【文档说明】北京市通州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，819.511 KB，由小赞的店铺上传

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通州区2023—2024学年第二学期高二年级期中质量检测数学试卷2024年4月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题

共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知函数()21fxx=−，则()1f=（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由导数运算法则先求出()fx，再计算()1f即可．【详解】()2

fxx=，所以()12f=，故选：C．2.下列求导运算结果错误的是（）A.211xx=B.()1lnxx=C.()eexx=D.()sincosxx=【答案】A【解析】【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案.【

详解】对于A，211xx=−，故A错误；对于B，()1lnxx=，故B正确；对于C，()eexx=，故C正确；对于D，()sincosxx=，故D正确.故选：A.3.4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不

同的站法种数为（）A.12B.18C.24D.48【答案】C【解析】【分析】在老师左右两边的各两个位置让4名学生站即可作答.【详解】依题意，4名学生站在老师的左右两边的各两个位置，所以不同的站法种数为44A24=.故选

：C4.已知函数()()ln23fxx=+，则()fx=（）A.123x+B.223x+C.523x+D.223xx+【答案】B【解析】【分析】利用复合函数求导法则计算即可.【详解】由()()ln23fxx=+可得()()12232323fxxxx

=+=++.故选：B5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在10,t时间段内匀速行驶；②汽车在12,tt时间段内不断加速行驶；③汽车在23,tt时间段内不断减速行驶；④汽车

在34,tt时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】根据斜率表示变化率，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案．【详解】根据题意，①在1[0,]t时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间

段内匀速行驶，故①正确；②在12[,]tt时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；③在23[,]tt时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；④在34[,]tt时间段内，位移不变，则汽

车在该时间段内静止不动，故④正确．故选：D．6.3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（）A.34B.43C.24D.12【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计算

原理可得答案.【详解】不同的报名方法种数有34444=.故选：A.7.在()()512xx+−的展开式中，3x的系数为（）A.40−B.10−C.10D.40【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求出展开式中含3x的项，即可得出其系数.【详解】根

据二项展开式可得含有3x的项为()()()323223323355551C2C24C8C40xxxxx−+−=−+=，所以3x的系数为40.故选：D8.定义在区间()π,π−上的函数()sincosfxxxx=+，则()fx的单调递减区间是（）A.ππ0,π,22−−

B.π0,2和ππ,2−−C.ππ,0,π22−D.π,02−和π,π2【答案】D【解析】【分析】对函数求导并令()0fx，利用三

角函数单调性解不等式即可求得结论.【详解】由()sincosfxxxx=+可得()sincossincosfxxxxxxx=+−=，令()cos0fxxx=,当()π,0−时，由cos0xx可得c

os0x，解得π,02x−；当()0,π时，由cos0xx可得cos0x，解得π,π2x；因此可得()fx在()π,π−的单调递减区间是π,02−和π,π2.故选：D9.已知一个三

位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为（）A.240B.204C.176D.168【答案】B【解析】【分析】分类讨论，当个位上数为0时和个位上的数不是0时两

种情况即可求解．【详解】根据题意，当个位上的数字是0时，有29C36=个“凸三位数”；当个位上的数不是0时，有3292CA168=个“凸三位数”；所以共有16836204+=个“凸三位数”，故选：B．10.函数ykxb=+，其中k，()0bk是常数，其图

象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数()fx，在点0x附近一点x的函数值()fx，可以用如下方法求其近似代替值：()()()()000fxfxfxxx+−.利用这一方法，1.002m=的近似代替值（）A.一定大于mB.一定小于mC.等于mD.与m的大小关系不

确定【答案】A【解析】【分析】根据题意可构造函数()fxx=，利用求近似代替值的方法即可得近似代替值一定大于m.【详解】令函数()fxx=，则()12fxx=；根据题意可得()()()()1.0021.002111.100011.0021.21002mfff=+==+−

=；又因为221.0011.0020011.002m==，因此近似代替值1.001m，近似代替值一定大于m.故选：A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：35C3!

=______.【答案】60【解析】分析】运用组合数排列数公式计算即可．【详解】35543C3!32160321==.故答案为：60.12.若21nxx−展开式中第五项与

第六项的二项式系数相等且最大，则n=______；该展开式的常数项为______（结果用数字表示）．【答案】①.9②.84【解析】【分析】利用二项式系数的性质求出n，再求出二项式的展开式的通式，令x的指数为0即可求解．【详解】21nxx−展开式中第五项与

第六项的二项式系数相等且最大，所以9n=，所以通项为()()()()921183199C1C1rrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令1830r−=，解得6r=，所以常数项为()6679C184T=−=，故答

案为：9；84．【13.已知某物体运动的位移mx是时间st的函数，且0.3t=时，0.38x=；0.6t=时，5.06x=.则该物体在时间段0.3,0.6内的平均速度为______m/s；估计0.4t=时的位移为_

