【文档说明】四川省泸县第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，858.903 KB，由小赞的店铺上传

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泸县第一中学2023年春期高一期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin390=A.12B.12−C.32D

.32−【答案】A【解析】【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将390的正弦化成30的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得()39030+360=30sinsinsin=，1302sin=，1sin3902=，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的

角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2.命题“对任意)0,x+，都有230x”的否定为（）A.存在(),0x−，使得230xB.不存在)0,x+，使得230xC.存在)0,x+，使得230xD.存在)0,x

+，使得230x【答案】D【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是特称命题可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在)0,x+，使得230x”.故选：D.3.若集合22Z|228,R20xAxBxxx+==−,则()

RABð所含的元素个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】化简集合，然后利用集合的补集的定义及交集的定义运算即得.【详解】由23222x+，得123x+，解得11x−，由于Zx，0,1A=，由220xx−，得2x或0x，因此R|02Bxx=

ð，因此()R0,1AB=ð含两个元素.故选：C.4.若复数()2iR2iaza+=−为纯虚数，则=a（）A.-4B.-2C.-1D.1【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法法则化简()()224i5aaz−++=

，根据复数的类型列出方程，求出a的值.【详解】()()()()()()2i2i224i2i2i2i2i5aaaaz++−+++===−−+，因为复数()2iR2iaza+=−为纯虚数，所以220a−=

，解得：1a=故选：D5.如图，在ABC中，14ADAB=，点F是BC的中点，设ABa=，ACb=，则DF=（）A.1342ab+B.1142ab+C.3342ab+D.3142ab+【答案】B【解析】【分析】连结AF

，根据向量加法三角形法则有DFDAAF=+，由题意，再转化为()1142ABABAC−++，整理即可得结论..【详解】解：连结AF，在ABC中，因为14ADAB=，点F是BC的中点，所以()111111424242DFDAAFABABACABAC

ab=+=−++=+=+,故选：B.6.已知()510sin,sin,,510=−=−均为锐角，则cos2=A.32−B.1−C.0D.1【答案】C【解析】【详解】易得25310cos,cos()510=−=253105coscos[()

]+5105=−−=21022()cos22()101022−==−=．7.数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式

完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142acbSac+

−=−，其中a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边.若13cos1tan3sinBCB−=，2b=，则ABC面积S的最大值为（）A.3B.5C.2D.2【答案】A【解析】【分析】将已知等式

结合sintancosCCC=进行化简，得到sin3(sincoscossin)CBCBC=+=3sin()3sinBCA+=，并利用正弦定理可得3ca=，代入“三斜求积”公式222222142acbSac+−=−

并将2a看成整体并利用二次函数性质得解.【详解】13cos1tan3sinBCB−=，3sintan13cosBCB\=-，又sintancosCCC=，所以3sinsincos13cosBCCB=-，所以3sincossin(13c

os)BCCB=-，所以3sincossin3sincosBCCCB=-，所以sin3(sincoscossin)3sin()3sinCBCBCBCA=+=+=，由正弦定理得3,ca=2,b=QABC的面积()22222224211322424acbSacaa+−=−=−−

，()421844aa=−+−，将2a看成整体并利用二次函数性质得，当24a=即a=2时，ABC的面积S有最大值为3.故选：A.8.已知ABC的边AB，AC的长分别为20,18，120BAC=，则

ABC的角平分线AD的长为A.180319B.9019C.18019D.90319【答案】C【解析】【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得9101919ADABAC=+，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即

可得结果.【详解】如图，因为AD是ABC的角平分线，所以2010189BDABDCAC===，所以1019ADABBDABBC=+=+()10910191919ABACABABAC=+−=+，即9101

919ADABAC=+.两边平方得2AD=2222111808120100182109182019219++−=，所以18019ADAD==，故选C.【

点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cosabab=；二是向量的平方等于向量模的平方22aa=.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列三角式中，值为1的是（）A.4sin15cos15B.222cossin66−C.22tan22.51tan22.5−D.11c

os226+【答案】ABC【解析】【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.【详解】A选项,1=2sin30=2=124sin15cos15，故正确.B选项，2212cossin2cos216632=−=

