【文档说明】山东省济南市2022-2023学年高三上学期期末数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.723 MB，由小赞的店铺上传

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高三期末检测数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2},{|(2)(3)0}

AxxBxxx==+−，则AB=（）A.{|3}xxB.{|22}xx−C.{|2xx−或3}xD.{|2xx−或2}x【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式确定集合B，再根据并集的定义求解.

【详解】由(2)(3)0xx+−解得{|2xx−或3}x，所以AB={|2xx−或2}x，故选:D.2.若复数z满足()1i2iz−=−，则z=（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式可得出z的值.【详解】

由已知可得()()()2i1i2i1i1i1i1iz−+−===−−−+，因此，()22112z=+−=.故选：B.3.将函数()sin26πfxx=−的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()gx的图象，则()gx的解析式为（）A.()sin2gxx=B.π()sin23gxx

=−C.π()sin26gxx=+D.()cos2gxx=−【答案】C【解析】【分析】根据图象的平移变换方法求解即可.【详解】函数()sin26πfxx=−的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π

ππ()sin2sin2666gxxx=+−=+，故选:C.4.由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（）A.3B.6C.9D.24【答案】B【解析】【分析】相邻问

题捆绑法,除2023外,还有2,3两个数,只需将2,3,2023三个全排即可.【详解】解:由题得3个2,1个0,2个3中,除去2023四个数,还剩一个2一个3,将2023进行捆绑,对2,2023,3进行全排有33A6

=种.故选:B5.若正四面体的表面积为83，则其外接球的体积为（）A.43πB.12πC.86πD.323π【答案】A,【解析】【分析】根据题意可知：正四面体的棱长为22，将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直

径为正方体的体对角线长，即可得出结果.【详解】设正四面体的棱长为a，由题意可知：234834a=，解得：22a=，所以正四面体的棱长为22，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为23，因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径3R=，则外接

球的体积为34π43π3VR==，故选：A.6.已知非零向量AB，AC满足ABBCACCBABAC=，且12ABACABAC=，则ABC为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】由ABBCACCB

ABAC=左右互除BCuuur得出BC=，再由12ABACABAC=，得出3A=，即可得出答案.【详解】ABBCACCBABAC=，ABBCACCBABBCACBC=，cos,cos,ABBCACCB=，BC=，ABC为等腰三角形，又12A

BACABAC=，1cos,2ABAC=，1cos2A=，又()0,πA，所以3A=，ABC为等边三角形，故选：D.7.已知等差数列na的公差为d，随机变量X满足()()01iiPXiaa==，1,

2,3,4i=，则d的取值范围是（）A.11,22−B.11,26−C.11,62−D.11,66−【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等

于1即可求解.【详解】因为随机变量X满足()()01,iiPXiaa==1,2,3,4i=，所以(1)(2)(3)(4)1PXPXPXPX=+=+=+==，也即12341aaaa+++=，又因为na是公差为d的等

差数列，所以1(1)naand=+−，则有21aad=+，312aad=+，413aad=+，所以1111123461aadadadad++++++=+=，则11342ad=−，211142aadd=+=−，3111242aadd=+=+，4113342aa

dd=+=+因为01ia，所以130142110142110142130142dddd−−++，解得1166d−，故选：D.8.已知函数()elnxfxx=,关于x的方程()(

)()222120fxafxaa−+++=至少有三个互不相等的实数解,则a的取值范围是（）A.)1,+B.()()1,01,−+C.())1,01,−+UD.()(),01,−+【答案】C【解析】【分析】画出()fx图象,解方程()

()()222120fxafxaa−+++=可得,()fxa=或()2fxa=+,因为2aa+,根据图象分类讨论,a<0或1a=时,01a时,1a时,三种情况下根的情况即可.【详解】解:由题知()elnxfx

x=,(0x且1x),所以()()2elneelnxfxx−=,故在()0,1上,()0fx,()fx单调递减,且0lnx,即()0elnxfxx=,在()1,e上,()0fx,()fx单调递减,在()e,+上,()0fx¢>,()fx单调递增,有()e1f=,画(

