【文档说明】山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(28)页，2.527 MB，由小赞的店铺上传

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高三年级学情检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数()i1iz=+，其中i是虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象

限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数运算求复数z的代数形式，再求其共轭复数及其对应的点所在象限.【详解】因为()i1iz=+，所以1iz=−+，所以1iz=−−，故z在复平面内所对应的点的坐

标为()1,1−−，在第三象限.故选：C.2.已知集合2,1,0,1,2A=−−，2N230Bxxx=−−，则AB=（）A.1,2B.0,1,2C.1,0,1,2−D.0,2【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次方程求出集合B，再根据交集的定义计算可得

.【详解】解：由2230xx−−，即()()310xx−+，解得13x−，即2N230N130,1,2,3Bxxxxx=−−=−=，又2,1,0,1,2A=−−，所以0,1,2AB=.故选：

B3.已知向量a，b满足1ab==，23ab+=，则向量a，b的夹角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据向量的平方等于向量模的平方，结合题中条件即可得出答案.【详解】222244c

os3ababab+=++=，即54cos3+=，则1cos2=−，0180，120=.故选：C.4.“xy”的一个充分条件可以是（）A.122xy−B.22xyC.1xyD.22xtyt【答案】D【解析】【分析】结合分数不等式的解，不等

式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可.【详解】由xy，即0xy−，所以对选项A，1122212xyxyxy−−−−−，所以1xy−−不一定有0xy−，故A不正确，选项B，由22xy，则()()2200xyxyxy−

+−，则00xyxy+−或00xyxy+−，故B项不正确，选项C，()11000xxxyyxyyyy−−−，则00yxy−或00yxy−，故C不正确，选项D，由22xtyt知20t，所以xy，成立，故D正确，故选：D.5.下图是函数()

fx的部分图象，则它的解析式可能是（）A.sin()eexxxxfx−=+B.sin()eexxxxfx−=−C.2()1cose1xfxx=−+D.()()cosxxfxeex−=−【答案】C【解析】【分析】对于A，判断()fx的奇偶性即可排除；

对于B，由()fx在0x=处无意义排除即可；对于CD，先判断()fx的奇偶性，再利用导数求得()fx的零点，分析()fx的图像特征，特别地，选项D还可以求特殊值()πf，从而结合图像即可得解.【详解】观察题意，易知函数()fx是奇函数，其定义域为R，对于A，易得()fx的定

义域为R，关于原点对称，又()()()sinsin()eeeexxxxxxxxfxfx−−−−−===++，所以()fx在R上是偶函数，故A错误；对于B，当0x=时，ee0−−=xx，则()fx在0x=处无意义，故B错误；对于D，易得()fx的定义

域为R，关于原点对称，又()()()()()eecoseecosxxxxfxxxfx−−−=−−=−−=−，所以()fx在R上是奇函数，令()eexxgx−=−，则()e0exxxg−=+，所以()gx在R上单调递增，又()000ee0g=−=，故()gx在R上有唯一零点0x=，令()0f

x=，即()eecos0xxx−−=，即ee0−−=xx或cos0x=，对于ee0−−=xx，得0x=；对于cos0x=，得ππ,Z2xkk=+；所以()fx在0x=右侧的第一个零点为π2x=，第二个零点为3π2x=，取πx=，则()(

)π3π3πππ1e13126(π)eecosπeeef−−+−=−=−−−−++−，远远小于3π2−，而图像中()fx在π3π,22上的最小值大于3π2−，矛盾，此外，由于()e

exxgx−=−在R上单调递增，且可以取得无穷大，所以()fx的图像呈波浪形状，且幅度向两端逐渐增大，起伏非常大，故D错误；对于C，易得()fx的定义域为R，关于原点对称，因为2e1()1coscose1e1xxxfxxx=−=+−+又()(

)e11()coscose11eexxxxfxxxfx−−−=−==−−−++，所以()fx在R上是奇函数，令()21e1xhx=−+，则()()2e0e1xxhx=+，所以()hx在R上单调递增，又()02010e1h=−=+，故()hx在R上有唯

