【文档说明】北京市通州区2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.367 MB，由小赞的店铺上传

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通州区2023—2024学年第一学期高二年级期中质量检测数学试卷本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40

分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线20xy−+=的倾斜角为（）A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】A【解析】【分析】根据解析式可得直线斜率为1k=，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4

=.【详解】设直线的倾斜角为，将直线20xy−+=化为斜截式可得2yx=+，即直线斜率为1k=；所以tan1k==，又)0,π，所以π4=.故选：A2.已知()2,3,1A−−，()6,5,3B−，则AB=（）A.26B.46C.233D.12【答案】D【解析】【分析】由空间向

量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A−−，()6,5,3B−可得()8,8,4AB=−，所以()22288412AB=−++=故选：D3.已知()2,3,1a=−，()1,3,0b=，()0,0,1c=，则

()abc+等于（）A.-4B.-6C.-7D.-8【答案】B.【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a=−，()1,3,0b=，()0,0,1c=，所以(1,3,1)bc+=，则(

)21(3)3116abc+=+−+=−，故选：B4.已知圆1C：222880xyxy+++−=，圆2C：()()222210xy−+−=，则圆1C与圆2C的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含【答案】C【

解析】【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C化为标准方程可得()()221425xy+++=，即圆心()11,4C−−，半径

15r=；由()()222210xy−+−=可知圆心()22,2C，半径210r=；此时圆心距为()()2212212435CC=+++=，1212510,510rrrr+=+−=−；显然1212122rrCCrr−+<<，即两圆相交.故选：C

5.设直线1l：240axy+−=，2l：()120xay+++=.则“1a=”是“12ll//”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出12ll/

/时a的值，即可判定.【详解】因为直线1l：240axy+−=，2l：()120xay+++=，的故12ll//时，有(1)20aa+−=，解得1a=，或者2a=−，当1a=时，1l：240xy+−=

，2l：220xy++=，12ll//；当2a=−时，1l：2240xy−+−=，即20xy−+=，2l：20xy−+=，则两直线重合，故12ll//时，1a=，则“1a=”是“12ll//”的充要条件，故选：C

.6.已知ABCD为矩形，4,1,ABAD==点P在线段CD上，且满足APBP⊥，则满足条件的点P有（）A.0个B.1个C.2个D.4个【答案】C【解析】【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示平面直角坐标系,设出P点坐标，算出,APB

P坐标，由APBP⊥得到0APBP=，构建方程求解即可.【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0AB,因为点P在线段CD上，所以可设()(),1,04Ptt，所以()(),1,4,1APtBPt==−,又APBP⊥，所以0APB

P=，可得4t=()410tt−+=，解得；23t=，即满足条件的点P有2个.故选：C.7.如图，四面体ABCD中，ABa=，ACb=，ADc=，M为BD的中点，N为CM的中点，则AN=（）的A.111444abc++B.111442a

bc++C.111222abc++D.111424abc++【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，以,,abc为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知ANAMMN+=，由M为BD的中点，N为CM的中点可得()12AMMNABADN

C+=++，即()()()111222ANABADNCABADNAACacNAb++=+++=+=++，即()12ANacNAb=+++，所以()122ANacb=++，即111424ANabc=++.故选：D8.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，

N分别为BC，AD的中点，则AM和CN夹角的余弦值为（）A.23B.33C.13D.23−【答案】A【解析】【分析】根据正四面体性质取BN的中点为P，即可知AMP即为异面直线AM和CN的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦

定理即可求得结果.【详解】连接BN，取BN的中点为P，连接,APMP，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得32AMCNBN===，又,MP分别是,BCBN的中点，所以//MPCN，且1324MPCN==，所以AMP即为异面直线AM和CN的夹角的平面角，又易知BNAN⊥，

且1324PNBN==，所以221374164APANPN=+=+=，因此337241616cos333224AMP+−==，即AM和CN夹角的余弦值为23.故选：A9.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，4ABAD==，122AA=，60BAD=，1145

DAABAA==，AC与BD相交于点O.则1OA的长为（）A.3B.2C.22D.23【答案】B【解析】【分析】把111122OAAAABAD=−−两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OAAAAOAAABAD=−=−−,所以221111|

|22OAAAABAD=−−22111111442AAABADAAABAAADABAD=++−−+2211844224224442222=++−−+4=,则12OA=，即1OA的长为2,故选：B.10.过直线1yx=−上一点P作圆()2252xy−+=两条切线