_____m．【答案】①.15.6②.1.94【解析】【分析】根据平均速度的公式直接计算即可；先求出位移的直线方程，再将0.4t=代入即可求解．【详解】由题意得，5.060.3815.6m/s0.60.3v−==−，经过点(

)()0.3,0.38,0.6,5.06的直线方程为()0.3815.60.3xt−=−，当0.4t=时，1.94mx=，故答案为：15.6，1.94．14.已知函数()331fxxx=−+，则在()fx的切线中，斜率最小的切线的方程为______.【答案】310xy+−=【解析】【分析】对

函数求导并求出导函数的最小值及切点坐标，再由点斜式方程即可得出结果.【详解】由()331fxxx=−+可得()()223331fxxx=−=−，再由二次函数性质可得，当0x=时，函数()()231fxx=−取得最小值3−，因此可得切线斜率最小值为3−，此时切点为()0,1，所以切线方程为()

130yx−=−−，即310xy+−=.故答案为：310xy+−=15.已知函数()3272fxaxbxcx=++−在点0x处取得极大值32，其导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．关于函数()fx有四个结论：①函数()fx在区间()1,2上单调

递减；②函数()fx区间(),1−上单调递减；③函数()fx的图象关于3,12中心对称；④()()()135211232222ffffff+++++=；在其中所有正确结论的序号为______．【答案】①③④【解析】【分析】由(

)fx的图象判断出()fx的单调区间及极大值点，结合已知求出()fx的解析式，再判断()fx的对称性即可求解．【详解】由()fx图象可知，当1,()0xfx，()fx在(),1−单调递增，当12x时，()0fx，(

)fx在()1,2单调递减，当2x时，()0fx，()fx在()2,+单调递增，故①正确，②错误；所以3(1)2f=，即73(1)22fabc=++−=，整理得5abc++=，又2()32fx

axbxc=++的图象经过()1,0，()2,0，所以3201240abcabc++=++=，与5abc++=联立，解得2912abc==−=，所以327()29122fxxxx=−+−，则323277(3)()29122(3)9(3)12(3)22fxfxxxxxx

x−+=−+−+−−−+−−332212[((372(3)93))]xxxxxx=+−−+−+−+−()2226(3)(3)926929xxxxxx=+−−−−−++22185454185481292xxx

x=−+−+−+=，所以()fx的图象关于3,12中心对称，故③正确；则15(1)(2)2,222ffff+=+=，31122,(3)2(0)22fff==−=，所以()()()1

35211232222ffffff+++++=，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．（1）将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？（2）从6名

中选出3人参加某公益活动．（i）共有多少种不同的选择方法？（ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？【答案】（1）480（2）20，16【解析】【分析】（1）根据插空法即可求解；（2）根据组合定义即可求解（i）；用“6名学生中选出3人参加某公益活动”所有

情况减去“6名学生中选出3名男生参加某公益活动”的情况即可求解（ii）．【小问1详解】男生先排有44A种，女生插空有25A种，所以共有4245480AA=种不同排法．【小问2详解】（i）6名中选出3人共有36C20=种方法；（ii）6名中选出3名男生有34C4=种方

法，所以至少有1位女生入选，共有20416−=种不同的选择方法．17.设()5543254321021xaxaxaxaxaxa−=+++++．（1）求2a；（2）求135aaa++．【答案】（1）40−（2）122【解析】【分析】（1）利用二项式

定理求出展开式中含2x的项，即可求解；（2）分别令1,1xx==−，两式联立即可求解．【小问1详解】展开式中含2x的项为()()23325C2140xx−=−，所以240a=−．【小问2详解】令1x=，得()50125211aaaa++++=−=①，

令1x=−，得()5012521243aaaa−++−=−−=−②，由①−②得，()1352244aaa++=，所以135122aaa++=．18.已知函数()()3212113fxxaxax=−+−+.（1）求函数()fx的单调区间；（2）当1a=−时，求函数

()fx的极大值与极小值.【答案】（1）答案见解析；（2）()fx的极大值为10，极小值为23−；【解析】【分析】（1）对函数求导并对参数a进行分类讨论即可得出单调区间；（2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果.【小问1详解】由

()()3212113fxxaxax=−+−+可得其定义域为Rx，且()()()2221211fxxaxaxax=−+−=−+−；当1a=时，()()210fxx=−恒成立，此时()fx的单调递增区间为(),−+；当1a时，211a−，若(),1x−

或()21,xa−+，()0fx；若()1,21xa−，()0fx；因此()fx的单调递增区间为(),1−和()21,a−+，单调递减区间为()1,21a−；当1a时，211a−，若(),21xa−

−或()1,x+，()0fx；若()21,1xa−，()0fx；因此()fx的单调递增区间为(),21a−−和()1,+，单调递减区间为()21,1a−；综上可得1a=时，()fx的单调递增区间为(),−+；1a时，()fx的单调递增区间为(),1−和()21

,a−+，单调递减区间为()1,21a−；1a时，()fx的单调递增区间为(),21a−−和()1,+，单调递减区间为()21,1a−.【小问2详解】当1a=−时，()321313fxxxx=+−+，此时()()()31fxxx=+−；

由（1）可知()fx的单调递增区间为(),3−−和()1,+，单调递减区间为()3,1−；所以可得函数()fx在3x=−时取得极大值，即()310f−=，在1x=时取得极小值，即()213f=−；所以函数()fx的极大值为10，极小值为23−.19.如图1所示，

