【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题7.8 复数全章综合测试卷（基础篇） Word版含解析.docx，共(10)页，33.370 KB，由小赞的店铺上传

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第七章复数全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023·高一课时练习）下列命题中正确的是（）．A．(−i)2=−1；B．−i2=−1；

C．若x，𝑦∈𝐂，则𝑥+𝑦i=1+i的充要条件是𝑥=𝑦=1；D．若𝑧∈𝐂，则𝑧2>0．【解题思路】根据复数的运算法则即可判断结果．【解答过程】(−i)2=i2=−1，故A正确；−i2=−(−1)=1，故B错误；若x，𝑦∈𝐂，若𝑥=𝑦=1有�

�+𝑦i=1+i；若𝑥=i,𝑦=−i有𝑥+𝑦i=i−i2=1+i；故𝑥=𝑦=1是𝑥+𝑦i=1+i的充分不必要条件，C错误；若𝑧∈𝐂，取𝑧=i则𝑧2=−1<0，故D错；故选：A.2．（

5分）（2023秋·福建龙岩·高三期末）已知复数𝑧=(1+i)+𝜆(1−i)是纯虚数,则实数𝜆=（）A．－1B．1C．－2D．2【解题思路】对复数进行化简,根据纯虚数的定义列出方程求解即可.【解答过程】𝑧=(1

+i)+𝜆(1−i)=1+𝜆+(1−𝜆)𝑖,根据题意得{1+𝜆=01−𝜆≠0,解得𝜆=−1.故选:A.3．（5分）（2023·高一课时练习）以下不满足复数12−√32i的三角形式的是（）．A．cos(−π3)+isin(−π3

)；B．cos(5π3)+isin(5π3)；C．cos(π3)+isin(π3)；D．cos(11π3)+isin(11π3)．【解题思路】逐一计算每个选项即可得答案.【解答过程】对于A：cos(−π3)+isin(−π3)=12−√32i，符合；对于B：cos(

5π3)+isin(5π3)=12−√32i，符合；对于C：cos(π3)+isin(π3)=12+√32i，不符合；对于D：cos(11π3)+isin(11π3)=12−√32i，符合;故选：C.4．（5分）（202

2·全国·高三专题练习）设(2−i)𝑎=(−4𝑏+2i)𝑏，其中𝑎,𝑏为实数，则（）A．𝑎=−2,𝑏=1B．𝑎=2,𝑏=−1C．𝑎=1,𝑏=−2D．𝑎=−1,𝑏=2【解题思路】化简(2−i)𝑎=

(−4𝑏+2i)𝑏可得2𝑎−𝑎i=−4+2𝑏i，然后利用“实对实，虚对虚”即可求解.【解答过程】因为(2−i)𝑎=(−4𝑏+2i)𝑏，所以2𝑎−𝑎i=−4+2𝑏i，故{2𝑎=−4−𝑎=2𝑏，解得𝑎=−2，𝑏=1.故选：A.5．（5分）（20

22春·黑龙江·高一期中）已知i为虚数单位，复数𝑧=1+i，则下列命题不正确的是（）A．𝑧的共轭复数为𝑧=1−iB．𝑧的虚部为iC．𝑧在复平面内对应的点在第一象限D．|𝑧|=√2【解题思路】根据复数的定义和几何意义解决即可.【解

答过程】由题知，复数𝑧=1+i=(1,1)的共轭复数为𝑧=1−i，虚部为1，在复平面内对应的点为(1,1)在第一象限，|𝑧|=√2，故B错误,故选：B.6．（5分）（2023秋·河南郑州·高三期末）已知在复平面内，复数

z所对应的点为(1,4)，则𝑧2−3i=（）A．−1013+1113iB．1013+1113iC．−1013−1113iD．1013−1113i【解题思路】先得复数𝑧，再进行除法运算即可.【解答过程】依题意，𝑧2−3i=1+4i2−3i=(1+4i

)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=−1013+1113i．故选：A.7．（5分）设复数𝑧1=−1+i,𝑧2=12+√32i，则arg𝑧1𝑧2=（）A．1312𝜋B．712𝜋C．512𝜋D．−512𝜋【解题思路】由复数𝑧1=−1+i,𝑧2=12+√32i，