=，故正确.C选项，22tan22.5tan4511tan22.5==−，故正确.D选项，1111323cos12262222++=+=，故错误故选：ABC10.设1z，2z是复数，则下列命题

中正确的是（）A.若22120zz+=，则120zz==B.若12=zz，则12=zzC.若12zz=，则12zz=D.若120zz+=，则12zz=−【答案】CD【解析】【分析】举反例证明选项A，B错误；利用一般情况证明选项C，D正确.【详解】对A，取11z=

，2iz=，有221i0+=，但10，且i0，所以A错误；对B，取11iz=+，21iz=−，且1i1i+=−，但()1i1i+−，所以B错误；对C，设1izab=+，则2izab=−，因此12zz=，所以C正确

；对D，设1izab=+，2zcdi=+，则由120zz+=得，()()220acbd+++=，ac=−，=−bd，因此12zz=−，所以D正确.故选：CD.11.若对于任意1,1xaa−+，不等式29180xx−+恒成立，则实数a的值可能是（）

A.2B.4C.174D.5【答案】BCD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与1,1aa−+的关系即可求解.【详解】由29180xx−+得()()360xx−−，解得36x，故不等式29180xx−+对于任意1,1xaa−+恒成立，则13a−

且16a+，进而得45a故174,,54aaa===均符合，故选:BCD12.已知()fx为R上的奇函数，且当0x时，()lgfxx=，记()()sincosgxxfxx=+，下列结论正确的是（）A.()gx为奇函数B.若()gx的一个零点为0x，且00x，则()00lgtan

0xx−−=C.()gx在区间π,π2−的零点个数为3个D.若()gx大于1的零点从小到大依次为12,,xx，则1273πxx+【答案】ABD【解析】【分析】利用奇函数的定义可判断A，利用奇函数的性质可判断B，数形结合作出函数12tan,lgyxyx==−的

图象，通过交点个数可判断C，根据12tan,lgyxyx==−的图象确定大于1的零点的取值范围即可判断D.【详解】因为()()()()()sincossincos()gxxfxxxfxxfx−=−+−−=−−=−，所以()gx为奇函数，A正确；假设cos0x=，则ππ,

Z2xkk=+，此时()πsincossinπ02xfxxk+=+，所以当ππ,Z2xkk=+时，()0gx，当ππ,Z2xkk+时，()sincos0tan()xfxxxfx+==−，当00x时，00x−，则000()()lg()

fxfxx=−−=−−，由于()gx的零点为0x，所以000tan()lg()xfxx=−=−，所以()00lgtan0xx−−=，B正确；当0x时，令12tan,lgyxyx==−，()gx大于零的零点为12tan,lgyxyx==−的交点，由图可知，函数()gx在(

)0,π有2个零点，由于()gx为奇函数，所以()gx在π,02−有1个零点，且()()0sin00cos00gf=+=，所以()gx在区间π,π2−的零点个数为4个，C错误；由图可知，()gx大于1

的零点，123π3ππ,2π42xx，所以12π9π34xx+，而9π74，所以1273πxx+，D正确.故选:ABD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知1sincos(0π)5+=−，则

tan=______．【答案】34−##-0.75【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出3sin54cos5==−进而可求正切值.【详解】由1sincos5+=−平方得221sincos2sincos25++=，所以242si

ncos025=−，因为0π，所以ππ2，所以sin0,cos0，又因为()22249sincossincos2sincos25−=+−=，所以7sincos5−=，联立1si

ncos57sincos5+=−−=解得3sin54cos5==−，所以3tan4=−，故答案为：34−.14.ABC中，120A=，7BC=，3AB=，则AC=____________.【答案】5【解析】【分析】由余弦定理得2222c

osBCABACABACA=+−，代入数值解出AC即可.【详解】设ACx=，由余弦定理得2222cosBCABACABACA=+−，即222173232xx=+−−，整理得23400xx+−=，由于0x，解得5x=，即5A