现有一块边长为1.5m的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积3mV是容器底面边长mx的函数.（1）写出函数的解析式并注明定义域；（2）求这个容

器容积的最大值.【答案】（1）2331168Vxx=−；定义域为30,2.（2）116【解析】【分析】（1）根据题意求出三棱柱的高，再根据柱体的体积公式即可求解；（2）利用导数法求函数的最值即可求解．【小问1详解】如图所示：由题意可知1.53,30242xx

ABCAB−==−=,所以1.50x−，可得01.5x，所以3333tan3034246xBCABx==−=−，即三棱柱的高为33m46x−，所以22333331446168VShxxxx==−=−，所以2331168V

xx=−，定义域为30,2.【小问2详解】由（1）知，2331168Vxx=−，定义域为30,2.因为()2331168Vxxx=−，所以()()23331888Vxxxxx=−=−，令()0,Vx=则()3108xx−=，解得1

x=或0x=（舍），又因为30,2x，所以当𝑥∈(0,1)时，()0,Vx当31,2x时，()0,Vx，所以()Vx在(0,1)上单调递增，在31,2上单调递减；当1x=时，()Vx取得极大值，也为

函数()Vx的最大值，所以()()23max31111116816VxV==−=．故这个容器容积的最大值为116.20.设函数()()lnfxaxb=+，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为22ln2

10xy−+−=.（1）求a，b的值；（2）设函数()()1xgxfxx=−+，求()gx的单调区间；（3）求证：当0x时，有()exfxx−.【答案】（1）1,1ab==（2）单调递增区间为()0,+，单调递减区间为()1

,0−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用切线方程建立方程组求解即可；（2）由（1）得出()()ln11xgxxx=+−+，再进行求导即可得出()gx的单调区间；（3）构造函数()()()0exmxfxxx−=−，利用导数求出其单调性得出最小值可证明得出结论.小问1详解】由()()

lnfxaxb=+可得()afxaxb=+，根据切线方程可得其斜率为12，因此()112afab==+，解得ab=；又()()1lnln2fab=+=，所以可得1,1ab==【小问2详解】由（1）可知()()ln1fxx=+，所以可

得()()ln11xgxxx=+−+，易知其定义域为()1,−+；【.则()()()2211111xxxgxxxx+−=−=+++，令()()201xgxx==+，解得0x=；所以当0x时，()0gx；当10x−时，()0gx；因此()gx的单调递增区间为()0,

+，单调递减区间为()1,0−.【小问3详解】证明：令函数()()()0exmxfxxx−=−，可得()()()2011e11e1exxxxmxxxxx−−=−=+++，令()()20e1,xxtxx+−=，因此可得()

20extxx=+恒成立，所以()tx在)0,+上单调递增，可得()()00txt=，即()()210e1exxxmxx+−=+恒成立，所以()()()0exmxfxxx−=−在)0,+上单调递增，可得()()00mxm=，即()()0exmxfxx−

=−，所以()exfxx−；因此当0x时，有()exfxx−.21.设函数()()2e0xxxfx=.（1）求()fx的最小值；（2）设()()3lnfxgxaxxx=+−，求证：2e4a是函数()gx只有一个极大值点的充分不必要条件.【答案】（1）

2e4（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解即可；（2）按照充要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性．【小问1详解】因为32()exxfxx−=，所以当02x时，()0fx，当2x时，()0fx，

则2e()xfxx=在(0,2)上单调递减，在(2,)+上单调递增，所以2e()(2)4fxf=．所以()fx的最小值为2e4；【小问2详解】充分性：3()()(ln)fxgxaxxx=+−，242233(3)e

()e()xxxxxgxaaxxxx−−−=−=−−，因为2e4a，所以当3x时，()0gx，()gx在(3,)+单调递减．当03x时，()0gx，()gx在(0,3)单调递增．所以()gx在(0,)+只有一个极大值点．必要性：已知函数3()()

(ln)fxgxaxxx=+−的极大值点只有一个．①若2e0xax−恒成立，即2exax在(0,)+上恒成立，由（1）得2min2ee()4xax=，此时令()0gx，解得03x；令()0gx，解得3x；所以()gx在(0,3)单调递增，在(3,)+单调递减，所

以函数()ygx=有唯一极大值点，满足题意；②方程2e0xax−=有两个不同的根1x，1x，且122xx，因为()gx只有一个极大值点，所以有23x=，1(0,2)x，即3是2e0xax−=的一个根，此时3e9a=；当3e9a=时，322(3)ee()()9xxgxxx−=−−，令

()0gx，解得1xx，令()0gx，解得10xx；所以()fx在1(0,)x上单调递增，在1(x，)+上单调递减．综上：使函数3()()(ln)fxgxaxxx=+−的极大值点只有一个的a的取值范围是22ee(,]49a−{}．所以2e4a不是函数()gx

只有一个极大值点必要条件．所以2e4a是函数()gx只有一个极大值点的充分不必要条件．【点睛】知识点点睛：本题考查了利用导数求函数的最小值、单调区间及极值，考查了分类讨论思想，属于中档题．的