【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第28讲 平面向量的概念及线性运算（达标检测） Word版含解析.docx，共(11)页，89.595 KB，由小赞的店铺上传

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第28讲平面向量的概念及线性运算（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•河西区期中）如果𝑎→，𝑏→是两个单位向量，则𝑎→与𝑏→一定（）A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等【分析】根据𝑎→，𝑏→是两个单位向量；只能得到其模长

相等，方向不定，即可判断答案．【解答】解：因为𝑎→，𝑏→是两个单位向量；只能得到其模长相等，其他没法确定；故选：D．2．（2020春•三台县期中）如图所示，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与𝐸𝐷→相等的是（）A．𝐸𝐹→B．

𝐵𝐸→C．𝐹𝐵→D．𝐹𝐶→【分析】由题意先证明DE∥CB且DE=12CB，再利用中点找出所有与向量𝐸𝐷→相等的向量【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DE=12CB，则与向量𝐸�

�→相等的有𝐵𝐹→，𝐹𝐶→．故选：D．3．（2020•靖远县模拟）已知𝑎→=(−1，√3)，下列向量中，与𝑎→反向的单位向量是（）A．(−12，√32)B．(12，−√32)C．(−12，−√32)D．(12，√32)【分析】根

据题意，设要求向量为𝑏→，且𝑏→=λ𝑎→，（λ＜0），可得𝑏→的坐标为（﹣λ，√3λ），由单位向量的定义可得（﹣λ）2+（√3λ）2＝1，解可得λ的值，即可得𝑏→的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，设要求向量为𝑏→，且𝑏→=λ𝑎→，（λ＜0），则𝑏→

=λ𝑎→=（﹣λ，√3λ），（λ＜0），𝑏→为单位向量，则（﹣λ）2+（√3λ）2＝1，解可得：λ＝±12，又由λ＜0，则λ=−12，故𝑏→=（12，−√32）；故选：B．4．（2020春•平谷区期末）化

简向量𝑂𝐴→+𝐵𝐶→−𝐵𝐴→−𝑂𝐷→等于（）A．𝐷𝐶→B．𝑂𝐷→C．𝐶𝐷→D．𝐴𝐵→【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义进行运算即可．【解答】解：𝑂𝐴→+𝐵𝐶→−𝐵𝐴→−𝑂𝐷→=𝑂𝐴→+𝐴𝐵→+𝐵𝐶→−𝑂𝐷→=𝑂𝐶→

−𝑂𝐷→=𝐷𝐶→．故选：A．5．（2019秋•茂名期末）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则𝐸𝐵→=（）A．34𝐴𝐵→−14𝐴𝐶→B．14𝐴𝐵→−34𝐴𝐶→C．34𝐴𝐵→+14𝐴𝐶→

D．14𝐴𝐵→+34𝐴𝐶→【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，故𝐸𝐵→=𝐸𝐷→+𝐷𝐵→=12𝐴𝐷→+12𝐶𝐵→=12×12(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)+12(𝐴

𝐵→−𝐴𝐶→)=34𝐴𝐵→−14𝐴𝐶→．故选：A．6．（2019秋•常德期末）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则𝐴𝐸→=（）A．12𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→B．34𝐴𝐵→+𝐴𝐷→C．34𝐴

𝐵→+12𝐴𝐷→D．32𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→【分析】由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．【解答】解：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，∴𝐴𝐸→=𝐴𝐶→+𝐴𝐵→2=𝐴𝐷→+𝐷𝐶→+𝐴

𝐵→2=𝐴𝐷→+12𝐴𝐵→+𝐴𝐵→2=34𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→，故选：C．7．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，𝐴𝐷→=14𝐴𝐵→，𝐴𝐸→=12𝐴𝐶→，BE和

CD相交于点F，则向量𝐴𝐹→等于（）A．17𝐴𝐵→+27𝐴𝐶→B．17𝐴𝐵→+37𝐴𝐶→C．114𝐴𝐵→+214𝐴𝐶→D．114𝐴𝐵→+314𝐴𝐶→【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得：𝐶𝐹→=17𝐴𝐵→−47�

�𝐶→，再由三角形法则可求向量𝐴𝐹→．【解答】解：设𝐶𝐹→=k𝐶𝐷→=k（𝐴𝐷→−𝐴𝐶→）＝k（14𝐴𝐵→−𝐴𝐶→），∵𝐵𝐹→=𝐵𝐶→+𝐶𝐹→=k（14𝐴𝐵→−𝐴𝐶→）+𝐴𝐶→−𝐴𝐵→=（14k﹣1）𝐴𝐵→+（1﹣k）𝐴

𝐶→，𝐵𝐸→=𝐴𝐸→−𝐴𝐵→=12𝐴𝐶→−𝐴𝐵→．∵𝐵𝐹→∥𝐵𝐸→，∴𝐵𝐹→=λ𝐵𝐸→，则（14k﹣1）𝐴𝐵→+（1﹣k）𝐴𝐶→=λ（12𝐴𝐶→−𝐴𝐵→）．∴{14𝑘−1=−𝜆1−𝑘=12𝜆，∴k=47

，𝐶𝐹→=17𝐴𝐵→−47𝐴𝐶→，∴𝐴𝐹→=𝐴𝐶→+𝐶𝐹→=17𝐴𝐵→+37𝐴𝐶→．故选：B．8．（2020•桥西区校级模拟）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则𝑂𝐷→=（）A．23𝐵𝐴→+13𝐴𝐶→B．

23𝐵𝐴→−13𝐴𝐶→C．13𝐵𝐴→+23𝐴𝐶→D．43𝐵𝐴→+23𝐴𝐶→【分析】根据等边三角形外心的性质得出𝑂𝐷→=𝐵𝑂→，再根据三点共线的基本性质，求解𝐵𝑂→即可．【解答】解：由题，圆O是等边三角形ABC的外接圆，∴

𝐵𝑂→⊥𝐴𝐶→，点D为劣弧AC的中点，∴𝑂𝐷→⊥𝐴𝐶→，∴𝐵𝑂→∥𝑂𝐷→，又因为𝐵𝑂→和𝑂𝐷→有公共点𝑂，所以B，O，D三点共线．圆O中，𝑂𝐷→=𝐵𝑂→=23⋅12(𝐵𝐴→+𝐵𝐶→)=13(

𝐵𝐴→+𝐵𝐴→+𝐴𝐶→)=23𝐵𝐴→+13𝐴𝐶．→故选：A．9．（2020•毕节市模拟）如图，在△ABC中，𝐴𝑁→=2𝑁𝐶→，P是BN上一点，若𝐴𝑃→=t𝐴𝐵→+13𝐴𝐶→，则实数t的值为（）A．16B．23C．12D．34【分析】根据𝐴𝑁→=

2𝑁𝐶→即可得出𝐴𝐶→=32𝐴𝑁→，进而可得出𝐴𝑃→=𝑡𝐴𝐵→+12𝐴𝑁→，然后根据B，P，N三点共线即可得出t的值．【解答】解：∵𝐴𝑁→=2𝑁𝐶→，∴𝐴𝐶→=32𝐴𝑁→，∴𝐴𝑃

→=𝑡𝐴𝐵→+13𝐴𝐶→=𝑡𝐴𝐵→+12𝐴𝑁→，且B，P，N三点共线，∴𝑡+12=1，解得𝑡=12．故选：C．10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（）A．𝐴𝐵

→=𝐷𝐶→B．𝐴𝐷→+𝐴𝐵→=𝐴𝐶→C．𝐴𝐵→−𝐴𝐷→=𝐵𝐷→D．𝐴𝐷→+𝐶𝐵→=0→【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四

边形ABCD中，根据向量的减法法则知𝐴𝐵→−𝐴𝐷→=𝐷𝐵→，所以结论中错误的是C．ABD均正确．故选：ABD．11．（2020春•红桥区期中）计算：𝑂𝑃→+𝑁𝑄→+𝑀𝑁→−𝑀𝑃→=

