【文档说明】河北省张家口市宣化第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案.docx，共(17)页，801.021 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年下学期宣化一中高二数学期中试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．设xR，则“21x−”是“2230xx+−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D

．既不充分也不必要条件2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢与不喜欢两种态度）与性别的关系，运用22列联表进行独立性检验，计算得28.01K=，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关”的把握约为（）()20PKk0.100.0

50.250.0100.0050.00130k2.7063.84135.0246.6357.87910.828A．0.1%B．1%C．99.5%D．99.9%3．若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能

将该锁打开的概率为（）A．35B．115C．815D．134．已知两变量x和y的一组观测值如表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为7ˆˆ2ybx=+，则ˆb=（）x234y546A．110−B．12−C．110D．

125．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（）A．12B．10C．8D．146．()()2fxxxc=−在2x=处有极小值，则常数c的值为（）A．2B．6C．2或6D．17．已知()fx是

定义在R上的奇函数，且对任意xR总有()()3fxfx+=−，则()9f−的值为（）A．3B．0C．32D．92−8．若函数()()ln01fxxx=与函数()2gxxa=+两条公切线，则实数a的取值范围是（）2A．1ln

2,2−−+B．13ln2,24−−−C．3ln2,4−−D．13ln2,24−−−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．()fx

x=与()2gxx=B．()1ftt=−与()1gxx=−C．()fxx=与()2log2xgx=D．()211xfxx−=+与()1gxx=−10．若0ab，则下列不等式中正确的是（）A．22abB．11abC．122abD．abab+11．某学生想在

物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A．若任意选择三门课程，选法总数为37AB．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225CCC．若物理和历史不能同时选

，选法总数为3175CC−D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255CCC−12．函数()232lnfxxxmx=−+−，下列结论正确的是（）A．3m=时，()fx有两个零点B．3m=时，()fx极小值点为2C．3m=时，()

0fx恒成立D．若()fx只有一个零点，则22ln2m=+三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．()()421xx++的展开式中项3x的系数为______．14．甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为__

____．315．在曲线()343xfxx=−的所有切线中，切线斜率的最小值为______．16．已知函数()()222332,04ln2,0xmxmmxfxxmxxe+++++=+−在区间R上有四个不同的零点，则实数m的取值范围为______．四、

解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．已知集合22430Axxaxa=−+，集合()()320Bxxx=−−．（1）当1a=时，求AB，AB；（2）设0a，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．盒子中放有大小形状完全

相同的10个球，其中4个红球，6个白球．（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地随机抽取3个球，每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得

到红包奖励10元，求该人所得奖励的分布列．19．已知函数()2lnfxxxax=+−．（1）当3a=时，求()fx的单调增区间；（2）若()fx在()0,1上是增函数，求a得取值范围．20．已知函数()21xfxx=+．

（1）判断并证明函数()fx的奇偶性；（2）判断当()1,1x−时函数()fx的单调性，并用定义证明；（3）若()fx定义域为()1,1−，解不等式()()210fxfx−+．21．某建筑公司要在一块宽

大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线()()210fxaxa=−的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P

，设()(),Ptft．（1）将OMN△（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数()St；（2）若在12t=处，()St取得最小值，求此时a的值及()St的最小值．422．函数()()lnafxxtx=++，其中t，a为常数．（1）若0t=

时，讨论函数()fx的单调性；（2）若0t=时，不等式()1fx在(0,1x上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若()xagxex=+，当2t时，试比较()fx与()gx的大小．2020-2021学年下学期宣化一中高二数学期中试卷答案和

解析1．【答案】A【解析】解：解不等式21x−，得13x；解不等式2230xx+−，得3x−或1x．设集合13Axx=，集合3Bxx=−或1x．充分性：因为AB，故充分性成立；必要性：当3x−或1x时，

13x不一定成立，故必要性不成立；综上“21x−”是“2230xx+−”的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对不等式的正确求解是解决本题的关键．2．【答案】C【解析】【分析】本题考查

了独立性检验的应用问题，属于基础题．根据观测值28.017.879K=，对照临界值表即可得出结论．【解答】根据观测值28.017.879K=，所以在犯错误的概率不超过0．005的前提下，5认为喜欢乡村音乐与性别有关，

即有99.5%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关．故选：C．3．【答案】A【解析】解：若6把钥匙中只有2把能打开某锁，从中任取2把包含的基本事件个数2615nC==，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1124229mCCC=+=，∴任取2把能将该锁打开的概率为93155mpn===．故选：

