【文档说明】浙江省湖州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析 .docx，共(24)页，4.518 MB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期期末调研测试卷高一数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的.1.某中学有初中生700人，高中生300人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从初中生中抽取35人，则样本容量n

为（）A.5B.30C.50D.100【答案】C【解析】【分析】根据35700300700n=+直接计算即可.【详解】由题可知：3550700300700nn==+故选：C2.正方体1111ABCDABCD−中，下列判断错误的是（）A.11ACBD

⊥B.11BDCD⊥C.111ADAC⊥D.11ACBC⊥【答案】C【解析】【分析】对A，根据11//ACAC证明即可；对B，根据1CD⊥平面1BCD证明即可；对C，根据11//ADBC可得111,ADAC夹角为60判断即可；对D，根据1BC⊥平面11ABC判定

即可【详解】对A，因为正方体1111ABCDABCD−，故1111ACBD⊥，又11//ACAC，故11ACBD⊥，故A正确；对B，因为正方体1111ABCDABCD−，故11CDCD⊥，1CDBC⊥，又1CDBCC=，故1CD⊥平面1BCD，故11BDCD⊥，故B正确；的对C

，因为11//ADBC，易得11ACB△为正三角形，故1160ACB=，故111,BCAC的夹角为60，故111,ADAC的夹角为60，故C错误；对D，同B可得1BC⊥平面11ABC，故11ACBC⊥，故D正确故选：C3.已知复数()2121izi−

−=+，则复数z的共轭复数z=（）A.3144i−+B.1344i−+C.112i−−D.112i−+【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据共轭复数的概念可求得结果.【详解】因为()2121izi−−=+122ii−−=211111222iiii−−

=−=−=−+，所以112zi=−−.故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题.4.已知向量a,b满足a1=，ab1=−，则a(2ab)−=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)2

2||(1)213,aabaaba−=−=−−=+=所以选B.点睛：向量加减乘：221212(,),||,cos,abxxyyaaababab===5.在空间中，a、b是不重合的直线，、是不重合的平面，则下列条件中可推出//ab的是A.,,//abB.,ab

⊥⊥C//,abD.,ab⊥【答案】B【解析】【详解】根据线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.故选B.6.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为,,

，则（）A.222coscoscos2++=B.2223coscoscos2++=C.222sinsinsin2++=D.2223sinsinsin2++=【答案】A【解析】【分析

】画出长方体示意图辅助理解，将,,的正弦，余弦的平方和均列出来，根据线面角的定义计算求解.【详解】设长方体的长宽高1,,DCaDAbDDc===，则易得体对角线2221ACabc=++，设体对角

线和面ABCD，面11ABBA，面11ADDA所成角分别为,,，由线面角的定义可知222221cosACabACabca+==++，同理2212221cosABcbACabcb+==++，2212221cosADcaACabcg+==++，于是222222222222()()()

coscoscos2abcbcaabc+++++++==++，此时222222sinsinsin1cos1cos1cos1++=−+−+−=.故选：A..7.已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBC

ACOO===，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr==，AB

C为等边三角形，由正弦定理可得2sin6023ABr==，123OOAB==，根据球的截面性质1OO⊥平面ABC，222211111,4OOOAROAOOOAOOr⊥==+=+=，球O的表面积2464SR==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计

算求解能力，属于基础题.8.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教

堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为()15315m−，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的

高度为（）A.20mB.30mC.203mD.303m【答案】D【解析】【分析】求得AM，再在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得所求值．【详解】解：在直角三角形ABM中，sin15ABAM=．在ACM

中，301545CAM=+=，1801560105AMC=−−=，故1804510530ACM=−−=，由正弦定理，sinsinAMCMACMCAM=，故sin2sin

sin15CAMABCMAMACM==．在直角三角形CDM中，15315sin6066303()2sin15622()44ABCDCMm−====−．故选：D．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合9.设,AB为两个互斥

事件，且()()0,0PAPB，则下列说法正确的是（）A.()0PAB=B.()()()PABPAPB=C.()()()PABPAPB=+D.()1PAB=U【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合互