一零点0x=，令()0fx=，即21cos0e1xx−=+，即210e1x−=+或cos0x=，对于210e1x−=+，得0x=；对于cos0x=，得ππ,Z2xkk=+；所以()fx在0x=右侧的第一个零点为π2x=，第二个零点为3π

2x=，因为e0x，则202e1x+，故2111e1x−−+，又1cos1x−，所以211cos1e1xx−−+，即1()1fx−，显然()fx在π0,2和π3π,22上满足maxπ()12fx，满足图像，此外()21e1xhx=

−+在R上单调递增，2111e1x−−+，所以()fx的图像呈波浪形状，且幅度向两端逐渐增大，但起伏不大，综上，该选项的解析式基本满足题意，又排除了ABD，故C正确.故选：C.6.已知1sincos63+=+，则sin26+=（）A.79−B.79

C.429−D.429【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换化简1sincos63+=+得出1sin63−=，根据二倍角的余弦公式与诱导公式得到212ssi6in26n=−

+−，即可得出答案.【详解】1sincos63+=+，1sincoscossincos663+=+，311sincoscos223+=+，311sinco

s223−=，1sincoscossin663−=，1sin63−=，212sin37sin2sin2cos2cos2623669==−+=−+=−−−=

，故选：B.7.已知等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，若0nS对任意的Nn恒成立，则q的取值范围是（）A.()(),00,1−B.()()1,00,1−UC.()(),10,−−+D.()()1,00,−+【答案】D【解析】【分析】由条件可得10

a，讨论q，根据等比数列求和公式化简0nS，可得q的取值范围.【详解】因为q为等比数列na的公比，所以0q，因为0nS对任意的Nn恒成立，所以10a，当1q=时，10nSna=恒成立，满足条件，当1q，()1

11nnaqSq−=−，由0nS对任意的Nn恒成立，可得()1101naqq−−，所以()()110nqq−−，所以1010nqq−−或1010nqq−−，所以10q−或01q或1q，所以q的取值范围是()()1,00,−+.故选：D.8.已知ln56a

=，ln47b=，ln38c=，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】对,,abc两边取对数，得到lnln5ln6a=，lnln4ln7b=，lnln3ln8c=，构造()()lnln11fxxx=−，35x，求导后再令()lngxxx

=，研究其单调性，得到()()lnln11fxxx=−在35x上单调递增，从而得到lnlnlncba，结合lnyx=在()0,+上的单调性求出答案.【详解】ln56a=，ln47b=，ln38c=两边取对数得：lnln5ln6a=，lnln4ln7b=，lnln3l

n8c=，令()()lnln11fxxx=−，35x，则()()()()()11ln11ln1lnln111111xxxxxfxxxxxx−−−=−−=−−，令()lngxxx=，35x，则()1ln0gxx=+在35x上恒成立，所以()lngxxx=在35x

上为增函数，因为当35x时，11xx−恒成立，所以()()11ln11ln0xxxx−−−在35x上恒成立，故()()()()11ln11ln011xxxxfxxx−−−=−在35x上恒成立，故()()lnl

n11fxxx=−在35x上单调递增，所以()()()345fff，故ln3ln8ln4ln7ln5ln6，即lnlnlncba，因为lnyx=在()0,+上单调递增，所以cba.故选：A【点睛】构造函数比较

大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对ln56a=，ln47b=，ln38c=两边取对数得：lnln5ln6a=，lnln4ln7b=，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当

函数的目的.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.居家学习期间，某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有12

00名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟到100分钟之间，他们的日阅读时间频率分布直方图如图所示．则下列结论正确的是（）A.该校学生日阅读时间的众数约为70B.该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360C.该校学生日阅读时间的第5

0百分位数约为65D.该校学生日阅读时间的平均数约为64【答案】ACD【解析】【分析】结合频率分布直方图，逐一计算判断即可.【详解】对于A，由图可知众数约为6080=702+，故A正确；对于B，阅读时间不低

于60分钟的人数约为(0.02+0.01）×20×1200=720，故B错误；对于C，[20，60)的频率为（0.005+0.015)×20=0.4，[60，80)的频率为0.02×20=0.4，∴第50百分位数为0

