【文档说明】湖南省长沙市师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.198 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知112iz=+，则z=（）A.12i33−B.12i33+C.12i33−D.12

i33+【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.【详解】由题意得()()112i12i12i33312i12i12iz−−====−++−，故选：A2.设集合()212,ln1AxxByyx=+==+，则AB=（）A.0,1B.3

,0−C.)3,−+D.)0,+【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合A，再由对数的单调性得到集合B，最后求并集即可；【详解】由题意可得21231xx−+−，所以3|1Axx=−，因为211x+

，所以()2ln10yx=+，所以|0Byy=，所以)3,AB=−+，故选：C.3.若圆锥的轴截面是面积为3的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A.2πB.3πC.23πD.33π【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积

求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为3r，母线长为2r，又轴截面面积为3，故1233,12rrr==，则该圆锥的表面积为2π1π123π+=，故选：B4.若角满

足ππcos()2cos()36+=−，则πcos(2)3−=（）A.45−B.35-C.45D.35【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出)tn(aπ6−，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.【详解】由ππcos()2cos()36+=−，得πππco

s[()]2cos()266+−=−，即ππsin()]2cos()66−−=−，则πtan()26−=−所以2222ππcos()sin()ππ66cos(2)cos2()ππ36cos()sin()66−−−−=−=−+−2222π1tan()

1(2)36π1(2)51tan()6−−−−===−+−+−.故选：B5.已知平面上三个单位向量,,abc满足()2acb=+，则ac=（）A.12B.32C.14D.34【答案】C【解析】【分析】将()2acb=+平方后求出78ab=−，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详

解】由题意知平面上三个单位向量,,abc满足()2acb=+，则()2214abc==+，即22148488aabbab+=++=，则78ab=−，故()2712222284acaabaab==++=−=，故选：C6.若函数()fx在定义域,ab上的值域为

()(),fafb，则称()fx为“Ω函数”．已知函数()25,024,24xxfxxxmx=−+是“Ω函数”，则实数m的取值范围是（）A.4,10B.4,14C.10,14D.)10,+【答案

】C【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24xxfxxxmx=−+的值域为[0,]m，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24xxfxx

xmx=−+的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24xxfxxxmx=−+是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]ff；而()()00,4ffm==，则值域为[0,]m；当02x时，

()5[0,10]fxx=，当24x时，()24fxxxm=−+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]fxmm−，故由函数()25,024,24xxfxxxmx=−+是“Ω函数”可得041010mm−，解得1014m，即实数m的取值范围是

10,14，故选：C7.已知,AB两点的坐标分别为()()0,1,1,0AB，两条直线1:10lmxy−+=和()2:10lxmym+−=R的交点为P，则APBP+的最大值为（）A.22B.2C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P的轨迹，

再设ABP=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10lmxy−+=恒过定点()0,1A，2:10lxmy+−=恒过定点()1,0B，且两直线的斜率之积为1−，所以两直线相互垂直，所以点P在以线段AB为直径的圆上运动

，2AB=，设ABP=，则2cos,2sinAPBP==，所以π2cos2sin2sin4APBP+=+=+，所以当π4=时，即0m=时，APBP+取得最大值2，此时点P的坐标为()1,1.故选：D.8.已知点P在椭圆τ：22221xyab+=(a>b>

0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设3,4PDPQ→→=直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（）A.12B.22C.32D.33【答案】C【解析】【分析】设P的坐标，

由题意可得,AQ的坐标，再由向量的关系求出D的坐标，求出,ADPA的斜率，设B坐标，,PB在椭圆上，将,PB的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得224PAPBbkka=−，再由PAPB⊥可得,ab的关系，进而求出离

心率．详解】设()11,Pxy，则()()1111,,,AxyQxy−−−，3,4PDPQ→→=，则11,2yDx−，设()22,Bxy，则2211222222221,1xyabxyab+=+=两式相减得到：()

()()()1212121222xxxxyyyyab+−+−=−，2121221212,,PBADAByyxxbkkkxxayy−+==−=−+即()1211211121124,4PAyyyyyykxxxxxx++===++，,PAPB⊥故1PAPBkk=−，即224

