【文档说明】四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.002 MB，由管理员店铺上传

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成都市实验外国语学校高三10月月考数学试题总分：150考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Rx，使210xx+−=

”的否定是（）A.Rx，使210xx+−B.不存在xR，使210xx+−=C.Rx，使210xx+−D.Rx，使210xx+−【答案】D【解析】【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“Rx，使210xx+−=”的否定是Rx，使210xx+−

.故选：D.2.已知等差数列na的前n项和为nS，若21024aa+=，且36a=，则8S=（）A.60B.72C.120D.144【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式计算即得.【详解】在等差数列na中，6210224aaa=+

=，解得612a=，所以188368()4()4(612)722aaSaa+==+=+=.故选：B3.若24loglog2mn+=，则2mn=（）A3B.4C.9D.16【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算性质化简给

定式子求解即可.【详解】因24loglog2mn+=，所以221loglog22mn+=，.为故得12222logloglog4mn+=，化简得1222loglog4mn=，所以124mn=，故21

6mn=，故D正确.故选：D.4.底面半径为3，侧面展开图的扇形圆心角为2π3的圆锥侧面积为（）A.9πB.6πC.43πD.33π【答案】A【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图求圆锥的母线长，进而求侧面积.【详解】因为圆锥的底面半径为3r=，则侧面展开图的弧长为23π，又

因为侧面展开图的圆心角为2π3，可得圆锥母线长23π332π3l==，所以圆锥的侧面积π9πSrl==.故选：A.5.小王每次通过英语听力测试的概率是23，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（）A.29B.227C.39D.49

【答案】A【解析】【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式求解.【详解】小王每次通过英语听力测试的概率是23，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是21321

2C339P==,故选：A6.已知tan，πtan3−是方程2230xmx+−=的两个根，则m=（）A.23−B.23C.43−D.43【答案】A【解析】【分析】由根与系数的关系得到πtantan23m+−=−，πt

antan33−=，利用正切和差角公式得到等量关系，建立方程，解得结果.【详解】由题意可得：πtantan23m+−=−，πtantan33−=−.又∵nt1πtantananπ3π

3tanta3+−−=−∴3123m=−+，∴23m=−.故选：A7.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用0eKDDII−=表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，DI（单位：坎德拉）和0I（单位：坎德拉

）分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（）（参考数据：ln20.7,ln51.6）A.0.2B.0.18C.0.1D.0.14【答案】B【解析】【分析】理解题

意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得.【详解】依题意得，5040%eKDII−==，化成对数式，25lnln2ln50.95K−==−−，解得，0.18K.故选：B.8.已知函数()22log,01204xxfxxxx=++

，，方程()fxa=有四个不同根1234,,,xxxx，且满足1234xxxx，则221323432xxxxxx+−的取值范围是（）A.)22,+B.12922,8C.9,2+D.9129,28【答案】D【解析】【分析】做出函数大致图像，由对

称性得12,xx关系，对数函数的性质的34,xx的关系，从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围.【详解】作出函数图像可得1222+=−xx，2324loglogxx−=从而得341xx=，且(23

log1,2x−，从而得(312,4x，∴()22231221323432233311222xxxxxxxxxxxx++−=−=+，∵令232312yxx=+，∵(312,4x，∴(2314,16x令231tx=，则()(2,4,16ftttt=+∵()ft在()2,+单调

递增，∴()9129,28ft∴9129,28y．故选：D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.函数ysincostansincos

tanxxxxxx=++的值可能为()A.﹣3B.3C.1D.﹣1【答案】BD【解析】【分析】按照角x所在的象限进行分类讨论即可得到答案．【详解】当x是第一象限角时：sincostansincostanxxxyxxx=++=1＋1＋1

＝3，当x是第二象限角时：sincostansincostanxxxyxxx=++=1﹣1﹣1＝﹣1，当x是第三象限角时：sincostansincostanxxxyxxx=++=−1﹣1＋1＝﹣1，当x是第四象限角时：sincostans

incostanxxxyxxx=++=−1＋1﹣1＝﹣1，∴y的可能值为：﹣1，3．故选：BD．10.已知椭圆E：()222210xyabab+=的离心率为23，长轴长为6，F，F分别是椭圆的左、右焦点，()1,1A是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是（）A.6PFPF+=

B.椭圆E的标准方程为22195xy+=C.22AF=D.PAPF+的最大值为62+【答案】ABD【解析】【分析】由题意得出,,abc的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段|𝑃𝐹|转化为2aPF−，变成求PAPF−最大值，从而得出

