【文档说明】山东省烟台市2022-2023学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.102 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1sin600=（）A.32−B.12−C.12D.32【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】()()3sin600s

in360240sin240sin18060sin602=+==+=−=−.故选：A.2.函数()3lnfxxx=−的零点所在的区间为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C【解析】【

分析】根据零点存在性定理()()0fafb，()3lnfxxx=−在()0,+为单调递减函数，结合()20f，()30f即可求解.【详解】依题意，函数()3lnfxxx=−定义域为()0,+，而

3yx=在()0,+为单调递减函数，lnyx=−在()0,+为单调递减函数，因为3e4，所以32e2，即32e12所以()33223e2ln2lneln2ln022f=−=−=，()3e3ln31ln3lneln3lnln1033f=−=−=−==，.的所以()()230ff

，所以由零点存在性定理可知，函数()3lnfxxx=−在区间()2,3有零点.故选：C.3.函数()12xfxa−=−（0a且1a）的图象过定点（）A.（0，－2）B.（0，－1）C.（1，－2）D.（1，－1）【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的定义，令10x−

=即可求解.【详解】依题意，因为()12xfxa−=−（0a且1a），所以令10x−=，解得：1x=，所以()110122121faa−=−=−=−=−，所以函数()12xfxa−=−（0a且1a）的图象过定点()1,1-.故选：D.4.下

列函数中最小正周期为，且在区间0,2上单调递增的是（）A.sinyx=B.sinyx=C.cosyx=D.cosyx=【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期性与单调性即可求解.【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：2π2ππ1T==，所以AC选项

不符合题意；对于B：sinyx=周期为：πT=，且在0,2上单调递增，所以B选项符合题意；对于D：cosyx=周期为：πT=，且在0,2上单调递减，所以D选项不符合题意；故选：B.5.已知为第二

象限角，1sincos2+=−，则sincos−=（）A.32B.32−C.72D.72−【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到cos0，sin0，再由同角三角函数基本关系，即可求出结

果.【详解】因为是第二象限角，所以cos0，sin0，又1sincos2+=−，所以21(sincos)4+=，即221sin2sincoscos4++=，得32sincos4=−，所以()23

7sincossincos12sincos142−=−=−=+=.故选：C.6.已知sin2a=，sin22b=，()2logsin2c=，则a，b，c的大小关系为（）A.c<a<bB.abc

C.cbaD.bac【答案】A【解析】【分析】确定01a，1b，0c，得到大小关系.【详解】0sin21a=，sin20221b==，()22logsin2log10c==，给bac.故选：A7.物体冷却时的温度变化

可用以下公式来刻画：设环境温度为o0CT，物体的初始温度是o1CT，经过tmin后物体的温度为oCT，则()0102ktTTTT=+−．现将一杯o90C的热茶放在o20C的房间中冷却，假设经过10min热茶降温到o5

5C，那么继续．．降温到o41C还需要的时间约为（结果精确到0.1，参考数据：lg20.301，lg30.477）（）A.6.4minB.6.6minC.7.4minD.7.6min【答案】C【解析】【分析】带入数据计算得到110k=−，得到等式10325t−

=，结合参考数据计算得到答案.【详解】根据题意：()10552090202k=+−，解得110k=−，()412055202tk=+−，即10325t−=，23lg3lg5lg31lg210log10107.45lg2lg2t−−+=−=−=−.故选：C8.若()()22,2lo

g,2aaxaxfxxaxx−=−在(),−+上单调递增，则实数a的取值范围为（）A.3,14B.31,2C.（1，2）D.(1,2【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性特点列不等式，考虑复合函

数单调性，对数函数单调性解不等式即可列不等式求得实数a的取值范围.【详解】解：若()()22,2log,2aaxaxfxxaxx−=−在(),−+上单调递增，则()22012202222log22aa

aaaaaa−−−解得312a，即实数a的取值范围为31,2.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.

已知函数()πtan4fxx=+，则（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx的定义域为ππ,Z4xxkk+C.若()1f=，则πk=（Zk）D.()fx在其定义域上是增函数【答案】ABC【解析】【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域

、单调区间即可求解.【详解】A：()πtan4fxx=+，函数()fx的最小正周期为ππ1T==，故A正确；B：由πππ,Z42xkk++，得ππ,Z4xkk+，所以函数()fx的定义域为ππ,Z4xxkk+，故B正确；C：()πta

n14f=+=，得πππ,Z44kk+=+，解得π,Zkk=，故C正确；D：πππππ,Z242kxkk−+++，解得3ππππ,Z44kxkk−++所以函数()fx在3πππ,π44kk−++