1ba−=−，故2234ac=，故32e=.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分．9.若圆()22260xyxyaa+−−+=R上至多存在一点，使得该点到直线3450xy++=的距离为2，则实数a可能为（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及10a，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】圆()22260xyx

yaa+−−+=R即圆()()()221310xyaa−+−=−R,需满足10a，则圆心为()1,3，半径为10a−圆心()1,3到直线3450xy++=的距离为312545d++==，要使圆()22260xyx

yaa+−−+=R上至多存在一点，使得该点到直线3450xy++=的距离为2，需满足4102a−−，解得610a，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.已知函数()fx的定义域为(),1

fx−R为偶函数，()1fx+为奇函数，则下列选项正确的是（）【A.()fx图象关于直线1x=−对称B.()fx的图象关于点()1,0对称C.()31f−=D.()fx的一个周期为8【答案】ABD【解析】【分析】根

据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出()1f的值，结合对称性可求()3f，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.【详解】由于函数()fx的定义域为(),1fx−R为偶函数，则()

()11fxfx−−=−，即()()2fxfx−−=，则()fx的图象关于直线1x=−对称，A正确；又()1fx+为奇函数，则()()11fxfx−+=−+，即()()2fxfx−+=−，故()fx的图象关于点()1,0对称，B正确；由

于()()11fxfx−+=−+，令0x=，则()()()11,10fff=−=，又()fx的图象关于直线1x=−对称，故()()310ff−==，C错误；又()()2fxfx−−=，()()2fxfx−+=−，则()()22fxfx−−=−−+

，故()()22fxfx−=−+，即()()4fxfx+=−，则()()8fxfx+=，即()fx的一个周期为8，D正确，故选：ABD11.在棱长均为1的三棱柱111ABCABC−中，1160AABAACBAC===，

点T满足1ATxAByACzAA=++，其中,,0,1xyz，则下列说法一定正确的有（）A.当点T为三角形111ABC的重心时，2xyz++=B.当1xyz++=时，AT的最小值为63C.当点T在平面11BBCC内时

，xyz++的最大值为2的D.当1xy+=时，点T到1AA的距离的最小值为22【答案】BCD【解析】【分析】将AT用1,,ABACAA表示，再结合1ATxAByACzAA=++求出,,xyz，即可判断A；将A

T平方，将()1zxy=−+代入，再结合基本不等式即可判断B；当点T在平面11BBCC内时，则存在唯一实数对(),使得()11BTBBBCBBACAB=+=+−，再根据1ATxAByACzAA=++，求出,,xyz，再根据,,0,1xyz即可判断C；求出AT在1

AA方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A，当点T为三角形111ABC的重心时，()()11111211323ATABACABAC=+=+，所以1111133AAAATABACATA=++=+，又因为1ATxAByACzAA=++，所以1,13xy

z===，所以53xyz++=，故A错误；对于B，2222211221222xyABACxzABAAyzACAAATxAByACzAA+++++=+222xyzxyxzyz=+++++()()()2

1xyzxyxzyzxyxzyz=++−++=−++，因为1xyz++=，所以()1zxy=−+，则()()()1xyxzyzxyxyzxyxyxy++=++=++−+()()()()()2224xyxyxyxyxyxy+=++−+++−+()()2233

21144333xyxyxy=−+++=−+−+，当且仅当23xy+=时取等号，所以()2121133ATxyxzyz=−++−=，所以63AT，所以AT的最小值为63，故B正确；对于C，当点T在平面11BBCC内时，则存在唯一实数对(),使得()11BTB

BBCBBACAB=+=+−，则()11ATABBTABACAA=+=−++，又因为1ATxAByACzAA=++，所以1,,xyz=−==，所以11xyz++=−++=+，因为0,1z=，所以11,2+，所以xyz++

的最大值为2，故C正确；对于D，当1xy+=时，由A选项知，()()22222221ATxyzxyxzyzxyzxyxyzzxyz=+++++=++−++=+−+，AT在1AA方向上的投影为111111ATAAxABAAyACAAzAAAAAA=++111222xyzz=++=+，所

以点T到1AA的距离2213124dzxyzzxy=+−+−+=−，因为()2144xyxy+=，所以33124442dxy=−−=，当且仅当12xy==时，取等号，所以点T到1AA的距离的最小值为22，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：当点