结果.【详解】由题意可知：2623aca==，解得32ac==，∴26PFPFa=+=，A选项正确；∴2225bac=-=∴椭圆E：22195xy+=，B选项正确；∵()2,0F，∴22112AF=+=，C选项错误

；2262PAPFPAaPFaAF+=+−+=+，当且仅当F在,AP之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确；故选：ABD11.已知()exfxx=，()lngxxx=.若存在1xR，()20,x+，使得()()12fxgxt==成立，则下列结论中正确

的是（）A.当0t时，12xxt=B.当0t时，12elntxxC.不存在t，使得()()12fxgx=成立D.()()fxgxmx+恒成立，则2m【答案】AB【解析】【分析】A选项，转化同构形式12ln1222elnelnxxxxxx==，根据函数(

)exfxx=在()0,+上单调，可得12lnxx=，即12xxt=；B选项，转化为研究函数()lnttt=的最小值问题即可；C选项，特值验证，找到t满足条件即可；D选项，不等式变形、分离参数，转化为e

lnxmx−恒成立问题，构造函数研究最值即可.【详解】选项A，()()12fxgxt==12ln1222elneln0xxtxxxx===，则1220,0,ln0xxx，且12()(ln)0tfxfx==，由()exfxx=，得()()e1xfxx=+，当0x时，()

0fx，则()fx在()0,+上递增，所以当0t时，()fxt=有唯一解，故12lnxx=，1222lnxxxxt==，故A正确；选项B，由A正确，得12lnln(0)tttxxt=，设()lnttt=，则()21lnttt−=，令()0t=，解得et=易知()t在(

0,e上单调递增，在)e,+上单调递减，()()1eet=，12ln1etxx，12elntxx，故B正确；选项C，由()()e1xfxx=+，()ln10gxx=+=，得()110efg−==，

又验证知()111eefg−==−，故存在1et=−，使得()110efg−==，C错误；选项D，由0x，()()fxgxmx+恒成立，即elnxxm−恒成立，令()elnxrxx=−，则()1exrxx=−，由()rx在()0,+上递增，又1e202r

=−，()1e10r=−，存在01,12x，使()00rx=，()rx在()00,x上递减，在()0,x+上递增（其中0x满足001exx=，即00lnxx=−）.()()000001eln2xrxrxxxx=−=+

，要使elnxmx−恒成立，0()mrx，存在02()mrx满足题意，故D错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数

研究问题，即指对同构思想的应用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.i是虚数单位，复数42i1i+=−________．【答案】13i+##3i1+【解析】【分析】根据复数除法法则计算出答案.详解】()()()()2242i1i42i46i2i26i13

i1i1i1i1i2++++++====+−−+−.故答案为：13i+13.已知函数()32fxxx=+，若0m，0n，且()()()210fmfnf+−=，则12mn+的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可知()fx为奇函数，根据单调性可知21mn

+=，然后结合基本不等式即可求解.【详解】函数()fx的定义域为R，且()()()32fxxxfx−=−−=−，所以()fx为奇函数，又()2320fxx+=，所以函数单调递增，又()00f=，所以()()210fmfn+−=，所以210mn+−=，即21m

n+=，所以()12124424428nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当4nmmn=，即12n=，14m=，等号成立，所以12mn+的最小值为8.故答案：8.14.作单位圆的外切和内接正32n边形()1,

2,n=，记外切正32n边形周长的一半．．．．．为na，内接正32n【为边形周长的一半．．．．．为nb.计算可得32tannnna=，其中n是正32n边形的一条边所对圆心角的一半．．．．．．.给出下

列四个结论：①32sinnnnb=；②1111nnnaab+=+；③211nnnbab++=；④记nnncab=−，则n+N，114nncc+.其中正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，在等腰三角形AOB中求出12AB，从而可求出nb，对于②，分

别计算1111,nnnaab++进行判断，对于③，分别计算211,nnnbab++进行判断，对于④，先计算nc，再计算1nncc+化简后，利用换元法，构造函数利用导数可求得结果.【详解】对于①，等腰三角形AOB中，1,2nOAO

BAOB===，则1sin2nAB=，所以32sinnnnb=，所以①正确；对于②，因为32tannnna=，32sinnnnb=，所以11132tannnna+++=，12nn+=，所以1111132tannnna+++=，111111132

tan32sin32tansinnnnnnnnnnab+=+=+cos1132sinnnn+=11cos21132sin2nnn+++=21112cos1322sincosnnnn+++=111cos11132s

in32tannnnnn+++==，所以1211nnnaab+=+，所以②错误；对于③，因为32tannnna=，32sinnnnb=，所以11132tannnna+++=，11132sinnnnb+++

