【文档说明】湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.381 MB，由小赞的店铺上传

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2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷考试时间：2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．

选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i13iz+=+，则复数z的虚部为（）A.1B.1−C.iD.2【答案】B【解析】【分析】根据除法运算求得2iz=+，即可得复数z的虚部.【详解】由题意可得：()()()()13i1i13i

42i2i1i1i1i2z+−++====+++−，所以2iz=−的虚部为1−.故选：B.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14B.15C.23D.25【答案】

D【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为3864=，上四分位数是2327252+=.故选：D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯

之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深422CD=−，锯道42AB=，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为（）A.4πB.8C.4π8−D.8π8−【答案】C【解析】【分析】根据弓形的面积等于

扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意22,422ADBDODOCCDOA===−=−+，在RtAOD中，222ADODOA+=，即()228422OAOA+−+=，解得4OA=，故22OD=，易知π2AOB=，因此221π1444π8222AOBAOBS

SS=−=−=−弓形扇形△.故选：C.4.已知π10cos410+=−，π0,2，则sin23π−=（）A.43310+B.34310+C.43310−D.34310−【答案】A【解析】【分

析】以π4+为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin2,cos2，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2，则+ππ3π,444，且π10cos410+=−，可

得2ππ310sin1cos4410+=−+=，则2ππππ4sin2sin2cos212cos42445=+−=−+=−+=

，πππππ3cos2cos2sin22sincos424445=+−=+=++=−，所以π13433sin2sin2cos23221

0+−=−=，故选：A.5.平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是边长为2的正方形，且1160AADAAB==，13AA=，M为11AC，11BD的交点，则线段BM的长为（）A.3B.10C.11D.23【答案】C

【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BMAAADAB=+−，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：()11111111111112222BMBBBDBBADABAAADAB=+=+−=+−uuuruuur

uuuuruuuruuuuruuuuruuuruuuruuur，则2222211111111122442BMAAADABAAADABAAADAAADABAD=+−=+++−−uuur

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur11911323201122=+++−−=，所以11BM=uuur.故选：C.6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与

地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}=，记事件A=“得到的点数为奇数”，记事件B=“得到的点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B与C互斥B.()

58PAB=C.()()()()PABCPAPBPC=D.,,ABC两两相互独立【答案】C【解析】【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC：先求AB，ABC，结合古典概型分析判断；对于D：根据独立事件改

了乘法公式可知事件A与C不相互独立.【详解】由题意得，事件A的样本点为1,3,5,7，事件B的样本点为1,2,3,4，事件C的样本点为2,3,5,7，对于选项A：事件B与C共有样本点2，3，所以不互斥，

故A错误；对于选项B：AB事件样本点nS，所以()6384PAB==，故B错误；对于选项D：因为()4182PA==，()12PC=，且AC事件样本点3,5,7，则()38PAC=，可得()()()PACPAPC，所以事件A与C不相互独立，故D错误；对于选

项C：因为ABC事件样本点3，可得()18PABC=，所以()()()()PABCPAPBPC=，故C正确.故选：C.7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为32，则此圆台与其内切

球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.73【答案】C【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213rr=，且14BCr=，以及内切球O的半径13rr=，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r，下底面半径为2r，如

图，取圆台的轴截面，作CMAB⊥，垂足为M，设内切球O与梯形两腰分别切于点,EF，可知12=+BCrr，21BMrr=−，由题意可知：母线与底面所成角为π3B=，则211212rrBMBCrr−==+，可得213rr=，即14BCr=，12BMr=，可得22

123CMBCBMr=−=，可知内切球O的半径13rr=，可得()222111111π9ππ3426πSrrrrrr=+++=圆台，()22114π312πSrr==球，所以212126π1312π6SrSr==台球.故选：C.8.在ABCV中，2BC=，π3BAC=，O是ABCV的外

心，则OABCBACA+的最大值为（）A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OABCBACAc+=−+uuruuuruuruur，利用正弦定理求边c的最大值即可.【详解】设角,,ABC所