T在平面11BBCC内时，则存在唯一实数对(),使得()11BTBBBCBBACAB=+=+−，再根据1ATxAByACzAA=++，求出,,xyz，是解决C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每

小题5分，共15分．12.已知随机事件,AB满足()()()111,,342PAPBPAB==+=，则()PAB=____________．【答案】112【解析】【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可知()()()111,,3

42PAPBPAB==+=，故()()()()PABPAPBPAB+=+−,则()()()()111134212PABPAPBPAB=+−+=+−=，故答案为：11213.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

__________．【答案】100π【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABCABC−，如图，上底面111ABC所在平面截球所

得圆的半径是112333332OA==，1(O为上底面截面圆的圆心)下底面222ABC所在平面截球所得圆的半径是222343432OA==，2(O为下底面截面圆的圆心)由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线12OO

上，当O在线段12OO上时，轴截面中由几何知识可得2222341RR−+−=，无解；当O在12OO的延长线上时，可得2222341RR−−−=，解得225R=，因此球的表面积是24π4π25100πSR===．故答案为：100π14.已知2024是不等式()22log2321logx

xaa+−+的最小整数解，则a的取值范围为____________．【答案】2021202222a【解析】的【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分21loga+大于零和小于零时分类

讨论即可；【详解】由题意可得012230xaaa−，变形不等式可得()()222222223log2log2321log01log1log1logxxaxxaaaaaa−+−+−+−=+++，当211log02aa+时，有2223log20xaxa−+−，由

指数函数和对数函数的互化并整理可得2223240xxaa−−，即()()2420xxaa−+，解得24xa或2xa−（舍去），从而2log4xa，又12a时2log41a，所以要使2024

是不等式()22log2321logxxaa+−+的最小整数解，有22023log42024a，解得2021202222a，所以2021202222a，当211log002aa+

时，注意到20242024323212a−−，此时，不等式的分子大于零，不符合题意，综上，a的取值范围为2021202222a.故答案：2021202222a.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：为利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的

概率，记为()pc；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()qc．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率()0.5%pc=时，求临界值c和误诊率()qc；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图

（图2），临界值99c=，从样本中该医学指标在95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【答案】（1）97.5c=，()3.5%qc=（2）815【解析】【分析】（1）由图1，根据漏诊率()0.5%pc=列式求出c，再由图2求出误诊率()qc；（2）

根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在95,105中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【小问1详解】依题可知，图1第一个小矩形的面积为50.0020.5%，所以

95100c，所以()950.0020.5%c−=，解得97.5c=，()()0.0110097.550.0020.0353.5%qc=−+==．【小问2详解】由题可知，100个未患病者中，该项医

学指标在95,105中的有100(0.0100.002)56+=人，其中被误诊者有100(10099)0.0110050.0022−+=人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误

诊的2人，样本空间,,,,,,,,,,,,,,abacadaEaFbcbdbEbFcdcEcFdEdFEF=，事件,,,,,,,AaEaFbEbFcEcFdEdF=，故()15n=，()8nA=，()()(

)815nAPAn==，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是815．16.已知圆22:80Cxyy+−=，过点()2,2P的直线l与圆C交于,AB两点，点M满足2OMOAOB=+，其中O为坐标原点．（1）求点M的轨迹方程；（2）若CMP!的面积为2，求AB．【答案】（1）()()2213

2xy−+−=（2）43【解析】【分析】（1）设𝑀(𝑥,𝑦)，求出圆心坐标，利用CMMP⊥的数量积为零求出轨迹方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d，由三角形面积公式求出2d，再利用弦长公式求解即可；【小问1详解】

由2OMOAOB=+可得点M为线段AB的中点，设𝑀(𝑥,𝑦)，圆方程化为标准方程为()22416xy+−=，所以圆心()0,4C，半径4r=，所以()(),4,2,2CMxyMPxy=−=−−，因为CMMP⊥，所以()(),42,20xyxy−−−=，整

理可得()()22132xy−+−=，所以点M的轨迹方程为()()22132xy−+−=，【小问2详解】设圆心到直线的距离为d，因为M为AB的中点，且CMAB⊥，CMP!的面积为2，22CP=，所以22122dC

Pd−=，即284dd−=，解得24d=，由弦长公式可得222216443ABrd=−=−=.17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，3PAPD==，6PBPC==，90APBCPD==，点M，N分别是棱BC