.50.46020650.4−+=，故C正确；对于D，平均值为30×0.005×20+50×0.015×20＋70×0.02×20+90×0.01×20=64，故D正确；故选：ACD10.已知函数π()sin(0)6fxx=+满足2(

)3πfxf恒成立，且在π0,2上单调递增，则下列说法中正确的是（）A.12=B.2π3fx+为偶函数C.若0,πx，则3(),12fxD.将()fx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到π()sin6

gxx=+的图象【答案】AB【解析】【分析】令2πππ2π362k+=+，N*k，求出的取值，再由x的取值范围求出π6x+的取值范围，根据函数的单调性得到πππ2620+，从而求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：因

为函数π()sin(0)6fxx=+满足2()3πfxf恒成立，所以2πππ2π362k+=+，N*k，解得132k=+，N*k，当π0,2x时，ππππ,6626x++，因函数在π0,2上单调递增，所以πππ2

620+，解得203，综上可得12=，故A正确；所以1π()sin26fxx=+，则1π1π1sinsincos262π232π322fxxxx+=++=+=，所以2π3fx

+偶函数，故B正确；对于C：当0,πx时，1ππ2π,2663x+，所以1π1sin,1262x+，即()1,12fx，故C错误；对于D：将

()fx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到1π()sin46gxx=+的图象，故D错误；故选：AB11.如图所示，抛物线E：()220ypxp=的焦点为F，过点(),0Mp的直线1l，2

l与E分别相交于()11,Axy，()22,Bxy和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，3AF=．下列结论正确的是（）A.E的方程为24yx=为为B.1212yy=−C.若AD，BC的斜率分别为1k，2k，则123kk=D.

若AD，BC的倾斜角分别为，，则()tan−的最大值为24【答案】AD【解析】【分析】根据抛物线定义表示AF，由条件列方程求p可得抛物线方程，判断A，设AB的方程为2xty=+，利用设而不求法求

12yy，判断B，设()()3344,,,CxyBxy，利用设而不求法求34yy，根据直线AD经过点F，确定14,yy的关系，利用1y表示12,kk，判断C，讨论，结合12,kk关系利用基本不等式求()tan

−的最值即可判断D.【详解】当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为xp=，所以点A的横坐标为p，所以2pAFp=+，又3AF=，所以2p=，所以抛物线的方程为24yx=，A正确；所以()2,0M，若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有一

个交点，以已知矛盾，故可设直线AB的方程为2xty=+，联立242yxxty==+，化简可得2480yty−−=，方程2480yty−−=的判别式216320t=+，由已知12,yy为方程2480yty−−=的两根，所以12124,8yytyy+==−

，211168,Byy−，B错误；同理可设CD的方程为2xny=+，联立242yxxny==+，化简可得2480yny−−=，方程2480yny−−=的判别式216320n=+，设()()3344,,,CDxyyx所以34344,8yynyy+==

−，244168,Cyy−，若直线AD斜率存在，则11x，41x，2241yy，因为直线AD经过点F，所以1411411yykxx==−−，所以()()1441144yyyyyy−=−，因为14yy，所以144yy=−，所以411

4214224188116162yyyykyyyy−+==−+−，所以11122114414yykyy==−−，1221112244ykyyy==−−，所以122kk=，C错误；因为AD，BC的倾斜角分别为，，当π,π2时，因为122kk=

，所以tan2tan=，所以()2tantantan01tanntan12tanta−==++−，当π2=时，()()1,2,1,2AD−，()4,4B−，()4,4C所以π2=，此时()tan0−=，当π0,2，因为

122kk=，所以tan2tan=，所以()2tantantan111tantan12tan2tatnnanta−===+−++的所以()4t2an112122tantan

−==+，当且仅当2tan2=，tan2=时等号成立，即12k=时等号成立，所以()tan−的最大值为24，D正确；故选：AD.【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关

系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．12.在平面四边形ABCD中，ADCD⊥，AD＝CD＝2，AB＝1，5BC=，沿AC将AB