)fx图象如下:由()()()222120fxafxaa−+++=至少有三个互不相等的实数解,即()()()()()20fxafxa−−+=至少有三个互不相等的实数解,即()fxa=或()2fxa=+至少有三个互不相等的实数解,由图可知,当a<0或1a=时

,()yfx=与ya=有一个交点,即()fxa=有一个实数解,此时需要()2fxa=+至少有两个互不相等的实数解,即21a+,解得1a−故10a−或1a=;当01a时,()fxa=无解,舍;当1

a时,23a+,此时()fxa=有两个不等实数解,()2fxa=+有两个不等实数解,共四个不等实数解,满足题意.综上:10a−或1a.故选:C二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据12,,,nxxx，其样本平均数为x.现加入一个新数据1nx+，且1nx+x，组成新的样本数据121,,,,nnxxxx+，

与原样本数据相比，新的样本数据可能（）A.平均数不变B.众数不变C.极差变小D.第20百分位数变大【答案】BD【解析】【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解.【详解】因为1nx+x，所以新的样本数据平均数减小，A错误；加入一个新数据1nx+，则众数仍有

可能为原数据的众数，B正确；若加入一个新数据1nx+不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，C错误；若1nx+为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移

，则新数据第20百分位数可能变大.D正确，故选:BD.10.已知函数3()2fxxax=−+有两个极值点12,xx，且12xx，则（）A.0aB.120xxC.()()12fxfxD.()fx的图象关于点(0,2)中心对称【答案】BCD【解析】【

分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A,B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C,根据奇函数3()gxxax=−与3()2fxxax=−+的关系判断D.【详解】由题可得2()30fxxa=−=有两个不

相等的实数根，所以030a=+，所以0a，A错误；根据题意12,xx为230xa−=的两个根，所以120xxa=−，B正确；因为12xx，且12,xx为230xa−=的两个根，所以由2()30fxxa=−得1xx或2xx，由2()30fxx

a=−得12xxx，所以函数()fx在()1,x−单调递增，()12,xx单调递减，()2,x+单调递增，所以()()12fxfx成立，C正确；因为3()gxxax=−为奇函数，所以3()gxxax=−关于(0,0)对称，所

以32()()2fxgxxax==−++关于(0,2)对称，D正确，故选:BCD.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面11BBCC内（不含边界）的动点，则（）A.1DOAC⊥B.存在一点P，使得11//DO

BPC.三棱锥1ADDP−的体积为43D.若1DOPO⊥，则11CDP面积的最小值为455【答案】ACD【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点(),2,Pxz，利用空间向量数量积可判断A选项；利用

空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点P的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得11CDP面积的最小值，可判断D选项的正误.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴

建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()0,2,0C、()0,0,0D、()10,0,2D、()12,2,2B、()10,2,2C、()1,1,0O，设点(),2,Pxz，其中02x，02z.对于A选项，()2,2,0AC=−，()11,1,2DO=−，则1220AC

DO=−+=，所以，1DOAC⊥，A对；对于B选项，()12,0,2BPxz=−−，若11//BPDO，则202112xz−−==−，解得2xz==，不合乎题意，所以，不存在点P，使得11//BPDO，B错；对于C选项，121222ADDS=

=△，点P到平面1ADD的距离为2，所以，11142233ADDPPADDVV−−===，C对；对于D选项，()1,1,OPxz=−，若1DOPO⊥，则111220DOOPxzxz=−+−=−=，可得2xz=，由02022z

z可得01z，()()222221216452225445555CPxzzzz=+−+−=−+=−+，当且仅当25z=时，等号成立，因为11CD⊥平面11BBCC，1CP平面11BBCC，111CDCP⊥，11111114525CDPSCDCPC

P==△，D对.故选：ACD.12.已知椭圆22143xy+=上一点P位于第一象限，左、右焦点分别为12,FF，左、右顶点分别为12,AA，12FPF的角平分线与x轴交于点G，与y轴交于点10,2H−，则（）A.四边形

12HFPF的周长为45+B.直线12,APAP的斜率之积为34−C.12:3:2FGFG=D.四边形12HFPF的面积为2【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得2a=，3b=，1c=，以及顶点和焦点的坐标.根据椭圆的定义以及两点间的距离公式即可得出A项；设()00,Pxy，得出1220204A

