【文档说明】2023届普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学（六）（解析版）.docx，共(19)页，1007.365 KB，由管理员店铺上传

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（六）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一

并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合210Axx=−，20Bxxa=−，若ABB=，则实数a取值范围是（）A.(,2−−B.)2,−+C.1,2−+D.1,2

−−【答案】C【解析】【分析】求出11Axx=−，2Bxxa=，根据ABB=，得到AB，从而得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】21011Axxxx=−=−，

202Bxxaxxa=−=，因为ABB=，所以AB，故21a−，解得：12a−，故选：C2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()i3iza=−为“等部复数”，则实数a的值为（）A

.-1B.0C.3D.-3【答案】C的【解析】【分析】利用复数的乘法法则得到3iza=+，从而得到3a=.【详解】()2i3ii3i3izaaa=−=−+=+，故3a=.故选：C3.双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为3，且过点()2,2A，则双曲线方程为

（）A.2212yx−=B.22124xy−=C.22142xy−=D.22136xy−=【答案】B【解析】【分析】通过已知得出a与b的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.【详解】双曲线()222210,0xyabab−

=的离心率为3，3ca=，222abc+=，2223aba+=，即222ab=，双曲线()222210,0xyabab−=过点()2,2A，22441ab−=，则由222ab=与22441ab−=联立解得：2a=，2b=，双曲线的方

程为：22124xy−=，故选：B.4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设xR，用x表示不超过x的最大整数，yx=也被称为“高斯函数”，例如2.12=，3

3=，1.52−=−，设0x为函数()33log1fxxx=−+的零点，则0x=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断0x所在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得.

【详解】解：因为3logyx=与31yx=−+在()0,+上单调递增，所以()33log1fxxx=−+在()0,+上单调递增，又()33313log3103144f=−=−=+，()3332log2log21021f=−=

−+，所以()fx在()2,3上存在唯一零点0x，即()02,3x，所以02x=.故选：A5.已知点P是圆()()22:334Cxy−+−=上一点，若点P到直线32yx=−的距离为1，则满足条件

的点P的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知圆心为()3,3C,所以()3,3C到32yx=−的距离为333212d?-==，故与直线32yx=−平行且过圆心的直线

与圆相交的两个交点即为满足条件的点P，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与32yx=−垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.故选:C6.已知ππ,42，且25cos10sin29+=，则tan=（）A.29B.2C.12D.92【答案】B【解

析】【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系22sincos1+=代换，可得25209ttaan1n+=+，根据的范围即可求解.【详解】由25cos10sin29+=，得25cos20sincos9+=，则2225c

os20sincos9sincos+=+，即25209ttaan1n+=+，得29tan20tan40−+=，则()()9tan2tan20−−=，得2tan9=或tan2=，又ππ42

，，所以tan1，故tan2=.故选：B7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧

，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）A.14B.12C.13D.16【答案】C【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”

同一侧的排法，根据古典概型概率公式求概率.【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法有44A=24种，甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧排法有22222AA=8种，由古典概型的概率

公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率：81243P==，故选：C.8.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BD上运动（包含端点），则直线1BP与1CD所成角的取值范围是（）A.ππ,32B.ππ,63C.ππ,43D.ππ,

62【答案】B【解析】【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以1111BPBBBPBBBD=+=+(,,1)=−−−+（01≤≤），又1(0,1,1)DC=，

设则直线1BP与1CD所成角为，则11coscos,BPDC=，结合的范围即可得解.【详解】以1,,DADCDD为,,xyz建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,1,0)B，1(0,0,1)D，1(0,1

,1)C，1(1,1,1)B，所以1111BPBBBPBBBD=+=+(0,0,1)(1,1,1)(,,1)=−+−−=−−−+（01≤≤）的1(0,1,1)DC=，则设直线1BP与1CD所成角为π2

0，则11112111coscos,2321BPDCBPDCBPDC===−+，由01≤≤，所以221223213,2333−+=−+，13cos,22，所以ππ,63，故选：B二

、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）A.38πcmB.38cmπC.

