【文档说明】河北省鸡泽县第一中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题 含答案.docx，共(8)页，371.110 KB，由小赞的店铺上传

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12020---2021学年第二学期第一次月考高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，则等于A.B.C.D.2.5张卡片上分别写有，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A.B.C.D.3.函数的定义域为A，若存

在非零实数t，使得对于任意有，且，则称为C上的t度低调函数．已知定义域为的函数，且为上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是A.B.C.D.4.在椭圆内，通过点且被这点平分的弦所在的直线方程为A.B.

C.D.5.已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为A.1B.C.D.6.用简单随机抽样方法从有25名女生和35名男生的总体中，推选5名学生参加健美操活动，则某名女生被抽到的机率是A.B.C.D.7.若直线与圆相切，则a的值为2A.1，B.2，C.1D

.8.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则实数t的取值范围为A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.表示不大于x的最大整数，设函数A.为增函数B.为奇函数C.D.10.若复数z满足其中i是虚数单位，复数z的共轭复数为，则A.B.z的实部是C

.z的虚部是1D.复数在复平面内对应的点在第一象限11.如图，在棱长为2的正方体中，M为BC边的中点，下列结论正确的有A.AM与所成角的余弦值为B.过三点A、M、的正方体的截面面积为C.四面体的内切球的表面积为D.正方体中，点P

在底面所在的平面上运动并且使，那么点P的轨迹是椭圆12.已知函数满足，且在上有最小值，无最大值则下列说法正确的是A.B.若，则3C.的最小正周期为3D.在上的零点个数最少为202个三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13

.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的侧面积为．14.方程在区间内的解是______．15.已知是奇函数，当时，，则__．16.设随机变量服从正态分布，若，则a的值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.，这两

个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的前n项和为，满足，____．求的通项公式；设，求的前n项和．18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ已知点D在边BC上，，，，求的面积．19.“过大年，吃水饺”是我

国绝大多数地方过春节的习俗，2021年春节前夕，我市某质检部门随机抽取了200包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标绘制成如图所示直方图．求所抽取的200包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表；该速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，利用该正态分布，求Z落在内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望．4附：计算得所抽查得这20

0包速冻水饺得质量指标得标准差为．，，．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，又，，，．求证：平面ABCD；求PA与平面ABCD所成角的余弦值；求二面角的余弦值．21.已知动点P到直线的距离

与到定点的距离的差为动点P的轨迹设为曲线C．Ⅰ求曲线C的方程；Ⅱ设过点的直线与曲线C交于E、F两点，定点，求直线、的斜率之和．22.已知函数，其中．求函数在处的切线方程；，，求实数a的取值范围．5鸡泽一中2021年4月份月考试卷1.A2.B3.D4.C5.B6.C7.D8.C

9.BC10.ABD11.AB12.AC13.14.𝑥=7𝜋1215.−𝑥²+2/𝑥16.317.解：(1)设等差数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公差为d，若选择条件①𝑆3=12，则由𝑎3=6，得{𝑎1+2𝑑=63

𝑎1+3×22𝑑=12，解得𝑎1=2，𝑑=2，所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2+2(𝑛−1)=2𝑛，𝑛∈𝑁∗；若选择②𝑎2+𝑎4+𝑎6=24，则𝑎4=8，所以{𝑎1+2𝑑=6𝑎1+3𝑑=8，解得�

�1=2，𝑑=2，所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2+2(𝑛−1)=2𝑛，𝑛∈𝑁∗；(2)由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有𝑎𝑛=2𝑛，则𝑏𝑛=2𝑎𝑛+𝑎𝑛=22𝑛+2𝑛=4𝑛+2𝑛，所以数列{𝑏𝑛}

的前n项和𝑇𝑛=(4+42+43+⋯+4𝑛)+2(1+2+3+⋯+𝑛)+2(1+2+3+⋯+𝑛)=4(1−4𝑛)1−4+2×𝑛(𝑛+1)2=13(4𝑛+1−4)+𝑛2+𝑛．18.解：(Ⅰ)因为𝑐𝑜𝑠2𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐶=0，所以

(2𝑐𝑜𝑠𝐶−1)(𝑐𝑜𝑠𝐶+1)=0，可得𝑐𝑜𝑠𝐶=12，或𝑐𝑜𝑠𝐶=−1，因为𝐶∈(0,𝜋)，所以𝐶=𝜋3．(Ⅱ)因为点D在边BC上，∠𝐴𝐷𝐵=2𝜋3，𝐵𝐷=3，𝐴𝐵=√19，可得△𝐴𝐶𝐷为

