0b，排除D选项；根据()log20afb=，0b得到1a，排除C选项.【详解】由图象可得，()fx定义域为2x，所以2x可能是220xb+的解，也可能是0

xm+的解，当2x是220xb+的解时，8b=−，此时220xb+的解为2x，跟题意不符；当2x是0xm+的解时，2m=−，符合要求，所以0m，故A错；因为2m=−，2n，()2log02anmfnxb+==+，所以1n=，当1x时，()2log

02axmfxxb+=+，而21x−，所以log2ax−的符号在1x时不变，则22xb+的符号也不变，所以22xb+只能大于零，即0b，故D错；因为()log20afb=，0b，所以log20a，即1a，故B正确，C错.故选：B.6.已知

()fx是定义在R上的增函数，且对任意xR，都有()()()1212fxfxfxx=+，则不等式()2122fxfx−+的解集为（）A.(3,)−+B.(2,)+C.(),3−−D.(),2−【

答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得原不等式可以转化为(2)(21)fxfx−+，由函数的单调性解不等式，即可得答案．【详解】根据题意，()fx满足1212()()()fxfxfxx=+，则2111[()]()()(21)222fxfxfxfx+=++=+，则21(

2)[()](2)(21)2fxfxfxfx−+−+，又由()fx是定义在R上的增函数，则有221xx−+，解可得3x−，即不等式的解集为(),3−−.故选：C.7.若函数()213log412ya

xx=−+在区间1,2上单调递增，则实数a的取值范围（）A.(1,1−B.1,1−C.(0,1D.0,1【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得()24120=−+uaxxu在区间1,2上单调递减，分0a=、0a、a<0讨论，根据在

1,2x上单调性可得答案.【详解】因为13logyx=是减函数，函数()213log412yaxx=−+在区间1,2上单调递增，所以()24120=−+uaxxu在区间1,2上单调递减，当0a=时，412=−+ux在1,2x单调递减，1,2x时4,8u，符合题意

；当0a时，若()24120=−+uaxxu在1,2x单调递减，则422442120aa−+，解得01a；当a<0时，若()24120=−+uaxxu在1,2x单调递减，则4124421

20aa−+，解得10a−；综上所述，实数a的取值范围(1,1−.故选：A.8.已知函数()()ln,,Rfxxabxaab=−++，若()0fx在定义域上恒成立，则2ab−的值是（）A.－1B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】首先将函数分成两部

分，lnxa+和xab−+，然后考察lnxa+的零点，利用两部分同号相乘为正数的原则，可知两部分的零点相同，代入并讨论去绝对值，即可求解,ab.【详解】由题设，f（x）定义域为|xxa−令ln0xa+=，可得1xa=−+或

1xa=−−∴lnyxa=+在()()1,,1aaaa−−−−−+上0y，在(),11,aa−−−−+上0y，若()gxxab=−+，∴要使()0fx在定义域上恒成立，则在()()1,,1aaaa−−−−−+上()0gx，在(),11,aa−

−−−+]上()0gx，∴1xa=−+或1xa=−−也是g（x）的零点，则：12120210aabab−−+=−+−=，无解；1122120210aabab−−+=+

+=，解得：01ab==−；12210210aabab−+=++=，无解.∴22ab−=故选：D二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选绩中，有多项符合

题要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列三角函数值为负数．．的是（）A.3tan4−B.tan505C.sin7.6D.sin186【答案】BCD【解析】【分析】

根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案.【详解】对于A，33tantan(1)144−=−=−−=，故A为正数；对于B，tan505tan(360)tan145tan350145+===−，故B为负数；

对于C，sin7.62sin(80.4)sin05=−=−，故C为负数；对于D，sin186sin(1806)sin60=+=−，故D为负数；故选：BCD10.已知实数a，b，c满足：abc

+=且0ab，则（）A.22acB.22cabC.222abc+D.222abc+【答案】AB【解析】【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；对于B：由22222caabbab=++即可判断；对于C：取特殊值1,2ab==