316cmπD.34cmπ【答案】BD【解析】【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】侧面展开图是长4cm

，宽2cm的矩形，若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径2cmπR=，2cmh=，此时圆柱的体积238πcmπVRh==若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径1cmπR=，4cmh=，此时圆柱的体积23πcmπ4VRh==故选：BD10.已知随机变量X服从二项分布()4,Bp，其方差()1DX

=，随机变量Y服从正态分布(),4Np，且()()21PXPYa=+=，则（）A12p=B.()328PX==C.()38PYa=D.()118PYa−=【答案】AB【解析】【分析】根据二项分布的方差公式得到方

程求出p，再根据独立重复试验的概率公式求出()2PX=，即可判断A、B、C，最后根据正态分布的性质判断D.【详解】解：因为随机变量X服从二项分布()4,Bp，且其方差()1DX=，所以()()411DXpp=−=，解得12p=，故A正确；所以()22241132C122

8PX==−=，又()()21PXPYa=+=，所以()58PYa=，所以B正确，C错误；所以1,42YN，则正态曲线关于12x=对称，因为()11122aa−=−−，

所以()()518PYaPYa−==，故D错误.故选：AB11.已知直线1yx=+交椭圆22:163xyC+=于A，B两点，P是直线AB上一点，O为坐标原点，则（）A.椭圆C的离心率为22B.423AB=C.2OAOB=−D.若1F，2F是椭圆C的左，右焦点，则2122P

FPF−【答案】AD【解析】.【分析】根据椭圆方程求出a、b、c，即可求出离心率，即可判断A，设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断B，求出()()121211

yyxx=++，根据数量积的坐标表示判断C，设()13,0F−关于直线AB的对称点为(,)Eef，求出对称点的坐标，再根据221PPFFFE−，即可判断D.【详解】解：因为椭圆22:163xyC+=，所以26a=，23b

=，则6a=，223cab=−=，所以离心率3226cea===，故A正确；设()11,Axy，()22,Bxy，由221163yxxy=++=，消去y得23440+−=xx，显然0，所以1243xx+=−，1

243xx=−，所以2124482224333ABxx=−=−−−=，故B错误；又()()1212121251113yyxxxxxx=++=+++=−，所以12123OAOBxxyy=+

=−，故C错误；设()13,0F−关于直线AB的对称点为(,)Eef，则133122fefe=−+−+=+，解得113ef=−=−，即()1,13E−−，则1PFPE=，2221PFPPFEFEPF=−−，当且仅当P，E，2F三点共线

时取等号，所以21PFPF−的最大值为()()222131322EF=−−+−=，即2122PFPF−，故D正确，故选：AD12.已知函数()()3exfxx=−，若经过点()0,a且与曲线()yfx=相切的直线有两条，则实数a的值为（）A.3−B.2−

C.e−D.2e−【答案】AC【解析】【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案.【详解】设切点为()(),3ettt−，由()()3exfxx=−，得()()()e3e2exxxfxxx=+−=−，则过切点

的切线方程为：()()()3e2ettyttxt−−=−−，把()0,a代入，得()()()3e2e0ttattt−−=−−，即()2e33tatt−=−+，令()()2e33xgxxx=−+，则()()2exgxxx=−

，则当()(),01,x−+时，()0gx，当()0,1x时，()0gx，()gx的增区间为(),0−与()1,+，减区间为()0,1，做出草图如下：因为过点()0,a且与曲线()yfx=相切的直线有两条，则ea−=或3a−

=，则3a=−或ea=−，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()4,23a=，()1,3b=−，则abb−=______．【答案】0【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模长公式，直接进行计算

即可.【详解】()()()()224,231,3134620abb−=−−−+=−+−=，故答案：014.写出一个同时满足下列条件的非常数函数______．①在)0,+单调递增②值域)1,+③()()=fxfx−【答案】()21f

xx=+（不唯一）【解析】【分析】结合函数的性质选择合适函数即可.【详解】由()()=fxfx−得函数为偶函数，关于y轴对称，结合单调性及值域，可以为()21fxx=+.故答案为：()21fxx=+（不唯一）.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华

传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，

能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列的项数为______．【答案】169【解析】【分析】根据题意可知所求数为能被12除余1，得出数列{}na的通项公式，然后再求解项数即可.