PAPykkx=−，进而根据P在椭圆上，代入整理即可判断B项；由已知可得1122PFFGPFFG=.设1PFm=，2PFn=，PHt=，根据余弦定理，整理可得2cost=，在12PFF△中，可推出()6cos211mm=−−，根据倍角

公式，可得()2685144mmmm=−+−，整理求解可得52m=，即可判断C项；根据题意结合余弦定理可得出123cos5FPF=，根据三角形面积公式得出12FPF△的面积，进而得到四边形的面积.【详解】由已知可得，2a=，3b=，1c=，点()12,0A−，()22,0A，()11,

0F−，()21,0F.对于A项，()22121501022HFHF==−+−−=，又由椭圆的定义可得124PFPF+=，所以四边形12HFPF的周长为121245PFPFHFHF+++=+，故A项正确；对于B项，设()0

0,Pxy，则02x，1002APykx=+，2002APykx=−，所以1220002000224APAPyyykkxxx==+−−.又2200143xy+=，所以()222000333444yxx=−=−−，所以1234APAPkk=−，故B项正

确；对于C项，由角平分线的性质可得1122PFFGPFFG=，且12PFPF，124PFPF+=.设1PFm=，2PFn=，则4mn+=，且m>2.设PHt=，12FPHFPH==，由1252HFHF==，在1PFH△和2P

FHV中，由余弦定理可得22225544cos22mtntmtnt+−+−==，整理可得()2504mnmnt−−+=，因为0mn−，所以254mnt−+，即()25404mmt−−+=，

整理可得22544tmm=−++，则22554244cos2mmmmtt−++−==，12PFF△中，由余弦定理可得224cos22mnmn+−=()2242mnmnmn+−−=()66114mnmm=−=−−，又22288co

s22cos111544tmm=−=−=−+−，所以()2685444mmmm=−+−，整理可得2416150mm-+=，解得52m=或32m=（舍去），所以52m=，32n=，即152PF=，232PF=，所以112253PFFGPFFG==，故C项错

误；对于D项，由C知152PF=，232PF=，在12PFF△中，由余弦定理可得，2212534322cos535222FPF+−==，则21234sin155FPF=−=，所以12PFF△的面积为1212115

343sin222252PFPFFPF==.又121112222HFFS==V，所以四边形12HFPF的面积为31222+=，故D项正确.故选：ABD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.1

3.在ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若222acbac+=+，则B=___________.在【答案】3【解析】【分析】利用给定条件借助余弦定理即可得解.【详解】ABC中，因222acbac+=+，

由余弦定理得22222()1cos222acbbacbBacac+−+−===，又0B，则有3B=，所以3B=.故答案为：314.曲线2lnyxx=−在1x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为____

__.【答案】2【解析】【分析】利用导数求的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点，结合三角形的面积公式可求得结果.【详解】对函数2lnyxx=−求导得21yx=−，所求切线斜率2111k=−=，当1x=时，2ln111y=

−=−，切点坐标为()1,1-，所以，曲线2lnyxx=−在1x=处的切线方程为11yx+=−，即2yx=−，直线2yx=−交x轴于点()2,0，交y轴于点()0,2−，所以，曲线2lnyxx=−在1x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为21222S=

=.故答案为：2.15.甲袋中有4个白球、6个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为_______.【答案】715【解析】【分析】记事件1:A选取的是甲袋，事件2:A选取的是乙袋，事件:B从选

出的袋中取出的一球为红球，利用全概率公式求出()PB的值，即为所求.为【详解】记事件1:A选取的是甲袋，事件2:A选取的是乙袋，事件:B从选出的袋中取出的一球为红球，则()()1212PAPA==，()163105PBA==，()22163PBA==，由全概率公式可得()()()()()11

22131725315PBPAPBAPAPBA=+=+=.故答案为：715.16.已知函数2()eexxfx−=−，所有满足()()0fafb+=的点(,)ab中，有且只有一个在圆C上，则圆C的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件

的圆的标准方程即可）【答案】222xy+=．（注：圆心到直线20xy+−=的距离为半径即可）【解析】【分析】根据题意结合函数的单调性和对称性得20ab+−=，进而可得直线20xy+−=与圆C相切，即可写出答案.【详解

