【文档说明】湖南省长沙市2025届高三上学期10月阶段考试数学针对性训练试题答案.docx，共(15)页，956.634 KB，由小赞的店铺上传

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湖南省长沙市2025届高三10月阶段考试针对性训练数学试题参考答案：题号12345678910答案AADCCDBCACDAC题号11答案ABD1．A【分析】解不等式求得集合A，进而求得AB.【详解】由1x解得11x−，所以|11

Axx=−，而0,1,2,3,4B=，所以0,1AB=.故选：A2．A【分析】根据复数的除法运算可得复数z，再平方，即可求解.【详解】因为21iz=−，故221i1i1i1iz−===+−−，故22iz=故选：A.3

．D【分析】根据cos,baabb进行求解，得到答案.【详解】因为23ab=，5π,6ab=，所以a在b上的投影向量为5πcos,cos,23cos36abaababbbbbb===−.故选：D4．C【

分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ62cos22cos1212463+=+−=−=−，而π2sin2cos223=−+=.

故选：C5．C【分析】赋值法得到方程，求出2a=，求出()61x+展开式通项公式，得到42256C15Txx==，37Tx=，从而得到展开式中3x的系数为152129−=.【详解】6(1)(1)axx−+中令1x=得64(11)(1)6a−=+，解得2a=，()61x+展开式

通项公式为1216CrrrTx+=，06,Nrr，当4r=时，42256C15Txx==，当6r=时，37Tx=，故展开式中3x的系数为152129−=.故选：C6．D【分析】()fx的对称轴为2x=；结合单调性可得|322||42|x−−−，然后求解即可.【详解】

因为(1)(3)fxfx+=−，所以()fx的对称轴为2x=，()fx在(2,)+单调递减，则()fx在(,2)−单调递增，又因为(32)(4)fxf−，由对称性可得|322||42|x−−−，所以|34|2x−，2342x−

−，223x.故选：D7．B【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得()fx表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin43gxx=−，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围.【详解】由函数()()πsin0,0,2fxAx

A=+的部分图象可知，2A=，因为11ππ31264T−=，所以2ππ,2TT===，又π26f=，所以ππ22π,62kk+=+Z，解得π2π,6kk=+Z，由π2可得π6=，所以()π2sin26fxx=+，将(

)fx的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin43gxx=−的图象，令3π4tx=−，由ππ,126x−，可得2ππ,33t−，函数2sinyt=在

2ππ,32−−上单调递减，在ππ,23−上单调递增，且ππ2π2sin2,2sin3,2sin3233−=−=−=−，因为关于x的方程()0gxm−=在ππ,126x−上有两个不等实根，即ym=与()ygx=的图像在ππ,

126x−上有两个交点，即ym=与2sinyt=在2ππ,33t−上有两个交点，所以实数m的取值范围为(2,3−−，故选：B.8．C【分析】由2PMPN=可求得P点轨迹为圆，

取AB中点C，根据向量线性运算可得233ABOC，利用垂径定理可求得2OC的范围，结合点到直线距离公式可构造不等式求得k的取值.【详解】设(),Pxy，由2PMPN=得：()()2222421xyxy++=++，整理可得曲线22:4Wxy+=，即P点轨迹是以()0,0为圆心，2为半径的

圆；设AB的中点为C，则OCAB⊥，33OBOAOAOB−+，233ABOC，2222144OCCAOCAB+=+=，2443OC，解得：23OC，,AB是直线()00xykk+−=与圆224xy+=

的两个不同交点，24OC，即234OC，2342k−，又0k，解得：622k，即实数k的取值范围为)6,22.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的综合应用问题，解题关键是能够根据向量的线性运算，结合垂径定理求得圆心到直

线的距离所处的范围，进而利用点到直线距离公式来构造不等式求得结果.9．ACD【分析】令1n=可求1a；利用已知nS求na的方法求数列na通项公式；利用裂项相消法求数列nb的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.【详解】因为()123212naanan+++−=，所以当2n时

，()()12132321naanan−+++−=−，两式相减得()212nna−=，所以221nan=−，又因为当1n=时，12a=满足上式，所以数列na的通项公式为：221nan=−，故A正确，B错误，()()()2112121212121nnabnnnnn===−