利用复数的除法得到𝑧1𝑧2=√2(√6−√24+√6+√24i)，再转化为三角形式求解.【解答过程】解：因为复数𝑧1=−1+i,𝑧2=12+√32i，所以𝑧1𝑧2=(−1+i)(12−√32

i)(12+√32i)(12−√32i)，=√3−12+√3+12i，=√2(√6−√24+√6+√24i)，=√2(cos5𝜋12+sin5𝜋12i)，所以arg𝑧1𝑧2=5𝜋12，故选：C.8．（5分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数1−i是关于𝑥的方

程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0(𝑝,𝑞∈R)的一个根，则|𝑝+𝑞i|=（）A．4B．√5C．2√2D．2√3【解题思路】将1−i代入方程，利用复数相等得到方程组解出𝑝,𝑞，再利用模长公式求解即可.【解答过程】由题意可得(1−i)2+𝑝(1−i)

+𝑞=0，即1−2i+i2+𝑝−𝑝i+𝑞=0，所以𝑝+𝑞−(𝑝+2)i=0，所以{𝑝+𝑞=0𝑝+2=0，解得{𝑝=−2𝑞=2，所以|𝑝+𝑞i|=|−2+2i|=√(−2)2+22=2√

2，故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）以下四种说法正确的是（）A．i9=iB．复数𝑧=3−2i的虚部为−2C．若z=(1+i)2，则复平面内𝑧对应的点位于第二

象限D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数【解题思路】利用复数的乘方运算计算判断A，C；利用复数的意义判断B；利用复数的几何意义判断D作答.【解答过程】对于A，i9=(i2)4⋅i=i，A正确；对于B，复数𝑧=3−2i的虚部为−2，B正确；对于C，𝑧=(1+i)2=2i，则𝑧=−2

i，复平面内𝑧对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：ABD.10．（5分）（2022秋·河南许昌·高三阶段练习）已知复数z满足𝑧−2i=𝑧i+4，则下列说法中正确的是（）A．复数z的模为√10B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限

C．复数z的共轭复数为−1+3iD．(𝑧−13)2023=−i【解题思路】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【解答过程】因为𝑧−2i=𝑧i+4，所以(1−i)𝑧=4+2i，𝑧=4+2i1−i=2(1+i)(2+i)(1+i)(1−i)=1+3i，有|𝑧|=√11+32=√10，

故A正确；复数𝑧在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故B错误；复数𝑧的共轭复数为𝑧=1−3i，故C错误；因为(𝑧−13)2023=i2023=−i，故D正确，故选:AD.11．（5分）（2022春·福建三明·高一期末）设复数𝑧=12+√32i，其中i是虚数单

位，下列判断中正确的是（）A．𝑧+𝑧̅=1B．𝑧2=𝑧̅C．z是方程𝑥2−𝑥+1=0的一个根D．满足𝑧𝑛∈𝑅最小正整数n为3【解题思路】由共轭复数的定义写出𝑧̅，应用复数加法、乘方运算判断A、B；在复数域内求𝑥2−𝑥+1=0的根判断C；应用复数的三角

表示有𝑧=cos𝜋3+isin𝜋3，即可判断𝑧𝑛∈𝑅最小正整数n判断D.【解答过程】由题设，𝑧̅=12−√32i，则𝑧+𝑧̅=1，𝑧2=(12+√32i)2=√32i−12≠𝑧̅，所以A正确，B错误；由𝑥2−𝑥

+1=0的根为𝑥=1±√3i2，故z是该方程的一个根，C正确；由𝑧=12+√32i=cos𝜋3+isin𝜋3，则𝑧𝑛=cos𝑛𝜋3+isin𝑛𝜋3，故最小正整数n为3时，𝑧𝑛=−1∈R

，正确.故选：ACD.12．（5分）（2022春·江苏常州·高一期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式ei𝜃=cos𝜃+isin𝜃（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是