斥事件的概念，逐一判断各个选项即可得解.【详解】解：因为,AB为两个互斥事件，且()()0,0PAPB，所以AB=，即()0PAB=，故A正确，B错误；()()()PABPAPB=+，故C正确；AB

是必然事件，所以()1PAB=U，故D正确.故选：ACD.10.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即22

2222142cabSca+−=−（S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边）．现有ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC=，且ABC的面积63ABCS=△，则下列结论正确的是（）A.ABC的周长为1027+B.AB

C的三个内角满足2ABC+=C.ABC的外接圆半径为4213D.ABC的中线CD的长为32【答案】AB【解析】【分析】对于选项A，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；对于选项B，根据余弦定理可求得cosC的值为12，可得3C=，可得ABC

三个内角A，C，B成等差数列；对于选项C，由正弦定理可得，ABC外接圆直径2sinsinsinabcRABC===；根据cosB可求得sinB，由sinbB可得2R的值；对于选项D，由余弦定理得cosB，在BCD△中，由余弦定理即可求得CD.【详解】A项：设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、

b、c，因为sin:sin:sin2:3:7ABC=，所以由正弦定理可得::2:3:7abc=，设2at=，3bt=，()70ctt=，因为63ABCS=△，所以2222221749637442ttttt+−=−

，解得2t=，则4a=，6b=，27c=，故ABC的周长为1027+，A正确；B项：因为2221636281cos22462abcCab+−+−===，所以3C=，2233ABC+=−==，故B正确；C项：因为

3C=，所以3sin2C=，由正弦定理得274212sin33cRC===，2213R=，C错误；D项：由余弦定理得2221628367cos2142427acbBac+−+−===，在BCD△中4BC=，7BD=，由余弦定理得21677cos14247CDB+−==

，解得19CD=，D错误.故选：AB．11.棱长均为1的正三棱锥VABC−中，,,MNQ分别是棱,,ABBCVC的中点，下列说法正确的是（）A.VABC⊥B.平面MNQ截正三棱锥所得截面的面积为14C.MQBC∥D.异面直线VM和BQ所成角的余弦值等于2

3【答案】ABD【解析】【分析】对选项A，首先连接AN，VN，易证BC⊥平面VAN，再利用线面垂直的性质即可判断A正确；对选项B，取VA的中点D，连接,,,,,DQDMMNNQMQMC，得到四边形DMNQ为平面MNQ截正三棱锥所得截面，再求其面积即可判断B正确

；对选项C，取AC的中点E，连接ME，根据所以//MEBC，MEMQM=，即可判断C错误；对选项D，作出辅助线，找到异面直线VM和BQ所成角，求出各边长，利用余弦定理进行求解，即可判断D正确.【详解】对选项A

，连接AN，VN，如图所示：因为三棱锥VABC−为正三棱锥，N为BC中点，所以ANBC⊥，VNBC⊥，又因为ANVNN=，所以BC⊥平面VAN.又因为VA平面VAN，所以VABC⊥，故A正确；对选项B，取VA的中点D，连接,,,,,DQDMMNNQMQMC，如图所示：因为

正三棱锥VABC−中，棱长均为1，,,,MNQD分别是棱,,,ABBCVCVA的中点，所以//DQMN，//DMQN，即四点,,,DMNQ共面，即四边形DMNQ为平面MNQ截正三棱锥所得截面，且四边形DMNQ为平行四边形。因为12DMMNNQQD====，2213122MC=−=，所以

22312222MQ=−=，因为12MNNQ==，所以222MNNQMQ+=，即MNNQ⊥，所以四边形DMNQ为正方形，面积为111224=，故B正确。对选项C，取AC的中点E，连接ME，如图所示：因为,ME分别为,ABAC的中点，所以//MEBC

，又因为MEMQM=，所以MQ与BC不平行，故C错误。对选项D，取CM中点H，连接QH，BH，则VM∥QH，则∠HQB即为异面直线VM和BQ所成角，32VM=，34QH=，222317444BHMHB

M=+=+=，32BQ=，由余弦定理得：222337216416cos2333242QHBQBHHQBQHBQ+−+−===异面直线VM和BQ所成角的余弦值等于23.故选：ABD12.已知平面向量

