【文档说明】北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，2.418 MB，由小赞的店铺上传

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大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷

上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.椭圆22194xy+=的长轴长为（）A.4B.5C.6D.9【答

案】C【解析】【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由22194xy+=可得29a=，则26a=.故选：C.2.双曲线22142xy−=的渐近线方程为（）A.yx=B.22yx=C.2yx=D.12yx=【答案】B【解析】【分析】直接由渐近线的定义即可得

解.【详解】由题意双曲线22142xy−=的渐近线方程为22042xy−=，即22yx=.故选：B.3.若直线l的方向向量为()2,1,m，平面的法向量为11,,22，且l⊥，则m=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解

析】【分析】由l⊥可知，直线l的方向向量与平面的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l的方向向量为()2,1,m，平面的法向量为11,,22，且l⊥，∴直线l的方向向量与平面的法向量平行，则存在实数使()12,1,1,,22m=，∴2112

2m===，解得2,4m==，故选：D.4.两条平行直线0xy−=与10xy−−=间的距离等于（）A.22B.1C.2D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.【详解】两条平行直线0xy−=与10xy−−=，由两平行线间的距离公式

可知，所求距离为()2012211d+==+−．故选：A．5.过点()1,0且被圆22(2)1xy++=截得的弦长最大的直线方程为（）A.220xy+−=B.220xy−−=C.210xy+−=D.21

0xy−−=【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.【详解】由题意可知：圆22(2)1xy++=的圆心为()0,2−，显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线

，可得直线方程为112xy+=−，即220xy−−=.故选：B.6.圆221:2Cxy+=与圆222:(2)(2)2Cxy−+−=的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D【解析】【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.【详解

】圆221:2Cxy+=的圆心1(0,0)C，半径12r=，圆222:(2)(2)2Cxy−+−=的圆心2(2,2)C，半径22r=，显然1212||22CCrr==+，所以圆1C与2C外切.故选：D7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目

标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：9079661819252719328124585696834312573930275564

88730113537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次概率为（）A.310B.720C.25D.920【答案】B【解析】【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率．【详解】所给数据中有1

81，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次，所以概率为720P=．故选：B．的8.若方程221343xymm+=−−表示双曲线，则实数m的取值范围为（）A()4,3,3−+B.4,33C.()4

,3,3−−+D.4,33−【答案】A【解析】【分析】根据题意得到()()3430mm−−，再解不等式即可.【详解】依题意，()()3430mm−−，则43m或3m.故选：A9.已知1

2,FF是双曲线221:18yCx−=与椭圆2C的左､右公共焦点，A是12,CC在第一象限内的公共点，若121FFFA=，则2C的离心率是（）A.35B.25C.13D.23【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义、椭圆定义以

及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.【详解】由221:18yCx−=知1,22,813abc===+=，所以12126FFFAc===，∵12||||22FAFAa−==，∴24FA=，∴1210FAFA+=，∵12||6FF=，∴2C的离心率是63105e=

=.故选：A..10.平面内与定点()()12,0,,0FaFa−距离之积等于2(0)aa的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当22a=时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论不正确的是（）A.曲线C关于原点对称B.满足12PFPF=的点P有且只有一个C.4OPD.若直线ykx

=与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为()1,1−【答案】D【解析】【分析】由题意得当22a=时的双纽线方程为()()2222216xyxy+=−，对于A，用(,)xy−−替换方程中的(,)xy即可判断；对于B，令12PFPF=，求出

点P的坐标即可验证；对于C，由()2222221616xyxyxy−+=+即可判断；对于D，由方程()()22221161kxk+=−无零解，即可得解.【详解】根据双纽线的定义可得()()22222xayxaya++−+=，当22a=时，曲线C：(

)()222222228xyxy++−+=，即()()2422228864yyxx+++−=，整理，得()()2222216xyxy+=−，对于A，用(,)xy−−替换方程中的(,)xy，原方程不变，所以曲线C关

于原点中心对称，故A正确；对于B，若12PFPF=，则()()22222222xyxy++=−+，所以0x=，此时288y+=，即0y=，所以满足12PFPF=的点P有且只有一个，即()0,0，故B正确；对于C，由()

()2222216xyxy+=−，得()2222221616xyxyxy−+=+，所以曲线C上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故C正确；对于D，直线与曲线C一定有公共点()0,0，若直线与曲线C只有一个

