【文档说明】【精准解析】湖北省武汉二中2019-2020学年高二下学期4月第二次线上测试数学试题【武汉专题】.docx，共(26)页，890.336 KB，由小赞的店铺上传

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武汉二中2019-2020学年度下学期高二年级线上测试（二）数学试题一、单选题1.若复数1aizi+=−，且3·0zi，则实数a的值等于（）A.1B.-1C.12D.12−【答案】A【解析】【分析】由3·0zi

可判定3·zi为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i1i11ii1i1i1i2aaaaz++−+++===−−+，所以3·zi=()()()()341i1i

1i122aaaa−++−−++=，因为3·0zi，所以3·zi为实数，102a−−=可得1a=，1a=时3,?10zi=,符合题意，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．

要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.若随机变量X的分布列为（）X012P13ab且()1EX=，则

随机变量X的方差()DX等于（）A.13B.0C.1D.23【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量X的方差()DX.详解：由题得1113,,130213ababab++===++=所以2221

112()(01)(11)(21).3333DX=−+−+−=故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是1x，2x，…

，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，那么D＝211()xEp−＋222()xEp−＋…＋2()nnxEp−,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望．3.把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒

子的编号数，则共有多少种放法（）A.18B.28C.38D.42【答案】B【解析】【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3.个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球

，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，

则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2887282C==种不同的放法，即有28个不同的符合

题意的放法；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．4.当0a时，函数2()(2)xfxxaxe=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据f(x)<0⇔x2－2ax<0⇔0<x<2a，可排除选项A，C，f′(x)

＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由f′(x)＝0，即x2＋(2－2a)x－2a＝0，Δ＝(2－2a)2＋8a＝4a2＋4>0可知方程必存在两个根．设小的根为x0，则f(x)在(－∞，x0)上必定是单调递增的，故选B.5.某地

区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（）A.36B.72C.108D.144【答案】D【解析】【分析】按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因

为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为2263CC−，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C、22C，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案．【详解】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312CC−=

种情况，②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C=种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C=种情况，则有1262144=种不同的录取方案；故选D．【点睛】本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要

审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题．6.若52345012345(23)xaaxaxaxaxax−=+++++，则0123452345aaaaaa+++++为

（）A.－233B.10C.20D.233【答案】A【解析】【分析】对等式两边进行求导，当x＝1时，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x

4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣233．故选A．【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，

考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．7.已知离散型随机变量X服从二项分布~(,)XBnp，且()4EX=，()DXq=，则11pq+的最小值为（）A.2B.52C.94D.4【答案】C【解析】【分析】根

据二项分布()~XBnp，的性质可得()EX，()DX，化简即44pq+=，结合基本不等式即可得到11pq+的最小值.【详解】离散型随机变量X服从二项分布()XBnp，，所以有()4EXnp==，()()1DXqnpp==−

（，所以44pq+=，即14qp+=，（0p，0q）所以11114qppqpq+=++=5592144444qpqppqpq++=+=，当且仅当423qp==时取得等号

．故选C．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．8.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第

三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）．A.0.378B.0.3C.0.58D.0.958【答案】D【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次

落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P=，恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P==，恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P==，∴落地3次以内被打破的概率1230.958PPPP=

++=．故选D．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单

事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.9.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A.13B.1

4C.15D.12【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.【详解】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率113333155CCA9A20P==,其中学生丙第一个出场的概率1333255CA3A20P==,所以所求概率为

2113PPP==.故选：A【点睛】本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.10.定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，则方程f（x）﹣f′（x）=1的

解所在区间是（）A.（2，3）B.1,12C.10,2D.（1，2）【答案】D【解析】令f（x）﹣lnx=t，由函数f（x）单调可知t为正常数，则f（x）=t+lnx，且f（t）=1，即t+lnt=1，解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=1

，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，即lnt+t=1，解得：t=1，则f（x）=lnx+1，f′（x）=1x，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+1﹣1x=1，即lnx﹣1x=

0，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解可转化成方程lnx﹣1x=0的解，令h（x）=lnx﹣1x，而h（2）=ln2﹣12＞0，h（1）=ln1﹣1＜0，∴方程lnx﹣1x=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故答案为D．点

