【文档说明】吉林省长春市第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题+含答案.docx，共(28)页，1.155 MB，由小赞的店铺上传

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2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知p：2log1x，则p的充

分不必要条件是（）A.2xB.02xC.01xD.03x2.已知正实数a，b满足196ab+=，则()()19ab++的最小值是（）A.8B.16C.32D.363.已知函数22()lg[(1)(1)1]

fxaxax=−+++的值域为R．则实数a的取值范围是（）A.5[1,]3B.5(1,]3C.(5,1(,)3−−+D.()5,1[1,)3−−4.已知函数()()21,1215,1xaxfxxaxx+=−++

，„对12,Rxx，12xx，满足1212()[()()]0xxfxfx−−，则实数a的取值范围是（）A.13a„B.13aC.512aD.512a„5.已知定义在R上的函数()fx满足()()0,(1)(

1)fxfxfxfx−+=+=−，且当(1,0)x−时，41()log()2fxx=−−，则172f=（）A.12B.1−C.12−D.16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且2MNBC=，点E为DC的中点，则EMEN=（

）A.3−B.2−C.32−D.12−7.已知函数()2fxxm=+与函数()11ln3,22gxxxx=−−的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.5ln2,24+B.52ln2,ln24−+C

.5ln2,2ln24++D.2ln2,2−8.将函数()cosfxx=的图象先向右平移56个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若函数()gx在3(,)22上没有零点

，则的取值范围是（）A.228(0,][,]939B.2(0,]9C.28(0,][,1]99D.(0,1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设函数()sin23cos2fxxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为B.()fx的图象关于直线12x=对称C.()fx的一个零点为3x=D.()fx的最大值为31+10.下列说法中错误的为（）A.已知()1,2a=

r，()1,1b=r，且a与aλb+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+B.向量()12,3e=−，213,24e=−不能作为平面内所有向量的一组基底C.若//ab，则a在b方向上的正射影的数量为arD.三个不共线的向量OA，OB，OC，满足

ABCABACBOAOBABCABACB+=+0CABCOCCABC=+=，则O是ABC的内心11.在现代社会中，信号处理是非常关键技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背

后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin2121iixfxi=−=−的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）A.函数()fx为周期函数，且最小正周期为πB.函数()fx为偶函数C.函数()yfx=的图象关于直线π2x=对称D.函数()fx

导函数()fx的最大值为712.设函数()()πsin05fxx=+，已知()fx0,2π有且仅有5个零点，则（）A.()fx在()0,2π有且仅有3个极大值点B.()fx在()0,2π有且仅有2个极小值点C.()fx在π0,10

单调递增D.ω的取值范围是1229,510三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()yfx=在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意1x，2x，…，nx都有()()()12121nnxxxfxfxf

xfnn++++++，若函数()sinfxx=在区间(0,)上是凸函数，则在△ABC中，sinsinsinABC++的最大值是______.14.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2221coscossinsinsin4ABC

BC−+==，且ABC的面积为23，则边a的值为________．15.如图，在ABC中，π3BAC=，2ADDB=，P为CD上一点，且满足12APmACAB=+，若ABC的面积为23，则AP的最小值为__________.的的在16.若函数()cossinfxabxcx=++的图象

经过点()0,1和π,4a−，且当π0,2x时，()2fx恒成立，则实数a的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()lnfx

xxaxb=++在()()1,1f处的切线为2210xy−−=.（1）求实数,ab的值；（2）求()fx的单调区间.18.已知函数()23cosfxx=3sincos2xx+−(0)的最小正周期为.（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若()22fx，求x

取值的集合.19.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P

到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得2AM=千米，2AN=千米．（1）求线段MN的长度；（2）若60MPN=，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．20.已知函数()2lnfxxaxax=−+有两个极值点1x，2x.（1）求a的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f

xfxxx+++.21.设函数()sinxfxeaxb=++.（Ⅰ）当1a=，)0,x+时，()0fx恒成立，求b的范围；（Ⅱ）若()fx在0x=处切线为10xy−−=，且方程()2mxfxx−=恰有两解，求实数m的取值范围.22已知函数()1s

inexxfxx−=+，ππ,2x−.（1）求证：()fx在()ππ,2−上单调递增；（2）当()π,0−时，()sinecossinxfxxxkx−−≤恒成立，求k的取值范围.的.2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美审题人：张伟萍一、选择题：本