（）A．e3i表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B．ei𝜋+1=0C．(12+√32i)3=−1D．cos𝜃=𝑒i𝜃+𝑒−i𝜃2【解题思路】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【解答过程】解：对于A：e3

i=cos3+isin3，因为𝜋2<3<𝜋，所以sin3>0，cos3<0，所以e3i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；对于B：ei𝜋+1=cos𝜋+isin𝜋+1=−1+1=0，故B正确；对于C：(12+√32i)3=(

cos𝜋3+isin𝜋3)3=(e𝜋3i)3=e𝜋i=cos𝜋+isin𝜋=−1，故C正确；对于D：由𝑒i𝜃=cos𝜃+isin𝜃，𝑒−i𝜃=cos(−𝜃)+isin(−𝜃)=cos𝜃−isin𝜃

，所以𝑒i𝜃+𝑒−i𝜃=2cos𝜃，所以cos𝜃=𝑒i𝜃+𝑒−i𝜃2，选项D正确；故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·高三课时练习）复数4+3i与−2−5i在复平面上对应的向量分别为𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗，则向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是−6−8i.【解题思路】根据给定条件，求出𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗、𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，进而求出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的坐标即可作答.【解答过程】因为复数4+3i与−2−5i在复平面上对应的向量分别为𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗与𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(4,3)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−5)，因此𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(−6,−8),所以向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是−

6−8i.故答案为：−6−8i.14．（5分）（2023·高一课时练习）把复数−1−i（i为虚数单位）改写成三角形式为√2(cos5π4+isin5π4)．【解题思路】根据复数三角表示的定义求解即可.【解答过程】由题可得𝑟=√(−1)2+(−1)2=√2

，tan𝜃=−1−1=1且𝜃在第三象限，所以辐角的主值为5π4，所以−1−i=√2(cos5π4+isin5π4)，故答案为：√2(cos5π4+isin5π4).15．（5分）（2022春·河南濮阳·高一阶段练习）设复数𝑧满足(1+i)𝑧=2i，则|𝑧|=√2．【解题思

路】根据对数的除法运算求解复数𝑧，即可求得模长|𝑧|.【解答过程】解：复数z满足(1+i)𝑧=2i，则𝑧=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i，所以|𝑧|=√12

+12=√2.故答案为：√2.16．（5分）（2022春·河南信阳·高一阶段练习）下面给出的几个关于复数的命题，①若(𝑥2−4)+(𝑥2+3𝑥+2)i是纯虚数，则实数𝑥=±2②复数(𝑎2+1)i(

𝑎∈𝑅)是纯虚数③复数𝑧=−sin100°+icos100°在复平面内对应的点𝑍位于第三象限④如果复数𝑧满足|𝑧+i|+|𝑧−i|=2，则|𝑧−2i−1|的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是②③.

【解题思路】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【解答过程】对于①，因为(𝑥2−4)+(𝑥2+3𝑥+2)i为纯虚数，所以{𝑥2−4=0𝑥2+3𝑥+2≠0，解得𝑥=2，故①错误；对于②，因为𝑎∈R，所以𝑎2+1≠0，所以(𝑎2+1)i是纯虚数，故②正确；对于③

，因为−sin100°<0，cos100°<0，所以𝑧=−sin100°+icos100°在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，|𝑧+i|+|𝑧−i|=2表示复数z对应的点Z到点𝐴(0,−1)和到点𝐵(0,1)的距离之和，又因为|�

�𝐵|=2，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而|𝑧−2i−1|表示点Z到点𝑃(1,2)的距离，所以其最小值为|𝑃𝐵|=√(1−0)2+(2−1)2=√2，故④错误．故答案为：②③．四．解答题（共6

小题，满分70分）17．（10分）（2022春·上海浦东新·高一期末）已知复数𝑧满足𝑧+|𝑧|=1−2i，求复数𝑧.【解题思路】设𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈R)，根据已知条件列方程，求得𝑎,𝑏，

进而求得𝑧.【解答过程】设𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈R)，所以|𝑧|=√𝑎2+𝑏2，代入方程得𝑎+𝑏i+√𝑎2+𝑏2=1−2i，由复数相等的条件得{𝑎+√𝑎2+𝑏2=1𝑏=−2，解得𝑎=−32,𝑏=−2

，所以𝑧=−32−2i.18．（12分）（2023·高一课时练习）计算．(1)(1+i)(1−i)+(−1+i)；(2)(1−2i)(2+i)(3−4i)．【解题思路】（1）由复数的乘法与加法法则计算；（2）由复数的乘法法则计算．【解答过程】（1）(1+i)(1−i)+(−1+i

