【文档说明】辽宁省盘锦市高级中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟考试 数学 答案.docx，共(22)页，1.381 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度高三下学期第一次模拟考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若集合22log2,01xAxxBxx−==+，则AB=（）A.[1,4)−B.(1,

2]−C.(0,2]D.(1,4)−【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合22log204,0121xAxxxxBxxxx−====−+，则AB=(1,4)−，故选：D2.设复数ππc

osisin33z=+，则在复平面内1zz+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】注意到13i22z=+，计算得1zz+代数形式，可得答案.【详解】13i2

2z=+，13i1113322111i22131313iii222222zzz−+=+=+=+=−++−，则其在复平面对应的点为33,22−，即在第四象限.故选：D3.公元1715年英国数学家布鲁克·泰在他的著作中

陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：01230e!0!1!2!3!!n

nxnxxxxxxnn+===++++++，其中xR，*Nn，试用上述公式估计e的近似值为（精确到0.001）（）A.1.647B.1.649C.1.645D.1.646【答案】B【解析】【分析

】根据泰勒公式，令0.5x=，代入即可求解.【详解】由题意可知，结果只需精确到0.001即可，令0.5x=，取前6项可得：0123004550.500.50.5e!!0.50.50.50!1!2!3!4!550!..5nnnnnn+====+++++0.250.1250.06250.0

312510.51.6492624120=+++++所以e的近似值为1.649，故选：B.4.已知函数()318sin6fxxx=+在0x=处的切线与直线0nxy−=平行，则二项式()1nx−展开式中4x的系数为（）A.70B.－70C.56D

.－56【答案】A【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出n的值.然后根据二项式定理展开式解题.【详解】()218cos2fxxx=+，由已知可得，()0fn=，即()08fn==，所以8n=.设()81x−展开式中的第k+1项含有4x，()()()8188C1C1kkkkkkk

Txx−+=−=−，则可知，4k=，所以二项式()1nx−展开式中4x的系数为488765C704321==.故选：A.5.有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误是（）A.任选其中3人相互调整

座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种的B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种C.全体站成一排，女生必须站在一起有144种D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．【答案】C【解析】【分析】根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，可判断答案.

【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有37C2170=种，故A正确；对于B：先排女生，将4名女生全排列，有44A种方法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在

女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有53A种方法，故共有4543AA1440=种方法，故B正确．对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有44A种情况，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有44A种情况，故共有4444AA576=种方法，故C错误．对

于D：若甲站在排尾则有66A种排法，若甲不站在排尾则有115555AAA种排法，故有61156555A+AAA3720=种排法，故D正确；故选：C.6.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上

，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.53B.2C.73D.83【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.【详解】令球O的内接

四棱锥为PABCD−，四边形ABCD外接圆1O半径为,02rr，对角线,ACBD的夹角为，则四边形ABCD的面积2111sin222222SACBDACBDrrr==，当且仅当,2ACBDACBD

r⊥==，即四边形ABCD为正方形时取等号，由球的结构特征知，顶点P为直线1OO与球面O的交点，并且球心O在线段1PO上，四棱锥PABCD−的高最大，如图，222114OOOCOCr=−=−，高21124hPOPOOOr==+=+−，因此四棱锥PABCD−的最大体积关系式为：()222243Vrr

=+−，令24[0,2)rx−=，则22322()(4)(2)(842)33Vfxxxxxx==−+=+−−，求导得222()(443)(32)(2)33fxxxxx=−−=−−+，当203x时，()0fx，当2

23x时，()0fx，因此函数()fx在2[0,)3上单调递增，在2(,2)3上单调递减，当23x=时，max512()81fx=，此时83h=，所以当该四棱锥的体积最大时，其高为83.故选：D7.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为12

,FF，点P在双曲线上，且1260FPF=，2PF的延长线交双曲线于点Q，若双曲线的离心率为72e=，则1PQFQ=（）A.23B.813C.815D.12【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义得到2211

,,,PFFQPFFQ关于,,kmn的表达式，在12PFF△与1PFQ△中利用余弦定理求得2mk=与65nk=，从而求得1,PQFQ关于k的表达式，由此得解.【详解】因为双曲线的离心率为72e=，即72ca=，令()20akk=，则7ck=

，所以12227FFck==，24ak=，不妨设点P在双曲线的右支上时，如图，记22,PFmFQn==，则由双曲线的定义得12122,2PFPFaFQFQa−=−=，所以114,4PFkmFQkn=+=+，在12PFF△中，1260FPF=，则2221