C折起，使得点B到达点B的位置，得到三棱锥BACD−．则下列说法正确的是（）A.三棱锥BACD−体积的最大值为23B.ACBD为定值C.直线AC与BD所成角的余弦值的取值范围为52,52D.对任意点B，线段AD上必存在点N，使得CNBD⊥【答案】ABD【解析】

【分析】根据给定条件，在四边形中求出CAB，取AD中点E，并求出相关量，在三棱锥BACD−中，求出点B到平面ACD判断A；利用向量运算计算判断B，C；借助向量建立关系式，由等式成立判断D作答.【详解】在ACD中，ADCD⊥，2ADCD==，有22AC=，在ABC中，1,5A

BBC==，由余弦定理得2222cos22ABACBCBACABAC+−==，而0πBAC，则π4BAC=，又π4DAC=，有π2BAD=，取AD的中点E，连BE交AC于H，而1AEAB==，则有BEAC⊥，

连BD，则5BD=，如图，在三棱锥BACD−中，,BHACEHAC⊥⊥，,,BHEHHBHEH=平面BEH，则AC⊥平面BEH，又AC平面ACD，于是平面BEH⊥平面ACD，在平面BEH内过

B作BFEH⊥于F，如图，因为平面BEH平面ACDEH=，因此BF⊥平面ACD，而BHE为二面角BACD−−的平面角，0πBHE，22sinsinsin22BFBHBHEBHBHEBHE===，当且仅当F与H重合，即平面ABC⊥平面ACD时取等号，又12

2ACDSADCD==△，所以1233BACDACDVSBF−=V，即三棱锥BACD−体积的最大值为23，A正确；22()222221222ACBDACADABACADACAB=−=

−=−=，因此ACBD为定值2，B正确；设直线AC与BD所成的角为，ABC沿AC翻折，在此过程中，DEBDBD，即15BD，由选项B知，||221102cos(,)2102||||22||ACBDBDACBDBD===

，因此直线AC与BD所成角的余弦值的取值范围为102(,)102，C不正确；点N在边AD上，令,01ANAD=，显然0CNBDCNBD⊥=，2()()()2CNBDANACBDADADABACBDADADAB=

−=−−=−−(42cos)20BAD=−−=，令BAD=，在翻折过程中，π02BAD=，0cos1，则有11(,1)2cos2=−，显然有1(,1)[0,1]2，即对任意的(0,)2，都存在[0,1]，ANAD=，使得0CNBD=，所以

对任意点B，线段AD上必存在点N，使得CNBD⊥，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：平面图形折叠问题，抓住折叠前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分．13.为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】根据给定条件，把5个社区分成4组，再将分成的4组分

配到4个宣传小组即可作答.【详解】依题意，有一个小组必去两个社区，把5个社区分成4组有25C种分法，将分成的4组安排给4个宣传小组有44A种方法，所以不同的安排方法共有2454CA1024240==（种）.故答案为：24014.已知圆锥侧面展开图的周长为42+，面积为2，则该圆锥的体积为__

____．【答案】33π或424π43π−【解析】【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.【详解】设圆锥的底面圆半径为r，母线长l，则圆锥侧面展开图扇形弧长为2πr，依题意，2π242ππ2πrlrl+=+=，即π2ππ2πrlrl+=+

=，解得12rl==或2ππrl==，当12rl==时，圆锥的高223hlr=−=，体积为213ππ33Vrh==，当2ππrl==时，圆锥的高2241π4πhlr=−=−，体积为42214π4π3

3πVrh−==，所以该圆锥的体积为33π或424π43π−.故答案为：33π或424π43π−15.已知函数2,0,()ln,0,xaxfxxxx+=若方程()()0fxmm=有两个不同

的实数根12,xx，且12exx−，则实数a的取值范围是______．【答案】(0,e]【解析】【分析】分析函数()yfx=的性质并画出图象，结合图象确定12,xx的取值范围，再构造函数，求出最大值，建立不等式求解作答.【详解】当0x时，函数()2fxxa=+单