交点，将ykx=代入方程()()2222216xyxy+=−中，得()()224221161kxkx+=−，当0x时，方程()()22221161kxk+=−无零解，则210k−，解得1k或1k−，故D

错误.故选：D.【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是首先一定有公共点()0,0，然后通过化简方程组得方程()()22221161kxk+=−无零解，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二､

填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果事件A与事件B互斥，且()0.2PA=，()0.3PB=，则()PAB＝．【答案】0.5【解析】【分析】()PAB表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求

解．【详解】()()0.20.3)0.5(PAPBPAB=+=+=【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．12.经过原点()0,0且与直线3450xy++=垂直的直线方程为______

____.【答案】430xy−=【解析】【分析】与直线3450xy++=垂直的直线方程可设为：430xyb−+=，再将()0,0代入即可得出答案.【详解】与直线3450xy++=垂直的直线方程可设为：430xyb−+=，又因为经过原点()0,0，所以

0b=.所求方程为430xy−=故答案为：430xy−=.13.已知双曲线222:1(0)yCxmm−=是等轴双曲线，则C的右焦点坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】①.()2,0②.1【解析】【分析】根据等轴双曲线的概念求得m，即可得焦

点，再根据点到直线的距离可得结果．【详解】双曲线222:1(0)yCxmm−=是等轴双曲线，则21m=，1m=，222112cab=+=+=，则2c=，则则C的右焦点坐标为()2,0，双曲线的渐近线方程为yx=，即0xy=，则焦点()2,0到

渐近线的距离2111d==+，故答案为：()2,0，1．14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线2:8Cyx=，一条光线经过()8,6M−

，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过()08,Ny射出，则0y=________，光线从点M到N经过的总路程为________．【答案】①.83②.20【解析】【分析】由点N与点Q的纵坐标相同和韦达定理可得0y，利用抛物线的定义可求得总路

程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为P，第二次射到抛物线上的点记为Q，易得9,62P−，因为()2,0F，所以直线PF的方程为125240xy+−=．联立28125240yxxy=+−=消去x整理得23104

80yy+−=，可设()00,Qxy，显然6−和0y是该方程的两个根，则0616y−=−，所以083y=．（方法一）光线从点M到N经过的总路程为()()()||||||4420MPPQNQMNMPPQQNxxxxxxxx++=−++++−=++=．（方法二）设抛

物线的准线为l，则其方程为2x=−，分别过点P，Q做准线l的垂线，垂足分别为G，H，则PFPG=，QFQH=，所以PQPFQFPGQH=+=+，故光线从点M到N经过的总路程为828220MPPQQNMGNH++=+=+++=．故答案为：83；20.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日

发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为122,,2FF分别为椭圆的左､右焦点，,AB为椭圆上两个动点.直线l的方程为220bxayab+−−=.给出下列四

个结论：①C的蒙日圆的方程为2223xyb+=；②在直线l上存在点P，椭圆C上存在,AB，使得PAPB⊥；③记点A到直线l的距离为d，则2dAF−的最小值为433b；④若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为26b.其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④

【解析】【分析】由(),Qab在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,ab关系，由此可知①正确；由l过(),Pba且(),Pba在蒙日圆上，可知当,AB恰为切点时，PAPB⊥，知②正确；根据椭圆定义可将2||dAF−转化为12dAFa+−，可知1FAl⊥时，1||dA

F+取得最小值，由点到直线距离公式可求得1||dAF+最小值，代入可得2||dAF−的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212xy

b+=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．【详解】对于①，过(),Qab可作椭圆的两条互相垂直的切线：,xayb==，∴(),Qab在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为2222xyab+=+，由22212cbeaa==−=，得

222ab=，∴C的蒙日圆方程为2223xyb+=，故①正确；对于②，由l方程知：l过(),Pba，又(),Pba满足蒙日圆方程，∴(),Pba在圆2223xyb+=上，当,AB恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PAPB⊥，故②正确；对于③，∵A在椭圆上，∴12||

||2AFAFa+=，∴211||(2||)||2dAFdaAFdAFa−=−−=+−，当1FAl⊥时，1||dAF+取得最小值，最小值为1F到直线l的距离，又1F到直线l的距离22222122|||2|4333bcabbbbdbbab−−−−−−=