睛：本题考查函数的单调性和方程的根的综合应用，这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，

如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些．11.定义在()0,+上的可导函数()fx的导数为()fx，且(ln)'()()xxfxfx，则()A.1()()fefe−B.12()()fefe−C

.211()2()ffeeD.2()()fefe【答案】D【解析】分析：构造函数()()lnfxgxx=，可得()gx为()0,+上的减函数，结合()gx的单调性，利用排除法即可的结果.详解：()()()ln',0xxfxfxx，()()ln'fxxfxx，()()ln'0fx

xfxx−，即()'0lnfxx，设()()lnfxgxx=，则()gx为()0,+上的减函数，()()()lnfegefee==，()()()2lnfegefee==，1111lnfegfeee==−，22221112

1lnfegfeee==−，()gx为()0,+上的减函数，()1gege，即()1fefe−，故A错误；()1gege，即()12fefe−，故B错误；2

11ggee，即2112ffee,C错；()()gege，即()()2fefe，D正确，故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联

系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是

解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12.已知()exfxx=，又2()()()1()gxfxtfxtR=

−+有四个零点，则实数t的取值范围是（）A.21,ee++B.212,ee+C.21,2ee+−−D.21,ee+−−【答案】A【解析】【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()fx的性质，然后结合二次函数

的性质研究复合函数()gx的性质即可确定实数t的取值范围.【详解】,0()e,0xxxxexfxxxex==−，当x⩾0时,()0xxfxexe=+…恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数；当x

<0时,()(1)xxxfxexeex=−−=−+，由f′(x)=0,得x=−1,当x∈(−∞,−1)时,f′(x)=−ex(x+1)>0,f(x)为增函数，当x∈(−1,0)时,f′(x)=−ex(x+1)<0,f(x)为减函数，所以函数f(x)=|xe

x|在(−∞,0)上有一个最大值为1(1)fe−=，则函数()fx的大致图象如图所示：令f(x)=m,要使方程f2(x)−tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则方程m2-tm+1=0应有两个不等根,且一个根在10,e内,一个根在1,e+内.再令h(m)=m2−m+

1,因为h(0)=1>0,则只需10he,即21110tee−+，解得21ete+.故选A.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13.若直线kxyk0−−=与

曲线exy=（e是自然对数的底数）相切，则实数k=________.【答案】2e【解析】【分析】根据题意，设切点为（m，em），求y＝ex的导数，由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．【详解】根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲

线y＝ex相切，设切点为（m，em）曲线y＝ex，其导数y′＝ex，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝em，则切线的方程为y﹣em＝em（x﹣m），又由k＝em，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣m

k+k＝0，又由切线为kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，则k＝em＝e2，故答案为e2．【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．14.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最

下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．【答案】516【解析】【分析】从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法，每一岔口走法的概率都是12，二项分布的

概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，可得从顶点到3总共有2510C=种走法，其中每一岔口走法的概率都是12，所以珠子从出口3出来的概率为25515()216PC==.【点睛】本题主要考查了二项

分布的一个模型，其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值

为___________【答案】3500【解析】【分析】设检测机器所需检测费为X,则X的可能取值为2000,3000,4000,分别求出相应的概率,由此能求出所需检测费的均值.【详解】设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2，3，4.112322323352251

3133(2000),(3000),(4000)1101010105ACAAAPXPXPXAA+========−−=所以所需的检测费用的均值为()133200030004000350010105EX=++=.故答案为:35

00.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和均值,考查学生分析问题的能力,难度一般.16.已知函数()(ln)()xefxkxxkRx=−+，如果函数()fx在定义域内只有一个极值点，则实数k的取值范围是___．【答案】[,)e-+?【

解析】【分析】求函数()fx的导数，由()'0fx=解得1x=或xekx=−，利用导数研究函数的单调性，讨论方程xekx=−根的情况，可得()fx只有一个极值点时k的取值范围.【详解】函数()()()lnxef

xkxxkRx=−+，()()()()2211'1,0,xxexkxefxkxxxxxx−+=−+=−+，令()'0fx=，解得1x=或xekx=−，令()xegxx=，可得()()21'xexgxx−=，可得1x=时，

函数()gx取得极小值，()1ge=，()kgxe=−−可得ke−时，令()'0fx=，xekx=−没有根，此时函数()fx只有一个极值点1；ke=−时,xekx=−有根，但不是极值点，此时函数()fx也只有一个极值点1