1l，2l，切点分别为A，B，当直线1l，2l关于1yx=−对称时，线段PA的长为（）A.4B.22C.6D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P的连线垂直于直线1yx=−，利用这一关系即可

求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C,连接CP,因为直线1l，2l关于直线1yx=−对称，所以CP垂直于直线1yx=−，故5122,2CP−==而||2AC=,则22||6PACPCA=−=,故选：C.第二部分（非选择题共

110分）的二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为_____________.【答案】2−【解析】【详解】由两点间斜率计算公式可得42201

k−==−−，故答案为2−.12.在正三棱柱111ABCABC-中，12ABAA==，则直线1AA到平面11BBCC的距离为_______【答案】3【解析】【分析】先作出直线1AA上的点到平面11BBCC的垂线段，然后利用

勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABCABC-中，在底面ABC内作ADBC⊥，因为平面11BBCC⊥底面ABC，平面11BBCC底面ABCBC=，所以AD⊥平面11BBCC，因为11AACC∥，1AA

平面11BBCC，1CC平面11BBCC，所以1AA∥平面11BBCC，所以AD即为直线1AA到平面11BBCC的距离，因为ABC为等边三角形，且2AB=，所以直线1AA到平面11BBCC的距离为413AD=−=.故答案为：3.13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知()2,0,0AB=，()0

,2,0AC=，()0,0,2AD=.则CD与CB的夹角的余弦值为___________；CD在CB的投影向量a=___________.【答案】①.12##0.5②.()1,1,0−【解析】【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD与CB

的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB=，()0,2,0AC=，()0,0,2AD=，所以()0,2,2CDADAC=−=−，()2,2,0CBAB

AC=−=−，所以41cos,22222CDCBCDCBCDCB===，CD在CB的投影向量为()cos,1,1,0CBCDCDCBCB=−.故答案为：12；()1,1,0−.14.若直线yxb=

+与曲线21yx=−恰有一个公共点，则实数b的一个可能取值是_________.【答案】1−（答案不唯一）【解析】【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b的值，数形结合可得答案.【详解】曲线21yx=

−表示圆心在原点，半径为1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线yxb=+在2l和3l之间移动或与半圆相切，即处于1l的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线yxb=+在3l时，经过点(1,0)，所以1b=-，当直线yxb=+在2l时，经过点()1,0−，所以1b=，当直线与半圆相切时

，||12b=，所以2b=，或者2b=−（舍），故2b=或者11b−.故答案为:1.−15.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P满足1BPBCBB=+，其中0,1，0,1.给

出下列四个结论：①所有满足条件的点P组成的区域面积为1；②当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值；③当1=时，点P到1AB距离的最小值为1；④当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB⊥平面1ABP.则所有正确结论的序号为__________.【答案】①②③【

解析】【分析】对于①，根据条件得点P在正方形11BCCB内，即可判断；对于②，点P在线段11BC上，从而点P到平面1ABC的距离为定值，1ABCS△为定值，从而三棱锥1PABC−的体积为定值；对于③，点P在线段1CC上，当点P与C重合时，BP即为P到1AB距离的最小值为1

，从而判断；对于④，由题点P在线段EF上，当1AB⊥平面1ABP时，可得1//AEAB，与1AEABA=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BPBCBB=+，0,1，

0,1，所以点P在正方形11BCCB内（包括正方形），而正方形11BCCB的面积为1，故①正确；对于②，1=时，1BPBCBB=+，所以1111,BPBBBCBPBCBC−===,故点P在线段11BC上，由题易得11//BC

平面1ABC,所以11BC上的点到平面1ABC的距离都相等，又1122122ABCS==,所以三棱锥1PABC−的体积为定值，故②正确；对于③，1=时，1BPBCBB=+，所以111,BPBCBBCPBBCC−===,所以点P在线段1CC上，连接BP,由题意可得

，BC⊥平面11ABBA,1AB平面11ABBA,1BCAB⊥,当点P与C重合时，BP即为P到1AB距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12=时，112BPBCBB=+，取1BB的中点E,1CC的中点F,则点P在线段EF上，若1AB⊥

平面1ABP，则AP平面1ABP,必有1ABAP⊥,因为PE⊥平面11ABBA，1AB平面11ABBA，所以1PEAB⊥,APPEP=,所以1AB⊥平面APE，则有1ABAE⊥,又11ABAB⊥,所以1//

AEAB,与1AEABA=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知直线1:280lxy+−=，直线2:20lxy−+=，设直线1l与2l的交点为A，点P的坐标为()2,0.（1）求点