．【分析】利用向量线性运算性质即可得出．【解答】解：𝑂𝑃→+𝑁𝑄→+𝑀𝑁→−𝑀𝑃→=𝑂𝑃→+𝑃𝑀→+𝑀𝑁→+𝑁𝑄→=𝑂𝑄→．故答案为：𝑂𝑄→．12．（2019秋•闵行区校级月考）已知点P是

直线P1P2上一点，且𝑃1𝑃→=−13𝑃𝑃2→，若𝑃2𝑃1→=𝜆𝑃𝑃2→，则实数λ＝【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果．【解答】解：由题意，𝑃2𝑃1→=−𝑃1𝑃2→=−（𝑃1𝑃→+𝑃𝑃2→）＝﹣（−13𝑃𝑃2→+�

�𝑃2→）=−23𝑃𝑃2→．∴λ=−23．故答案为：−23．13．（2020春•忻府区校级期中）对下列命题：（1）若向量𝑎→与𝑏→同向，且|𝑎→|＞|𝑏→|，则𝑎→＞𝑏→；（2）若向量|𝑎→|＝|𝑏→|，则𝑎→与𝑏→的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|�

�→|＝|𝑏→|，若𝑎→与𝑏→的方向相同，则𝑎→=𝑏→；（4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行；（5）向量𝑎→与𝑏→平行，则向量𝑎→与𝑏→方向相同或相反．其中正确的命题的个数为【分析】直接根据向量的基本性质以及0→的特殊性即可判断．【解答】解：（1）向

量不能比较大小，故不正确；（2）向量|𝑎→|＝|𝑏→|，只能说长度相等，方向不定；故错误；（3）由相等向量的定义可得其正确；（4）错误，0→与任意向量平行；（5）若其中一个是0→，其错误；故真命题只有（3）即1个；故

答案为：1．14．（2019秋•百色期末）已知向量𝑎→，𝑏→是两个不共线的向量，且向量𝑚𝑎→−3𝑏→与𝑎→+(2−𝑚)𝑏→共线，则实数m的值为．【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得m的值．【解答】解：因为向量𝑚𝑎

→−3𝑏→与𝑎→+(2−𝑚)𝑏→共线，所以𝑚=−32−𝑚，解得m＝﹣1或m＝3．故答案为：﹣1或3．15．（2020•肇庆一模）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若𝐴𝐷→=2𝐷𝐵→，𝐶𝐷→=13𝐶𝐴

→+𝜆𝐶𝐵→，则λ＝．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出𝐶𝐷→=𝐶𝐴→+𝐴𝐷→①，𝐶𝐷→=𝐶𝐵→+𝐵𝐷→②；由①、②得出𝐶𝐷→=13𝐶𝐴→+23𝐶𝐵→，从而求出λ的值．【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点，𝐴𝐷→=2𝐷𝐵→，𝐶

𝐷→=13𝐶𝐴→+𝜆𝐶𝐵→，如图所示，∴𝐶𝐷→=𝐶𝐴→+𝐴𝐷→=𝐶𝐴→+2𝐷𝐵→①，𝐶𝐷→=𝐶𝐵→+𝐵𝐷→，∴2𝐶𝐷→=2𝐶𝐵→+2𝐵𝐷→=2𝐶𝐵→

−2𝐷𝐵→②；①+②得，3𝐶𝐷→=𝐶𝐴→+2𝐶𝐵→，∴𝐶𝐷→=13𝐶𝐴→+23𝐶𝐵→；∴λ=23．故答案为：23．16．（2019春•赣州期中）已知𝑒1→，𝑒2→不共线

，若k𝑒1→+𝑒2→∥𝑒1→+𝑘𝑒2→，试确定k的值．【分析】据条件可知，𝑒1→+𝑘𝑒2→≠0→，而根据(𝑘𝑒1→+𝑒2→)∥(𝑒1→+𝑘𝑒2→)可知，存在实数λ，使得𝑘