+−+−+，所以12nnSbbb=+++11111121133521212121nnnnn=−+−++−=−=−+++，故C正确；因为221nan=−，随着n的增大，na在减小，所以数列na为递减数列，故D正确.故选:ACD.10．AC【分析

】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求a的值，故可判断C的正误.【详解】对于A，()234(34)fxaxxxax==−−，当0a时，43

xa或0x时，𝑓′(𝑥)<0；当403xa时，𝑓′(𝑥)>0，故0x=为()fx的极大值点，故A正确；对于B，当2a时，由A的分析同理可得：当0x或43xa时，𝑓′(𝑥)>0；当403xa时，𝑓′(𝑥)<0，故()fx在40,3a

为减函数，在()4,0,,3a−+上为增函数，而()010f=，2224643232321110327927274faaaa=−+=−−，()42210faaa−=−−+，故()fx只有一个零点；对于C，()()()()3232221222

1fxfxaxxaxx+−=−++−−−+()264(812)86axaxa=−+−+−，由题设可得()()2264812863axaxa−+−+−=−恒成立，故64081202863aaa−=−=−=−即23a=，故C正确.对于D，取8m=，由B

的分析可得：()fx在()1,0−为增函数，在40,3上为减函数，在4,83为增函数，而()01f=，()38826413851f=−+=，此时()fx在()1,8−无最大值，故选：AC.11．ABD【分析】根据锥体体积

的计算公式可得两个三棱锥高和底面积相等，即A正确；利用线面垂直判定定理以及面面垂直的性质定理可证明1PO⊥平面ABC，可判断B正确；当P与C重合，可知BCAC⊥，这与ABBC⊥矛盾，因此C不成立；利用三棱锥性质可求得外接球球心为1O的位置及

其半径与三棱锥棱长的关系即可求得2V与1V之比的最小值.【详解】对于A，因为1O为AD中点，则11BODBOASS=△△，而两个三棱锥高相等，故体积相等，A正确；对于B，因为AB⊥平面BCD，DC平面BCD，所以ABDC⊥，又CDBC⊥，ABBCB=，,ABBC平面A

BC，故CD⊥平面ABC，CD平面ACD，故平面ACD⊥平面ABC，过B作BHAC⊥，垂足为H，如下图所示：因为面ACD平面ABCAC=，BH平面ABC，故BH⊥面ACD，而1PO面ACD，故1BHPO⊥，若1POBC⊥，则BHBCB=，而,BHBC平面ABC，故1PO⊥平面ABC，又AB

平面ABC，故1POAB⊥，故B正确.对于C，若P与C不重合，由AB⊥平面BCD，CD平面BCD，可得ABCD⊥；又BCD△是以BD为斜边的直角三角形可知BCCD⊥，又ABBCB=,,ABBC平面ABC，所以CD⊥平面ABC,又BP平面ABC，所以BPC

D⊥，当BPPD⊥时，PDCDD=，,PDCD平面ACD，所以BP⊥平面ACD，又DA平面ACD，可得BPDA⊥，但若P与C重合，由于BCCD⊥，若BCDA⊥，CDDAD=，,CDDA平面ACD，所以⊥BC平面ACD，AC平面ACD，故BCAC

⊥，这与ABBC⊥矛盾，所以BCDA⊥不成立，故P与C重合，满足PBPD⊥，但此时BPAD⊥不成立，故C错误；对于D，由CD⊥平面ABC，AC平面ABC，故CDAC⊥，故111112OCADAOODOBr=====，1O为外接球球心，且324π3Vr=，

2ABBDr==，又BCCD⊥，C可以在以BD中点为圆心，222BDr=为半径的圆上运动，C到BD的距离为()22112222BCCDBCCDrBDBDBD+==，当且仅当BCCD=时等号成立，故C到BD的距离最大为22r，此时31122326ABDVSrr==△，故321442