A．从中任取2把包含的基本事件个数2615nC==，任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数1124229mCCC=+=，由此能求出任取2把能将该锁打开的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【答案

】D【解析】解：()123433x=++=，()154653y=++=，因为回归直线经过样本中心，所以7ˆ532b=+，解得1ˆ2b=，故选：D．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．本题考查回归直线方程的求法与

应用，是基础题．5．【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，0在个位，将2、3、5安排在千位、百位、十位，有336A=个四位偶数，②，2在个位，千位不能为0，可以为3或5，有2种选择，剩下2个数字安排在百位、十位，有2224A=

个四位偶数，则有6410+=个四位偶数，故选：B．根据题意，个位数字为0或2，据此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．66．【答案】A【解析】【分析】根据函数在2x=处有极小值，得到()20f=，解出关于c的方

程，再验证是否为极小值即可．本题考查了函数在某一点取得极值的条件，属于中等题．【解答】解：∵函数()()2fxxxc=−，∴()2234fxxcxc=−+，又()()2fxxxc=−在2x=处有极值，∴()221280fcc=−+=，解得2c=或6，又由函数在2x=处有极小值，故2c=

，6c=时，函数()()2fxxxc=−在2x=处有极大值，故选A．7．【答案】B【解析】解：根据题意，对任意xR总有()()3fxfx+=−，则()()()63fxfxfx+=−+=，即函数是周期

为6的周期函数，则()()()930fff−=−=−，又由()fx是定义在R上的奇函数，则()00f=，故()90f−=，故选：B．根据题意，分析可得()()()63fxfxfx+=−+=，即函数是周期为6的周期函数，则有()()()930fff−=−=−，由奇函数的性质可得答案．本

题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的分析，属于基础题．8．【答案】D【解析】解：()1fxx=，()2gxx=，设与()2gxax=+相切的切点为()(),0sts，与曲线()lnfxx=相切的切点为(),mn，01m，7则有公共切线斜率为12nts

mms−==−，又2tas=+，lnnm=，可得22ln22ntmassms−=−−=−，且21sm=，化为211ln4amm+=+，01m，设()21ln4hmmm=+，01m，()233112122mhmmmm−=−=，当22m时，()hm递增，当202m时，()hm递减，则

()hm在22m=处取得最小值，且为21ln22+，由题意可得211ln1ln1224a+++，解得213ln224a−−，即13ln224a−−−．故选：D．分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方

程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9．【答案】BC【解析】解：对于A，函数()fxx=与()2gxxx==的解析

式不同，表示相同函数；对于B，函数()1ftt=−的定义域为R，()1gxx=−的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数()fxx=的定义域为R，()2log2xgxx==的定义域为R，定义

域相同，对应关系也相同，是相同函数；8对于D，函数()2111xfxxx−==−+的定义域为()(),11,−−−+，()1gxx=−的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选：BC．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．本题考查了函数的定义，判断两函数是否相同

的方法是看解析式和定义域是否都相同．10．【答案】BD【解析】解：0ab，则下列不等式中：22ab不正确；11ab正确；122ab不正确；0abab+正确．因此BD正确．故选：BD．利用不等式的基本性质即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于

基础题．11．【答案】ABD【解析】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为37C种，故A错误；对于B．若物理和化学选一门，有12C种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C种选法，若物理和化学选两门，有22C种选法，剩下一门从剩余

的5门中选1门，有15C种选法由分步乘法计数原理知，总数为12212525CCCC+种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575CCCCC−=−种；所以C正确；对于D．若物理和化学至少选一门，有3种

情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有1214CC种选法；②选化学，不选物理，有1215CC种选法；③物理与化学都选，有2124CC种选法，故总数为121221141524610420CCCCCC++

=++=种，故D错误．故选：ABD．A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C种，可判断A错误；B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525CCCC+种，可判断B错误；C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知

选法总数为3175CC−种，可判断C正确；D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．912．【答案】ABD【解析】解：当3m=时，()2332lnfxxxx=−

+−，其定义域为()0,x+，∵()()()2212223223xxxxfxxxxx+−−−=−−==，∴()102fxx==−，或2x=，∴()02fxx；()002fxx；∴()fx在(

)2,+上单调递增，在()0,2上单调递减，又因为()212ln20f=−，故C错误；且有当0x→时，()fx→+；当x→+时，()fx→+，所以根据零点存在定理可得，此时函数()fx有两个零点，故A正确；由上可得，3m=时，函数在2x=处取得极小值，故B正确；若函数()fx只