调递增，取值集合为(,]a−，函数图象与y轴交于点(0,)a，当0x时，()lnfxxx=，求导得()1lnfxx=+，当10ex时，()0fx，当1ex时，()0fx，因此函数()f

x在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+上单调递增，min11()()eefxf==−，而(1)0f=，在坐标平面内作出函数()yfx=的图象，如图，方程()()0fxmm=有两个不同的实数根12,xx，即直线ym=与函数()

yfx=的图象有两个不同交点，交点横坐标为12,xx，不妨令12xx，观察图象知，直线(0)ymm=必与函数()2(0)fxxax=+的图象有公共点，则0a，10x，由12exx−得：21+eexx，由12()()fxfxm==知，21x，即有21ex，1222lnxax

x+=，则有12211ln22xxxa=−，2122211ln22xxxxxa−=−+，令函数11()ln,1e22gxxxxax=−+，当1ex时，1()(1ln)02gxx=−，即函数()gx在(1,e]上单调递增，max11()(e)e22gxga=

=+，依题意，()egx，因此11ee22a+，解得ea，综上得0ea，所以实数a的取值范围是(0,e].故答案为：(0,e]16.已知1F，2F分别为椭圆22219xyb+=的左、右焦点，以2F为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线380xy−+=相切．P为椭圆上一点，I为

12PFF△的内心，且1122IPFIFFIPFSSS=−，则的值为______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出椭圆焦点坐标，再利用三角形内接圆与三角形面积的关系列式，结合椭圆定义即可求出答案.【详解】设()1,0Fc−，()2,0

Fc，2F为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为3Racc=+=+，根据题意可知813cR+=+，解得2c=设12PFF△的内接圆半径为r，则1112IPFSPFr=△，121212IFFSFFr=，2

212IPFSPFr=△故112212212FFPrPrrFF−=，化简可得1212PFPFFF+=，即22ac=，解得32=故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人进

行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．（1）记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．【答案】

（1）分布列见解析，期望为671216；（2）1125(),N636nnPn−=.【解析】【分析】（1）求出抛掷骰子一次获胜的概率，再求出X的可能值并求出对应的概率，列出分布列，求出期望作答.（2）利用独立事件的概率公式

，求出甲抛掷第n次骰子且不获胜的概率的递推公式，再借助数列求解作答.【小问1详解】依题意，抛掷骰子一次获胜的概率16p=，X的可能值为1，2，3，4，1(1)6PX==，115(2)(1)6636PX==−=，21125(3)(1)6621

6PX==−=，31125(4)(1)6216PX==−=，所以X的分布列为；X1234P1653625216125216期望1525125671()1234636216216216EX=+++=.【小问2详解】设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为,Nnan，依题意，156a=，

当2n时，1155256636nnnaaa−−==，因此数列{}na是以56为首项，2536为公比的等比数列，则1525()636nna−=，当2n时，甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率21151525

51125()()6663666636nnnnPa−−−===，显然当1n=时，116P=满足上式，所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为1125(),N636nnPn−=.18.已知ABC中，A，B，C所对

的边分别为a，b，c，且()(sinsin)sinabABbC+−=．（1）证明：A＝2B；（2）若a＝3，b＝2，求ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）15716.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合余弦定理可得2cosaBbc=+，再化

边为角结合三角恒等变换即可证明；(2)结合(1)求得c，由余弦定理求cosC，再求sinC，利用面积公式即可求解.【小问1详解】因为()(sinsin)sinabABbC+−=，所以()()ababbc+−=，即22abbc−=，222cos22a

cbbcBaca+−+==，2sincossinsinABBC=+，()2sincossinsinABBAB=++，()sinsinABB−=，所以2ππABBk−+=+或2πABBk−−=，Zk，又(),0,πAB，所以2AB=；【

小问2详解】由(1)22abbc−=，又a＝3，b＝2，所以52c=，由余弦定理可得22222253292cos223216abcCab+−+−===，因为()0,πC，所以257sin