,,abc满足cxayb=+，且0,0acbc，则下列说法正确的是（）A.若0ab，则可能0,0xyB.若0,ab则可能0,0xyC.若0ab，则可能0,0xyD.若0ab，则可能0,0xy【答案】BCD【解析】【分析】设()()1122,,,axybxy=

=，则()1212,cxxyxxyyy=++，通过向量数量积的坐标运算逐个选项进行分析即可得出答案.【详解】设()()1122,,,axybxy==，则()1212,cxxyxxyyy=++，()()()()222211121

21212220,0acxxyyxxyybcxxxyyyxy=+++=+++，222211220,0xyxy++，12121212222211220,0xxyyxxyyxyxyxyxy++++++.令1212121222221122,xxyyxxyyABxyxy++=

=++，即0,0xAyBxy++.当0ab时，12120abxxyy=+，0,0AB，0,0xxyBxA−−，故选项A不成立，选项C成立；当0ab时，12120abxxyy=+，0,0AB，0,xxyA−或yBx−，00xBxA−−,，故

选项BD均正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知mR，且()()22563mmmm−++−i为纯虚数，则m=__________.【答案】2【解析】【分析】由题得2230560mmmm−−+=，再解不等式组得解.【详解

】因为()()22563mmmm−++−i为纯虚数，所以22302560mmmmm−=−+=.故答案为：214.已知在ABC中，π2,1,,3ABACAA===的角平分线交线段BC于M，则AM=____

_______.【答案】233##233【解析】【分析】利用余弦定理求得BC，解直角三角形求得AM.【详解】由余弦定理得22π2cos33BCABACABAC=+−=，所以222ACBCAB+=，所以π2ACB=，由于1π26MACCAB==，在直角三角形AMC中，π23cos

6332ACACAMAM===.故答案为：23315.甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg，方差为100，乙队体重的平均数为64kg，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为

1:3，那么甲､乙两队全部队员的方差等于___________.【答案】178【解析】【分析】先求出甲、乙两队队员所有队员中人数所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【详解】解：由题意可知甲队的

平均数为60kg，乙队体重的平均数为64kg，甲队队员在所有队员中人数所占权重为11134=+，乙队队员在所有队员中人数所占权重为33134=+，则甲、乙两队全部队员的平均体重为4136064634xkg=+=，甲、乙两队全部队员体重的方差为22213[100(6063)][2

00(6463)]17844s=+−++−=．故答案为178．16.已知矩形,2,1ABCDABAD==，沿BD将ABD△折起成ABD.若点A在平面BCD上的射影落在BCD△的内部（不包括边界），则四面体AB

CD−的体积的取值范围是___________.【答案】325,615【解析】【分析】由点'A在平面BCD上的投影落在BCD△的内部，可知当'A在面BCD上的投影在CD上时，四面体'ABCD的体积最小，

当当'A在面BCD上的投影在BD上时，四面体'ABCD的体积最大，从而求出四面体'ABCD的体积的取值范围.【详解】解：根据题意可知：点A在平面BCD上的射影落在BCD△的内部（不包括边界）所以当'A在面BCD上的投影在BD

上时，四面体'ABCD的体积最大，由22125BD=+=，设'A到面BCD的距离为1d，则111125125225dd==所以四面体'ABCD体积最大为：1125251232515=；当'A在面BCD上的投影在CD上时，四面体'

ABCD的体积最小，如图：翻折前的翻折后设'A到面BCD的距离为2dAE=，其中1255dAFAF===所以2255DFADAF=−=，2510DFAFEFEF==所以22232dAEAFEF==−=所以四面体'ABCD的体积

最小为：1133123226=，所以四面体'ABCD的体积的取值范围为325,615.故答案为：325,615.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字

说明､证明过程或演算步骤.17.“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统

计，并将调查结果统计如下表：年龄（岁）)10,20)20,30)30,40)40,50)50,6060,70调查人数mn141286参与的人数3412632表中所调查居民年龄在)10,20的人数是在)20,30的人数的两倍少8人.（1）

求表中,mn的值，并补全如图所示的频率分布直方图；（2）在被调查的居民中，若从年龄在)10,20，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率.