对的边分别为a，b，c，因为O是ABCV的外心，记BC中点为D，则有ODBC⊥，即0ODBC=，可得()OABCBACAODDBBABCBACA+=+++uuruuuruuruuruuuruuuruur

uuuruuruurDBBCBABCBACA=++uuuruuuruuruuuruuruur222122BCBAc=−+=−+，在ABCV中，由正弦定理可得：24sinsin332caCBAC===，则44sin33cC=，当且仅当sin

1C=，即π2C=时，等号成立，所以OABCBACA+的最大值为2410233−+=.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“1a=−”是“直线210axy−+=与直20xay−−=互相垂直”的充要条件B.“2a=−”是“直线220axya++=与直线()110xay+++=互相平行

”的充要条件C.直线sin20xy++=的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44D.若点()1,0A，()0,2B，直线l过点()2,1P且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是1

12k−【答案】BCD【解析】【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得tansin1,1k==−−，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结

合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A：当1a=−时，直线10xy−+=与直线20xy+−=斜率分别为1，1−，斜率之积为1−，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”，则20aa+=，故0a=或1a=−，所以得不到1a=−，即必要性不成立，故

A错误；对于选项B：由直线平行得()212aaaa+=，解得2a=−，所以“2a=−”是“直线220axya++=与直线()110xay+++=互相平行”的充要条件，故B正确；对于选项C：直线的倾斜角为，则tansin1,1k==−−，因为0π，所以π3π0,,π4

4，故C正确；对于选项D：如图所示：可得12PBk=−，1PAk=，结合图象知112k−，故D正确；故选：BCD.10.已知函数()cosfxx=，()singxx=，下列说法正确的是（）A.函数()()()mxfxgx=在π,π2上单调递减B.函

数()()()mxfxgx=的最小正周期为2πC.函数()()()nxfxgx=+的值域为1,2−D.函数()()()nxfxgx=+的一条对称轴为π4x=【答案】BC【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称

性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当π,π2x时，()singxx=，()1sincossin22mxxxx==，此时()2π,2πx，而sinyx=在()π,2π上不单调，故A错误；B选项，函数()()()()2πcos2π

sin2πcossinmxxxxxmx+=++==，而()sincos,2π2ππsincos,2ππ2π2πxxkxkmxxxkxk+=−++1sin2,2π2ππ,Z21sin2,

2ππ2π2π,Z2xkxkkxkxkk+=−++，所以()mx的最小正周期为2π，故B正确；C选项，当()2π,2ππZxkkk+时，()ππ5π2π+,2πZ444xkkk++，π2sin,

142x+−，所以()πcossin2sin1,24=+=+−nxxxx，当()()2ππ,2π2πZxkkk++时，()π5π9π2π,2πZ444xkkk+++，π2cos,142x+−

，所以()(πcossin2cos1,24=−=+−nxxxx，综上，函数()()()nxfxgx=+的值域为1,2−，故C正确；D选项，因为1π3ππ2444−+=，πππcossin2444−=−+−=

n，3π3π3πcossin0444n=+=，所以π4x=不是()nx的一条对称轴.故选：BC11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E、F、G、H分别为棱AD、AB、BC、11BC的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥EFGH−的外接球的表面积为πB.

过点E，F，H作正方体的截面，则截面面积为334C.若P为线段11BD上一动点(包括端点)，则直线1PA与平面1ABD所成角的正弦值的范围为36,33D.若Q为线段CD上一动点(包括端点)，过点1A，G，Q的平面分别交1BB，1DD于M，N，则BM

DN+的范围是1,12【答案】BCD【解析】【分析】对于A：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论；对于B：分析可知截面为EFKHLJ，其截面正六边形，即可得面积；对于C：根据体积关系求得点P到

平面1ABD距离h，可得1sinhPA=，进而分析范围；对于D：根据平面性质作截面，设CQCD==，结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A：由题意可得：2,12EFFGEGGH====，且GH⊥平面ABCD，的则222EFFGEG+=，即π2EFG=，可知三角形EFG

外接圆的半径为1122rEG==，所以三棱锥EFGH−的外接球的球心为EH的中点，可得三棱锥EFGH−外接球的半径为221222Rr=+=，所以其表面积为24π2πR=，故A错误；对于选项B：取1111,,BBCDDD的中点分别为,,KLJ，可知过点E，F，H作正方体的截面为E