】由函数2()eexxfx−=−得20()eexxfx−=+，所以2()eexxfx−=−在定义域R上单调递增，又因为2(2)ee()xxffxx−−−=−=，所以2()eexxfx−=−关于(1,0)对称，则)(2)(fafa=−−，即(2)0()ffaa−=+，因为()()

0fafb+=，所以2ba=−，即20ab+−=，所有满足()()0fafb+=的点(,)ab中，有且只有一个在圆C上，则直线20xy+−=与圆C相切，假设圆心(0,0)C，所以2211rd−===+，所以圆C可以是

222xy+=，故答案为:222xy+=．（注：圆心到直线20xy+−=的距离为半径即可）四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产.生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不影响.已知批次甲的三道工序次品

率分别为150，149，148.（1）求批次甲芯片的次品率；（2）该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片.某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片，并在某款手机上使用.现对使用这款手机的100名用户回访，对开机速度进行调查.据统计，安装批

次甲的有40名，其中对开机速度满意的有30名；安装批次乙的有60名，其中对开机速度满意的有55名.试整理出22列联表（单位:名），并依据小概率值0.05=的独立性检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关.批次是否满意合计满意不满意甲乙

合计附:22()()()()()nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++.0.050.010.0050.001ax3.8416.6357.87910.828【答案】（1）350；（2）认为芯片批次与用户

对开机速度满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．【解析】【分析】（1）根据已知可得到正品率，然后根据对立事件即可求出次品率；（2）设出零假设0H，列出22列联表，求出25.2292.706，根据独立性检验原理即可得出推断

.【小问1详解】由已知可得批次甲芯片的正品率1114711150494850p=−−−=，所以批次甲芯片的次品率为3150p−=．【小问2详解】零假设为0H：芯片批次与用户对开机速度满意无关，得22列联表如下：批次是否满意合计满意不满意甲

301040乙55560合计8515100所以()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++()210030555105.22985154060−=，因为23.841

，所以依据0.05=的独立性检验，我们推断0H不成立，所以认为芯片批次与用户对开机速度满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．18.定义:在数列na中,若存在正整数k,使得*Nn,都有nknaa+=,则称数列na为“k型数列”.已知数列na满足111nnaa+=−+.

（1）证明:数列na为“3型数列”;（2）若11a=,数列nb的通项公式为21nbn=−,求数列nnab的前15项和15S.【答案】（1）证明见解析（2）2852−【解析】【分析】(1)若为“3型数列”只需满足3nnaa+=,根据111nnaa+

=−+,进行递推,求出3na+和na关系即可证明;(2)根据(1)的结论,对15S中各项进行分组,再根据等差数列的前n项和公式计算结果即可.【小问1详解】解:由题知111nnaa+=−+,所以有2111nnaa++=−+,且3211nnaa++=−

+,所以311111nnaa++=−−+11111nnaa+++=−+−111na+=−−1111na=−−−+na=,所以数列na为“3型数列”;【小问2详解】由(1)知3nnaa+=,11a=,所以147131aaaa=====,2115841112aaaaa

====−=+=−,395261112aaaaa===−+===−,所以151122331515Sabababab=++++()()()413251436151141325143615ababababa

babababab+++++++++=++()()()()1413251436151122bbbbbbbbb=++++−++++−+++()()()()125532755295122222+++=+−+−2852=

−.19.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，2sin1sin21cos212cosACCA+=+−.（1）若π6B=，求C；（2）若ππ,64B，求cb的取值范围.【答案

】（1）5π12C=（2）622,2+【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出π2sin2sin04BC=−，求出π4C−的取值范围，结合π6B=可求得角C的值；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出2112tancbB=+，结合正切函数基本

性质可求得cb的取值范围.【小问1详解】解：因为222sin1sin22sincos2sincos1cos212cos12cos12cosACCCCCCCCA+===++−−，因为A、()0,πC，且cos0

2cos2CA，所以，π4A且π2C，所以，2sin1sincos12cosACCA+=−，所以，2sincoscossin2cossinACCCAC+=−，则()2sinsincosACCC+=−，即π2sin2sin04BC