有一个零点，则方程()0fx=只有一个正解，即232ln0xxmx−+−=只有一个正解，即22ln3mxxx=−+只有一个正解，即得函数()()22ln30gxxxxx=−+与直线ym=只有一个交点，∵()()()2212223223xxxxgxxx

xx+−−++=−+==−，∴()002gxx；()02gxx，即得函数()gx在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减，∴()()max222ln2gxg==+，又因为当0x→时，()gx→−；当x→+时，()gx→−，∴当且仅当22l

n2m=+时，函数()()22ln30gxxxxx=−+与直线ym=只有一个交点，故D正确．故选：ABD．根据函数零点的定义，借助函数导数判断函数单调性结合零点存在性定理，从而确定最后结论．本题考查函数单调性与函数导数的关系，以及函数零点存在性定理

的使用，属于中档题．13．【答案】1410【解析】解：()()()()42342121464xxxxxxx++=+++++，所以展开式中含3x的项的系数为：241614+=．故答案为：14．把()41x+按照二项

式定理展开，可得()()421xx++展开式中含3x项的系数本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目．14．【答案】720【解析】解：甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为：43437

11545420P=−+−=．故答案为：720．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出两人中恰有一人晋级的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数

学核心素养，是基础题．15．【答案】4【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和基本不等式，要注意转化思想在解题中的应用，属于基础题．先对函数求导数，然后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：()22224424fxxxxx=

+=，（当且仅当2x=时取等号）．故答案为：4．16．【答案】)1,2−【解析】解：根据题意，要想()fx在R上有四个不同的零点，则当0x时和0x时各自都有两个零点，则当0x时，()()()()222332120fxxm

xmmxmxm=+++++=++++=的两个根分别为()11xm=−+，()22xm=−+，11所以()()10,20mm−+−+，解得1m−；同时当0x时，()4ln2x

mfxxe+=−，则()244ln0xfxx−==，xe=，即当0xe，()0fx，()fx单调递增，当xe时，()0fx，()fx单调递减，即当0x时，()fx在xe=时取得最大值()2feem−=，所以20me−，解得2m；综上m的取值范围是)1

,2−，故答案为)1,2−．根据题意可判断出函数在0x与0x时各有两个零点，分别讨论即可本题考查根据函数零点个数求参数取值问题，涉及二次函数零点，利用导数求函数单调性等知识点，属于中档题．17．【答案】解：（1）1a=时，()243

01,3Axxx=−+=，集合2,3B=．∴)2,3AB=，(1,3AB=．（2）0a时，(),3Aaa=，2,3B=．∵“xA”是“xB”的必要不充分条件，∴BA，∴2,33aa,得12a．∴实数a的取值范围是()1,2

．【解析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（1）1a=时，()24301,3Axxx=−+=，集合2,3B=．利用集合运算性质即可得出．（2）0a时

，(),3Aaa=，2,3B=．根据“xA”是“xB”的必要不充分条件，可得BA，即可得出．18．【答案】解：（1）记至少抽到1个红球的事件为A，法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率

均为25，12所以()223123333232329855555125PACCC=++=．∴至少抽到1个红球的概率为98125．法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均

取到白球），每次取到红球的概率均为25，每次取到白球的概率均为35，所以()33339815125PAC=−=，∴至少抽到1个红球的概率为98125．（2）由题意，随机变量可能的取值为30，40，50，60，()0

3360411306CCPC===，()31160241402CCPC===，()462131035010CCPC===，()463031016030CCPC===，所以随机变量的分布表为：304050

60P1612310130所以随机变量的数学期望为11313040506042621030E=+++=（元）．【解析】（1）记至少抽到1个红球的事件为A，法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，利用独立重复实验概率乘法求解即可；法2：

至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），利用对立事件概率13公式求解即可．（2）由题意，随机变量ξ可能的取值为30，40，50，60，求出概率得到分布列，然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的应用，考查运算求解能力

、函数与方程思想等数学核心素养，是中档题．19．【答案】解：（1）当3a=时，()2ln3fxxxx=+−；∴()123fxxx=+−，由()0fx得，102x或1x，故所求()fx的单调增区间为10,2，()1,+；（2）()12fxxax=+−