【答案】（1）4,6.mn==，频率分布直方图答案见解析（2）512【解析】【分析】（1）可得年龄在[10，20)的频数为4．年龄在[20，30)的频数为6，据此可补全频率直方图；（2）记年龄在区间[10，20)的居民为1a，2A，3

A，4A（其中居民1a没有参与抢红包活动）；年龄在区间[20，30)的居民为1b，2b，3B，4B，5B，6B（其中居民1b，2b没有参与抢红包活动），列举可得共24个基本事件，满足题意的有10个，由概率公式可得．【小

问1详解】解：由题意得10mn+=，82mn+=解得4,6.mn==补全频率分布直方图，如图所示：的【小问2详解】解：记年龄在)10,20内的居民为1234,,,aAAA（其中居民1a没有参与抢红包活动），年龄在)20,30内的居民为12345

6,,,,,bbBBBB（其中居民12,bb没有参与抢红包活动）.各选取1人的情形有：()()()()()()111213141516,,,,,,,,,,,ababaBaBaBaB，()()()()()()()()21222324252631

32,,,,,,,,,,,,,,,AbAbABABABABAbAb，()()()()()()()()3334353641424344,,,,,,,,,,,,,,,ABABABABAbAbABAB，()()4546,,,ABAB

，共24种.其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率1052412P==.18.如图，已知四棱锥VABCD−底面是矩形，VD⊥平面,222,,,ABCDABADVDEFG===分别是棱,,ABV

CCD的中点.（1）求证：EF平面VAD；（2）求二面角AVEG−−的大小.【答案】（1）证明见解析（2）23的【解析】【分析】（1）取VD中点I，连接AI、IF，推导出四边形AEFI是平行四边形，从而//EFAI，由此能证明//EF平面VAD．

（2）过A作AKVE⊥于K，连接KG，则VEGK⊥，AKG是二面角AVEG−−的平面角，由此能求出二面角AVEG−−的大小．【小问1详解】取VD的中点I，连接,FIAI，在VDC中，I为VD的中点，F为VC的中点，得12FIDC∥，E为AB的中点，在矩形

ABCD中得：12AEDC∥，AEFI∥∴四边形AEFI为平行四边形，可得EFAI∥又EF平面VAD，AI平面VAD所以EF平面VAD.【小问2详解】解：如图，过A作AKVE⊥于K，连接KG∵VD⊥面ABCD，∴VDEG⊥，又EGD

C⊥，∴EG⊥平面VDC，得EGVG⊥，同理可得EAVA⊥又2,1VAVGAEDG====，故RtVAERtVGE，又AKVE⊥，故KGVE⊥由二面角定义知，AKG即为二面角AVEG−−的平面角，由6,22AKKGAG===，由余弦定理得：1cos2AKG

=−故二面角AVEG−−的大小为23AKG=.19.为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比

对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为755,,867；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为833,,944.（1）甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？（2）若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率.【答案】（1）中年员工甲接种成

功的概率更大（2）7396【解析】【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件A、B，且A、B相互独立，（1）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算可得()PA、()PB比较可得答案；（2）记“记甲和乙两人中至少有一人接种

成功的事件记为”为事件C，即CABABAB=++，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；或利用间接法，确定对立事件CAB=，计算)(PC，进而得C事件的概率．【小问1详解】解：记中年员工甲接种成功的事件为A，老年员工乙接

种成功的事件为B，则()7552586748PA==，()83319442PB==()()PAPB，故中年员工甲接种成功的概率更大.【小问2详解】法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C，则CABABAB=++()()()()()

PCPABABABPABPABPAB=++=++()()()()()()PAPBPAPBPAPB=++251251251731148248248296=+−+−=法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事

件记为C，则CAB=，25123()()()()1148296PCPABPAPB===−−=23173()1()148296PCPC=−=−=两人中至少有一人接种成功的概率为7396.20.在锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足212ACABb

ab=−.（1）求角C的大小；（2）求sinsinsinABC++的取值范围.【答案】（1）3（2）3333,22+【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得1cos2C

