【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》1.5 全称量词与存在量词 含答案【高考】.pdf，共(8)页，661.046 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标核心素养1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词

命题的意义.2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.1．全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”

“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立

”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元-2-素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x

)”．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈

M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自

然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3[答案]C2．下列全称量词命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x

2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5[答案]B3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2019<1D．∃x∈R,2x＞2B[当x＝1时，(x－1)2＝

0，所以B项为假命题．]4．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则其否定是()-3-A．￢p：∃x∈R，sin≥1B．￢p：∀x∈R，sinx≥1C．￢p：∃x∈R，sinx＞1D．￢p：∀x∈R，sinx＞1[答案]C全称量词命题和存在量词命题的判断【

例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使1x－1＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sinα＝12.[解](1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所

以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使1x－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时

，sinα＝12，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：-4-1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M

中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1.判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃

x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.[解](1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题

．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．含有一个量词的命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否

定为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀

n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2-5-(1)C(2)D[(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“

∀n∈N，n2≤2n”，故选C.(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词

的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题

，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x－122≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使

x3＋1＝0.[解](1)￢p：∃x∈R，x－122＜0，假命题．因为∀x∈R，x－122≥0恒成立，所以￢p是假命题．(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r

是真命题．(4)￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．-6-因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题．全称量词命题与存在量词命题的应用【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解]令y＝x2＋4x

－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略1对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y

或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin.2对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或

最大值，即a＞ymin或a＜ymax.3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥1B．m＞1C．m＜1D．m≤1B[命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B.]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题

的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；

对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．-7-3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(1)命题“正方形都是长方形”是全

称量词命题．()(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．()(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x

2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C[A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.]3．命题“存在一个无理数，它

的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后

为“它的平方不是有理数”，故选B.]4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3.-8-[解](1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在

量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只

有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．