A的坐标；（2）求经过点P且与直线1l平行的直线方程；（3）求以AP为直径的圆的方程.【答案】（1）()2,4（2）240xy+−=（3）()()22224xy−+−=【解析】【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出

直线1l的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020xyxy+−=−+=解得24xy==，所以直线1l与2l的交点为()2,4A.【小

问2详解】由1:280lxy+−=得直线1l的斜率为2−，又点P的坐标为()2,0，所以经过点P且与直线1l平行的直线方程为()22yx=−−，即240xy+−=.【小问3详解】因为()2,4A，()2,0P，所以AP的中点坐标为()2,2

，22AP=，所以以AP为直径圆的方程为()()22224xy−+−=.17.已知直线10xy−+=，圆22:420Cxyxym+−−+=.（1）若直线与圆相交，求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A，B两点.（i）求

线段AB的垂直平分线的方程；（ii）若2AB=，求m的值.【答案】（1）(),3−（2）（i）30xy+−=（ii）52m=【解析】【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）

（i）由题意线段AB的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii）由弦长222ABrd=−列式求解即可.【小问1详解】由22420xyxym+−−+=得()()22215xym−+−=−，所以当5m时，2242

0xyxym+−−+=表示以()2,1为圆心，以5m−为半径的圆，由于直线10xy−+=与圆相交，所以圆心到直线的距离211252dm−+==−，的所以3m，即实数m的取值范围为(),3−.【小问2详解】（i）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1−，所以线段AB

的垂直平分线的方程为()12yx−=−−，即30xy+−=.（ii）由于圆心到直线的距离21122−+==d，2AB=，所以由222ABrd=−得2252m=−−，解得52m=.18.如图，在五面体ABCDEF中，平

面ABCD为正方形，平面ABFE平面CDEFEF=，ADED⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD平面ABFE；（2）若1EFED==，2CDEF=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平

面ADE与平面BCF夹角的大小.条件①：CDEA⊥；条件②：2CF=.【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【解析】【分析】（1）根据条件知//ABCD，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即

可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，所以//ABCD,又CD平面ABFE，AB平面ABFE,故//CD平面ABFE；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CDAD⊥,因为CDEA⊥，EAADA=,EA

平面ADE,AD平面ADE,所以CD⊥平面ADE,因为DE平面ADE,所以CDDE⊥,则以D为坐标原点，分别以,,DADCDE所在直线为,,xyz轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EFED==，22CDEF==，所以(0,

0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),DABCE则(2,0,0)BC=−,由(1)知，//CD平面ABFE，CD平面CDEF,又平面ABFE平面CDEFEF=,所以//CDEF,所以12EFCD=,所以(0,1,1),F即(0,1

,1)FC=−.因为CD⊥平面ADE,所以平面ADE的法向量为(0,2,0)DC=,设平面BCF的法向量为(,,)nxyz=，则200nBCxnFCyz=−==−=，令1,y=则(0,1,1)n=，设平面ADE与平面BCF夹角

为，则22cos222nDCnDC===,又π02，则π,4=即平面ADE与平面BCF夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD平面ABFE，CD平面CDEF,又平面ABFE平面CDEFEF=,所以//CDEF,过点F作/

/FGED,交CD于点G,则四边形EFGD为平行四边形，又1EFED==，2CDEF=，则1,1FGEDCGCDDG===−=,又因为2CF=，则222CFFGCG=+,故π2FGC=,即CGFG⊥，则CDDE⊥,则以D为坐标原点，分别以,,DADCDE所在直线为,,x

yz轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EFED==，22CDEF==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),DABCE则(2,0,0)BC=−,又12EFCD=,所以(0,1,1),F即(0,1,1)FC=−.因为CD⊥平面ADE,所以

平面ADE的法向量为(0,2,0)DC=,设平面BCF的法向量为(,,)nxyz=，则200nBCxnFCyz=−==−=，令1,y=则(0,1,1)n=，设平面ADE与平面BCF夹角为，则22cos222nDCnDC===,又π02，则π,

4=即平面ADE与平面BCF夹角的大小为π.419.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,,,EFGH分别是棱AB，11BC，11CD，1DD的中点.（1）求证：,,,EFGH四点共面；（2）求1BD与平面EFGH所成角的正弦值；（3）求点1B到平面EFGH的距离.【答案

】（1）证明见详解（2）13（3）36a【解析】【分析】（1）取1BB的中点,M连接,,EMFMHM，先证,,,HMFG四点共面，再证,,,HMGE四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH的法向量，1