)=1+1+(−1+i)=1+i；（2）(1−2i)(2+i)(3−4i)=(2+i−4i−2i2)(3−4i)=(4−3i)(3−4i)=12−16i−9i+12i2=−25i.19．（12分）（2022·高一课时练习）求下列复

数的模和辐角主值.(1)𝑧=(1−√3i)5；(2)𝑧=12(cosπ4−isinπ4).【解题思路】直接求出复数的模，然后根据其对应的点可得辐角主值.【解答过程】（1）(1−√3i)5=25(12−√32i)5=32×(

cos5π3+isin5π3)5=32(cos25π3+isin25π3)=32(cosπ3+isinπ3)，∴复数z的模为32，辐角主值为π3.（2）𝑧=12(cosπ4−isinπ4)=√24−√24i，则复数的模|𝑧|=√(√24)2+(√24)2

=12.设辐角为𝜃，则tan𝜃=−1，∵点𝑍(√24,−√24)在第四象限，∴tan𝜃=tan7π4，𝜃=7π4+2𝑘π(𝑘∈𝑍)，∴arg𝑧=7π4.20．（12分）（2022·全国·高一专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)𝑧1=2(cos1

112𝜋+isin1112𝜋)；(2)𝑧2=12(cos23𝜋−isin23𝜋)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．【解题思路】(1)由复数的三角形式的特征判断即可；(2)由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和

辐角可得答案；(3)由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案.【解答过程】(1)解：𝑧1=2(cos1112𝜋+isin1112𝜋)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)解：由“加号连”知，不

是三角形式．𝑧2=12(cos23𝜋−isin23𝜋)=−14−√34i，模𝑟=12，cos𝜃=−12.复数对应的点在第三象限，所以取𝜃=4𝜋3，所以𝑧2=12(cos43𝜋+isin43𝜋)；(3)解：由“模非负”知

，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(c

osθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．21．（12分）（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知复数𝑧=(𝑚2−3𝑚+2)+(𝑚2−4𝑚+3)i，𝑚∈R．(1)若z是实数，求m的值．(2)若z是纯虚数，求m

的值．(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；【解题思路】（1）由复数的概念可得𝑚2−4𝑚+3=0，解出即可得到结果；（2）由复数的概念可得{𝑚2−3𝑚+2=0𝑚2−4𝑚+3≠0，解出即可得到结果；（

3）根据复数的几何意义，可得{𝑚2−3𝑚+2>0𝑚2−4𝑚+3<0，解出不等式组即可得到结果.【解答过程】（1）因为𝑧为实数，所以𝑚2−4𝑚+3=0，解得𝑚=1或𝑚=3.（2）因为𝑧是纯虚数，所以有{𝑚2−3𝑚+2=0𝑚2

−4𝑚+3≠0，解得𝑚=2.（3）因为𝑧对应复平面上的点在第四象限，所以有{𝑚2−3𝑚+2>0𝑚2−4𝑚+3<0，解得2<𝑚<3.22．（12分）（2023·高一课时练习）设复数𝑧1是方程𝑥2−

6𝑥+25=0的一个根．(1)求𝑧1；(2)设𝑧2=𝑎+i（其中i是虚数单位，𝑎∈𝑅），若𝑧2的共轭复数𝑧2满足|𝑧1⬚3⋅𝑧2|=125√5，求𝑧22．【解题思路】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可

得𝑎=±2，进而即得.【解答过程】（1）因为𝑥2−6𝑥+25=0，所以Δ=(−6)2−4×25=−64，所以𝑥=6±√64i2=3±4i，所以𝑧1=3+4i或𝑧1=3−4i；（2）由𝑧2=𝑎+i，可得𝑧2=𝑎−i，当

𝑧1=3+4i时，|𝑧1⬚3⋅𝑧2|=|(3+4i)3⋅(𝑎−i)|=125√5，所以125√𝑎2+1=125√5，解得𝑎=±2，当𝑎=2时，𝑧22=(2+i)2=3+4i，当𝑎=−2时，𝑧22=(−2+i)2=3−4i.