1cos16CC=−=，所以ABC的面积1157157sin32221616SabC===.19.各项均为正数的数列na，其前n项和记为nS，且满足对n+N，都有22nnnSaa=+．（1）求数列na的通项公式；（2）设22221231111nnTaaaa=++++，证明

：74nT．【答案】（1）nan=（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)结合递推式22nnnSaa=+，可得22112nnnnnaaaaa−−=+−−，进而得11nnaa−−=，得到数列na是等差数列，进而可得通项公式

；(2)由()2211111nannn=−−，从第三项开始放缩，得714nTn−，进而得证.【小问1详解】由已知：对于n+N，22nnnSaa=+，21112(2)nnnSaan−−−+=，则22112nnnnnaaaaa−−=+−−∴111(

)()nnnnnnaaaaaa−−−+=+−，且数列na各项均为正数∴11nnaa−−=，21112Saa=+，因为10a，得11a=，∴数列na是首项为1，公差为1的等差数列，故nan=.【小问2详解】N,2nn+

，()()221111111nannnnn==−−−，故222222212311111111123nnTaaaan=++++=++++()2111111111111112233411233441nnnn+++++=++−+−+

++−−−71744n=−，所以74nT.20.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，ABCD∥，ABAD⊥，侧面PAD⊥底面ABCD，12DPDADCAB===．（1）证明：平面PBC⊥平面PAB；（2）若ADAP=，求平面PAC与平面PAB夹角的余

弦值．【答案】（1）证明见解析.（2）277.【解析】【分析】（1）通过证明面PBC中的一条直线与面PAB垂直，即可证明面PBC⊥面PAB.（2）建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，求出面PAC与面PAB的法向量，即可求出平面PAC与平面PAB夹角的余

弦值.【小问1详解】由题意，取,MN分别为棱,PAPB的中点,连接,,DMMNNC,则1//,2MNABMNAB=;∵//CDAB,且12CDAB=,∴//MNCD且MNCD=,∴四边形MNCD为平行四边

形,故//DMCN.∵,DPDAM=为棱PA的中点,∴DMPA⊥;∵ABAD⊥,平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD底面ABCDAD=,∴AB⊥平面PAD,∵DM平面PAD,∴ABDM⊥;又ABPAA=,

且ABPA，在平面内∴DM⊥平面PAB.∵//DMCN,∴CN⊥平面PAB,又∵CN平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB.【小问2详解】由题意及（1）得，取AD中点为O,连接PO,∵PAD为等边三角形,∴POAD⊥,,∵平面PAD⊥底面ABCD,∴PO⊥底面ABCD,过O作//O

EAB,交BC于点E,则OEAD⊥;以O为原点,,,OAOEOP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设2AD=，则13(0,0,3),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),,0,22PADCM−−

,则33,0,,(1,0,3),(2,2,0)22DMAPAC==−=−,由（1）可知DM⊥平面PAB故平面PAB的法向量取33,0,22DM=,设平面PAC的法向量为(,

,)nxyz=,由00nAPnAC==,解得30220xzxy−+=−+=,令3x=,得(3,3,1)=n,设平面PAC与平面PAB的夹角为,∴||2327cos7||||37nDMnDM===,∴平面PAC与平面PAB夹角的余弦值为277.2

1.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的实轴长为2，直线3yx=为C的一条渐近线．（1）求C的方程；（2）若过点()2,0的直线与C交于,PQ两点，在x轴上是否存在定点M，使得MPMQ为定值？若存在，求出点M

的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213yx−=（2）存在定点()1,0M−，使0MPMQ=为定值，理由见详解.【解析】【分析】（1）由22a=，再由渐近线的方程得ba的值，求得,ab，即可得双曲线方程；（2）当直线l不与x轴重合时，设直线l

的方程为2xty=+，代入双曲线方程，设点()()1122,,,PxyQxy，得1212,yyyy+，再设(),0Mm，计算MPMQ，由其为常数求得m，同时验证当直线斜率为0时，此m值也使得MPMQ为刚才的常数，即得结论．【小问1详解】由题意得22a=