上单调递增，故D错误.故选：ABC.10.设正数0ab，0c且1c，则（）A.ccabB.0abc−C.loglogccabD.()log0cab−【答案】AB【解析】【分析】根据指数函数和对数函数性质判断即可．【详解】A．因为0ab，所以1ab，又因

为0c，故1cab，由此可得ccab，故A正确；B．因0ab，所以0ab−，又因为0c，可得0abc−，故B正确；C．根据对数函数性质可知，当底数大于1时，函数单调递增，当底数大于0小于1，函数单调递减，若01c，则loglogccab，故C

错误；D．根据对数函数性质可知，当01c，()1ab−时()log0cab−，故D错误．为故选：AB．11.设函数()()sinsinfxxx=，则（）A.()fx是偶函数B.2π是()fx的一个周期C.函数()()1gxfx=−存在无数个

零点D.存在()0π,πx−，使得()00fx【答案】AC【解析】【分析】求出()fx−即可判断A项；求出()2πfx+即可判断B项；当π2π,2xkk=+Z时，有()1fx=，即可说明C项；当0πx时，可求出0sinπxxx.进而根据偶

函数的性质即可判断D项.【详解】对于A项，()fx定义域为R.又()()()()()sinsinsinsinfxxxxxfx−=−−==，所以()fx是偶函数，故A项正确；对于B项，()()()()()()2πsin2πsin2πsinsin2πsinfxxxxxxfx+=++=+，所以2π不是

()fx的一个周期，故B项错误；对于C项，因为kZ时，有πsin2π12k+=，又πππ2πsin2π2π222kkk++=+，所以()1fx=有无数多个解，所以函数()()1gxfx=−存在无数个零点，故C项正确；对于D项，当0

πx时，有0sin1x，所以0sinπxxx.所以有()0fx在()0,π上恒成立.又()00f=，()fx是偶函数，所以，当ππx−时，有()0fx恒成立，故D项错误.故选：AC.12.在平面直角坐标系xOy中，角以

坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点()00,Pxy，()0OPrr=，定义()00yxr+=，()00yxvr−=，则（）A.π24=B.()的最大值为2C.()()

222v+=D.()()πv−=【答案】ACD【解析】【分析】计算()sincos=+，()sincosv=−，代入数据计算A正确，()2，B错误，计算得到()()222v+=，C正确，根据诱导公式得到D正确，得到答案.【详解】()00sincossinc

osyxrrrr++===+，()00sincossincosyxrrvrr−−===−，对选项A：πππsincos2444=+=，正确；对选项B：()πsincos2sin24=+=+，错误；

对选项C：()()()()()222222sincossincos2sincos2v+=++−=+=，正确；对选项D：()()()()πsinπcosπsincosv−=−+−=−=，正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分．13.函数1lgyx=−的定义域为（用区间表示）______．【答案】(0,10【解析】【分析】根据根式的意义和对数函数的概念可得1lg0x−且0x，解之即可.【详解】由1lg0x−且0x，解得01

0x，所以函数()fx的定义域为(0,10].故答案为：(0,10].14.若函数()sinfxx=在区间ππ,46−上单调递增，则实数的取值范围为______．【答案】(0,2【解析】【分析】确定0，ππ,46x−

，根据单调性得到ππ62ππ42−−，解得答案【详解】当0时，()sinfxx=在区间ππ,46−上不可能单调递增，排除；当0时，ππ,46x−，则ππ,46x−，则ππ62ππ42−−，解得

2；综上所述：(0,2故答案为：(0,215.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，且它们的终边关于直线yx=对称，若2cos3=−，则2tansin的值为______．【答案】56−【解析】【分析】根据同角的三角函数平方关系求出2sin，结

合商的关系求出2tan，根据对称性可得sincos=，即可求解.【详解】由2cos3=−，得225sin1cos9=−=，则22sin5tancos4==，因为和的终边关于直线yx=对称点，所以2sincos3==−，所以2525tansin436=

−=−.故答案为：56−.16.给定函数()yfx=，若在其定义域内存在()000xx使得()()00fxfx−=−，则称()fx为“函数”，0x为该函数的一个“点”．设函数()()ln2,0lne

,0xxxgxax−−=−，若1n2是()gx的一个“点”，则实数a的值为______；若()gx为“函数”，则实数a的取值范围为______．【答案】①.3②.)22,+【解析】【分析】（1）根据对数函数的概念可得1a，结合新定义函数可得ln2ln2ln(e)ln(e

)aa−−=−−，解之即可；（2）根据新函数的定义可知当00x时00x−，有()00lnexa=−−，当00x时00x−，有00ln2ln(e)xxa−+=−，分别得002e+exxa=和0012e+exxa=，结合指数函数的性质