212122cos60FFPFPFPFPF=+−，即()()2221284242kkmmkmm=++−+，整理得221240kkmm−−=，解得2mk=或6mk=−（舍去），故146PFkmk=+

=，2PQmnkn=+=+，在1PFQ△中，1260FPF=，则2221112cos60FQPFPQPFPQ=+−，即()()()222143622622knkknkkn+=++−+，整理得212100kkn−=，解得65nk=，则

6162255PQknkkk=+=+=，12645FQknk=+=，所以1168526135kPQFQk==；故选：B.8.已知函数2()cos1,R=+−fxxaxa，若对于任意的实数x恒有()0fx，则实数a的取值范围是（）A.1[,)2+B.1(,)

2+C.1[,)4−+D.1(,)4+【答案】A【解析】【分析】由已知可将题目转化为2cos10+−xax，即21cos0−axx，显然0a，运用参数分离和二倍角公式可得2sin222xax，求出右边函数的范围，即可得解.【详解】对于任意

的实数x恒有()0fx，即2cos10+−xax，即21cos0−axx，显然0a，当0x=时，显然成立；由偶函数性质，只要考虑0x的情况即可，当0x时，2222sin1cos2−=xxaxx，即2sin222

xax由0x，则02=xt，则题目转化为2sin2tat，令()sin,0=−gtttt，求导()cos10=−gtt，故函数()gt在()0,+上单调递减，()(0)0gtg=，即sintt，sin1tt，即2sin212

xx，所以21a，解得12a所以实数a的取值范围是1[,)2+故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选

对得3分，有选错得0分．9.下列说法中正确的是（）A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17的B.若随机变量()23,N，且()60.84P=，则()360.34P=．C.袋中装有

除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件{A=第一次抽到的是白球}，事件{B=第二次抽到的是白球}，则()13PBA=D.已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是ˆˆ0.4yxa=+，且由样本数据算得4x=，3.7y=，则

ˆ2.1a=【答案】BD【解析】【分析】根据第p百分位数的计算公式可判断A项；根据正态分布的对称性可求解，判断B项；根据条件概率的公式()(|)()PABPBAPA=求解相应概率，可判断C项；将(),xy代入回归方程，即可判断D项.【详解】对于A，共有10个数，1080%8=，所

以数据的第80百分位数为17和20的平均数，即为18.5，故A错误；对于B，因为随机变量()2~3,N，且(6)0.84=P，所以(0)(6)0.16PP==，所以(06)10.160.160.68P=−−=，所以11(36)(06)0.680.3422PP==

=，故B正确；对于C，由题意可知1216C1()C3PA==，1115C11()3C15PAB==，所以(|)()1()5PABPPABA==，故C错误；对于D，因为线性回归方程是ˆˆ0.4yxa=+经过样本点的中心(),xy，

所以有ˆ3.70.44a=+，解得ˆ2.1a=，故D正确.故选：BD.10.已知圆22:(2)4Cxy++=，直线:210()lmxxymmR++−+=．则下列结论正确的是（）A.当0m=时，圆C上恰有三个点到直线l的距

离等于1B.对于任意实数m，直线l恒过定点（−1，1）C.若圆C与圆22280xyxya+−++=恰有三条公切线，则8a=D.若动点D在圆C上，点(2,4)E，则线段DE中点M的轨迹方程为22(2)1xy+−=【答案】BCD【解析】【分析】对于A，通过计算圆心到

直线的距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出a的值，对于D，设DE的中点为(,)xy，则可得动点D的坐标为(22,24)xy−−代入圆C方程中化简可得答案【详解】对于A，圆22:(2)4C

xy++=的圆心为(2,0)−，半径2r=，当0m=时，直线:210lxy+−=，则圆心C到直线l的距离为213555d−−==，因为35215−，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误，对于B，由210()mxxymmR++−+=，得(1)

(21)0mxxy+++−=，由于mR，所以10210xxy+=+−=，得11xy=−=，所以直线l恒点(1,1)−，所以B正确，对于C，因为圆C与圆22280xyxya+−++=恰有三条公切线，所以两圆相外切，由22280xyxya+−++

=，得22(1)(4)17xya−++=−，所以22(21)(04)5172a−−++==−+，解得8a=，所以C正确，对于D，设DE的中点为(,)xy，则可得动点D的坐标为(22,24)xy−−，因为动点D在圆C上，所以22(222)(24)4xy−++−=，化简得22(2)1

xy+−=，所以线段DE中点M的轨迹方程为22(2)1xy+−=，所以D正确，故选：BCD11.已知抛物线2:2Cypx=，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于A、B两点，连接AK、BK，设AB的中点为P，过P作AB的