,满足题意；ke−时，xekx=−有解，函数()fx有两个或三个极值点，不满足条件，舍去，综上所述，实数k的取值范围是),e−+，故答案为),e−+.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是难题.求函数极值点的个数，不但要看方程()

'0fx=根的个数，还得看根的两边导函数值的符号是否相反.三、解答题17.已知二项式()23nxx+．（1）若它的二项式系数之和为128．求展开式中系数最大的项；（2）若3,2016xn==，求二项式的值被7除的余数．【答案】（1）12135103,5103xx；（2）1.【解析】【分析】（1

）根据二项式系数之和为2n＝128求得n的值，利用11771177·3?3·3?3rrrrrrrrCCCC−−++，可得展开式中系数最大的项；（2）利用二项展开式即可得到结果.【详解】（1）2128,7.nn==1

1771177·3?3,1,2,3,4,5,65,6·3?3rrrrrrrrCCrrCC−−++==,展开式中系数最大的项为第6,7项()()565221261213677735103,35103TCxxxTCxxx====.（2）()20162016201612015201520

1520162016201620163028228?28?2...?28?22282CCK=+=++++=+转化为20162被7除的余数，()6722016672287171k==+=+，即余数为1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，系数最大的项，属于

中档题．18.甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）用X表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X的分布列和均值.【答案】（1）207256；（2）分布列见解析，337128.【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列以及数学期望．【详解】用A表示“甲在4

局以内（含4局）赢得比赛”，kA表示“第k局甲获胜”，kB表示“第k局乙获胜”则()34kPA=，()14kPB=，1,2,3,4,5k=.（1）()()()121231234()PAPAAPBAAPABAA=++()()()()()()()()()

121231234PAPAPBPAPAPAPBPAPA=++222313313207444444256=++=.（2）X的所有可能取值为2,3,4,5.()()()()()()121212125(2)8PXPAAPBBPAPAPBPB=

=+=+=，()()123123(3)PXPBAAPABB==+()()()()()()123123316PBPAPAPAPBPB=+=，()()12341234(4)PXPABAAPBABB==+()()()()()()()()1234123415128PAPBPAPAPBP

APBPB=+=，9(5)1(2)(3)(4)128PXPXPXPX==−=−=−==.∴X的分布列为X2345P58316151289128∴53159337()2345816128128128EX=+++=【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与

数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数32()22fxxax=−+.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0<<3a时，记()fx在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求Mm−的取值范围.【答案】(1)见详解；(2)8[,2)2

7.【解析】【分析】(1)先求()fx的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论a的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得Mm−的取值范围.【详解】(1)对32()22fxxax=−+求导

得2'()626()3afxxaxxx=−=−.所以有当0a时，(,)3a−区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)+区间上单调递增；当0a=时，(,)−+区间上单调递增；当0a时，(,0)−区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a+

区间上单调递增.(2)若02a，()fx在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af.而(0)2,(1)22(0)ffaf==−+，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f.所以332(1)(

)(4)[2()()2]233327aaaaMmffaaa−=−=−−−+=−+，设函数3()227xgxx=−+，求导2'()19xgx=−当02x时)'(0gx从而()gx单调递减.而02a，所

以38222727aa−+.即Mm−的取值范围是8[,2)27.若23a，()fx在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af而(0)2,(1)22(0)ffaf==−+，故所以区间[

0,1]上最大值为(0)f.所以332(0)()2[2()()2]33327aaaaMmffa−=−=−−+=，而23a，所以3812727a.即Mm−的取值范围是8(,1)27.综上得Mm−的取值范围是8[,2)27.【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比

往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.20.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向

“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数y（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程50.8169.7yx=+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线ebxya=的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程ˆebxya=．（a精确到个位，b精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，

比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7yx=+②ˆebxya=1021()iiiyy=−3040714607参考公

式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,nnvwvwvw，其回归直线wv=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niiiniiwwvvwvvv==−−==−−．②刻画回归效果的相关指数2

2121()1()niiiniiyyRyy==−=−−；③参考数据：5.46e235，1.43e4.2．xyu1021()iixx=−()()101iiixxyy=−−()()101iiixxuu=−−5．54496．058341959．00表中1011ln,10iii

iuyuu===．【答案】（1）0.11235exy=；（2）回归模型②的拟合效果更好，987【解析】【分析】（1）对ebxya=取对数，得lnlnybxa=+，设lnuy=，lnca=，先建立u关于x的线