=，12nn+=，所以()21222121132sin92sinnnnnnb+++++==，()()11132tan32sinnnnnnnab+++=211192tansin2nnn+++=211111sin922sincos

cosnnnnn+++++=222192sinnn++=，所以211nnnbab++=，所以③正确；对于④，()32tan32sin32tansinnnnnnnnnnncab=−−=−=，所以11111132(tansin)2(tansin)

32(tansin)tansinnnnnnnnnnnnncc++++++−−==−−11112(tansin)tan2sin2nnnn++++−=−111112sin(1)cos1sin2(1)cos2nnnn

++++−=−111111coscos1cos2coscos2nnnnn+++++−=−111111coscos2coscos(1cos2)nnnnn+++++−=−21121111cos2cos1coscos2sinnnnnn+++++−−=211

2211(1cos)(2cos1)2(1cos)cosnnnn++++−−=−，令1cosnt+=（cos151t），则222232(1)(21)21()2(1)22tttfttttt−−−==−+，所以()

()()()()()()3222332223232324222164223222(1)3()0222222ttttttttttttfttttttt+−−++−−+===+++，所以()ft在[cos15,1)上递增，所以1()(1)4ft

f=，所以114nncc+，所以④正确，故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合应用，考查数列的应用，解题的关键是根据题意利用三角函数表示出na和nb，及三角函数恒等变换公式的灵活应用，

考查计算能力，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()()()3cos2sin22cos20213sin2023xxfxxx−+−+

=+−+，且4()5f=−.（1）求tan的值；（2）若2cos,22=−，求()tan2+的值.【答案】（1）2；（2）7.【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系对函数化简得tan2

()?13tanxfxx−−=−+，然后由4()5f=−可求得tan的值；（2）由2cos,22=−求出sin，则可求得tan，再利用正切的二倍角公式可求得tan2，然后利用两角和的

正切公式可求得结果【详解】（1）()()()3cos2sin22cos20213sin2023xxfxxx−+−+=+−+sin2coscos3sinxxxx−−=−+tan213tanxx−−=−+，由4()5f=−，得tan2413tan5−−

=−−+.所以tan2=（2）若2cos,22=−，则222sin122=−−=，则2sin2tan1cos22===−−由tan2=，得222tan224tan21tan123===−−−，

所以()()()41tan2tan3tan2741tan2tan113−+−++===−−−−.16.注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳

动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田

中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：某种液体肥料每亩使用量x（千克）24568豆角亩产量的增加量y（百千克）34455（1）求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程ybxa

=+．预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？（2）若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：1221niiiniixy

nxybxnx==−=−，aybx=−．参考数据：51112iiixy==，521145iix==.【答案】（1）7492020yx=+，6.65百千克（2）分布列见解析，6()5EX=【解析】【分析】（1）根据公式求出平均值，再求出b，最后平

均值代入求出a即可.（2）根据超几何分布的概率公式求出概率分布列，最后求出期望即可.小问1详解】245+6+8=55x++=，344+5+521=55y++=，5152221215112557514555205iiiiixyxybxx==−−

===−−21749=5=52020aybx=−−，所以7492020yx=+，当12x=时，6.65y=所以预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为6.65百千克.【小问2详解】由表可知，优质试

验田有2亩，所以X的可能取值为0，1，2．33351(0)10CPXC===；122335CC3(1)C5PX===；212335CC3(2)C10PX===.故X分布列为X012【P110353101336()012105105EX=++=

17.已知如图①，在菱形ABCD中，60A=且2AB=，E为AD的中点，将ABE沿BE折起使2AD=，得到如图②所示的四棱锥ABCDE−.（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）若P为AC的中点，求二面角PBDA−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）17.【解析

】【分析】（1）利用题中所给的条件证明AEED⊥，BEDE⊥，因为//BCDE，所以BCBE⊥，BCAE⊥，即可证明⊥BC平面ABE，进一步可得面面垂直；（2）先证明AE⊥平面BCDE，以E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出

平面PBD的一个法向量m，平面BDA的一个法向量n，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：（1）在图①中，连接BD，如图所示：因为四边形ABCD为菱形，60A=，所以ABD△是等边三角形.因为E为AD的中点，所以BEAE⊥，BEDE⊥.又2ADAB==，所以1

AEDE==.在图②中，2AD=，所以222AEEDAD+=，即AEED⊥.因为//BCDE，所以BCBE⊥，BCAE⊥.又BEAEE=，AE，BE平面ABE.所以⊥BC平面ABE.又BC平面ABC，所以平面ABE⊥平面ABC.（2）由（1）知，AEDE