【详解】解：因为能被3除余1且被4除余1的数即为能被12除余1的数，故1211,(N)nann=−，又2022na，即12112022n−，解得203312n，又*Nn，所以1169n且*Nn

.故答案为：169.为16.函数()()π2sin0,2fxx=+的部分图象如图中实线所示，A，C为()fx的图象与x轴交点，且1,06A−，M，N是()fx的图象与圆心为C的圆（虚线所示）的交点，且点

M在y轴上，N点的横坐标为23，则圆C的半径为______．【答案】273【解析】【分析】根据函数()2sin()fxx=+的图象以及圆C的对称性可得函数的周期，结合1,06A−可得π()2sin(2π)

3fxx=+，进而求解M的坐标，由勾股定理即可求解半径.【详解】根据函数()2sin()fxx=+的图象以及圆C的对称性，可得M，N两点关于圆心(,0)Cc对称，所以13c=，于是11π12π2622Tc=+===，由2π=及1,06A−，得

ππ0π,Zπ,Z33kkkk−+=+=+，由于π2，所以π3=，所以π()2sin(2π)3fxx=+，(0)3f=，从而(0,3)M，故半径为2127333CM=+=,故答案为：273四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．17.已知数列na满足11a=，()()1102nnnanan−−−=．（1）求数列na的通项公式；（2）若2nnnba=，求数列nb的前n项和nS．【答案】（1）nan=（2）()11

22nnSn+=−+【解析】【分析】（1）由题意得数列nan为常数列，可数列na的通项公式；（2）利用错位相减法求数列前n项和.【小问1详解】由()()1102nnnanan−−−=，得()121nnaann

n−=−，所以数列nan为常数列，有111naan==，∴nan=【小问2详解】22nnnnban==，()123122232122nnnSnn−=++++−+，()2341222232122nnnSnn+=++++−+，两式相减，()()12311121

222222212212nnnnnnSnnn+++−−=++++−=−=−−−，所以()1122nnSn+=−+18.如图，在ABC中，4AB=，2AC=，π6B=，点D在边BC上，且21cos7ADB=−．（1）求BD；（2）求ABC的面积．【答案】（1）3（2）2

3【解析】【分析】（1）由21cos7ADB=−求出sinADB，再由正弦定理即可求出BD（2）根据余弦定理可求出BC，进而求出ABC的面积.【小问1详解】在ADB中，21cos7ADB=−，则27sin7ADB=，π6B=，所以12132721sinsin6272714B

ADADB=+=−+=，由正弦定理可得：sinsinBDABBADADB=，则432127147BDBD==.【小问2详解】在ABC中，由余弦定理可得：231

64cos30224BCBC+−==，解得：23BC=.所以ABC的面积112342322S==.19.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的100位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首

选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性4515男性2020假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．（1）根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？（2）若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随

机选择8位女生，试估计选择师范专业作为首选志愿的人数．参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．参考数据：()20PKk0.100.050.0100.0010k2.7063.

8416.63510.828【答案】（1）没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；（2）6.【解析】【分析】（1）首先利用数据求得()22100452015206.5936.63560406535K−=，对照表格数据即可得

解；（2）根据人数可得女生中首选志愿为师范专业的概率0.75P=，设该校考生中随机选择8位女生中选择师范专业作为首选志愿的人数为x，所以(8,0.75)xB，利用二项分布即可得解.【小问1详解】根据所给数据求得()22100452015206.5936.635

60406535K−=，所以没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.【小问2详解】100名高考考生中有60名女生，首选志愿为师范专业有45人，故首选志愿为师范专业的概率0.75P=，设该

校考生中随机选择8位女生，选择师范专业作为首选志愿的人数为x，所以(8,0.75)xB，所以()80.756Ex==，所以随机选择8位女生计选择师范专业作为首选志愿的人数为6.20.如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABCD∥，ABAD⊥，1PA=，2

BCCD==，3AB=，点E在棱PC上．（1）证明：平面AED⊥平面PAB；（2）已知点E是棱PC上靠近点P的三等分点，求二面角CAED−−的余弦值．【答案】（1）见解析（2）4214【解析】【分析】（1）由题意可证得PAAD⊥，又AB

AD⊥，由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面PAB,再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A为原点,AD,AB,AP分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面CAE和平面AED的法向量，再由二面

角公式即可得出答案.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD，所以PAAD⊥，又ABAD⊥，PAABA=，PAABÌ，平面PAB，所以AD⊥平面PAB,又AD平面ADE，所以平面AED⊥平面PAB.小问2详解】以A为原点,AD,A

B,AP分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，过C作//CGAD，交AB于点G，则易知四边形ADCG是矩形，所以2213ADCG==−=，则(0,0,0)A,(3,0,0)B,(0,0,1)P,(23,0)

C，,(0,3,0)D,E是棱PC上靠近点P的三等分点，所以设(),,Exyz，则13PEPC=，所以()()1,,12,3,13xyz−=−，则232,,333xyz===，则232,,333E，232,,,(0,3,0)333AEAD==,设平面ADE的