==+，∴2min43(||)23dAFba−=−，故③错误；对于④，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，∴矩形MNGH对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为,mn，则22212mnb+=

，∴矩形MNGH的面积22262mnSmnb+==，当且仅当6mn==时取等号，即矩形MNGH面积的最大值为26b，故④正确.故答案为：①②④．的【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点()

,ab在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两直线1l：80mxyn++=和2l：210xmy+−=，（1）若

1l与2l交于点(,1)Pm−，求,mn的值；（2）若12ll//，试确定,mn需要满足的条件．【答案】（1）1,7mn==（2）当4,2mn=−或4,2mn=−时，【解析】【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；（2）根据平行列出方

程，解出4m=，再排除重合的情况即可.【小问1详解】将点(,1)Pm−代入两直线方程得：280mn−+=和210mm−−=，解得1,7mn==.【小问2详解】由12ll//得：28204mm−==，又两直线不能重合，所以有8(1)0nm−−，对应得2n，所以当4,2mn=−或4,

2mn=−时，12ll//．17.已知椭圆22:143xyC+=与经过左焦点1F的一条直线交于,AB两点.（1）若2F为右焦点，求2ABF△的周长；（2）若直线AB的倾斜角为π4，求线段AB的长.【答案】（1）8（2）247【解析】【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由

题意结合左焦点1F的坐标以及直线AB的倾斜角为π4，可得直线AB的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意2a=，由椭圆定义有121224,24AFAFaBFBFa+==+==，所以2ABF△的周长为221212448ABAFBFAFAFBFBF

++=+++=+=.【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，由题意直线AB的斜率为πtan14k==，22431cab=−=−=，即()11,0F−，所以直线AB的方程为1yx=+，将它与椭圆方程22143xy+=联立得221431

xyyx+==+，消去y并化简整理得27880xx+−=，显然0，由韦达定理得121288,77xxxx+=−=−，所以线段AB的长为()2222121212832241142777ABkxxkxxxx=+−=++−=−+=

.18.已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分

析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得

到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d12−−=

a.据题意，d＝|AC|，则221(2)(12)2−−=−+−aaa，解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d2=，则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0

符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离221+=+kk1，∴k34=−，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱

AB的中点，2,22,2ABACBCAD====.（1）证明：ACBD⊥；（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值；（3）在线段BD上是否存在一点P，使得直线PC与平面DCM所成角的正弦值为66？若存在，求BPBD的值；若不

存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）223（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得ABAC⊥，由AD⊥平面ABC得ADAC⊥，从而AC⊥平面ABD，进而得出结论；（2）以A为坐标原点，以,

,ABACAD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD与平面DCM的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BPBD=，则BPBD=，求得22,0(,2)P−，设直线PC与平面DCM所成角为，由题意sincos,PCnP

CnPCn==，列式求解即可.【小问1详解】∵2,22ABACBC===，∴222ABACBC+=，∴ABAC⊥，∵AD⊥平面ABC，AC平面ABC，∴ADAC⊥，∵ABADA=，,ABAD平面ABD，∴AC⊥平面ABD，∵BD平面ABD，∴ACBD⊥.【小问2详解】以A为坐标

原点，以,,ABACAD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)ABCDM，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BCCDCM=−=−=−,设平面BCD的法

向量为111(,,)mxyz=，由1111220220mBCxymCDyz=−+==−+=，令11x=，则111,1==yz，(1,1,1)m=，设平面DCM的法向量为222(,,)nxyz=，由222222020nCDyznCMxy

=−+==−=，令21y=，则222,1xz==，(2,1,1)n=，∴422cos,336mnmnmn===，∴平面BCD和平面DCM夹角的余弦值为223.【小问3详解】设()01BPBD=，则BPBD=，设(,,)Pxyz，则()()2,,2,0

,2xyz−=−，得22,0,2xyz−=−==，∴22,0(,2)P−，()22,2,2PC=−−，平面DCM的法向量为(2,1,1)n=，设直线PC与平面DCM所成角为，由题意，2226sin

cos,68886PCnPCnPCn−====−+，∴210+=，此方程无解，∴在线段BD上是不存在一点P，使得直线PC与平面DCM所成角的正弦值为66.20.已知抛物线2:2(0)Cypxp=，过C的焦点F且垂直于x轴的直线交C于不同的两点