，∵()fx在()0,1上是增函数，∴120xax+−在()0,1上恒成立，即12axx+恒成立，∵1222xx+（当且仅当22x=时取等号）所以22a，当22a=时，易知()fx在()0,1上也是增函数，所以22a．故a的取

值范围为)22,+．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．（1）求单调增区间，先求导，令导

函数大于0即可；（2）已知()fx在区间()0,1上是增函数，即()0fx在区间()0,1上恒成立，然后用分离参数求最值即可．20．【答案】解：（1）函数()21xfxx=+为奇函数．证明如下：∵()21xfxx=+定义域为R14又()()

()2211xxfxfxxx−−==−=−+−+，∴()21xfxx=+为奇函数（2）函数()21xfxx=+在()1,1−为单调递增函数．证明如下：任取1211xx−，则()()()()221

212121212222212121111xxxxxxxxfxfxxxxx+−−−=−=++++()()()()()()()()212212121122222121211111xxxxxxxxxxxxxx−−−−−==++++，∵1211xx−，∴210xx−

，1210xx−，∴()()()()211222121011xxxxxx−−++即()()12fxfx故()21xfxx=+在()1,1−上为增函数．（3）由（1）、（2）可得()()210fxfx−+，∴()()()2112fxfxfx−−=−，

∴12111211xxxx−−−−，解得：103x，∴原不等式的解集为103xx．【解析】（1）函数()21xfxx=+为奇函数，利用定义法能进行证明．（2）函数()21xfxx=+在()1,1−为单调递增函数，利用定义法能进行证明．15（3）由()(

)210fxfx−+，得()()()2112fxfxfx−−=−，由此能求出原不等式的解集．本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力

、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．【答案】解：（1）∵曲线()()210fxaxa=−可得()2fxax=−，()(),Ptft．直线MN的斜率为：()2kftat==−，可得MNL：()()()2yftkxtatxt−=−=−−，令0y=，可得212

Matxtat−=+，可得21,02atMtat−+；令0x=，可得21Nyat=+，可得()20,1Nat+，∴()()()22221111224OMNatatStSatatat++==+=△；（2）12t=时，()St取得最小值，()()()()()222

222222221244111241616atatataatatataStatat+−++−==，∴102S=，可得2112404aa−=，可得43a=，此时可得()St的最小值为()2224111

123441243432atSat++===；【解析】（1）求()fx的导函数，设出P的坐标，确定过点P的切线方程，进而可得M，N的坐标，表示出三角形的面积；（2）把12t=代入()St，利用导数研究()St的最值问题，即可确定OMN△（O为坐标

原点）的面积的最小值；本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题．22．【答案】解：（1）当0t=时，()lnafxxx=+，0x，16∴()221axafxxx

x−=−=，当0a时，()0fx恒成立，则()fx在()0,+上单调递增，当0a时，若0xa，则()0fx，函数单调递减，若xa，则()0fx，函数单调递增，∴()fx在()0,a上单调递减，在(),a+单调递增；（2）∵不等式()1f

x在(0,1x上恒成立，∴lnaxxx−，设()lnhxxxx=−，(0,1x，∴()11lnln0hxxx=−−=−恒成立，∴()hx在(0,1上单调递增，∴()()max11hxh==，∴1a，即a的取值范围是)1,+；（3）()()()()lnlnxxa

agxfxextextxx−=+−+−=−+，2t，∴0xt+，∴2xt−−，设()1xmxex=−−，∴()1xmxe=−，当0x时，()0mx，函数()mx单调递增，当0x时，()0mx，函数()mx单调递减，∴()()0110mxm=−，∴

1xex+，∴()()()()ln1lnxgxfxextxxt−=−++−+，设()()1lnxxxt=+−+，∴()111xtxxtxt+−=−=++，17令()0x=，解得11xt=−−，当

1xt−时，()0x，函数()x单调递增，当1txt−−时，()0x，函数()x单调递减，∴()()min120xtt=−=−，∴()()gxfx．【解析】（1）当0t=时，()lnafxxx=+，0x，()221axafxxxx−=−=，对a分类讨论即可得出

函数的单调性；（2）不等式()1fx在(0,1x上恒成立，可得lnaxxx−，设()lnhxxxx=−，(0,1x，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；（3）()()()()lnlnxxaagxfxextextxx−=+−+−

=−+，2t，由0xt+，可得2xt−−，设()1xmxex=−−，利用导数研究函数的单调性可得1xex+，设()()1lnxxxt=+−+，利用导数研究其单调性即可判断．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程

与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．