=−，因为ππ3π444C−−且π2C，所以，π3π044C−且ππ44C−，所以π4BC=−或ππ4BC+−=（舍），故当π6B=时，5π12C=．【小问2详解】解：()π2sinsincossin214

21sinsinsin2tanBBBcCbBBBB++====+，的因为ππ,64B，所以3tan,13B，则113tanB，所以，216212,2tan2cbB+=+.所以cb的取值范

围为622,2+．20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，四边形11AABB是菱形，ABAC⊥，平面11AABB⊥平面ABC.（1）证明：11ABBC⊥；（2）已知1π3ABB=，2ABAC==，平面111ABC与平面1AB

C的交线为l.在l上是否存在点P，使直线1AB与平面ABP所成角的正弦值为14?若存在，求线段1BP的长度；若不存在，试说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点P，线段1BP的长为1．【解析】【分析

】（1）利用面面垂直的性质可得出AC⊥平面11AABB，可得出1ACAB⊥，利用菱形的几何性质可得出11ABAB⊥，可推导出1AB⊥平面1ABC，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）取11AB中点D，连接AD，推导出ADAB⊥，然后点A为坐标原点，AB、AD、AC所在直线分别为x、y、

z轴建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质推导出//ACl，设点()1,3,Pt，利用空间向量法求出t的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：因为平面11AABB⊥平面ABC，平面11AABBÇ平面ABCAB=，ACAB⊥，AC平面ABC，所以AC⊥平面11AABB，1AB平面11AA

BB，所以1ACAB⊥，因为四边形11AABB是菱形，所以11ABAB⊥，又因为1ACABA=，AC、1AB平面1ABC，所以1AB⊥平面1ABC，因为1BC平面1ABC，所以11ABBC⊥．【小问2详解】解：取11AB中点D，连接AD，因为四边形11AABB

为菱形，则1ABBB=，又因为160ABB=，则1ABB为等边三角形，由菱形的几何性质可知1160AAB=o，111AAAB=，则11AAB也为等边三角形，因为D为11AB的中点，则11ADAB⊥，11//ABAB，ABAD⊥，由（1）知，AC⊥平面1

1AABB，以点A为坐标原点，AB、AD、AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()2,0,0B、()0,0,2C、()11,3,0A−、()11,3,0B，()13

,3,0AB=−，因为11//ACAC，AC平面111ABC，11AC平面111ABC，所以//AC平面111ABC，因为平面111ABCÇ平面1ABCl=，AC平面1ABC，所以//ACl，由（1）知l⊥平面11AABB，设()1,3

,Pt，则()1,3,APt=，()2,0,0AB=．设平面ABP的法向量(),,nxyz=，则3020nAPxytznABx=++===，取3z=−，可得()0,,3nt=−，因为直线1AB与平面AB

P所成角的正弦值为14，则112131cos,4233tABnABnABnt−===+，解得1t=，因此，存在点P，线段1BP的长为1．21.已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点()2,0A的距离与它到直线1:

2lx=的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.（1）求E的方程；（2）若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处切线过△PQA的外心.【答案】（1）2213yx−=（2）证明见解析【解

析】【分析】(1)设出M坐标为(),xy，根据题意建立关于M坐标的等式,化简即可得曲线方程；(2)设出()00,Pxy点坐标,及P处的切线方程，与双曲线联立，判别式等于0，可得参数之间关系，即可化简切线方程.分别求出,PQAQ的中垂线，联立即可求出PQA

△的外心，将外心代入切线方程看是否成立即可证明.【小问1详解】解:设动点M坐标为(),xy,则根据题意得()221222xyx−+=−,两边同时平方,化简可得2213yx−=,所以曲线E的方程为2213yx−=;【小问2详解】由题设点()00,Pxy,因为点P不在x轴上,即

00y,的所以曲线E在点P的切线斜率存在,设为k,则在点P的切线方程为:()00yykxx−=−,联立方程组:()002213yykxxyx−=−−=,整理得:()()()22200003230kxkykxxykx−−−−−−=,因为双曲线的渐近线为3yx=,所以23k,()(

)()222200004433kykxkykx=−+−−+,令Δ0=,得()22200001230kxkxyy−−++=．因为点()00,Pxy在双曲线上,所以220013yx−=,即2200