=，即可求出C；(2)根据题意和锐角三角形的性质可得,62A，利用三角恒等变换化简可得sinsinsinABC++33sin62A=++，根据三角函数的性质即可得出结果.【小问1详解】22221cos

22bcaACABbcAbab+−===−整理得222abcab+−=，故2221cos22abcCab+−==又0C，所以3C=；【小问2详解】由锐角ABC知0,0,232ABA=−−，，得,62A，故3sinsinsinsi

nsin23ABCAA++=+++3sinsincossincos233AAA=+++333sincos222AA=++33sin62A=++，因为2,,62633AA

+，，得3sin,162A+，所以3333sinsinsin,22ABC+++.21.如图，,AB是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧AB（含

端点）上的动点.记OCOAOB=+（,均为实数).（1）若O到弦AB的距离是12，（i）当点C恰好运动到劣弧AB的中点时，求ACCB的值；（ii）求+的取值范围；（2）若532OAOB−，记向量2OAOB+和向量OAOB+的夹角为，求2cos的最小值.

【答案】（1）（i）12；（ii）0,60（2）3940【解析】【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得120AOB=o，（i）可由圆的几何性质得120,1ACBACCB===，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以,OAOB为基

底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；（2）以,OAOB为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.【小问1详解】解：由O到弦AB

的距离是12，可得30ABOBAO==，故120AOB=o（i）由圆的几何性质得120,1ACBACCB===，故1cos,11cos602ACCBACCBACCB===（ii）记劣弧AB的中点为D，且12OAOB=−212OCOAOAOBOA

=+=−①212OCOBOAOBOB==−++②①+②得()()12OCOAOB+=+进一步得：2()22cos,[1,2]OCOAOBOCODOCOD+=+==，其中,0,60OCOD故+的取值范围为：[1,2]【小

问2详解】解：记AOB=，由532OAOB−两边平方，得225962OAOBOAOB+−5106cos2−，又1cos1−，∴5cos,18∴()()233cosOAOBOA

OB++=+故254cos,22cosOAOBOAOB+=++=+又2OAOB+和向量OAOB+的夹角为，()()222cos2OAOBOAOBOAOBOAOB++=++()()()()291cos(3

3cos)54cos22cos254cos++==+++91184cos5=−+记()911845fxx=−+，显然()fx关于5cos,18x=单调递增，所以当5cos8x==时，()2min539cos840f==.

22.如图，已知四棱锥VABCD−，底面ABCD是矩形，,VDCDVDBC=⊥，点E是棱VC上一劫点（不含端点）.（1）求证：平面ADE⊥平面VCD；（2）当22CDAD==且6VCD=时，若直线VC与平面ADE所成的线面角,32，求点E的运动轨迹的长度.【答案】（1）

证明见解析（2）233【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定得到AD⊥平面VCD即可证明；（2）分别计算3=和2时的情况，根据线面垂直与几何关系确定点E的临界位置，进而求得点E的运动轨迹的长度即可【小问1详解】证明：因为,VDBCBCAD⊥∥

，故ADVD⊥，又ADDC⊥所以AD⊥平面VCDAD平面ADE所以平面ADE⊥平面VCD【小问2详解】首先，取VC中点F，连接DF在等腰VDC中，DFVC⊥①由（1）知AD⊥平面VCD，得ADDF⊥②由①②得DF⊥平面ADF，即此时当F与E点重

合时，直线VC与平面ADE所成的线面角为2，其次，由题意易得，存在点F两侧各有两个点，如图分别记为12,EE，使得60,E=的运动轨迹即为线段12EE.作CHED⊥于H，又AD⊥平面VCD，得ADCH⊥，故CH⊥平面ADE，所以()VCEC在平面ADE的射影为EH，CEH即为直线

VC与平面ADE所成的线面角，即13CEH=此时，1,63VCDCEH==，此时H与D重合，故143sin603CDCE==同理可得22,3sin30sin120CECDVED==，

解得2233CE=故E的运动轨迹长度为12432323333EE=−=.