，PD的中点.（1）求证：//MN平面PAB；（2）若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA的中点为Q，连接NQ，BQ，由平

面几何知识可得//NQBM且NQBM=，进而可得//MNBQ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P作PEAB⊥交AB于点E，作PFCD⊥交CD于点F，连接EF，取EF的中点为O，连接OP，建立空间直角坐标系后

，求出平面PCD的一个法向量为n、直线MN的方向向量MN，利用sincosnMNnMNnMN==即可得解.【详解】（1）证明：取PA的中点为Q，连接NQ，BQ，如图：又点N是PD的中点，则//NQAD且12NQAD=，又点M是BC的中点，底面ABCD是矩形，则12BMAD=

且//BMAD，∴//NQBM且NQBM=，∴四边形MNQB是平行四边形，∴//MNBQ，又MN平面PAB，BQ平面PAB，∴//MN平面PAB；（2）过点P作PEAB⊥交AB于点E，作PFCD⊥交CD于点F

，连接EF，则PFAB⊥，PEPFP=，∴AB⊥平面PEF，又AB平面ABCD，∴平面PEF⊥平面ABCD，∵3PAPD==，6PBPC==，90APBCPD==，∴3ABCD==，2PEPF==，2BECF

==，1AEDF==.设平面PAB平面PCDl=，可知////lCDAB，∵平面PAB⊥平面PCD，∴90EPF=，∴2EF=，取EF的中点为O，连接OP、OM，则OP⊥平面ABCD，1OP=，∴OM、OF、OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OM，OF，O

P所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,Oxyz−，如图所示，则()0,0,1P，()2,1,0C，()1,1,0D−，()2,0,0M，111,,222N−，∴()2,1,1PC=−，()1,1,1

PD=−−，511,,222MN=−，设平面PCD的一个法向量为(),,nxyz=，则由020nPDxyznPCxyz=−+−==+−=，令1y=可得()0,1,1n=r.设直线MN与平面PCD所成角为，则16sincos93322nMNnMNnMN=

===∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为69.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.18.已知P(2，3)是椭圆C：22221xyab+=(a>b>0)上一

点，以点P及椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形面积为23．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，M是l1与C两交点的中点，N是l2与C两交点的中点，求△MNF2面积的最大值．【答案】（1）221

84xy+=；（2）49﹒【解析】【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)由题意设直线1l的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点M的纵坐标，同理求出N的纵坐标，进而求出

2MNF面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．【小问1详解】由题意可得22222231123232abccab+===−，解得：28a=，24b=，∴椭圆的标准方程为：22184xy+=；【小问2详解】由(1)

可得右焦点2(2,0)F，由题意设直线1l的方程为：2xmy=+，设直线与椭圆的交点1(x，1)y，2(x，2)y，则中点M的纵坐标为122Myyy+=，联立直线1l与椭圆的方程222184xmyxy=++=，整理可得：22(2)480mymy++−=，1

2242myym−+=+，∴222Mmym−=+，同理可得直线2l与椭圆的交点的纵坐标2212()21122()Nmmymm−−==++−，∴22222111||||11||||22MNFMNSMFNFmyym==++△22422222(1)2(1)||||25

22(1)mmmmmmmm++==++++222||121mmmm=+++，设0m，令212mtm+=…，则2212MNFStt=+△，令1()2fttt=+，2t…，21()2ftt=−，2t…，()0ft恒成立，∴()ft在

[2，)+单调递增，∴22241192222MNFStt==++△„．∴2MNF面积的最大值为：49．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为12122aaaa+．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的

重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数12,,...,naaa，它们的算术平均数121...1nnniiaaaAann=+++==（注：121...niniaaaa==+++）不小于它们的几何平均数()1112

1...nnnnniiGaaaa===（注：121...niniaaaa==），即()1212......nnnnnaaaaaaAGn+++，当且仅当12...naaa===时，等号成立．（1）已知0xy，求()1

xyxy+−的最小值；（2）已知12,,...,0naaa且12...1naaa+++=．（ⅰ）求证：()()2221111nnniiiiana==−−；（ⅱ）当2024n，求3111niiiianaa=++−的最小值，