题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知p：2log1x，则p的充分不必要条件是（）A.2xB.02xC.01xD.03x【答案】C【解析】【

分析】解出2log1x的解集，p的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由2log1x得02x，p的充分不必要条件是()0,2的子集，C符合，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.2.已知正实数a，b满足196ab+=，则()()19ab++的最小值是（

）A.8B.16C.32D.36【答案】B【解析】【分析】对196ab+=利用基本不等式求出1ab且96baab+=，把()()19ab++展开得到()()=7919abab+++，即可求出最小值.【详解】因为正实数a，b满足196ab+=，所以19962abab=+，即1

ab，当且仅当19=ab时，即1,33ab==时取等号.因为196ab+=，所以96baab+=，所以()()919=9797916aababbba++++=+=++.故()()19ab++的最小值是16.故选：B3.已知函数22()lg[(1)(1)1]fxaxax=−+

++的值域为R．则实数a的取值范围是（）A.5[1,]3B.5(1,]3C.(5,1(,)3−−+D.()5,1[1,)3−−【答案】A【解析】【分析】当函数的值域为R时，命题等价于函数()()22111yaxax=−+++的值域必须包含区间()0+，得解【详解】22()lg[

(1)(1)1]fxaxax=−+++的值域为R令()()22111yaxax=−+++，则()()22111yaxax=−+++的值域必须包含区间()0+，当210a−=时，则1a=当1a=时，21yx=+符合题意；当

1a=−时，1y=不符合题意；当1a时，()()222101410aaa−=+−−，解得513a513a，即实数a的取值范围是5[1,]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4.已知函数()()21,1215,1xaxfxxaxx+=−++，

„对12,Rxx，12xx，满足1212()[()()]0xxfxfx−−，则实数a的取值范围是（）A.13a„B.13aC.512aD.512a„【答案】D【解析】【分析】先判断()fx是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.【详解】由题意，得()f

x是R上的增函数，则()11141215aaaa++−++„„，解得512a„，故选：D5.已知定义在R上函数()fx满足()()0,(1)(1)fxfxfxfx−+=+=−，且当(1,0)x−时，41()log()2fxx=−−，则172f=（）

A.12B.1−C.12−D.1【答案】B【解析】【分析】根据函数()fx满足(1)(1)fxfx+=−，得到(2)()fxfx−=，再结合()()0fxfx-+=，得到(4)()fxfx+=，即()fx的周期为4，然后利用周期结合当(1,0)x−时

，41()log()2fxx=−−求解.【详解】因为函数()fx满足(1)(1)fxfx+=−，所以(2)()fxfx−=，又因为()()0fxfx-+=，所以(2)()fxfx+=−，所以(4)()fxfx+=，

又因为(1,0)x−时，41()log()2fxx=−−，则17118222=+=fff，2421og1111112log12222log422=−−=−−

=−−=−+=−lf.故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平

分线段MN，且2MNBC=，点E为DC的中点，则EMEN=（）的A.3−B.2−C.32−D.12−【答案】A【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】24,2,1MNB

COMOE====.()()EMENEOOMEOON=++()()22143EOOMEOOMEOOM=+−=−=−=−.故选：A7.已知函数()2fxxm=+与函数()11ln3,22gxxxx=−−的图象上至少存在一对关于x轴对称的

点，则实数m的取值范围是（）A.5ln2,24+B.52ln2,ln24−+C.5ln2,2ln24++D.2ln2,2−【答案】D【解析】【分析】由题可得()()()2ln3hxfxgxxxxm=+=+−+在1,22有零点，利用导数研

究函数的性质进而可得20ln22mm−+−，即得.【详解】原问题等价于()()()2ln3hxfxgxxxxm=+=+−+在1,22有零点，而()()()1123211hxxxxxx=+−=−−，∴()1,1,02xhx，()h

x单调递减，(()1,2,0xhx，()hx单调递增，又()()1512,2ln22,ln224hmhmhm=−=−+=−−+，由1ln22可判断()122hh，因而()hx的值域