FKHLJ，其截面正六边形，边长为22所以其面积为122336sin602224S==，故B正确；对于选项C：设点P到平面1ABD的距离为h，由正方体的性质可得：//BD11BD，11BD不在平面1ABD内，BD平面1AB

D，则11//BD平面1ABD，的当点P在线段11BD上运动时，则点P到平面1ABD的距离即为点1D到平面1ABD的距离，由11DABD−的体积可得111131112232322h=，解得33h=，设直线1PA与平面1ABD所成角，则113sin3hPA

PA==，若P为11BD的中点时，111PABD⊥，()111min1222PABD==；当点P为线段11BD的端点时，()1max1PA=；即1212PA，所以136sin,33hPA=，故C正确；对于选项D：设,QGABSQGADT==II，

可知平面1AGQ即为平面1AST，则1111,ASBBMATDDN==II，可得1122BGCGBC===，设CQCD==，当01时，由相似三角形知识可得：11BM=+，11211112D

N−−==−++，即1BM=+，11DN−=+，且当0=或1=时，也符合1BM=+，11DN−=+；则11111BMDN−+=+=+++，且01≤≤，可得11,112BMDN+=+，所以BMDN+的取值范围是1,12，D

正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与

平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.

已知()2,1A，()4,3B两点到直线10xay−+=的距离相等，则a=__________．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.【详解】由题意可得：222143111aaaa−+−+=++

，即353aa−=−，可得353aa−=−或353aa−=−，解得1a=或2a=.故答案为：1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A，()1,0,2B，()1,1,4C−，CD为三角形ABC边AB上的高，则CD=____

______．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC=−−，()0,2,1AB=−，则14AC=，555ACABADAB===，所以221453CDACAD=−=−=，故答案为：314.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：22aba

bab=+，2ababb=，若平面向量a，b满足0ab，且ab和ab都在集合|,044nnnZ中，则ab=__________，cos,ab=__________．【答案】①.14##0.25②.328或33【解析】【分析】设a与b的夹角为，分析可

得cos2ab，进而可得14ab=，且1cosθ2>，分析可得1cos2abrre，即可得34ab=或1，结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a与b的夹角为，因为ab和ab都在集合|,044nnnZ中，所以其取值可能为113,,

,1424，因为0ab，则222abab+，可得22coscos22ababababab==+，因为cos1，即cos122，可得12ab，所以14ab=；又因为cos2ab，即cos124，

解得1cosθ2>，因为0ab，可得22coscos1cos2abaababbbb===，即34ab=或1，当14ab=且34ab=时，即2214abab=+rrrr且234abb=rrr，可得2

3,24abbab==rrrrr，所以223432cos,82abbabbba===rrrrrrrr；当14ab=且1ab=时，即2214abab=+rrrr且21abb=rrr，可得2,3abbab==rrrrr，所以2233cos,3babaabbb===rrrrr

rrr；综上所述：32cos,8ab=或33.故答案：14；328或33.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为a，b，c，已知3sincos3aCCb=+.（1）

求角B；（2）若D是ABCV边AC上一点，且满足BABDBDBCBABC=，9425ac+=，求BD的最大值．【答案】（1）π3B=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得3sincos3abCbC=+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得ta

n3B=，即可得结果；（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABDCBD==，利用面积关系可得311BDac=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因3sincos3aCCb=+，即3sincos

3abCbC=+，由正弦定理可得3sinsinsinsincos3ABCBC=+，且()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，即3sincoscossinsinsinsincos3BCBCBCBC+=+，可得3cossinsinsin3BCBC=，的为且()0

,πC，则sin0C，可得tan3B=，又因为0πB，所以π3B=.【小问2详解】因为BABDBDBCBABC=，即BABDBDBCBABDBCBD=，可得coscosABDCBD=，即ABDCBD=，可知BD平分A

BC，则π6ABDCBD==，因ABCABDBCDSSS=+△△△，即131111222222acBDaBDc=+，整理可得311BDac=+，又因为9425ac+=，则()311114914994131321252525cacaacBDacacac=++=++

+=，当且仅当49caac=，即53a=，52c=时取等号，可得3BD，所以BD的最大值为3.16.已知ABCV的顶点()1,1A，边AC上的高BH所在直线的方程为80−+=xy，边AB上的中线CM所