33yx+=,所以2220000690kykxyx−+=,因为00y，所以两边同时除以20y,解得003xky=．所以在点P的切线方程为()00003xyyxxy−=−,即0013yyxx−=．因为()00,Pxy,PQl⊥,所以01,2Qy,所以直线PQ中垂线CD方程为0122x

x+=,即0214xx+=,因为()2,0A,01,2Qy,所以直线AQ的斜率为023AQyk=−,线段AQ的中点为05,42yE,所以直线AQ中垂线EF的斜率为032EFky

=,所以直线AQ中垂线EF的方程为0035224yyxy−=−．联立直线CD与直线EF00021435224xxyyxy+=−=−,得外心坐标2000021362,44xxyy+−+．将外心横坐标0214xx+=代入过点P的切线方程0013y

yxx−=,化简得到20003624xyyy−+=,与外心的纵坐标相等．所以曲线E在P点的切线经过PQA△的外心．22.已知函数11()lnexxfxax−−=+.（1）若1a=，求函数()fx在[1,

2]上的最小值；（2）若存在0(1,)x+，使得()00fx=.（i）求a的取值范围；（ii）判断()fx在(0,)+上的零点个数，并说明理由.【答案】（1）0（2）（i）10a−；（ii）()fx在(

)0,+共有3个零点，理由见解析【解析】【分析】(1)当1a=时，对函数求导，根据导数在[1,2]大于等于零得到函数在[1,2]的单调性，进而求出最小值；(2)（i）根据函数分0a和a<0两种情况，当0a时，函数恒大于零，不满足条件，舍去，当0a时，对函数求

导，利用函数的单调性和极值进而求解；（ii）结合（i）的结论，()fx在)1,+共有2个零点1，1x，只需探讨()fx在()0,1的零点个数，然后利用函数的单调性和极值进而求解即可.【小问1详解】因为1a=，

所以函数11()lnexxfxx−−=+，则有()121exxfxx−=+−，又1,2x，可得()0fx¢>，所以()fx在1,2上单调递增，()()min10fxf==.【小问2详解】（i）若0a，当1x时，110exx−−，ln0x，所以(

)0fx，()fx在()1,+没有零点，故舍去；若0a，则()121e2exxaxxfxx−−−+=，令()12e2xgxaxx−=−+，则()()1e210xgxax−=−−，所以()gx在()1,+上单调递减，且()11ga=+；①若10a+，即10a−

，且()2e0ga=，存在()1,2m，使()0gm=，()0fm=，可得()fx在()1,m单调递增，(),m+单调递减，且()()10fmf=，当x>m时，()1111lnln1ln1ln0exxxfxaxaxaxaxxx−−−=+

+=−++，（因为当1x时，1exx−，证明：令1()exxx−=−，则1()e1xx−=−，因为1x，则10ee1x−=，所以()0x，则()x在(0,)+上单调递增，故()(0)0x

=，即1exx−，所以11e1xx−）所以1eax−，且1eeam−，所以1e0af−，故存在唯一11,eaxm−使得()10fx=，满足条件；②若10a+，即(,1a−−，此时()0gx恒成立，

()fx在()1,+单调递减，又()10f=，所以()0fx，故舍去．综上，10a−．（ii）由（i）可得，()fx在)1,+共有2个零点1，1x，下面探寻()fx在()0,1的零点个数．当10a−时，()1e20xgxa−=−，故()

gx在()0,1单调递减，又()020eag=+，()10ga=，所以存在()0,1t，使得()0gt=，故()gx在()0,t单调递增，(),1t单调递减，又()00eag=，()()110gtga=+，故一定存在()0,st，使得()0

fs=，()fx在()0,s单调递减，(),1s单调递增，又()()10fsf=，当x趋近于零时，()fx趋近于正无穷大，故存在唯一()20,xs，使得()20fx=．故()fx在()0,1有1个零点．综上，()fx在()0,+共有3个零点．【点睛】(1)可导

函数()yfx=在0x处取得极值的充要条件是0()0fx=，且在0x左侧与右侧()fx的符号不同；(2)若()fx在(,)ab内有极值，那么()fx在(,)ab内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．获得更多资源请扫码加入享学

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