为2,ln22mm−+−，又()hx有零点，有20ln22mm−+−，所以2ln2,2m−.故选：D.8.将函数()cosfxx=的图象先向右平移56个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若函数()gx在3(

,)22上没有零点，则的取值范围是（）A.228(0,][,]939B.2(0,]9C.28(0,][,1]99D.(0,1]【答案】A【解析】【分析】根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出56x−的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的

取值范围．【详解】函数()cosfxx=的图象先向右平移56个单位长度，可得5cos6yx=−的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos6gxx=−的图象，∴周期2T=，若函数()gx在

3(,)22上没有零点，∴553526626x−−−，∴35526262T−−−=，21，解得01，又522635226kk−

+−+−，解得3412323k−−，当k=0时，解2839，当k=-1时，01，可得209，228(0,][,]939.故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos

（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.9.设函数()sin23cos2fxxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为B.()fx的图象关于直线12x=对称C.()fx的一个零点为3x=D.()fx的最大值为31+【答案】ABC【解析】【分析】先化简，得到()2sin23fxx=+，再根

据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数()sin23cos22sin23fxxxx=+=+.对于A：()fx的最小正周期为.故A正确；对于B：2sin2212123πππf=+=，所以()fx的图象关于直线12x=对

称.故B正确；对于C：2sin20333πππf=+=，所以3x=是()fx的一个零点.故C正确；对于D：函数()2sin23fxx=+,所以()fx的最大值为2.故D错误.故选：A

BC10.下列说法中错误的为（）A.已知()1,2a=r，()1,1b=r，且a与aλb+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+B.向量()12,3e=−，213,24e=−不能作为平面内所有向量的一组基底C

.若//ab，则a在b方向上的正射影的数量为arD.三个不共线的向量OA，OB，OC，满足ABCABACBOAOBABCABACB+=+0CABCOCCABC=+=，则O是ABC的内心【答案】AC【

解析】【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由124ee=，可知1e，2e不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由0ABCAOAABCA+=

，点O在角A的平分线上，同理，点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上，进而得出点O是ABC的内心.【详解】对于A，已知()1,2a=r，()1,1b=r，且a与aλb+的夹角为锐角，可得()0aa

b+，且a与aλb+不共线，()1,2aλbλλ+=++，即有()1220+++，且()212++，解得53−且0，则实数的取值范围是53−且0，故A不正确；对于B，向量，，213,24e=−，124ee=，向量1e，2e不能作为平面内

所有向量的一组基底，故B正确；对于C，若ab，则a在b上的投影为a，故C错误；对于D，ABCAABCA+表示与ABC中角A的外角平分线共线的向量，由0ABCAOAABCA+=，可知OA垂直于角A的外角平分线，所以，点O在角A的平分

线上，同理，点O在角B平分线上，点O在角C的平分线上，故点O是ABC的内心，D正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11.

在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin2121iixfxi=−=−的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（）的A.函

数()fx为周期函数，且最小正周期为πB.函数()fx为偶函数C.函数()yfx=的图象关于直线π2x=对称D.函数()fx的导函数()fx的最大值为7【答案】CD【解析】【分析】利用周期的定义可判断

A选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的对称性可判断C选项的正误；求得函数()fx的导数，求出()fx的最大值，可判断D选项的正误.【详解】对于选项A：因为()()()()()7711sin21πsin21π21π2121==−+−+−

+==−−iiixiixfxii()()()7711sinπ21sin212121==−+−−==−=−−−iiixixfxii，即()()πfxfx+=−，可知函数()f

x的最小正周期不为π，故A错误；对于选项B：因为sinyx=为奇函数，所以()sinsinxx=−−，所以()()71sin21sin3sin5sin7sin9sin11sin13sin2135791113iixxxxxxxfxxi=−==++