C=.故答案为：5.15.若函数()2sincos22xxfx=（其中0）在区间,56−上不单调，则的取值范围为__________.【答案】55,,22−−+

【解析】【分析】化简f(x)，结合正弦函数单调性即可求ω取值范围.【详解】()2sincossin22xxfxx==，x∈,56−，①ω＞0时，ωx∈,56−，f(x)在,56−不单调，则52

−−，则52；②ω＜0时，ωx∈,65−，f(x)在,56−不单调，则52−，则52−；综上，ω的取值范围是55,,22−−+.故答案为：55,,22−−+.16.给出以下命

题：①若α、β是第一象限角且，则tantan；②函数sin,22yxxx=−−有三个零点；③函数2sinsinsin1xxyx+=+是奇函数；④函数1sin2yx=−的周期是2；⑤函数2()4sin4cos1fxxxa=−++−，当2,43x−

时()0fx=恒有解，则a的范围是[4,5]−.其中正确命题的序号为____________.【答案】④⑤【解析】【分析】根据正切周期性，对①举反例；根据sinx与x关系，可解()fx零点；根据奇函数定义域，判断2sinsinsin1xxy+=+是非奇非偶函数.【详解】对于①，令

60,390==，3tan3,tantan303===则①错；对于②，当0,2x有sinxx恒成立，则0,2x无零点；又sinyxx=−为奇函数，,02x−，sinyxx=−也无零点；则sinyxx=−

只有0x=一个零点，则②错；对于③，求2sinsinsin1xxyx+=+定义域，sin1x−则定义域为2,2xxkkZ−+定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误；对于④，函数1sin2yx=−是函数siny

x=向下平移12个单位，再沿x轴将下方图像翻折到x轴上方，故2T=，则④正确对于⑤，222()4sin4cos14cos4cos3(2cos1)4fxxxaxxaxa=−++−=+−−=+−−当2,43x−

，1cos,12x−，2cos10,3x+，2(2cos1)0,9x+使()0fx=恒有解，则2(2cos1)4xa+=+恒有根40,9a+，4,5a−，则⑤正确故答案为：④⑤【点睛】本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数

有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知1a=，2b=，且()()2436abab+−=−．（1）求a与b的夹角；（2）求2ab−．【答案】（1）3=（2）2【解析】【分析】（1）根据向量的数量积

运算律求解即可；（2）根据向量模运算求解即可.【小问1详解】∵1a=，2b=，的由()()2436abab+−=−化简得，∴4612ab−+==11cos122abab===∵0，∴3=【小问2详解】()222abab−=−2244abab=+−41441=+−2=

．18.已知函数22sin2sincoscosyxxxx=+−，求（1）求函数的最小正周期；（2）当π0,2x，求函数的值域．【答案】（1）；（2）1,2−.【解析】【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式有2s

in(2)4yx=−，即可求最小正周期；（2）由题设得2[,]444x−−，再由正弦函数的性质求值域即可.【详解】2222sin2sincoscossin2cos22sin2cos22sin2224yxxxxxxxxx=+−=−=−=−，（1）最小正

周期为22T==；（2）由π0,2x知：2[,]444x−−，故2sin2,11,242xy−−−，.19.已知函数2π1()3sincoscos3cos(0)22262xxxf

xx=+++−的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.（1）求函数()yfx=的解析式：（2）已知角,,满足：42223ff=−且3π4+=，tan2=，求sin()sin()cos2

++的值.【答案】（1）()2cos2fxx=；（2）218【解析】【分析】（1）化简函数得到()2cosfxx=，根据周期为πT=，计算得到答案.（2）代入数据得到2coscos3=−，计算

cos()+得到2sinsin6=，最后利用齐次式计算得到答案.【详解】（1）31cos1()sin3cos2262xfxxx+=+++−31sincos3cos226xxx=+++sin3cos2sin2cos662xxxx