，即1a=.因为C的渐近线方程为3yx=.所以3ba=，所以3b=，故C的方程为：2213yx−=.【小问2详解】当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为2xty=+，代入2213yx−=，得223(2)3tyy+−=，即()22311290tyty−++=．设点(

)()1122,,,PxyQxy，则121222129,3131tyyyytt+=−=−−．设点(),0Mm，则()()()()1212121222MPMQxmxmyytymtymyy=−−+=+−+−+()()()22121212(2

)tyytmyym=++−++−()()2222291122(2)3131ttmmtt+−=−+−−−()()2222334531mtmmt−−−−=−，若MPMQ为定值，令()()2233345mmm−=−−解得1m=−，此时2450MPMQmm=−−=

．当直线l与x轴重合时，则点,PQ为双曲线的两顶点，不妨设点()()1,0,1,0PQ−．对于点()()()1,0,11,011,00MMPMQ−=−−−=，所以存在定点()1,0M−，使0MPMQ=为定值．【点睛】思路点睛：求双曲线方程，

圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为1122(,),(,)xyxy，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得1212,xxxx+（或1212,yyyy+），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值．

并验证特殊情况下也成立．22.已知函数()sin2ln(1)fxxx=−+，()fx为()fx的导数．（1）证明：()fx在区间π(1,)4−上存在唯一的极大值点；（2）讨论()fx零点的个数．【答案】（1）证

明见解析；（2）3个.【解析】【分析】（1）求出函数()fx，再利用导数分(1,0)−和π(0,)4两段讨论函数()fx的极值点作答；（2）根据给定的函数，判断函数()fx在区间[π,)+与π[,π)2上函数值，再利用导数分段讨论在π(1

,)2−上零点情况作答.【小问1详解】函数()sin2ln(1)fxxx=−+的定义域为(1,)−+，求导得1()2cos21fxxx=−+，令1()2cos21gxxx=−+，则21()4sin2(1)gxxx=−++，当10x−时

，()0gx，函数()fx在(1,0)−上单调递增，()fx在(1,0)−上无极值点，当π04x时，214sin2,(1)xx−+在π(0,)4上都递减，即()gx在π(0,)4上递减，而2π10,()40π4(1)()140gg

=−+=+，则存在唯一0π(0,)4x，00()gx=，当00xx时，()0gx，当0π4xx时，()0gx，因此函数()fx在0(0,)x上单调递增，在0π(,)4x上单调递减，则0xx=为()fx在π(1,)4−上的极大值点，所以()fx在

区间π(1,)4−上存在唯一的极大值点；【小问2详解】当[π,)x+时，sin21,ln(1)1xx+，则()0fx恒成立，函数()fx在[π,)+上无零点，当π[,π)2x时，sin20

,ln(1)0xx+，则()0fx恒成立，函数()fx在π[,π)2上无零点，当ππ[,)42x时，1cos20,01xx+，则()0fx恒成立，函数()fx在ππ[,)42上单调递减，而ππππ(

)1sin(1)0,()sin(1)04422ff=−+=−+，因此函数()fx在ππ,42内有唯一零点，当(1,0x−时，(0)0f=，即0是函数()fx的一个零点，由（1）知()fx在(1,0)−

上单调递增，而24()2cos30,(0)1033ff−=−=，则存在唯一1(1,0)x−，使得1()0fx=，当11(),xx−时，()0fx，函数()fx单调递减，当1(,0)xx时，()0fx，函数()fx单调

递增，有1()(0)0fxf=，又24()sinln3033f−=−+，因此函数()fx在1(1,)x−上有唯一零点，在1(,0)x上无零点，当π(0,)4x时，由（1）知，函数()fx在0(

0,)x上单调递增，在0π(,)4x上单调递减，因为0π1()(0)10,()0π414fxff==−+，则存在唯一20π,4xx，使得2()0fx=，当2(0,)xx时，()0fx，函

数()fx单调递增，当2π(,)4xx时，()0fx，函数()fx单调递减，又ππ(0)0,()1ln(1)044ff==−+，因此函数()fx在π(0,)4上无零点，综上得，函数()fx共有3个零点.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断

方法：(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]ab上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多

少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com