++++−也是奇函数，故B错误；对于选项C：因为()()()()()7711sin21πsin21π21π2121==−−−−−−==−−iiixiixfxii()()()7711sinπ21sin212121==−−−−===−−iiixixfxi

i，即()()πfxfx−=，所以函数()yfx=的图像关于直线π2x=对称，故C正确；对于选项D：因为()sin3sin5sin7sin9sin11sin13sin35791113xxxxxxfxx=++++++，所以()coscos3cos5cos7cos9cos11cos13fxxxx

xxxx=++++++，因为cos,cos3,cos5,cos7,cos9,cos11,cos13xxxxxxx的取值范围均为1,1−，可知()7fx，当0x=时，()07f=，所以()fx的最大值为7，所以D正确．故选

：CD．12.设函数()()πsin05fxx=+，已知()fx在0,2π有且仅有5个零点，则（）A.()fx在()0,2π有且仅有3个极大值点B.()fx在()0,2π有且仅有2个极小值点C.()fx在π0,10

单调递增D.ω的取值范围是1229,510【答案】ACD【解析】【分析】由()fx在0,2π有且仅有5个零点，可得265+π可求出的范围，然后逐个分析判断即可.【详解】因为()()

πsin05fxx=+在0,2π有且仅有5个零点，如图所示，所以265+π，所以1229510，所以D正确，对于AB，由函数sinyx=在,2π55+上的图象可知，()fx在()0,2π有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以

A正确，B错误，对于C，当π0,10x时，ππππ,55105x++，因为1229510，所以π49ππ1051002+，所以πππ,5105+π0,2，所以()fx在π0,10单调递增，所以C正

确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()yfx=在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意1x，2x，…，nx都有()()()12121nnxxxfxfxfxfnn+++++

+，若函数()sinfxx=在区间(0,)上是凸函数，则在△ABC中，sinsinsinABC++的最大值是______.【答案】332##332【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sinsinsin)sin()33

ABCABC++++即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：13(sinsinsin)sin()sin3332ABCABC++++==，∴33sinsinsin2ABC++，当且仅当3ABC===时等号成立.故答案为：332.14.在ABC中，内角A，B，C

的对边分别为a，b，c，已知2221coscossinsinsin4ABCBC−+==，且ABC的面积为23，则边a的值为________．【答案】26【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理可得22sinsinsinbc

aBCA=，结合ABC的面积求出边a的值.【详解】解：222coscossinsinsinABCBC−+=，()2221sin1sinsinsinsinABCBC−−−+=，即222sinsinsinsinsinBACBC−+=，由正弦定理角

化边得222bacbc−+=，2221cos222bcabcAbcbc+−===，由正弦定理sinsinsinabcABC==，22sinsinsinbcaBCA=即221sin43bca=，化简得23abc=，又

ABC的面积为1sin232ABCSbcA==8bc=224a=解得62.a=故答案为：26.15.如图，在ABC中，π3BAC=，2ADDB=，P为CD上一点，且满足12APmACAB=+，若

ABC的面积为23，则AP的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】用,ACAB表示,CDPD，利用这两者共线可求m，求出2AP后利用基本不等式可求其最小值.【详解】因为2ADDB=，故23ADAB=，所以23CDADACABAC=−=−，而211326PDAD

APABmACABABmAC=−=−−=−，因为CD与PD为非零共线向量，故存在实数，使得2136ABACABmAC−=−，故14,4m==，所以1142APACAB=+，所以2221111+216482APACABACAB=+，由ABC的面积

为23可得132322ACAB=，故8ACAB=，所以22211112641316464APACAB=+++=，当且仅当4,2ACAB==uuuruuur时等号成立.故min3AP=，故答案：3.【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边

所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.16.若函数()cossinfxabxcx=++的图象经过点()0,1和π,4a−

，且当π0,2x时，()2fx恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】0,422+【解析】【分析】先根据()π01,4ffa=−=将,bc转化为a来表示，由此化简()fx的解析式，对a进行分类讨

论，根据()2fx恒成立列不等式来求得a的取值范围.【详解】因为()fx经过点()0,1和π,4a−，所以(0)1fab=+=，π22422fabca−=+−=，可为得1bca==−，故π()(1)cos(1)sin(1)(sincos)2(1)sin4fxaaxa

xaaxxaax=+−+−=+−+=+−+.因为π02x，所以ππ3π444x+，所以2πsin124x+，当1a时，10a−，可得π12(1)sin2(1)4aaxa−−+−，所以1()2(1)fxaa−+，要使2()2fx−