=+++=+=由条件可得πT=，所以2=，则()2cos2fxx=（2）42cos2cos2223ff==−2coscos3=−又232cos()coscossinsinsinsincos342

+=−=−−==−2sinsin6=∴原式22(sincoscossin)(sincoscossin)cossin++=−2222sinsincoscoscossinsin()sincoscossin+++=−2222

222cossinsincos632cossin−+=−222222242tantan22632631tan1218−+−+===−−【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌

握.20.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件；4a=，222sinsinsinsinsinABCBC+=+．（I）求角A的值；（Ⅱ）求2bc−的范围．【答案】（I）3；（Ⅱ）()4,8−【解析】【分析】（I）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；（Ⅱ）

利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简28sin6bcB−=−，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.详解】（I）由222sinsinsinsinsinABCBC+=+，利用正弦定理可得222abcbc+=+，即222bcbc

a=+−故2221cos222bcabcAbcbc+−===，又(0,)A，3A=（Ⅱ）4a=，3A=，利用正弦定理483sinsinsin332abcABC====故83sin3bB=，8383sinsin()333cCB==+8383163833122sinsin()sin

cos+sin3333322bcBBBBB−=−+=−16343sin4cossin43sin4cos8sin336BBBBBB=−−=−=−.【在ABC中，3A=，故203B662B−−，1sin126B

−−，48sin86B−−所以2bc−的范围是()4,8−【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或

“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算能力，属于较难题.21.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B0,0,2A，x为月份

.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.（1）求f(x)的解析式；（2）求此商品的价格超过8万元的月份.【答案】（1）f(x)＝2sin44x−＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、1

2月份此商品的价格超过8万元.【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,AB，由周期求得，再用最高点坐标(3,9)代入可得，从而得解析式；（2）解不等式2sin44x−＋7>8中在[1,

12]上的整数解即得．【详解】解（1）由题意可知2T＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝24T=.又952952BA+=−=，∴27AB==，即f(x)＝2sin4x+＋7.(*)又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin34

+＋7＝9，∴sin34+＝1，∴3242k+==+，k∈Z.又|φ|<2，∴φ＝－4，∴f(x)＝2sin44x−＋7(1≤x≤12，x∈N*).（2）令f(x)＝

2sin44x−＋7>8，∴sin44x−>12，∴5226446kxk+−+，k∈Z，可得53＋8k<x<133＋8k，k∈Z.又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4

，10，11，12.即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.【点睛】本题考查三角函数()sin()fxAxM=++应用，解题关键是根据正弦函数的性质确定函数解析式．22.在ABC中，a、b、c分别为角

A，B，C的对边，平面内点O满足()()()0OAOBABOBOCBCOCOACA+=+=+=，且2220bbc−+=．（1）证明：点O为三角形的外心；（2）求BCAO的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）1,24−【解析】

【分析】（1）已知()()()0OAOBABOBOCBCOCOACA+=+=+=，根据向量的运算可得OAOBOC==，得证点O为三角形的外心.（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得cosACCADAD=，cosABBADAD=，利用的向量的加减和数量积的运算求得2

1124BCAOb=−−，因为2220cbb=−，所以02b，求出二次函数的值域即可.【小问1详解】证明：由()0OAOBAB+=可得：22()()0OAOBOBOAOBOA+

−=−=，所以22OBOA=，即OBOA=，同理：OAOC=，所以OAOBOC==，所以点O为三角形的外心.【小问2详解】由于O是三角形外接圆的圆心，故O是ABC三边中垂线的交点．如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．所

以90ACDABD==，cosACCADAD=，cosABBADAD=．所以()11()22BCAOACABADACADABAD=−=−()()2211coscos||||22ACADCADAB

ADBADACAB=−=−()()222222111122224bcbbbbbb==+−=−−=−−，因为2220cbb=−，所以02b，令211()24fbb=−−，则当12b=时，()fb有最小

值14−．又因为(0)0f=，(2)2f=，所以1()24fb−，所以BCAO的取值范围是1,24−获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com