【文档说明】甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.574 MB，由小赞的店铺上传

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兰州一中2022-2023--2学期3月月考试题高一数学命题人：岳辉平审题人：雒亦普本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本题共8小

题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设两个非零向量21,ee不共线，且122ABee=+，1227BCee=+，()123CDee=+，则（）A.,,ACD三点共线B.,,ABC三点共线C.,,BCD三点共线D.,,AB

D三点共线【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.详解】对于A，1239ACABBCee=+=+，()123CDee=+，不存在实数，使得ACCD=成立，,,ACD三点不共线，A

错误；对于B，122ABee=+，1239ACABBCee=+=+，不存在实数，使得ABAC=成立，,,ABC三点不共线，B错误；对于C，1227BCee=+，()123CDee=+，不存在实数，使得BCCD=成立，,,BCD三点不共线，C错误；对于D，122

ABee=+，12510BDBCCDee=+=+，15ABBD=，,,ABD三点共线，D正确.故选：D.2.已知6,3,12abab===−，则向量a在b方向上的投影为A.4B.4−C.2−D.2【答案】

B【【解析】【分析】根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为cos,aab求得结果.【详解】由题意得：122cos,633ababab−===−向量a在b方向上的投影为：2cos,643aab=−=−本题正确选项：B【点睛】本题考查向量a在b方向上

的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角的余弦值.3.已知向量()1,2a=r，()2,3b=，()3,4c=，若cab=+rrr，则+=（）A.1B.1−C.2−D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐标运算列方程求解，即可.

【详解】解：由()()()(),22,32,233,4cab=++=++==，所以23+=，234+=，解得1=−，2=，所以1+=，故选：A．4.八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为

图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，给出下列结论：①0BFHFHD−+=；②2OAOCOF+=−；③AEFCGEAB+−=；④0OAOBOCODOEOFOGOH+++++++=.其中正确的结论为（）A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【答案】C【解析】【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可.【详解】对于①，0BFHFHDBFFHHDBHHDBD−+=++=+=，①错误；对于②，由正八边形性质知：OAOC⊥，1OAOCOB===，设OBA

CM=，45AOBCOB==，M为AC中点，2OAOCOM+=，1222OMAC==，22OMOB=，2OAOCOB+=，又OBOF=−，2OAOCOF+=−，②正确；对于③，AEFCGEAEFCGEGAFC+−=++=+，由正八边

形性质知：//AGCE且AGCE=，即AGCE=，AEFCGEAGFCCECFFE+−=+=−=，又FEAB=，AEFCGEAB+−=，③正确；对于④，()()()OAOBOCODOEOFOGOHOAOEOBOFOCOG+++++++=++++++()0ODOH+=，④正确.故选：C.5.如

图，在ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PAPC+=（）A.1233BABC+B.5799BABC+C.11099BABC+D.2799BABC+【答案】B【解析】【分析】23PAPCBABPBCBPBABCBQ+=−+−=

+−，将13BQBAAQBAAC=+=+,ACBCBA=−代入化简即可.【详解】23PAPCBABPBCBPBABCBQ+=−+−=+−2()3BABCBAAQ=+−+1233BABC=+−13AC1257()3999BABCBCBABABC=+−−=+.故选：B.【点睛】本题考查平面向量

基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.6.已知非零向量AB与AC满足0||||ABACBCABAC+=，且2ABABCB=，则ABC为（）A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角

形【答案】C【解析】【分析】由2ABABCB=推出0ABAC=，由0||||ABACBCABAC+=推出||||ABAC=，则可得答案.【详解】由2ABABCB=，得()0ABABCB−

=，得()0ABABBC+=，得0ABAC=，所以ABAC⊥，因为0||||ABACBCABAC+=，所以()0||||ABACACABABAC+−=，所以22||||0||||||||ABACABACABACABABACAC−+−=，所以||||0ABAC−

+=，即||||ABAC=，所以ABC为等腰直角三角形.故选：C7.设向量a，b满足3ab+=，1ab−=rr，a与b的夹角为，则coscosabba+=（）A.12B.52C.54D.3【答案】B【解析】【分析】将ab+和ab−rr

分别平方，联立两式，可求得ab和22ab+的值，再结合2222coscoscoscosababababbaabab++=+=，可求出答案.【详解】∵3ab+=，∴2229aabb++=，又1ab−=rr，∴2221aabb−+=.∴()2222292