等边三角形，在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理可得𝐴𝐷=2，所以△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=12𝐶𝐴⋅𝐶𝐵⋅sin𝜋3=5√32．19.解：(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为：(0,10]的频率为：0.010×10

=0.1，(10,20]的频率为：0.020×10=0.2，(20,30]的频率为：0.030×10=0.3，(30,40]的频率为：0.025×10=0.25，(40,50]的频率为：0.015×10=0.15，6所以所抽取的

100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数𝑥−为：𝑥−=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5．(2)①∵𝑍服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，且𝜇=26.5，𝜎≈11.

95，𝑃(2.6<𝑍<50.4)=𝑃(26.5−2×11.95<𝑍<26.5+2×11.95)=0.9544，∴𝑍落在(2.6,50.4)内的概率是0.9544．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为0.2+0.3=

0.5，∴𝑋～𝐵(4,12)，X的可能取值分别为：0，1，2，3，4，𝑃(𝑋=0)=𝐶40(14)4=116，𝑃(𝑋=1)=𝐶41(14)4=14，𝑃(𝑋=2)=𝐶42(14)4=38，𝑃(𝑋=3)=𝐶43(14)

4=14，𝑃(𝑋=4)=𝐶44(14)4=116，∴𝑋的分布列为：X01234P116143814116∵𝑋～𝐵(4,12)，∴𝐸(𝑋)=4×12=2．20.(1)证明：在△𝑃𝐵𝐶中，∵𝐵𝐶=𝑃�

�=1，𝑃𝐵=√2，∴𝐵𝐶2+𝑃𝐶2=𝑃𝐵2，∴∠𝑃𝐶𝐵=90°，即𝑃𝐶⊥𝐵𝐶．∵𝐴𝐵⊥𝑃𝐶，𝐴𝐵∩𝐵𝐶=𝐵，𝐴𝐵⊂平面ABCD，𝐵𝐶⊂平面ABCD，∴𝑃𝐶⊥平面ABCD．(2)解：方法一：如图，连接AC，由(1)知𝑃𝐶⊥

平面ABCD，∴𝐴𝐶为PA在平面ABCD内的射影，∴∠𝑃𝐴𝐶为PA与平面ABCD所成的角．在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=

√2．在△𝑃𝐴𝐶中，∵∠𝑃𝐶𝐴=90°，𝑃𝐶=1，𝐴𝐶=√2，∴tan∠𝑃𝐴𝐶=𝑃𝐶𝐴𝐶=√22，7∴𝑃𝐴与平面ABCD所成角的大小为arctan√22．方法二：连接AC，由(1

)知𝑃𝐶⊥平面ABCD，∴𝐴𝐶为PA在平面ABCD内的射影，∴∠𝑃𝐴𝐶为PA与平面ABCD所成的角．如图，以C为原点，CD，CB，CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系𝐶−𝑥𝑦𝑧，则𝐶(0,0，0)，𝐵(0,1，0)，𝐷(2,0，0)，𝑃(0,0，

1)，𝐴(1,1，0)，∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,0)，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,1)，∴cos∠𝑃𝐴𝐶=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√63，∴𝑃𝐴与平面

ABCD所成角的大小为arccos√63．(3)解：方法一：由(1)知𝑃𝐶⊥𝐵𝐶，又𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝑃𝐶∩𝐶𝐷=𝐶，∴𝐵𝐶⊥平面PCD．如图，过C作𝐶𝑀⊥𝑃𝐷于M，连接𝐵𝑀.∴𝐶𝑀

是BM在平面PCD内的射影，∴𝐵𝑀⊥𝑃𝐷，∴∠𝐶𝑀𝐵为二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐶的平面角．在△𝑃𝐶𝐷中，∵∠𝑃𝐶𝐷=90°，𝑃𝐶=1，𝐶𝐷=2，∴𝑃𝐷=√𝑃𝐶2+𝐶𝐷2=√5，又∵𝐶𝑀⊥𝑃𝐷，

∴𝑃𝐷⋅𝐶𝑀=𝑃𝐶⋅𝐶𝐷，∴𝐶𝑀=𝑃𝐶⋅𝐶𝐷𝑃𝐷=2√55．在△𝐶𝑀𝐵中，∵∠𝐵𝐶𝑀=90°，𝐵𝐶=1，𝐶𝑀=2√55，∴tan∠𝐶𝑀𝐵=𝐵𝐶𝐶𝑀=√52，

∴二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐶的大小为arctan√52．方法二：过C作𝐶𝑀⊥𝐷𝑃于M，连接BM，设𝑀(𝑥,y，𝑧)，则𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−𝑥,−𝑦,−𝑧)，𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥−2