和基本不等式即可求解.【详解】由题意知，当0x时，e0e1xxaa−，由新定义的函数知，ln20，则()ln(e)xgxa=−，有(ln2)(ln2)gg−=−，即()ln20lnea=−−，解得3a=；若函数()gx为“函数”，则存在00(0)xx使

得()()00gxgx−=−，当00x时，00x−，()00ln2lnexxa−=−−，即()00ln2lnexxa−+=−，得00ln2e=exxa−+−，即00e=2exxa−−，得00002e2

e2e22exxxxa−=+=，当且仅当002eexx=即01ln22x=时等号成立.；当00x时，00x−，00ln2ln(e)xxa−+=−，即002eexxa−=−，得0000112e+22e22eexxxxa==，当且仅当0012eexx=即01ln22x=−时等号成

立.所以a的取值范围为)22,+.故答案为：3；)22,+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）()214323816log3log4−−+；（2）已知ta

n2=，求π3πcossin22+−的值．【答案】（1）4（2）25【解析】【分析】（1）直接利用指数幂和对数的运算法则计算得到答案.（2）根据诱导公式化简，再利用齐次式计算得到答案.【小问1详解】()214323231816log3log442log3lo

g22242−−+=+=+=【小问2详解】222π3πsincostan2cossinsincos22sincostan15+−====++18.勒洛三角形是由1

9世纪德国工程师勒洛在研究机械分类时发现的．如图1，以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形ABC．受此启发，某数学兴趣小组绘制了勒洛五边

形．如图2，分别以正五边形ABCDE的顶点为圆心、对角线长为半径，在距离该顶点较远的另外两个顶点间画一段圆弧，五段圆弧围成的曲边五边形就是勒洛五边形ABCDE．设正五边形ABCDE的边长为1．（1）求勒洛五

边形ABCDE的周长1l；（2）设正五边形ABCDE外接圆周长为2l，试比较1l与2l大小，并说明理由．（注：π51cos54+=）【答案】（1）()51π2+（2）12ll，理由见解析【解析】【分析】（1）先运用正多边形内角和公式求出π5DAC=，再利用三角形

内角和公式求出π2π25DACADC−==，在DAC△中运用正弦定理即可求出AC的长度，再用弧长公式即可求解；（2）根据正多边形性质与外接圆的性质求出2π5AOB=，再利用余弦定理即可求得半径OA，代入圆的周长公式即可求得外接圆的周长，用作差法即可比较大小.【小问1详解】依题意

，因为五边形ABCDE为正五边形且边长为1，所以()52π3π55EAB−==，EADDACCAB==,所以3EABDAC=，所以π5DAC=，在DAC△中，1DC=，π2π25DACAD

C−==，由正弦定理得：sinsinACDACDACCD=，所以sinsinDCACADCDAC=12πsinπ5sin5=1ππ2sincosπ55sin5=π2cos5=5151242++==，所以劣弧()51ππ515210DCDACAC++===，所

以勒洛五边形ABCDE的周长：()()151π51π5102l++==.【小问2详解】12ll，理由如下：如图所示：作出正五边形ABCDE外接圆，由（1）知，易得π5AEB=，所以由圆心角与圆周角的关系得：2π25AOBAEB==，在AOB中，1AB=，OAOB=

，2π5AOB=，由余弦定理得：2222cosABOAOBOAOBAOB=+−，即22π121cos5OA=−，因为π51cos54+=，所以222ππ5151cos2cos1215544+−=−=−=，所以22515512142OAOA−−=

−=，所以5510OA+=，所以正五边形ABCDE外接圆周长为：25510252π=2ππ105lOA++==，因为()25110255502510++−−=，所以22120ll−，所以12ll.19.已知函数()()ππ2sin0,

22fxx=+−的最小正周期为π，且其图象经过点()0,3−．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）设()π,πx−，求不等式()1fx的解集．【答案】（1）π5ππ,π,1212kkkZ−++（2）3π

5ππ7π,,412412−−【解析】【分析】（1）先根据条件列式求得参数，进而用整体法求单调递增区间即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性解不等式.【小问1详解】由最小正周期为得2π2T==，

由图象经过点()0,3−得()02sin322f==−−，解得3=−.故()π2sin23fxx=−.故()fx的单调递增区间为πππ22π,2π,322xkkkZ−−++，

即π5ππ,π,1212xkkkZ−++【小问2详解】(),x−，则π7π5π2,333x−−，由()π2sin213fxx=−得π1sin232x−，∴π11π7ππ5π2,,36

666x−−−，∴3π5ππ7π,,412412x−−∴不等式()1fx的解集为3π5ππ7π,,412412−−..20.