，否定结论；对于D：由22222caabbab=++即可判断.【详解】因为实数a，b，c满足：abc+=且0ab，所以a、b、c同号.对于A：若a<0，0b，则0caba=+，所以22ac；若0a，0b，则0caba=+

，所以22ac；故A正确；对于B：因为,0abcab+=，所以()222222cabaabbab=+=++，所以22cab成立.故B正确；对于C：可取1,2ab==，则322246,228abc+=+===，所以222abc+不成立.故C错误；对于D：因为abc+=

，所以()22222cabaabb=+=++.因为0ab，所以222222caabbab=+++.故D错误.故选：AB11.已知函数()22,011,0xxxfxxx+=−，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的单调减区间是)1,+；B.函数()fx在定义域上有

最小值为0，无最大值；C.若方程()0fxt−=有1个实根，则实数t的取值范围是()1,+D.设函数()223gxxmx=++，若方程()1gfx=有四个不等实根，则实数m的取值范围是3,2−−【答案】ABD【解析】【分析】函数变形得()2,011,0x

xfxxxx+=−，即可根据函数形式得出函数的单调性及值域，即可判断AB；由数形结合即可判断C；对D，方程()1gfx=等价于()()1fxtgt==①②，结合①解的个数的情况，即可判断②中解的个数及范围，即可

根据零点存在定理列不等式求解.【详解】()222,0111,0xxxxfxxxx=++=−由于1yxx=+在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，且2yx=在()0,+单调递减，所以由复合函数单调性可得当

0x时，()21fxxx=+在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，故()fx的图象如图所示，对AB，在(),0−，()fx单调递增，值域()0,+；在)0,+，当11xxx==时，()fx有最大值，即在)0,1单调递增，在

()1,+单调递减，值域为0,1，综上，()fx的值域为)0,+，故AB对；对C，方程()0fxt−=有1个实根等价于()yfx=与yt=有一个交点，则实数t的取值范围是()01,+，C错；对D，方程()1gfx=等价于()()1fxtgt

==①②，由于()01,t+时方程①一解；1t=时方程①两解；()0,1t时方程①三解.故()1gfx=有四个不等实根等价于()()21220htgttmt=−=++=有两根12,tt，其中()10,1t

，()201,t+.∵()00h，122tt=，∴只需()312302hmm=+−即可，此时()10,1t，()2122,tt=+，故m的取值范围为3,2−−，D对.故选：ABD12.定义“正对数”:0,01lnln,1xxxx+=

，若a>0，b>0，则下列结论中正确的是（）A.()lnlnbaba++=B.ln()lnlnabab++++C.ln()lnlnabab+++++D.ln()lnlnln2abab++++++【答案】AD【解析】【

分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对,ab进行分类讨论，判断出每个命题的真假.【详解】对A，当01a，0b时，有01ba，从而()ln0ba+=，ln00bab+==，所以()lnlnbaba+

+=；当1a，0b时，有1ba，从而()lnlnlnbbaaba+==，lnlnbaba+=，所以()lnlnbaba++=．所以当0a，0b时，()lnlnbaba++=，故A正确．对B，当14a=，2b=时满足

0a，0b，而()1lnln02ab++==，1lnlnlnln2ln24ab+++++=+=，所以()lnlnlnabab++++，故B错误；对C，令2a=，4b=，则()ln24ln6++=，ln2ln4ln2ln4ln8+++=+=，显然ln6ln8，故C错误；对D，由“正对数”的定

义知，当12xx时，有12lnlnxx++，当01a，01b时，有02ab+，从而()lnln2ln2ab+++=，lnlnln200ln2ln2ab++++=++=，所以()lnlnlnln2abab++++++；当1a，01b时，有1ab+