恒成立，只要2(1)2aa−+，即0a，又1a，从而01a；当1a=时，()1[2,2]fx=−；当1a时，10a−，所以π12(1)sin2(1)4aaxa−−+−，所以1()2(1)fxaa−+，要使2()2fx−恒成立，只要2(1)2aa−+

−，解得422a+，又1a，从而1422a+.综上所述，a的取值范围为0422a+.故答案为：0,422+【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中()2fx恒成立，就转化为()fx的值域，也即三角函数

的值域来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()lnfxxxaxb=++在()()1,1f处的切线为2210xy−−=.（1）求实数,ab的值；（2）求()fx的单调

区间.【答案】（1）012ab==（2）减区间为1(0,),e增区间为1(,)e+【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；【详解】

（1）依题意可得：122(1)10(1)2ff−−==即()lnfxxxaxb=++'()ln1fxxa=++又函数()fx在(1,(1))f处的切线为2210xy−−=，1(1)2f=(1)111(1)2fafab=+==+=解得：012ab==（2）由（1）可

得：f'（x）＝1+lnx，当10xe，时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；当1xe+，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴()fx的单调减区间为1(0,),e()fx的单调增区间为1e+，.

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．18.已知函数()23cosfxx=3sincos2xx+−(0)的最小正周期为.（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若()22fx，求x取值的集合.【答案】（1）函数()fx的单

调递减区间为7,,1212kkkZ++；（2）x取值的集合为5,2424xkxkkZ−++.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简()23fxsinx==+，利用正弦函数的单调

性解不等式3222,232kxk+++即可求得函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）()22fx，即2sin232x+，由正弦函数的性质得3222,434kxkkZ+++，化简后，写成集合形式即可.试题解析：（Ⅰ）()()2

33133cossincos1cos2sin22222fxxxxxx=+−=++−31cos2sin2sin2223xxx=+=+，因为周期为22=，所以1=，故()sin23fx

x=+，由3222,232kxkkZ+++，得7,1212kxkkZ++，函数()fx的单调递减区间为7,,1212kkkZ++，（Ⅱ）(

)22fx，即2sin232x+，由正弦函数得性质得3222,434kxkkZ+++，解得5222,1212kxk−++所以5,2424kxkkZ−++，则x取

值的集合为5,2424xkxkkZ−++.19.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光

线路PM，PN，测得2AM=千米，2AN=千米．（1）求线段MN的长度；（2）若60MPN=，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．【答案】（1）23千米（2）43千米【解析】【分析】（1）在AMN中，利用余弦定理运算求解；（2）

在PMN中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π43sin6PMPN+=+，进而可得结果.【小问1详解】在AMN中，由余弦定理得，2222cosMNAMANAMANMAN=+−，即222122222122MN=+−−=，可得

23MN=，所以线段MN的长度23千米．【小问2详解】设2π0,3PMN=，因为π3MPN=，所以2π3PNM=−，在PMN中，由正弦定理得sinsinsinMNPMPNMPNPNMPMN==，因为sinMNMPN＝234πsin3=，所以2

4sin4sin,4sin4siπ3nPMPNMPNPMN====−，因此4si2n4sπ3inPMPN−+=+314cossin4sin22=++6sin23cos=+＝π43sin6+

，因为2π03，所以6ππ5π66+，所以当ππ62+=，即π3=时，PMPN+取到最大值43千米．20.已知函数()2lnfxxaxax=−+有两个极值点1x，2x.（1）求a的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2

fxfxxx+++.【答案】（1）8a（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为220xaxa−+=在()0,+上有两个实数根1x，2x，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合1212,2

2aaxxxx=+=，代入化简式子，将问题转化()2ln2416ln242aagaaa=−−++，利用导数即可求解.【小问1详解】()222axaxafxxaxx−+=−+=,()fx有两个极值点1x，2x，则()0fx=在()0,+上有两个实数根1x，2x，所以220xa

xa−+=在()0,+上有两个实数根1x，2x，则21212Δ800202aaaxxaxx=−=+=解得8a，故a的取值范围为8a，【小问2详解】由（1）知1212,22aaxxxx=+=，且8a，()