ππ3VVr=，D正确，故选：ABD.12．()0,2【分析】依题意可得12FF，根据121212pPFFSFFy=，求出py，再代入椭圆方程求出横坐标，即可得解；【详解】解：由已知，椭圆的焦距122FF=．因为12PFF的面积等于2，所以12122pF

Fy=，解得2py=．代入椭圆的方程，得2115x+=，解得0x=．所以点P的坐标是()0,2．故答案为：()0,213．173【分析】求导，即可根据切线斜率求解.【详解】由()()ln21fxxmx=+−可得()221fxmx+=−，由于曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线

的斜率为5−，故()2153fm=−=−，解得173m=，故答案为：17314．12/0.511114123n−+−【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第n次踢出后，建子恰好踢给乙，则第1n−次踢出后，建

子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率.【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，

丙），共9种，设事件A：第二次的毽子由丙接到，事件B：第二次的毽子由乙踢出，丙接到，则()29PA=，()19PAB=，则()()()119229PABPBAPA===；设第n次踢出后，建子恰好踢给乙

的概率为nP，易知若第n次踢出后，建子恰好踢给乙，则第1n−次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即()1113nnPP−=−，2n，且113P=，则1111434nnPP−−=−−，即{𝑃𝑛−14}是以111412P−=为首项，13−为公比的等比数列，

则11114123nnP−−=−，即11114123nnP−=+−，故答案为：12；11114123n−+−.【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式()1113nnPP−=−，进而分析求解.15．(1)π3

(2)423+【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出cosA，即可得解；（2）利用正弦定理求出ABC，即可求出C，从而求出D，再由锐角三角函数求出CD，即可求出AD.【详解】（1）因为2coscoscosaAcBbC

=+，由正弦定理可得2sincossincossincosAACBBC=+，即()2sincosssininAACAB=+=，又()0,πA，所以sin0A，所以1cos2A=，则π3A=.（2）在ABCV中，由正弦定理sinsinabBACABC=得62π

sinsin3ABC=∴2sin2ABC=，又ba，所以ABCBAC∠∠∴π4ABC=，∴ππ5ππ3412C=−−=，∵BDBC⊥，则ππ212DC=−=，又sinBCDCD=，即π6sin12CD=，所以666πππππππsinsincoscossinsin12343434CD=

==−−662332122222==+−，∴6232423ADCDAC=−=+−=+.16．(1)证明见解析(2)427【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理即可证明得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向

量求得两平面法向量即可得出二面角EDGF−−的正弦值.【详解】（1）因为四边形CDEF为菱形，所以H是CE中点.连接GH，如下图所示：又G为线段BE的中点，则GH∥BC，且12GHBC=.又AD∥BC且12ADBC=，所以GH∥,ADGHAD=，所以四边形ADHG是平行四边形

，所以AG∥DH.又AG平面,CDEFDH平面CDEF，所以AG∥平面CDEF.（2）以C为坐标原点，CBCD､所在直线分别为xy､轴，过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则有(

)()()()()33330,2,0,2,0,0,0,3,3,0,1,3,1,2,0,0,,,1,,2222DBEFAHG.则()()131,,,0,1,3,0,1,322DGDEDF=−==−

，设平面EDG的一个法向量为()111,,mxyz=，则有()()11111,,0,1,330mDExyzyz==+=，()1111111313,,1,,02222mDGxyzxyz=−=−+=.

令11z=，得113xy==−，故()3,3,1m=−−.设平面FDG的一个法向量为()222,,nxyz=，则有()()22222,,0,1,330nDFxyzyz=−=−+=，()2222221313,,1,,02222nDGxyzxyz=−=−+=.

令21z=，得220,3xy==，故()0,3,1n=.所以27cos,772mnmnmn−===−.所以二面角EDGF−−的正弦值为2742177−−=.17．(1)22145xy−=(2)为定值

，且定值为15−【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解，（2）由题意，设直线PQ的方程为(3)ykx=−，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出12kk即可．【详解】（1）设𝑀(𝑥,𝑦)，M到定直线4:3lx