1aabbbaab++−=−+−，整理得2ab=，225ab+=，∴222252coscoscoscosababababbaabab++=+==.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的数量积公式的应用，考查平面向量的运算性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题

.8.已知O为坐标原点，点()1cos,sinP，点()2cos,sinP−，点()()()3cos,sinP++，()1,0A，则（）A.122OPOP==B.12APAP=C.312

OAOPOPOP=D.123OAOPOPOP=【答案】C【解析】【分析】由向量模长、数量积的坐标运算，结合同角三角函数关系和两角和差公式依次判断各个选项即可.【详解】对于A，()1cos,sinOP=，()2co

s,sinOP=−，221cossin1OP=+=，()222cossin1OP=+−=，A错误；对于B，()1cos1,sinAP=−，()2cos1,sinAP=−−，()221cos1sin22cosAP=−+=−，()()222cos1sin22cosA

P=−+−=−，12APAP，B错误；对于C，()1,0OA=，()()()3cos,sinOP=++，()3cosOAOP=+，又()12coscossinsincosOPOP=−=+，312OAO

POPOP=，C正确；对于D，1cosOAOP=，()()()23coscossinsincos2OPOP=+−+=+，123OAOPOPOP，D错误.故选：C.二

、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如果12,ee是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（）A.()12,ee+

R可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a，使12aee=+的实数对(),有无穷个C.若向量1112ee+与2122ee+共线，则有且只有一个实数，使得()11122122eeee+=+D.若存在实数,

使得120ee+=，则0==【答案】AD【解析】【分析】由平面向量基本定理可确定AD正确，B错误；通过反例可说明C错误.【详解】12,ee是平面内两个不共线的向量，12,ee可以作为平面的一组基

底；对于A，由平面向量基本定理可知：()12,ee+R可以表示平面内的所有向量，A正确；对于B，对于平面内任意向量a，有且仅有一个实数对(),，使得12aee=+，B错误；对于C，当11220=

===时，1112ee+与2122ee+均为零向量，满足两向量共线，此时使得()11122122eeee+=+成立的有无数个，C错误；对于D，由120ee+=得：12ee=−，又12,ee不共线，0=−=，即0==，D正确.故选：AD

.10.(多选题)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题为（）A.//ababab=B.a，b反向abab=−C.ababab⊥+=−D.abacbc==【答案】ABC【解析】【分析】需对以上四个命题逐一判断，依据有两条:一是向量数量

积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.【详解】A.cosabab=(为a与b的夹角)，由abab=及a，b为非零向量可得cos1=，0=或，//ab且以上各步均可逆.故命题A是真命题；B.若a，b反向，则a，b的夹角为，cosababab

==−且以上各步均可逆.故命题B是真命题；C.当ab⊥时，将向量a，b的起点移至同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有abab+=−.反过来，若abab

+=−，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有ab⊥.故命题C是真命题.D.当ab=但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有acbc，反过来由acbc=也推不出ab=.故命题D是假命题.故选：ABC11.ABC中，2AB=，30ACB=，则下列叙述正确的是A.A

BC的外接圆的直径为4.B.若4AC=，则满足条件的ABC有且只有1个C.若满足条件的ABC有且只有1个，则4AC=D.若满足条件的ABC有两个，则24AC【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦定理，可直接判断

A的对错，然后B，C，D三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得224sinsin30ABRACB===，故A正确；对于B，C，D选项

：如图：以A为圆心，2AB=为半径画圆弧，该圆弧与射线CD的交点个数，即为解得个数．易知当122x=，或即4AC=时，三角形ABC为直角三角形，有唯一解；当2ACAB==时，三角形ABC等腰三角形，也是唯一解；当ADABAC，即12

2xx，24x时，满足条件的三角形有两个．故B，D正确，C错误．故选：ABD．是【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．12.已知为第一象限角，为第三象限角，且3sin35+=，12cos313

−=−，则cos()+可以为（）A.3365−B.6365−C.3365D.6365【答案】CD【解析】【分析】利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对

应的正余弦值，将角进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果.【详解】因为为第一象限角，所以(2,2),2kkkZ+，5(2,2),336kkkZ+++，因为3sin35+=，所以33sin5