𝑒1→+𝑒2→=𝜆(𝑒1→+𝑘𝑒2→)，从而得出{𝑘=𝜆𝜆𝑘=1，解出k即可．【解答】解：∵𝑒1→，𝑒2→不共线；∴𝑒1→+𝑘𝑒2→≠0→；又𝑘𝑒1→+𝑒2→∥𝑒1→+𝑘𝑒2→；∴存在实数λ，使𝑘𝑒1→+𝑒2→=𝜆𝑒1→+𝑘𝜆

𝑒2→；即{𝑘=𝜆1=𝜆𝑘；解得k＝±1．17．（2020春•石嘴山校级期中）（1）化简：25(𝑎→−𝑏→)−13(2𝑎→+4𝑏→)+215(2𝑎→+13𝑏→)；（2）设两个非零向量𝑒1→与𝑒2→不共线．如果𝐴𝐵→=𝑒1→+𝑒2→，𝐵𝐶

→=2𝑒1→+8𝑒2→，𝐶𝐷→=3(𝑒1→−𝑒2→)，求证：A、B、D三点共线．【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；（2）根据𝐵𝐷→=𝐵𝐶→+𝐶𝐷→，进行向量的数乘运算即可得出𝐵𝐷→=5𝐴𝐵→，从而得出𝐵𝐷→，𝐴

𝐵→共线，进而得出A，B，D三点共线．【解答】解：（1）原式=(25−23+415)𝑎→+(−25−43+2615)𝑏→=0⋅𝑎→+0⋅𝑏→=0→；（2）证明：∵𝐵𝐷→=𝐵𝐶→+𝐶𝐷→=2𝑒1→+8𝑒2→+3(𝑒1→−

𝑒2→)=5(𝑒1→+𝑒2→)=5𝐴𝐵→，∴𝐵𝐷→∥𝐴𝐵→，又𝐵𝐷→，𝐴𝐵→有公共点B，∴A，B，D三点共线．18．（2020春•温州期中）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB

分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=𝑏→．（1）用𝑎→，𝑏→表示向量𝑂𝐶→，𝐷𝐶→．（2）若𝑂𝐸→=𝜆𝑂𝐴→，求实数λ的值．【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用𝑎→，𝑏→表示向量𝑂𝐶→

，𝐷𝐶→．（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且𝑂𝐷→=23𝑂𝐵→，由平行四边形法则得𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=2𝑂𝐴→，则𝑂𝐶→=2𝑂𝐴→−𝑂𝐵→=2𝑎→−𝑏→，则𝐷𝐶→=

𝑂𝐶→−𝑂𝐷→=2𝑎→−𝑏→−23𝑏→=2𝑎→−53𝑏→．（2）由图知𝐸𝐶→∥𝐷𝐶→，∵𝐸𝐶→=𝑂𝐶→−𝑂𝐸→=2𝑎→−𝑏→−λ𝑎→=（2﹣λ）𝑎→−𝑏→，�

�𝐶→=2𝑎→−53𝑏→，∴2−𝜆2=−1−53，解得𝜆=45．19．（2019秋•厦门期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记𝐴𝐵→=𝑎→

，𝐴𝐷→=𝑏→．（1）用𝑎→、𝑏→表示𝐵𝐸→，并求|𝐵𝐸→|；（2）若𝐴𝑂→=𝜆𝐴𝐹→，求实数λ的值．【分析】（1）由向量的线性运算得：𝐵𝐸→=𝐴𝐸→−𝐴𝐵→=12𝐴𝐷→−𝐴𝐵→=12𝑏→−𝑎→，|𝐵𝐸→

|=√14𝑏→2−𝑎→⋅𝑏→+𝑎→2=√1−4×2×12+16=√13；（2）设𝐴𝑂→=𝜆𝐴𝐹→，𝐵𝑂→=𝜇𝐵𝐸→，由向量的线性运算得：在△ABO中有𝐴𝑂→=𝐴𝐵→+𝐵𝑂→，所以𝜆𝐴𝐹→=𝐴𝐵→+𝜇𝐵𝐸→，所以λ（𝑏→+12𝑎→）