()2212111222121224242424lnlnfxfxxaxaxxaxaxxxxx+++=−++−+++()()()2121212121212242lnxxxxxxaxxaxxxx=++−−+++为22

ln24ln2442242aaaaaaaaaa=−−++=−−++，令()2ln24(8)42aagaaaa=−−++，()ln22aaga=−+，令()()()112ln,02222aaahagahaaa−

==−+=−+=在8a上恒成立，所以()()ln22aahaga==−+在8a单调递减，故()()ln84ln4022aagag=−+=−+，因此()ga在8a单调递减，故()()81688ln42416ln2gag=−−++=，故()2ln2416ln24

2aagaaa=−−++，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件

适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21.设函数()sinxfxeaxb=++.（Ⅰ）当1a=，)0,x+时，(

)0fx恒成立，求b的范围；（Ⅱ）若()fx在0x=处的切线为10xy−−=，且方程()2mxfxx−=恰有两解，求实数m的取值范围.【答案】（I）1b−（II）10me−【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小

值大于等于0即可；（2）根据切线得到0a=，2b=−，方程22xmxex−−=有两解，可得22xxexmx−=−，所以xxem=有两解，令()xgxxe=，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和()xgxxe=有两个交点即可.解析：由()sinxfxeaxb=++，当1a=时，得(

)cosxfxex=+.当)0,x+时，1,cos1,1xex−，且当cos1x=−时，2,xkkN=+，此时1xe.所以()cos0xfxex=+，即()fx在)0,+上单调递增，所以()()min01fxfb==+，由()0fx恒成立，得10b+，所

以1b−.（2）由()sinxfxeaxb=++得()cosxfxeax=+，且()01fb=+.由题意得()001fea=+=，所以0a=.又()0,1b+在切线10xy−−=上.所以0110b−−−=.所以2b=−.所以()2xfxe=−.即方程22xmxex−−=有两解，

可得22xxexmx−=−，所以xxem=.令()xgxxe=，则()()1xgxex=+，当(),1x−−时，()0gx，所以()gx在(),1−−上是减函数.当()1,x−+时，()0gx，所以()gx在()1,−+上是减函

数.所以()()min11gxge=−=−.又当x→−时，()0gx→；且有()10ge=.数形结合易知：10me−.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分

离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22.已知函数()1sinexxfxx−=+，ππ,2x−.（1）求证：()fx在()ππ,2−上单调

递增；（2）当()π,0−时，()sinecossinxfxxxkx−−≤恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）π12k+【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，判断导数在()ππ,2−的取值范围，

从而证明()fx的单调性；（2）由题意可得1cossinxxkx−−≤，分离参数得到1cossinxxkx−−≤，求出1cos()sinxxgxx−−=导数，判断其单调区间，找出最小值即可.小问1详解】()1sinexxfxx−=+，ππ,2x−

，()2cosexxfxx−=+，由()π,0x−，有22x−≥，11ex，则22exx−，又1cos1x−，则()2cos120exxfxx−=+−+.当π0,2x时，cos

0x，20x−，所以()2cos0exxfxx−=+所以当()ππ,2−时，()0fx¢>，综上，()fx在()ππ,2−上单调递增.【小问2详解】()sinecossinxfxxxkx−−≤

.化简得1cossinxxkx−−≤.当()π,0x−时，sin0x，所以1cossinxxkx−−≤，设()1cossinxxgxx−−=，()()()221sinsincos1cossin1coscossinsinxxxxxxxxxgx

xx+−+=−−+−=设()sin1coscoshxxxxx=+−+，()()coscossinsin1sinhxxxxxxxx=−+−=−.()π,0x−，10x−，sin0x，()0hx()hx在()π,0−上单调递增，又由π

02h−=，所以当ππ,2x−−时，()0hx，()0gx，【()gx在ππ,2−−上单调递减；当π,02x−时，()0hx，()0gx，()gx在π,02−上单调递

增，所以()minπ1ππ21212gxg−−=−==+−，故π12k+.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若()gxk恒成立，即()mingxk；在定义域内，若()gxk恒成立，即()maxgxk.获得

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