地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且330t）有关：当发车时间间隔达

到或超过．．．．．15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1700人；当发车时间间隔不超过．．．15分钟时，地铁载客量h与1525tt−+成正比．假设每辆列车的日均车票收入325hyt=（单位：万元）．（1）求y关于t的

函数表达式；（2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值．【答案】（1）2903012,315204,1530?tttytt−+=（2）当6t=时有最大值为292【解析】【分析】（1）考虑1530t和315t两种情

况，代入数据计算50k=，得到解析式.（2）考虑1530t和315t两种情况，根据函数的单调性和二次函数性质，分别计算最值，比较得到答案.【小问1详解】当1530t时，1700h=，320425hytt==；当315t时，1525hkt

t=−+，且当15t=时，152155170015hk=−+=，解得50k=，155025htt=−+，2390301225hyttt==−+，故2903012,315204,1530?tttytt

−+=【小问2详解】当1530t时，204yt=，当15t=时有最大值为685；当315t时，2290301129129062yttt=−+=−−+，当6t=时有最大值为292.综上所述：当6t=时有最大值为292.21.已知函数()()2log4xf

xtkx=++（t，Rk，且0t）为偶函数．（1）求t和k的值；（2）讨论函数()()Rfxmm=的零点个数．【答案】（1）11tk==−（2）讨论见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数定义()(

)=fxfx−列式，化简即可找出t和k的值；（2）将零点问题转化为()yfx=与ym=两个函数的交点问题，再利用()yfx=的单调性及其值域求解.【小问1详解】解：因为()fx为偶函数，所以()()=fxfx−，即()()2

2log4log4xxtkxtkx−++=+−，化简得242log4xxtkxt−+=+，即24244xkxkxxtt−+==+，化简得()1444xkxxxtt++=+，当1t=时，41kxx+=，即0kxx+=，则1k=−；【小问2详解】由（1）知：()()2log41xfxx=

+−，即()21log22xxfx=+，当)0,x+时，令2xn=，)1,n+，()2211loglog21fnnnnn=+=，当且仅当1nn=，即1n=时，等号成立，人去)12,1,nn+，且12nn，则()121212

121212111nnyynnnnnnnn−−=+−+=−，因为)12,1,nn+，所以1210nn−；又因为12nn，所以120nn−，则120yy−，即12yy，所以1ynn=

+在)1,n+上单调递增，根据复合函数同增异减性质可知()fx在)0,x+单调递增，因为()fx为偶函数，所以()fx在(),0x−单调递减，则()min1fx=.当1m时，()()Rf

xmm=没有零点；当1m=时，()()Rfxmm=有一个零点；当1m时，()()Rfxmm=有两个零点.22.已知函数()()()()29cosπ2sinπ8afxaxxa=−−+−R，且当0,πx时，()fx的最大值为14．（1）求a的值；（2）设函数()

πcos6gxbx=+，若对任意的10,πx，总存在2ππ,32x−，使得()()12fxgx=，求实数b的取值范围．【答案】（1）2（2）11,,22−−+【

解析】【分析】（1）整理可得()2sin2sin8afxaxx=−+−，利用换元法结合二次函数的性质运算求解；（2）先求()fx值域，根据题意可得()fx值域是()gx值域的子集，分类讨论运算求解.【小问1

详解】∵()()()2299cosπ2sinπcos2sin88aafxaxxaxx=−−+−=+−()2291sin2sinsin2sin88aaaxxaxx=−+−=−+−，令sin0,1tx=，则228ayatt=−+−在0,1上的最大

值为14，且109|2,|88xxaayy===−=−，则91284184aa−−，解得149a，当149a时，则228ayatt=−+−的开口向下，对称轴为()10,1ta=，故当1ta=时，228ayatt=−+−取到最大值

18aa−，则1184aa−=，解得2a=或4a=−（舍去），故a的值为2.【小问2详解】由（1）可得：()212sin2sin4fxxx=−+−，令sin0,1tx=，则21224ytt=−+−的开口向下，对称轴为12t=，故当0=t或1t=时，21224ytt

=−+−取到最小值14−，故()fx在0,π上的值域11,44A=−，又∵ππ,32x−，则ππ2π,663x+−，故π1cos,162x+−，设()gx在ππ,32−上值域为B，若对任意的10,πx，

总存在2ππ,32x−，使得()()12fxgx=，则AB，当0b=时，则0B=，显然不成立，0b=不合题意，舍去；当0b时，则1,2Bbb=−，可得141124bb−−，解得12b；的当0b时，则1,2Bbb

=−，可得141124bb−−，解得12b−；综上所述：实数b的取值范围为11,,22−−+.【点睛】方法点睛：三角函数值域(最值)的三种求法（1）

直接法：利用sinx，cosx的有界性直接求．（2）单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)．（3）换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsin

xcosx＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com