=的距离为,d则32MFd=，故()2233423xyx−+=−，平方后化简可得22145xy−=，故点M的轨迹E的方程为：22145xy−=（2）由题意，()()2,0,2,0AB−,设直线PQ的方程为(3)ykx=−，1(Px,1)y，2(Qx,2)y，由22(3)5420y

kxxy=−−=，可得2222(54)2436200kxkxk−+−−=，所以21222445kxxk+=−，2122362045kxxk+=−．则1112ykx=+，2222ykx=−，所以112121212221211

212(2)(3)(2)236(2)(3)(2)326kyxxxxxxxkyxxxxxxx−−−−−+===+−+−+−2222222212121222121222223436202463()6454545343()563620564545xkkkxxxxx

xkkkxkxxxxxkxkk+−+−+−+++−−−==−++−+−+−−−2222222222222121012101454550601210555()4545kkxxkkkkxxkk−−−−−−===

−−−+−−−−；当直线PQ的斜率不存在时，:3PQx=，此时1215kk=−，综上，12kk为定值．18．(1)证明见解析(2)26,53−−【分析】（1）证明()()2fxfx=−，即可说明曲线𝑦=𝑓(𝑥)是轴对

称图形；（2）首先求出()322423gxxxxa=+−++，然后将问题转化为ya=与()322423hxxxx=−−+−的图象在3,3−上有三个交点，结合ℎ(𝑥)的图象即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）由函数()()22log22fxxx=−+，定义域为R，则()

()()()22222log2222log22fxxxxx−=−−−+=−+，因此可得()()2fxfx=−，故函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于1x=，即曲线𝑦=𝑓(𝑥)是轴对称图形.（2）由()()323322222222242333fxgxxxaxx

xxaxxxa=+−+=−++−+=+−++，若函数()()32223fxgxxxa=+−+在3,3−上有三个零点，则方程()3224203gxxxxa=+−++=在3,3−上有三个实根，即324223axxx−+=−−在3,3−上有三个实根，令()322423hxxxx

=−−+−，则ya=与ℎ(𝑥)的图象在3,3−上有三个交点，又()()()2224221hxxxxx=−−+=−+−，当32x−−或13x时，ℎ′(𝑥)<0，则ℎ(𝑥)在)3,2−−和(1,3上单调递减，当2<<1x−时，ℎ′(𝑥)>0，则ℎ(𝑥)在

()2,1−上单调递增，又()()()()3222622242233h−=−−−−+−−=−，()322111141233h=−−+−=，()()()()32233343253h−=−−−−+−−=−，()322333432173h=−−+−=−，因此可得ℎ(𝑥)的图象如图

所示，结合图象，要使ya=与ℎ(𝑥)的图象在3,3−上有三个交点，则实数a的取值范围为26,53−−.19．(1)2和5为两个质数“理想数”(2)m的值为12或18(3)证明见解析【分析】（1）根据“理想数”

概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9mam=−必为奇数，则m必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a=

，所以2为“理想数”；33110+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116+=，而41612=，故5是“理想数”；37122+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140+=，

而4058=，故13不是“理想数”；317152+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158+=，而58292=，故19不是“理想数”；2和5为两个质数“理想数”；（2）由题设可知9mam=−必为奇数，m必为偶数，存在正整数p，使得9

2pmm=−，即9921pm=+−：921p−Z，且211p−，211p−=，或213p−=，或219p−=，解得1p=，或2p=，1991821m=+=−，或2991221m=+=−，即m的值为12或18．（3）显然偶数"理

想数"必为形如()*2kkN的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2kk−，若奇数1m，不妨设(2222,2kkm−，若m为"理想数"，则(*31

12sms+=N，且)2s，即(*213sms−=N，且)2s，①当(*2stt=N，且)1t时，41(31)133ttm−+−==Z；②当()*21stt=+N时，2412(31)133ttm−+−==Z；(*413tmt−=N，且)1t，又22241

223tkk−−，即1344134ktk−−，易知tk=为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2kk−]存在唯一的奇数"理想数"(*413kmk−=N，且)1k，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413kmk−=N，所有的奇数"理想数"的倒数

为()*341kk−N，1133134144441kkk++=−−−1212123111111222521nnnnSbbbbbbb+=+++++++++++++++21111171111124431124+++++=−−，即()*73nS

nN．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.