性回归方程.（2）根据所给数据计算21R，22R，即可判断那种模型的拟合效果更优，再代入数据计算可得.【详解】解：（1）对ebxya=取对数，得lnlnybxa=+，设lnuy=，lnca=，先建立u关于x的线性回归方程.(

)()()10110219.000.10883iiiiixxuubxx==−−==−，6.050.1085.55.4565.46cubx=−−=，5.46ee235ca=，模型②的回归方程为0.11

235exy=.（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iiiiyyyy==−−，即10102211304071460711()()iiiiyyyy==−−−−，2212

RR，模型①的相关指数21R小于模型②的22R，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x=，预测旅游人数为0.11131.43235e235e2354.2987y===（万人）.【点睛】本题考查非线性回归分析，以及相关程度检验，属于基础题.21

.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如

下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间)20,40，9:40~10:00记作)40,60，10:00~10:20记作)60,80，10:20~10:40记作)80,100.例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20

~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之

间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布()2,N，其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代

表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若()2,TN，则()0.6827PT−+=，()220.9545

PT−+=，()330.9973PT−+=.【答案】（1）10点04分（2）分布列见解析，()85EX=（3）819辆【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图和平均数的计算公式，即可求

得这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法求得随机变量X的可能取值0,1,2,3,4，求出相应的概率，得到X的分布列，利用期望的公式，求得其数学期望；（3）由（1）可得64,18==，得到()2,TN，得到概率，即

可求解在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数.【详解】（1）由题意，这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为()300.005500.015700.020900.0102064+++=，即10点04分.（

2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在)2060,这一区间内的车辆数，即()0.0050.01520104−=，所以X的可能取值为0，1，2，3，1.所以()46410C10C14PX===，()31614

10CC81C21PX===，()2264410CC32C7PX===，()1364410CC43C35PX===，()0464410CC14C210PX===，所以X的分布列为X01234P114821374351210所

以()1834180123414217352105EX=++++=.（3）由（1）可得64=，()()()()2222230640.150640.370640.490640.2324=−+−+−+−=，所以18=.估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车

辆数，也就是46100T通过的车辆数，由()2,TN，()()()226418642180.818622PTPTPT−+−+−+=+=，所以，估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为10000.8186

819辆.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，以及正态分布及频率分布直方图的应用，其中解答中认真审题，正确求解相应的概率，得到其分布列，利用公式准确运算时解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22.已知函数(

)2lnfxaxx=+，其中aR．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当1a=时，证明：()21fxxx+−；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有2111111222ne+++

（其中e≈2.7183为自然对数的底数）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（1）分别在0a和0a两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单调区间；（2）将问题转化为证明()ln10gxxx=−+，通过

导数求得()()max10gxg==，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知ln1xx−，令()112nxnN=+，则可得11ln122nn+，累加可得到所证结论.【详解】（1）函数()fx的定义域为()0,+，()222

aaxfxxxx+=+=①当0a时，()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增,②当0a时，令()0fx=，解得：2ax=−当02ax−时，()0fx，所以()fx在0,2a−上单调递减；当2ax−时，()

0fx，所以()fx在,2a−+上单调递增,综上，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递增；当0a时，函数()fx在0,2a−上单调递减，在,2a−+

上单调递增;（2）当1a=时，()2lnfxxx=+要证明()21fxxx+−，即证ln1xx−，即ln10xx−+,设()ln1gxxx=−+则()1xgxx−=，令()0gx=得，1x=,当()0,1x时，()0gx，当()1,x+时，()0gx

所以1x=为极大值点，也为最大值点所以()()10gxg=，即ln10xx−+故当1a=时，()21fxxx+−;（3）由（2）ln1xx−（当且仅当1x=时等号成立）,令()112nxnN=+，则22111ln1112nnn+

+−=,所以22111221111111ln1ln1ln111ln1222222212nnnne−+++++++++==−=

−,即2111ln1ln1ln1ln222ne++++++所以2111111222ne+++.【点睛】本题考查讨论含参数函数的

单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数n相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数n的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与n相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明，属于难度题.获得

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