，从而()()()()lnlnlnln2ababaaa++=++=，()lnlnln2ln0ln2ln2abaa++++=++=，所以()lnlnlnln2abab++++++；当01a，1b时，有1ab+，从而()()()()lnlnl

nln2ababbbb++=++=，()lnlnln20lnln2ln2abbb++++=++=，所以()lnlnlnln2abab++++++；当1a，1b时，()()lnlnabab++=+，()lnlnln2lnlnln2ln2ababab++++=++=，因为()

()()2110abababaabbabba−+=−+−=−+−，所以2abab+，所以()lnlnlnln2abab++++++．综上所述，当0a，0b时，()lnlnlnln2abab++++++，故D正确．故选：AD．【点睛】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给

的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义使解题无法入手.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分；）13.计算1325511(lg4)lg161lglog35log7274−+−+−+−

=______.【答案】5【解析】【分析】根据对数和指数的运算求解即可.详解】1325511(lg4)lg161lglog35log7274−+−+−+−21551(lg4)2lg41l

g4log35log73−=+−+++−5lg41lg4log35=+−++1lgg3154l4=+−+=+.【故答案为：5.14.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点4π4πsin,cos33P，则()cosπ+=______．【答案】

32【解析】【分析】由诱导公式求出点P的坐标，由三角函数的定义求出cos的值，再由诱导公式即可求解.【详解】因为4πππ3sinsinπsin3332=+=−=−，4πππ1coscosπco

s3332=+=−=−，因为角的终边经过点31,22P−−，因为2231122OP=−+−=，所以332c2osOP=−−=，所以()3cosπcos2+=−=故答案为：32.15.设

函数()fxx=和函数()4gxxx=−，若对任意的120xx，，t]，当12xx时，都有()()()()12122gxgxfxfx−−，则t的最大值为___________.【答案】1【解析】【分析】将

条件进行整理，最后转化为一个函数的在区间0,t上的单调性问题.【详解】不妨设12120,0,xxtxx−对于()()()()()()()()()1212121212122,2,gxgxgxgxgxgxxxfxfxxx−−=−−

−−()()112222,gxxgxx−−即()()242,0,hxgxxxxxxt=−=−−单调递增；()222,46,4xxxhxxxx−+=−，22xx−+在(,1−上单调递增，故max1.t=故答案为：116.已知函数()fx对于任意

xR均满足()()4fxfx=−，且当2x时，(),022,0xxfxxx=−，若存在实数(),,,abcdabcd满足()()()()fafbfcfd===，则()()4bacd−−+的取

值范围为___________.【答案】(),0−【解析】【分析】由抽象函数关系式可知()fx关于直线2x=对称，由此可得badc−=−；作出()fx在(,2−上的图象，采用数形结合的方式可确定4ab=−且()0,2b，令t

ba=-，将问题转化为二次函数值域的求解问题，结合对勾函数性质可得t的范围，进而确定结果.【详解】()()4fxfx=−，()fx\关于直线2x=对称，badc−=−，令tba=-；作出()fx在(,2−上的图象如下图所示，由图象可

得：2ba=−，4ab=−，且()0,2b，()44,tbabb=−=++，令()()224424yttttt=−+=−+=−−+，则2240y−+=，即()24,0tt−+−，()()4b

acd−−+的取值范围为(),0−.故答案为：(),0−.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设Ra，集合()()22|log2|30AxxaBxxax=+=−+，，（1）若1a=，求

AB（2）若R2()ABð，求a的取值范围.【答案】（1）|03ABxx=（2）21a−−【解析】【分析】（1）根据对数函数定义域与单调性，结合二次不等式与交集的定义求解即可；（2）由题意2A且R2Bð，再分别代入求解不等式即可.