法向量为(,,)nxyz=,则0nAD=且0nAE=,∴30y=且2320333xyz++=,∴0y=,令1x=,则1z=−,∴平面ADE的一个法向量()1,0,1n=−,设平面ACE的法向量为111(,,)mxyz=,()()0,0,1,2,3,0A

PAC==则0nAC=且0nAP=,∴10z=且11230xy+=,∴令3x=,则=2y−,∴平面ACE的一个法向量()3,2,0m=−,【∴342cos,1427mnmnmn===,二面角CAED−−的余弦值为4214.21.已知直线220xy+−=过

抛物线()2:20Cxpyp=的焦点．（1）求抛物线C的方程；（2）动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当AMN的面积是52时，求点A的坐标．【答案】（1）24xy=（2）()1,1A−或()1,1−−【解析】【分析】（1

）求出焦点坐标为()0,1，从而得到2p=，求出抛物线方程；（2）设出(),1Am−，过点A的抛物线的切线方程设为()1ykxm=−+−，与抛物线方程联立，根据Δ0=得到21616160kmk−−=，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为

12,kk，求出1212,1kkmkk+==−，表达出1221MNxxkk=−=−，2142AMNSm=+，列出方程215422m+=，求出1m=，得到点A的坐标.【小问1详解】220xy+−=中令0x=得：1y=，故焦点

坐标为()0,1，故12p=，解得：2p=，故抛物线方程为24xy=；【小问2详解】抛物线准线方程为：1y=−，设(),1Am−，过点A的抛物线的切线方程设为()1ykxm=−+−，联立24xy=得：

24440xkxkm−++=，由21616160kmk=−−=，设过点A的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,kk，故1212,1kkmkk+==−，令()1ykxm=−+−中，令0y=得：1xmk=+，不妨设121211,xmxmkk=+=+，故2

11221121211kkMNxxkkkkkk−=−=−==−，则()222121121111514422222AMNSMNkkkkkkm==−=+−=+=，解得：1m=，故点A的坐标为()1,1A−或()1,1−−.【点睛】已知抛物线方程22ypx=，点()00,Axy为抛物线上一点，则

过点()00,Axy的抛物线切线方程为()00yypxx=+，若点()00,Axy在抛物线外一点，过点()00,Axy作抛物线的两条切线，切点弦方程为()00yypxx=+.22.已知函数()exfxx=，()2ln22xgx=+．（1）求函数()fx的最值；（2）若关于x的不等式

()()fxgxkx−恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）最小值为1(1)fe−=−，无最大值.（2）2k【解析】【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数22()eln2xxgxxx=−−，利用导数结合单调性讨论其最小值即可求解.【小问1

详解】因为()exfxx=，所以()ee(1)exxxfxxx=+=+，令()(1)e0xfxx=+解得1x−，令()(1)e0xfxx=+解得1x−，所以()exfxx=在(),1−−单调递减，在()1,−+单调递增，所以当=1x−时，()fx有最小值为1(1)fe−=−，无最

大值.【小问2详解】由()2ln22xgx=+的定义域可得()0,x+，()()fxgxkx−即e2ln22xxxkx−−，等价于22eln(0)2xxkxxx−−恒成立，令22()eln2xxhxxx=−−，所以222222e2ln22222

()elneln22xxxxxxxhxxxxxx+=−−++=+=，令2()e2ln,02xxFxxx=+，所以()2()2e02xxFxxx=++在()0,x+恒成立，所以2()e2ln,2

xxFxx=+单调递增，1e(1)eln40,()ln16024FF=−=−，所以存在唯一01,12x，使得0()0Fx=，即0200e2ln02xxx+=，所以当()000,xx时，()0Fx，即()0hx，()hx单调递减，()00,xx+时，()0Fx，即()

0hx，()hx单调递增，所以00min00022()()eln,2xxhxhxxx==−−由0200e2ln02xxx+=得00002eln02xxxx+=，也即002ln002elnexxxx=，即002()(ln)fxfx=，由(1)知()fx在()1,−+单调递增，所以002ln

xx=，00002e,ln2xxxx=−=，所以000min00000022222()()elnln222xxxgxgxxxxxx==−−=−−=，所以2k.【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价变形为22eln(0)2xxkxxx−−,从

而min22eln2xxkxx−−，构造函数讨论单调性及最值是常用的方法，解决的关键在于利用零点的存在性定理得0200e2ln02xxx+=，再根据（1）得()exfxx=的单调性，进一步得到002lnxx=，00002e,ln2xxxx=−=，等量代换求出最小值.