在直线的方程为53100xy−−=．（1）求直线AC的方程；（2）求ABCV的面积．【答案】（1）20xy+−=（2）24【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，求直线方程.（2）先确定B、C点的坐标，可求线段AC的长度，利用点到直线的

距离求点B到直线AC的距离，即三角形的高，就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC上的高BH所在直线方程为80−+=xy，为所以设直线AC的方程为0xyc++=，由于点()1,1A在直线AC上，即110c++=，解得2c=−，所以直线AC的方程为20xy+−=

.【小问2详解】由于点C既满足直线53100xy−−=的方程，又满足20xy+−=的方程，所以5310020xyxy−−=+−=，解得20xy==，故()2,0C，所以()()2221012AC=−+−=，设(),Bab，

由于点B满足直线80−+=xy，故80ab−+=，设AB的中点坐标为11,22ab++，满足53100xy−−=，所以115310022ab++−−=，整理得53180ab−−=，所以8053180a

bab−+=−−=，解得2129ab==，所以()21,29B，则点()21,29B到直线20xy+−=的距离482422d==，故1122422422ABCSACd===△.17.某中学举行了一次“数学文化知

识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（5060x，6070x，7080x，8090x，90100x）

，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（

2）从样本数据在8090x，90100x两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：12310,

,,,xxxx，已知这10个分数的平均数90x=，标准差5s=，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【答案】（1）73分合理（2）815（3）22.25【解析】【分析】（1）由题意知可得，20.160.8

a=计算可求得a；根据小长方形的面积和为1求得b，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为a，b，c，d和A，B，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由

第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，20.160.8a=，解得0.032a=，又()0.0080.0160.0320.04101b++++=，解得0.004b=，所以0.032a=，0.004b=，成绩落在)50,70内

的频率为：0.160.320.48+=，落在)50,80内的频率为：0.160.320.400.88++=，设第60百分位数为m，则()700.040.60.48m−=−，解得73m=，所以晋级分数线划为73分合理；【小问2详解】由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和

2人，分别记为a，b，c，d和A，B，则所有的抽样有：()Ω,,,,,,,,,,,,,,ABAaAbAcAdBaBbBcBdabacadbcbdcd=，共15个样本点，A=“抽到的两位同学来自不同小组”，则,,,,,,,AA

aAbAcAdBaBbBcBd=共8个样本点，所以()815PA=.【小问3详解】因为90x=，所以12101090900xxx+++==，所以()2222221210190510sxxx=+++−=，所以222121081250x

xx+++=，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为1x，2x，3x，…，8x，平均数与标准差分别为0x，0s，则剩余8个分数的平均数：1238090096849088xxxxx++++−−===，方差：()()22222222012811908125096849022.2588sxxx

=+++−=−−−=18.在ABCV中，90C=，3BC=，6AC=，D，E分别是AC，AB上的点，满足DEBC∥，且DE经过ABCV的重心．将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置，使1ACCD⊥，存在动点M使()110AMAD=如图所示．（1）求证：1AC⊥平面BCDE

；（2）当12=时，求二面角CMBE−−的正弦值；（3）设直线BM与平面1ABE所成线面角为，求sin的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）39020（3）148【解析】【分析】（1）先证DE⊥

平面1ACD，可得1DEAC⊥，进而可得1AC⊥平面BCDE；（2）建系标点，分别求平面BMC、平面BME的法向量，利用空间向量求二面角；（3）根据题意可得()2,3,2323BM=−−和平面1ABE的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解

】因为90C=，则ACBC⊥，且DEBC∥，可得ACDE⊥，将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置，始终有1DEAD⊥，DECD⊥，因为1ADCDD=，1AD，CD平面1ACD，所以DE⊥平面1ACD，由1AC平面1ACD，可得1DEAC⊥，且1ACCD⊥，

CDDED=，CD，DE平面BCDE，所以1AC⊥平面BCDE.【小问2详解】由（1）可知，1AC，CD，CB两两垂直，翻折前，因为DE经过ABCV的重心，且DEBC∥，所以2ADCD=，所以2CD=，4=AD，223DEBC==，翻折后14AD=，由勾股