DB与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB的中点,M连接,,EMFMHM,因为,,,EFGH分别是棱AB，11BC，11CD，1DD的中点，易得11//HMBD,11//GFBD,所以/

/HMGF,所以,,,HMFG四点共面，又1111//,//,//EMABHGDCABDC,所以//EMHG，则,,,HMGE四点共面，而过不共线的的三点,,HMG的平面具有唯一性，则平面HMFG与平面EMGH重合，

故,,,EFGH四点共面.【小问2详解】以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222aaa

BaaaDEaFaaGa，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22aaDBaaaGFGEaa===−，设(),,nxyz=是平面EFGH的法向量，则00022000aanGFxyxyxznGEaxaz

=+=+=−==−=，取1x=,则1,1.yz=−=所以(1,1,1)n=−，所以1BD与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin,cos,333nDBanDBnDBan

DB====【小问3详解】由（2）知平面EFGH的法向量(1,1,1)n=−，又1,0,02aFB=所以点1B到平面EFGH的距离为()1001112363aFBnan−

==，，，，，即1B到平面EFGH的距离为3.6a20.已知四边形ABCD为正方形，O为AC，BD的交点，现将三角形BCD沿BD折起到PBD位置，使得PAAB=，得到三棱锥PABD−.（1）求证：平面PBD⊥平面ABD；（2）棱PB上是否存在点G，使平面ADG与

平面ABD夹角的余弦值为31111？若存在，求PGGB；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G，且1PGGB=【解析】【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面A

DG与平面ABD的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD为正方形，所以OAOBOCOD===，,OCOBOAOB⊥⊥，所以折起后，OAOBOPOD===，OPOB⊥，由于折起前有222OA

OBAB+=，且折起后PAAB=，所以折起后有222OAOPPA+=，即OPOA⊥，又OPOB⊥，OAOBO=，,OAOB平面ABD，所以OP⊥平面ABD，又OP平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABD.【小问2详

解】由（1）知OPOB⊥，OPOA⊥，OAOB⊥，所以以O为原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，设1OA=，则()1,0,0A，()0,1,0B，()0,1,0D−，()0,0,1P，则()1,1,0AD=−−，()0,1,1PB=−，()1,0,1AP=−，假设存在

满足题意的点G，设()()0,,01PGPB==−，则()1,,1AGAPPG=+=−−，设平面ADG的法向量为(),,nxyz=，则·0·0ADnAGn==，即()010xyxyz−−=−++−=，令1x=，得1y=−，11z+=−，即11,1,1

n+=−−，易知平面ABD的一个法向量为()0,0,1m=，因为平面ADG与平面ABD夹角的余弦值为31111，所以213111cos,11121nmnmnm+−===++−，解得12=，所以在棱PB上存在点G，使平面ADG与平面ABD夹角的余弦值为

31111，且G为棱PB的中点，所以1PGGB=.21.长度为6的线段PQ，设线段中点为G，线段PQ的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.（1）求点G的轨迹方程；（2）设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别

为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线HB与直线AD交于点M，直线CH与直线=3y−交于点N.试判断直线MN与BD的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1）229xy+=；（2）//MNBD，证明见解析.【解析】【分析】（1）

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,ABCD四点的坐标，联立直线HB与直线AD的方程求出点M的坐标，联立直线CH与直线=3y−的方程求出N的

坐标，再利用坐标求出MNk并与BDk进行比较即可.【小问1详解】在RtPOQ中，因为G是线段PQ的中点，所以1||||32OGPQ==，所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆，所以G的轨迹方程为229xy+=.【小问2详解】//MNBD，证明如下：依题意，下列各点

坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)ABCD−−，直线AD的方程为3yx=−−.因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)Hxyxy，且22009xy+=.设直线HB的方程为00(3)3yyxx=−−，00(3)33yyxxyx=−

−=−−，解得0000000339363yxxxyyyxy−+=+−−=+−，即00000003396()33yxyMxyxy−+−+−+−，.设直线CH的方程为0033yyxx−=+，00333yyxxy−=+=−，

解得00633xxyy−=−=−，即006(3)3xNy−−−，.所以000000000633339633MNyxykyxxxyy−++−=−+++−−0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)yxyyyxyxxy−++−−=−+−++−2000022

0000039392xyyxxyyxx−−+=−+++200002200000391392(9)xyyxxyyxy−−+==+−−+−，又03130BDMNkk+===−，所以//MNBD.