=𝑎→+μ（12𝑏→−𝑎→），又𝑎→，𝑏→不共线，则{𝜆=𝜇2𝜆2=1−𝜇，解得：{𝜆=25𝜇=45得解【解答】解：（1）𝐵𝐸→=𝐴𝐸→−𝐴𝐵→=12𝐴𝐷→−𝐴𝐵→=12𝑏→−𝑎→，|𝐵𝐸→

|=√14𝑏→2−𝑎→⋅𝑏→+𝑎→2=√1−4×2×12+16=√13；（2）设𝐴𝑂→=𝜆𝐴𝐹→，𝐵𝑂→=𝜇𝐵𝐸→，在△ABO中有𝐴𝑂→=𝐴𝐵→+𝐵𝑂→，所以𝜆𝐴𝐹→=𝐴𝐵→+𝜇𝐵𝐸→，所以λ（𝑏→+12𝑎→）=𝑎→+μ（

12𝑏→−𝑎→），又𝑎→，𝑏→不共线，则{𝜆=𝜇2𝜆2=1−𝜇，解得：{𝜆=25𝜇=45故实数λ的值为25．[B组]—强基必备1．（2019春•建平县期末）过△ABC的重心任作一直

线分别交边AB，AC于点D、E．若𝐴𝐷→=x𝐴𝐵→，𝐴𝐸→=y𝐴𝐶→，xy≠0，则4x+y的最小值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用．【解答】解：设△ABC的重

心为M，由题意可知D、E、M三点共线∴存在λ使得𝐴𝑀→=𝜆𝐴𝐷→+(1−𝜆)𝐴𝐸→∵𝐴𝐷→=𝑥𝐴𝐵→，𝐴𝐸→=𝑦𝐴𝐶→且𝐴𝑀→=13𝐴𝐵→+13𝐴𝐶→∴{𝜆𝑥=13(1−𝜆)𝑦=13，化简得：13𝑥+13

𝑦=1∴4𝑥+𝑦=(4𝑥+𝑦)(13𝑥+13𝑦)=43+13+𝑦3𝑥+4𝑥3𝑦≥53+2√49=3故选：B．2．（2020•香坊区校级三模）在△ABC中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=√33𝐴𝐵=1，且𝐶𝐸→=𝑥𝐶𝐴→，𝐶𝐹→=𝑦𝐶𝐵→

，（其中x，y∈（0，1）），且x+4y＝1，若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为．【分析】根据平面向量的数量积运算求得𝐶𝐴→•𝐶𝐵→的值，再利用中线的性质表示出𝐶𝑀→、𝐶𝑁→，由此求得𝑀𝑁→，计算|𝑀𝑁→|的最小值即可．

【解答】解：连接CM、CN，如图所示；∵等腰三角形ABC中，AC＝BC＝1，AB=√3，∴∠ACB＝120°，∴𝐶𝐴→•𝐶𝐵→=|𝐶𝐴→|•|𝐶𝐵→|cos120°=−12；又CM是△CEF的中线，∴𝐶𝑀

→=12（𝐶𝐸→+𝐶𝐹→）=12（x𝐶𝐴→+y𝐶𝐵→）同理，可得𝐶𝑁→=12（𝐶𝐴→+𝐶𝐵→），由此可得𝑀𝑁→=𝐶𝑁→−𝐶𝑀→=12（1﹣x）𝐶𝐴→+12（1﹣y）𝐶𝐵→，∴𝑀𝑁→2=14（1﹣x）2+12（1﹣x）（1﹣y）×

（−12）+14（1﹣y）2；又x+4y＝1，∴1﹣x＝4y，代入上式得𝑀𝑁→2=4y2﹣y（1﹣y）+14（1﹣y）2=214y2−32y+14；又x，y∈（0，1），∴当y=32×221=17时，𝑀𝑁→2取得最小值为17，此时|𝑀𝑁→|的最小值为√77

．故答案为：√77．