,𝑦,𝑧)，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,1).∵𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥−𝑧=0.①∵𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗共线，∴𝑦=0,𝑥−2−2=𝑧，②

由①、②，解得𝑥=25，𝑦=0，𝑧=45，∴𝑀点的坐标为(25,0,45)，𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−25,1,−45)，𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−25,0,−45)，∵𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗

⃗⃗⃗⃗=45+0−45=0，∴𝑀𝐵⊥𝐷𝑃，又∵𝐶𝑀⊥𝐷𝑃，∴∠𝐶𝑀𝐵为二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐶的平面角．∵𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−25,0,−45)，𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−25,1,−45)，∴cos∠𝐶𝑀𝐵=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⋅𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23，∴二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐶的大小为arccos23．21.解：(Ⅰ)由题意知，动点P到定点𝐶(12,0)的距离

等于到定直线𝑥=−12的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且𝑝2=12，𝑃=1．所以点P的轨迹方程为𝑦2=2𝑥.…(6分)8(Ⅱ)设过点A的直线方程为𝑦=𝑘(𝑥+4)(𝑘≠0)．联立方程组{𝑦=𝑘(𝑥+4)

𝑦2=2𝑥，消去x，得𝑘2𝑦2−𝑦+4𝑘=0.…(8分)设𝐸(𝑥1,𝑦1)、𝐹(𝑥2,𝑦2)，则𝑦1⋅𝑦2=8，且𝑦12=2𝑥1，𝑦22=2𝑥2．∵𝑘𝐴′𝐸=𝑦1𝑥1−4,𝑘𝐴′𝐹=𝑦2𝑥2−4，∴𝑘𝐴′

𝐸+𝑘𝐴′𝐹=𝑦1𝑥1−4+𝑦2𝑥2−4=𝑦1𝑥2−4𝑦1+𝑦2𝑥1−4𝑦2(𝑥1−4)(𝑥2−4)=𝑦1𝑦222−4𝑦1+𝑦2𝑦122−4𝑦2(𝑥1−4)(𝑥2−4)=(𝑦1+𝑦2)(𝑦1𝑦22−4)(𝑥1−4)(𝑥2−4)．由𝑦1⋅

𝑦2=8，得𝑘𝐴′𝐸+𝑘𝐴′𝐹=0.…(14分)22.解：(1)由𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)𝑒𝑥，得𝑓′(𝑥)=(𝑥2+2𝑥−1)𝑒𝑥，∴𝑓′(0)=−1，又𝑓(0)=−1，∴函数�

�(𝑥)在𝑥=0处的切线方程为𝑦+1=−𝑥，即𝑥+𝑦+1=0；(2)𝑥=0时，不等式𝑓(𝑥)≥𝑎𝑥−1为−1≥−1，对任意实数a都成立；𝑥>0时，不等式化为𝑓(𝑥)−𝑎𝑥+1≥0，令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥+1，则𝑔′(𝑥)=𝑓′

(𝑥)−𝑎，由𝑓′(𝑥)=(𝑥2+2𝑥−1)𝑒𝑥，令ℎ(𝑥)=(𝑥2+2𝑥−1)𝑒𝑥，ℎ′(𝑥)=(𝑥2+4𝑥+1)𝑒𝑥>0，∴ℎ(𝑥)即𝑓′(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，𝑓′(𝑥)>𝑓′(0)=−1，∴𝑔′(𝑥)>𝑔′(0

)=−1−𝑎，若−1−𝑎≥0，即𝑎≤−1，则𝑔′(𝑥)>0在(0,+∞)上恒成立，𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，𝑔(𝑥)>𝑔(0)=0，不等式𝑓(𝑥)−𝑎𝑥+1≥0成立；若𝑎>−1，由上讨论可知，存在𝑥0>0，使得𝑔

′(𝑥0)=0，且当0<𝑥<𝑥0时，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减，当𝑥>𝑥0时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(𝑥0)，而𝑔(0)=0，因此，0<𝑥<𝑥0时，𝑔(𝑥)<𝑔(0)=

0，𝑔(𝑥)≥0不成立．综上，𝑎≤−1．