其中11naa+=．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）421nn−【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明()13xyxy+−，再构造取到等号的例子即可；（2）（ⅰ）使用适当的1n+元和1n−元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研

究函数()()()ln1ln1fxxx=−−−+的性质，再利用相应性质得到结果.【小问1详解】由均值不等式得()()()()()311133xyxyyxyyxyyxyyxy+=+−+−=−−−.而当2x=，1y=时，有0xy，()112321xyxy+=+=−−.所以()1x

yxy+−的最小值是3.【小问2详解】（ⅰ）由于12,,...,0naaa，12...1naaa+++=，故对1,2,...,in=，由均值不等式有()()11121112111......1......niiiiiniiiinaaaaaaaanaaaaaaa+−

+−++=+++++++++，()()11121112111......1......niiiniinaaaaaanaaaaa−−+−+−=++++++−.将二者相乘，得()(

)2222211121111......nnniiinianaaaaaa+−−+−−.再将该不等式对1,2,...,in=相乘，即得()()()()()22212112222211111111nnnnnnnnnnniiiiiiiiananana

−++−====−−=−=−.（ⅱ）对01x，设()()()ln1ln1fxxx=−−−+.则()1111fxxx=−−+，()()()2211011fxxx=+−+.对01ab，设()()()()()hufufbubfb=−−−，

01u.则()()()hufufb=−，()()0hufu=，所以()hu在()0,1上递增.所以对0ub有()()()0hufufb=−，对1bu有()()()0hufufb=−.这表明()hu在()

0,b上递减，在(),1b上递增，所以由ab有()()()()()()0fafbabfbhahb−−−==.这就得到()()()()0fafbabfb−−−，同理有()()()()0fbfabafa−−−，即()()()()0fafbabfa−−−再设()()()()()()

11gttfatfbftatb=+−−+−，01t.则()()()()()()1gtfafbabftatb=−−−+−，()()()()210gtabftatb=−−+−.所以()gt在0,1上递减.而()()()()()00gfafbabfb=

−−−，()()()()()10gfafbabfa=−−−.所以一定存在01，使得对0t有()0gt，对1t有()0gt..故()gt在0,上递增，在,1上递

减，而()()010gg==，结合()gt的单调性，知对任意01t有()0gt.特别地，有102g，即()()022fafbabf++−，此即()()22fafbabf++

.对01ba，同理有()()22fafbabf++.而对01ab=，显然有()()22fafbabf++=.综上，对任意(),0,1ab，有()()22fafbabf++

.先证明一个引理：设()12,,...,0,1naaa，则()()()1212......nnfafafaaaafnn++++++.用数学归纳法证明.①当1n=时，结论显然成立.②若结论对nk=成立，则对()122,,...,0,1kaaa，有()()()()()(

)()()()12212122.........222kkkkkfafafafafafafafafakkk+++++++++++=+1212212122............111222kkkkkkkkaaaaaa

aaaaaaffffkkkk+++++++++++++++++=+1212212122............22kkkkkkkkaaaaaaaaaaaakkffk++++++++++++++++++

=.从而结论对2nk=也成立.结合①②，可知原结论对无穷多个正整数n成立.③若结论对1nk=+成立，则对()12,,...,0,1kaaa，有()()()()()()12121212............1kkkkaaafafafaff

afafaaaakfkkkk+++++++++++++=−()()()121212.........111kkkaaafafafafaaakkfkkkk+++++++++++−

+1221212.........111kkkkkaaaaaaaaakkffkkkk+++++++++++++−+121212.........11kkkaaaaaaaaakfffkkkkk++++++++++

=−=.从而结论对nk=也成立.由于原结论对无穷多个正整数n成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数n成立.引理证毕，回到原题.由于我们有()()()21ln1ln1ln1fxxxx=−−−+=−，故1211111ln122223332

111111111e1nniinnnnannniiiiiiiiiiiiiiaaannnnnaaaaaaa=−====++++===

−−−−()221111ln1111114ln11222222221eeeee111nnniikikkfafafnnnannnnnnnnnnn===−−=====

=−−.而当121...naaan====时，有2343222111113111111nnniiiiiiannnnnnnnaannnnn===++====−−−−−.所以3111niiiianaa=++−的最小值是421nn−.【点睛】关键

点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.