【小问1详解】当1a=时，()22|log12|13|40|04AxxxxBxxxxx=+=−−=，，所以|13|04|03ABxxxxxx=−=【小问2详解】集合()2|30Bxxax=−+，所以()2R|30.Bxxax=−+

ð因为()R2ABð，所以2A且R2Bð.则()()22log222230aa+−+，即0244260aa+−−，解得21a−−.18.在平面直角坐标系xOy中，O是

坐标原点，角的终边OA与单位圆的交点坐标为1,(0)2Amm−，射线OA绕点O按逆时针方向旋转弧度．．后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于的函数为()yf=．（1）求函数()yf=的解析式．并求3f−的值；（2）若3(),(0,)4f=，

求tan6+的值．【答案】（1）7()sin6f=+，132f−=（2）39tan613+=【解析】【分析】（1）根据题意，得到1sin2=−，而()sin()f=+，根

据所在象限，得出，进而求出()f，再代入3=−，即可求得()3f−；（2）由3()4f=，得到3sin64+=−，根据(0,)，得7,666+，利用平方关系解得cos6+，进而可求出tan6+的值.

【小问1详解】因为1sin2=−，且0m，点A在第三象限，所以()72Z6kk=+，由此得7()sin6f=+，751sinsin33662f−=−+==【小问2详解】由于3()4f=知73si

nsin664+=−+=，即3sin64+=−由于(0,)，得7,666+，与此同时sin06+，所以cos06+由平方关系解得：13cos64+=−，

所以39tan613+=19.2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标

志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMvvm=计算火箭的最大速度(m/s)v，其中0(m/s)v是喷流相对速度，(kg)m是火箭(除推进剂外)的质量，(k

g)M是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000(m/s).（1）当总质比为200时，利用给出参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的3

2倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500(m/s)，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：ln2005.3，2.7182.719e.【答案】（1）5300m/s；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【解析】【分析】（1）代入公式0

lnMvvm=中直接计算即可（2）由题意得10ln1000lnMMvvmm==，203ln1500ln233MMvvmm==，则211500ln1000ln5003MMvvmm−=−，求出Mm的范围即可【详解】（1）0ln10005.35300m/sMv

vm==，（2）10ln1000lnMMvvmm==，203ln1500ln233MMvvmm==.因为要使火箭的最大速度至少增加500m/s，所以211500ln1000ln5003MMvvmm−=−，即：3ln2ln13MMmm−

，所以332233ln2lnlnlnlnln13327MMMMMMmmmmmmMm−=−==，的即27Mem，所以27Mem，因为2.7182.719e，所以2773.38Mem.所以在

材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题20.已知sincos2sinπ4t=++=，ππ,22−（1）当12t=，求3

3sincos−的值；（2）求函数()(sincos)sincosfa=+−的最大值().ga【答案】（1）5716−（2）()2,1?11,122212,1?2aagaaaaa−−=+−

−【解析】【分析】（1）根据1sincos2+=得到3sincos8=−，7sincos2−=−，代入计算得到答案.（2）确定1,2t−，化简得到()21122httat=−++，讨论1a−，12a−和2a三种情况

，分别计算得到答案.【小问1详解】1sincos2+=，故()2221sincossincos2sincos4+=++=，3sincos8=−，sincos0，又ππ,22−，故π,0,co

s02−，则sin0，()22237sincossincos2sincos144−=+−=+=，故7sincos2−=−，()()32327557sincossincossincossincos2816

−=−++=−=−.【小问2详解】π2sin()4t=+，ππ,22−，故,π3π4π44+−，故1,2t−，22111()(sincos)sincos222tfaattat−=+−=−=−++，设()21122h

ttat=−++，二次函数的对称轴为ta=，当1a−时，()()max1htha=−=−；当12a−时，()()2max1122hthaa==+；当2a时，()()max1222htha==−.综上所述：

()2,111,122212,12aagaaaaa−−=+−−21.已知定义在R上的增函数()fx，函数()()()Fxfxfx=−−，()()()Gxfxfx=+−．（1）用定义证明函数()

Fx是增函数，并判断其奇偶性；（2）若()2xfx=，不等式()()24GxmGx+对任意xR恒成立，求实数m的取值范围；（3）在（2）的条件下，函数()()()()1gxFxafxa=+−−有两个

不同的零点12,xx，且12121xxxx++，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明详见解析，()Fx是奇函数（2）(),3−（3）17,2++【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证得()Fx是增函数，根据函数奇偶性的定义判断出()Fx是奇函数.（2）由(