,PQ，且4PQ=.（1）求抛物线C的方程；（2）若过点()0,2M的直线l与C相交于不同的两点,,ABN为线段AB的中点，O是坐标原点，且AOB与MON△的面积之比为3:1，求直线l的方程.【答案】（1）24yx=（2）123=+yx或2yx=−+

【解析】【分析】（1）由题意可得直线,PQ方程，进而可得2PQp=，可求得p值，即可得答案.（2）设直线l的方程为2(0)ykxk=+，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点N的横坐标Nx，AB，求出O到直线l距离d，由A

OB与MON△的面积的关系列式求出k，可得答案.【小问1详解】抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点,02pF，则,PQ两点所在的直线方程为：2px=，代入抛物线2:2(0)Cypxp=，得22yp=，yp=，则||24PQp==，故2p=，∴抛物线C的方程为24.

yx=【小问2详解】由题意，设直线l的方程为2(0)ykxk=+，1122(,),(,)AxyBxy，联立224ykxyx=+=，得22(44)40kxkx+−+=，∴22(44)1632160kkk=−−=−+，解得12k且0k，121222444,kxxxxkk−+=

=，∴点N的横坐标为122222Nxxkxk+−==，∴212222212222(1)(12)(1)[()4](1)[44416()]kkAkxxxxkBkkkk−+−=+−=+−=+O到直线l距离221dk=+，∴AOB的面积2222(1

)(12)1121224142AOBkkkSdkkABk+−−===+△，MON△面积22112222222MNONkkSOMxkk−−===△，由题意3AOBMONSS=，∴22431222kk

kk−=−，整理得23210kk+−=，解得13k=或1k=−，∴直线l的方程为123=+yx或2yx=−+.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上､下顶点为21,BB，左､右焦点为12,FF，四边形1122BFBF是面积为2的正方形.（1）求椭圆C的方程；（2）若P是椭

圆C上异于12,BB的点，判断直线1PB和直线2PB的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；的（3）已知圆2223xy+=的切线l与椭圆C相交于,DE两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，

请说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）是定值，定值为12−（3）过定点，定点为(0,0)【解析】【分析】（1）根据题意列式求,,abc，即可得椭圆方程；（2）设()000,,0Pxyx，根据斜率公式结合椭圆方程分析求解；（3）取特例63x=可知定点应为()0,0，再

对一般情况，利用韦达定理可得0OCOD=，即可得结果.【小问1详解】由题意可得22212222bcbcabc===+，解得211abc===，所以椭圆C的方程为2212xy+=.【小问2详解】是定值，理由如下：设()00

0,,0Pxyx，则220012xy+=，可得()220021xy=−，由（1）可知：()()120,1,0,1BB−，则()1222000022000011111221PBPByyyykkxxxy+−−−====−−，所以直线1PB和直线2PB的斜率之积是定值12−.【

小问3详解】由题意可知：圆2223xy+=的圆心为()0,0，半径为63，因为613，可知圆2223xy+=在椭圆内，可知切线l与椭圆C相交，①当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆M相切，故切线方程为63x=，若切线方程为63x=代入椭圆方程可得，可得66,33C

，66,33D−，则以CD为直径的圆的方程为226233xy−+=；若切线方程为63x=−代入椭圆方程可得，可得66,33C−，66,33D−−，则以CD为直径圆的

方程为226233xy++=；联立方程222262336233xyxy−+=++=，解得00xy==，即两圆只有一个交点()0,0，若存在定点，则定点应为(

)0,0；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，则2||631mdk==+，整理得222(1)3mk=+，联立方程2212ykxmxy=++=，消去y得222(21)4220kxkmxm+++−=，设(

)11,Cxy，()22,Dxy，则122421kmxxk−+=+，21222221mxxk−=+，所以22221212121222()()()21mkyykxmkxmkxxkmxxmk−=++=+++=+，所以()2222

121222212232202121kkmkOCODxxyykk+−−−−=+===++即0OCOD=，所以以CD为直径的圆经过定点(0,0)O；的综上可知，以CD为直径的圆过定点(0,0)．【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法（1）动

直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt=+，由题设条件将t用k表示为tmkn=+，得()ykxmn=++，故动直线过定点(),mn−；（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲

线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点；2．求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系

数等于零，得出定值；（3）得出结论．