⊥，AEBE⊥.因为BEDEE=，BE，DE平面BCDE.所以AE⊥平面BCDE.以E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E，()0,0,1A，()3,0,0B，

()3,2,0C，()0,1,0D.因为P为AC的中点，所以31,1,22P.所以31,1,22PB=−−uuur，31,0,22PD=−−uuur.设平面PBD的一个法向量为(),,mxyz=

，由00PBmPDm==得3102231022xyzxz−−=−−=.令3z=，得1x=−，3y=−，所以()133m=−−ur，，.设平面BDA的一个法向量为()111nxyz=，，.因为()301BA=−uur，，，()011AD=−uuur，，由00BAnAD

n==得1111300xzyz−+=−=令11x=，3z=，3y=，得()133n=r，，则1331cos,777mnmnmn−−+===−urrurrurr，所以二面角PBDA−−的余弦值为17.【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思

路（1）利用面面垂直的定义，（不常用）（2）利用面面垂直的判定定理；（3）利用性质：//，⊥⊥.18.过双曲线22:1412xyC−=右焦点()4,0F的直线与C的左､右支分别交于点,AB，与圆O：22

4xy+=交于,MN（异于,AB）两点.（1）求直线AB斜率的取值范围；（2）求ABMN的取值范围.【答案】（1）33,00,33−（2）()0,16【解析】【分析】（1）设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,

𝑦2)，直线AB的方程为()40xmym=+，与椭圆联立消x得()223124360mymy−++=，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m范围，即可得解.（2）利用弦长公式求解()22121

31mABm+=−，利用垂径定理求得22341mMNm−=+，从而求得ABMN的表达式，然后设231,8tmt=−，利用二次函数性质求解范围即可.【小问1详解】设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，由题意可得直线

AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为()40xmym=+，与221412−=xy联立得()223124360mymy−++=，所以()221212222436310,Δ14410,,3131mmmyyyymm−=++=−=−−，又,AB两点在

x轴同一侧，所以120yy.此时2310m−，即213m.圆O的方程为224xy+=，点O到直线AB的距离241dm=+，由2d得23m，由221,33,mm得23m，所以3m或3,m−因为直线AB的斜率1km=，所以直线AB斜率的取值范围

是33,00,33−.【小问2详解】由（1）可得()222121212114ABmyymyyyy=+−=++−()222222121243614313131mmmmmm+=+−−=

−−−.22232441mMNdm−=−=+，所以()()()222222216333912143,31311mmmmABMNmmm+−+−==−−+设231,8tmt=−，则()()()2216484321191611632

0,16168ttABMNtttt+−==−−=−++，所以ABMN的取值范围是()0,16.19.已知函数()()1ln1fxaxx=−−．（1）若曲线()yfx=在点()()22f,处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求a的值；（2）若1a=−，证明：()

1fxx+；（3）若()fx在()2,+上有且仅有一个极值点，求正实数a的取值范围．【答案】（1）12−或32（2）证明见详解（3）10,2【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而结合面积列式求解即可；（2）分析可知原不等式等价于()

ln10xx−−，构建()()ln1,1gxxxx=−−，利用导数分析证明；（3）构建()()()()21ln12Fxxxxaxx=−−−+−，分析可知原题意等价于()yFx=有零点，利用导数分析求解.【小问1详解】由题意可知：()yfx=的定义域为()1

,+，且()()2111ln11fxxaxxx=−−+−−，则()20f=，()122fa=−，即切点坐标为()2,0，切线斜率12ka=−，则切线方程为()122yax=−−，令0x=，可得21ya=−，可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12

212122aa−=−=，解得12a=−或32a=，所以a的值为12−或32.【小问2详解】若1a=−，则()()()()1ln111ln1,1xxfxxxxx+−=+−=，若()()()1ln11xxfxxx+−=+，等价于(

)ln10xx−−，设()()ln1,1gxxxx=−−，则()12111xgxxx−=−=−−，令()0gx，解得2x；令()0gx，解得12x；可知()gx在()1,2内单调递减，在()2,+内单调递增，则(

)()220gxg=，即()ln1xx−，所以()1fxx+.【小问3详解】由（1）可知：()()2111ln11fxxaxxx=−−+−−，令()0fx=，整理可得()()21ln1

0xxxax−−−+−=，设()()()()21ln12Fxxxxaxx=−−−+−，则()()()ln1112ln12Fxxaxxax=−−−+−=−−−，因为0a，2x，所以()0Fx，所以函数𝐹(𝑥)在()2,

+上单调递减，且当x趋近于+，()Fx趋近于−，所以只需()20240Fa=−+−，得102a，所以正实数a的取值范围10,2.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数

形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．