)()24GxmGx+分离常数m，结合基本不等式以及函数的单调性求得m的取值范围.（3）利用换元法，将()0gx=转化为一元二次方程的形式，结合二次函数零点分布的知识列不等式，从而求得a的取值范围.【小问1详解】设12,Rxx，

且12xx．因为()fx是R上的增函数，则()12()fxfx，又12xx−−，则()()12fxfx−−，则()()()()2211fxfxfxfx−−−−，即()()12FxFx，所以()Fx是增函数；()F

x的定义域是R，且对于xR，()()()()FxfxfxFx−=−−=−，故()Fx是奇函数．【小问2详解】由()()24GxmGx+，即22)224(22xxxxm−−+++，则()()222222x

xxxm−−+++，即()22222xxxxm−−+++，对xR恒成立．令22xxt−=+，222222−−+=xxxx，当且仅当22,0xxx−==时等号成立，即2t，则2mtt+，对任意2t恒成立.对于函数()()22vxxxx=+，任取122x

x，()()12121222vxvxxxxx−=+−−()()()12121212121222xxxxxxxxxxxx−−−=−−=，当122xx时，由于1212120,20,0xxxxxx−−，所以()()()()12120,vxv

xvxvx−，所以()vx在区间)2+上递增.所以22232tt++=，故3m．故实数m的取值范围为(),3−.【小问3详解】由12121xxxx++，即()()12110xx−−，则121xx<<．因为()()()12222

2212xxxxxgxaaaa−−−=−+−=+−−，设2xu=，则()221agxuau−=+−，令()0gx=，则22210uaua−+−=，因为()gx有两个不同零点()1212,1xxxx，故上述方程有两个不同的实根12,uu，且112(0,2)xu=，222(2,)

xu=+．记22()21huuaua=−+−，则有()()2232200210haaha=+−=−，解得：172a+．故实数a的取值范围为17,2++．【点睛】利用定义法判断函数的单调性，主要的步骤是：在定义域上任取12,xx，且12xx；通过计算判断出

()()12fxfx−的符号；从而判断出函数的单调性.研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法进行求解.22.设定义在实数集R上的函数()fx,()fx恒不为0,若存在不等于1的正常数k,对于任意实数x,等式()()2fkxkfx+=恒成立,则称函数()yfx=为()Pk函数.（1）若

函数()2xfx=为()Pk函数,求出k的值；（2）设21eae,其中e为自然对数的底数,函数()xgxa=.①比较2lnga与ea的大小；②判断函数()xgxa=是否为()Pk函数,若是,请证明；若不是,试说明理由.【答案】（1）2k=或4k=；（2）①2lnegaa

②()gx()Pk函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解参数值.（2）①根据函数单调性定义，比较2lna与e的大小关系，进而比较2lnga与ea的大小是②根据题意，列出方程，证明方程2kak

=有解，令2()khkak=−，判断()hk在1,e上存在零点，即可证明()xgxa=是()Pk函数.【详解】（1）因为函数()2xfx=为()Pk函数.所以2()()fkxkfx+=对任意实数x都成立，即222kxxk+=，即22k

k=，所以2k=或4k=（2）①因为21eae，所以20lnae，即2lnea又因为()xgxa=在R上为增函数，所以()2lneggeaa=②若()xgxa=是()Pk函数.则存在不等于1的正常数k，使等式2kxxaka+=对一切实数x恒成立，即

关于k的方程2kak=有解，令2()khkak=−，则函数2()khkak=−在1,e上的图像是一条不间断的曲线，22log22222ln2(1)10,()()()0lnaeeahaheaegeegeaeaea=−

=−=−−=−=−=据零点存在性定理，可知关于k的方程2kak=在()1,e上有解，从而()xgxa=是()Pk函数.【点睛】本题考查：（1）理解与辨析新定义问题.（2）①单调性定义②零点存性定理.本题属于难题

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