23=，所以3+是第二象限角，所以4cos35+=−，为第三象限角，所以3(2,2),2kkkZ++，27(2,2),336kkkZ−++，因为12cos313−

=−，所以3−是第二象限角或第三象限角，当3−是第二象限角时，5sin313−=，此时cos()cos[()()]33+=++−cos()cos()sin()sin()3333=+−−+−4123533()()51351365=−

−−=，当3−是第三象限角时，5sin313−=−，此时cos()cos[()()]33+=++−cos()cos()sin()sin()3333=+−−+−4123563()()()51351365=−−−−

=，故选：CD.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a､

b､c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则()abc+=___________.【答案】6−【解析】【分析】建立直角坐标系，将向量平移至相同的起点位置，求出向量坐标，再根据向量数量积的

公式即可求解．【详解】建立直角坐标系如图所示，将,ab平移至与c相同起点O的位置，由于每一小方格的边长为1，则()1,1a=r，()2,1b=−r，()2,2c=−−所以()3,0ab+=，故()()()3,02,26abc+=−−=−，故答案为：6−．14.如图，正方形ABCD

中，E为DC的中点，若ADACAE=+，则−的值为________【答案】-3【解析】【详解】在ADC中，E为DC的中点，所以1()2AEADAC=+，，所以=2ADACAE−+，，又ADACAE=+，故1,2=−=，所以3−=−．答案：3−．15.已知()()111

ab，，，=−=，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围为___________.【答案】()()111，，−−−【解析】【分析】a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线，计算即可.【详解

】解：a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线，由()()111=10ab，，=−−得1，由a与b不共线，得()10−−，1−，所以的取值范围为：()()111，，−−−.故答案为：()()111，，−−−16.已知()1tan2A

B−=，1tan7B=−，且(),0,πAB，则tanA=_________；2AB−=_______.【答案】①.13②.3π4−【解析】【分析】由()tantanAABB=−+，()()tan2tanABAAB−=+−利用两角和差正切公式可求得tanA，()tan2AB−，结合,

AB的范围可确定2AB−的值.【详解】()1tan2AB−=，1tan7B=−，()()()11tantan127tantan111tantan3127ABBAABBABB−−+=−+===−−+；

()()()()11tantan32tan2tan1111tantan123AABABAABAAB++−−=+−===−−−，(),0,πAB，30tan3A，3tan03B−，π0,6A，5π,π6B，π2π,2AB−−

−，3π24AB−=−.故答案为：13；3π4−.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算下列各式：（1）cos263cos203sin83sin23+；（2）cos7sin15sin8cos8−.【答案

】（1）12（2）624+【解析】【分析】（1）先利用诱导公式将cos263cos203变形为cos83cos23，然后利用两角差余弦公式计算即可；（2）利用()cos7=cos158−展开计算即可.的【小问1详解】()()cos2

63cos203sin83sin23cos180+83cos18023sin83sin23=+++()cos83cos23sin83sin221cosc3os603823==−

=+=；【小问2详解】()cos158sin15sin8cos7sin15sin8cos8cos8−−−=()cos15cos8sin15sin8sin15sin8cos15cos45

30cos8+−===−232162=cos45cos30sin45sin3022224++=+=18.已知a，b为平面向量，且()1,2a=−r.（1）若ab⊥，且25b=，求向

量b的坐标；（2）若()3,2b=−，且向量kab−与2ab+平行，求实数k的值.【答案】（1）()4,2或()4,2−−（2）12k=−【解析】【分析】（1）设(),bxy=r，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得

出向量b的坐标；（2）计算出向量kab−与2ab+的坐标，由已知向量平行，可求得k的值.【小问1详解】设(,)bxy=r，因25b=，所以2225xy+=①又因为ab⊥，所0ab=，即20xy−=②由①②联立得222520xyxy+=−=，解之得1142xy==或2242xy

=−=−，则所求向量b的坐标为()4,2或()4,2−−【小问2详解】为因为()1,2a=−r，()3,2b=−，所以()3,22kabkk−=+−−，()25,2ab+=−，又因为向量kab−与2ab+平行，所以2(3)(5)(22)0kk+−−−−=，解之得12k