定理得2222114223ACADCD=−=−=，以C为原点，直线CD，CB，1CA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，()10,0,23A，()2,0,0D，()1,0,3M，()0,3,0B，()2,2,0E，可得()1,0,3CM=，()1,3,3MB=−−

，()2,1,0BE=−，设平面BMC的法向量𝑚⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则1111130330mCMxzmMBxyz=+==−+−=，令11z=，则113,0xy=−=，可得(

)3,0,1m=−，设平面BME的法向量𝑛⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则2222233020nMBxyznBExy=−+−==−=，令21x=，则2252,3yz==，可得51,2,3n=，可得2

31103cos,2021021023mnmnmn====，且,0,πmn，则239390sin,1cos,4020mnmn=−==，所以二面角CMBE−−的正弦值为39020.【小问3详解】由（2）可知()1

0,3,23BA=−，()2,1,0BE=−，()12,0,23AD=−设平面1ABE的法向量()333,,pxyz=，则13333323020pBAyzpBExy=−+==−=，令31x=，则331,3yz==，

可得()1,2,3p=，且()()()110,3,232,0,232,3,2323BMBAAD=+=−+−=−−，因为直线BM与平面1ABE线面角为，则sincos,pBMpBMpBM==2224221482124221624

211464162177===−+−+−+当且仅当74=时，等号成立，所以sin的最大值为148.19.对于一组向量123,,,naaaa（*nN且3n），令123nnSaaaa=++++

，如果存在()1,2,3,,mamn，使得mnmaSa−，那么称ma，是该向量组的“H向量”．（1）设()()*,naxnnn=+N，若3a是向量组1a，2a，3a的“H向量”，求实数x的取值范围；（2）若()*ππcos,sin22nnnan=

N，向量组1a，2a，3a，，11a是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在说明理由；（3）已知1a，2a，3a均是向量组1a，2a，3a的“H向量”，其中1e,02xa=，2e,02xa−=，求证：2

22123aaa++可以写成一个关于ex的二次多项式与一个关于ex−的二次多项式的乘积．【答案】（1）2,0−（2）存在“H向量”，分别为2a，6a，10a（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可得312aaa+，结合模长公式列式求解即可；（2）根据题意可得1na=，

4nnaa+=uuuruur，结合111msa−=可得π1cos22m−，即可分析证明；（3）根据题意分析可得1230aaa++=，3ee,02xxa−+=−，结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得：33312aSaaa−=+，因为(),naxnn

=+，则()()()121,2,223,3aaxxxx+=+++=+，()33,3ax=+，则22312aaa+，即()()2239239xx++++，整理得()360xx+，解得20x−，所以实数x的取值范围为2,0−.【小问2详

解】存在，理由如下：假设存在“H向量”ma，因为22ππππcos,sincossin12222nnnnna==+=，且444ππcosπ,sinπcos,sin2222nnnnnnaa+++===，则由题意，只需要使得111mSa−=，又因为

()()()()()12340,11,00,11,00,0aaaa+++=+−+−+=，则()11123111231,0Saaaaaaa=++++=++=−，可得11ππ1cos,sin22mmmSa−=−−−，由ππ1cos,sin122mm−−，即22

ππ1cossin122mm−−+−，整理得π22cos12m+，解得π1cos22m−，又因为*|11mxmN，即2m=，6，10满足上式，所以存在“H向量”，分别为2a，6a，

10a满足题意；【小问3详解】由题意得：123aaa+，22123aaa+，即()22123aaa+，222123232aaaaa++，同理222213132aaaaa++，222312122aaaaa++，三式相加并化简得：2221231213230222aaaa

aaaaa+++++，即()21230aaa++，1230aaa++，所以1230aaa++=，由1230aaa++=，可得3ee,02xxa−+=−，可得()()222222222123eeeeee1ee2222222

xxxxxxxxaaa−−−−+++=++=++++()()()222ee1ee1ee1ee1xxxxxxxx−−−−=++=+−=+++−()()2211e1e1ee1ee1eexxxxxxxx−−−−=+++−=++−+，所以222123aaa++可以写成一个关于

ex的二次多项式与一个关于ex−的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到

新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.