=−19.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，32BABC=uuruuur，且ABC的面积为334．（1）若3b=，求ac+的值；（2）求2sinsinAC−取值范围．【答案】（1）23（2）3(-,3)2【解析】【分析

】（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得π,33Bac==，再由余弦定理即可求得结果.（2）由（1）中π3B=,将式子统一化为关于C的三角函数，再结合三角函数的图像性质即可得到结果.【小问1详解】由3

2BABC=uuruuur，得3cos2acB=①由334ABCS=，得133sin24acB=②联立①②可解得，π,33Bac==，222π2cos3bacac=+−22acac=+−又3b=，则()233acac=+−，23a

c+=【小问2详解】由（1）知π3B=，则2π2sinsin2sinsin3ACCC−=−−的312(cossin)sin3cos22CCCC=+−=因为2π03C，所以33cos(-,3)2C，所以2sinsin

AC−的取值范围是3(-,3)220.一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉.如图所示，,AB是江面上位于东西方向相距()533+千米的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的客船东方之星（

D点）发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】【分析】在ABD△中，利用正弦定理可求得BD；在BCD△中，利用余弦定理可求得CD，由此可求得所需时间.【详解】由题意知

：30ABC=，30ABD=，45DAB=，60CBD=，105ADB=，()62sinsin6045sin60cos45cos60sin454ADB+=+=+=，在ABD△中，由正弦定理得：()2533sin2103sin624ABDABBDA

DB+===+，在BCD△中，由余弦定理得：()()2222212cos12032003210390230CDBDBCBDBCCBD=+−=+−=，解得：30CD=，救援船到达D点需要的

时间30130t==，即需要1小时.21.已知在ABC中，,,ABC所对边分别为,,abc，且3,2abc==.（1）若23A=，求ABC的面积；（2）若2sinsin1BC−=，求ABC的周长.【答案】（1）9314（2）4253ABCC=−+或

4253ABCC=++.【解析】【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求522cos,cos33BC==，再利用正弦定理即可求解.【小问1详解】22222214937co

s2247bcaccAcbcc+−+−=−==，119393sin2.227214ABCSbcA===【小问2详解】依题意，正弦定理：sin2sinsinsinbcBCBC==，所以代入计算：14sinsin1sin3CCC−==，则2sin3B=.当B为锐角时，()2225

1425sinsinsincosCcossin33339ABCBBC+=+=+=+=，425,3sinsinsin8225,3cabcABCb−===−=所以4253ABCC=−+，当B为钝角时，()22251425sinsinsincoscossin33339

ABCBCBC−=+=+=−=，425,3sinsinsin8225,3cabcABCb+===+=所以4253ABCC=++，综上：4253ABCC=−+或4253ABCC=++.22.在如图所示的平面图形中，已知1OM=，2ON=，2BMMA=

uuuruuur，2CNNA=，求：（1）设BCxOMyON=+，求xy+的值；（2）若OMCN∥，且,,63OMON，求ABACuuuruuur的最小值及此时的夹角,OMON.【答案】（1）0（2）ABACuuur

uuur的最小值为93182−，,OMON为6.【解析】【分析】（1）由向量的减法公式BCACAB=−，结合题意和平面向量共线定理，即可求得3+3BCOMON=−，进而求出结果；（2）记,63,OMON=，因为OMCN∥，所以CN

OMON==，设CAOM=，根据平面向量加法理和平面向量共线定可得()33ABOMON=−−，进而求得()()33ABACOMONOM=−−−，化简整理可得()26cos3ABAC==+−

，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.【小问1详解】解：因为2BMMA=uuuruuur，2CNNA=，所以3333+3BCACABANAMMNOMON=−=−==−，所以3,3xy=−=，即0xy+=.【小问2详解】解：记,63,OMON=，

因为OMCN∥，所以CNOMON==，设CAOM=，则()()333ABACCBOMOMONOMON=+=−+−=−−，所以()()()233=3+3ABACOMONOMOMOMON=−−−−−()22=3+3cosOMOMON−(

)2236cos6cos3=−+=+−当6cos32−=−时，()26cos3+−取最小值，即最小值为()26cos34−−，又,63，所以6cos30,333−−，所以()()223336cos3,044

−−−−，即()26cos39318,042−−−，所以ABACuuuruuur的最小值为93182−，此时,OMON为6.