垂线交x轴于Q，下列结论正确的是()A.AFBKAKBF=B.tancosAKFPQF=C.AKB△的面积最小值为22pD.2ABFQ=【答案】ABD【解析】【分析】设直线AB的倾斜角为α，即∠AFx＝α，设()11,Axy，()22,Bxy，()00,

Pxy.可根据角平分线的性质判断A；过A作AD⊥x轴，垂足为D，表示出tancosAKFPQF、，即可判断B；AKBAKFBKFSSS=+，数形结合即可判断C；求出PQ方程，令y＝0求出Q的横坐标，求出ABFQ、即可判断它们的关系，由此

判断D.【详解】设直线AB的倾斜角为α，即∠AFx＝α，设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Pxy，①若AFBKAKBF=，则AFAKBFBK=，则根据角平分线的性质可知，x轴为∠AKB的角平分线，设直线:2plxmy=+，代入抛物线方

程得2220ypmyp−−=，所以21212,2yypmyyp+==−，所以()()()121212121212122022BFAFmyypyyyyyykkppmypmypmypmypxx+++=+=+==++++++，所以x

轴一定是∠AKB的平分线，故A正确；②过A作AD⊥x轴，垂足为D，则tan112yAKFpx=+，111coscossin22yyPQFpAFx=−===+，tancosAKFPQF=，故B正确；③2121212222A

KBAKFBKFppSSSKFyyyypp=+=−=−=…，当122yyABp−==，即AB⊥x轴时，取等号，故AKB△的面积最小值为2p，故C错误；对于D：()()()211121212222222y

pxyyyypxxypx=+−=−=，则1202tanppyyy==+，∴PQ方程为：()000yyyxxp−=−−，令y＝0得，()0000yyxxxpxp−=−−=+，∴()0,0Qpx+，

∴0022PPFQpxx=+−=+，∴12022ABxxpxpFQ=++=+=，故D正确.故选：ABD.12.已知数列na满足18a=，21a=，2,2,nnnanaan+−=−为偶数为奇数，nT

为数列na的前n项和，则下列说法正确的有（）A.n偶数时，()221nna−=−B.229nTnn=−+C.992049T=−D.nT的最大值为20【答案】AC【解析】【分析】对选项A，偶数项构成等比

数列，即可求得通项；对选项B，检验当1n=时，所给表达式不满足；对选项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据10099100TTa−=，可直接求得；对选项D，nT的最大值为71021TT==【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，()18292nnan−=+−=

−n为偶数时，()221nna−=−，故A对；()()212342121321242nnnnnTaaaaaaaaaaaa−−=++++++=+++++++根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109naaannn

−+++=+++−+=−+而又：2421,0,nnaaan+++=当为奇数当为偶数则有：2229,91,nnnnTnnn−+=−++为偶数为奇数，故B错误；()100222991010005095012049aTT−=−=

−+−−=−，故C对；根据nT中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据nT特点可知：nT的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T=−++=，76719221TTa=+=+=，2849420T=−+=，98920020TTa=+=+=，为2105

95121T=−++=，11101119TTa=+=，nT的最大值为71021TT==，故D错故选：AC三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a，b是单位向量，2cab=+.若ac⊥

，则c=___________.【答案】3【解析】【分析】先通过(2)0caaba=+=得到ab，再通过2||(2)cab=+计算可得答案.【详解】2cab=+且ac⊥2(2)20caabaaab=+=+=即120ab+=

12ab=−2221||(2)4414()432cabaabb=+=++=+−+=故答案为：3.14.已知直线():1lykx=−与抛物线2:4Cyx=交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若3AFBF=，则实数k的值

为______.【答案】3或3−【解析】【分析】联立直线l与抛物线C可得2222(24)0kxkxk−++=，利用韦达定理可得到1212242,1xxxxk+=+=，利用抛物线的定义和3AFBF=可求

出13x=，213x=，即可求解【详解】设交点1122(,),(,)AxyBxy，由于直线():1lykx=−过抛物线2:4Cyx=的焦点(1,0)F，所以将()1ykx=−代入24yx=并整理可得2222(24)0kxkxk−++=，则2242(24)411606kkk=+−=+，12122

42,1xxxxk+=+=，又由抛物线的定义可得12||1,||1AFxBFx=+=+，由3AFBF=可得1232xx=+代入121=xx可得2223210xx+−=，解之得213x=或21x=−（舍去），故213x

=时，13x=，代入12241023xkx==++可得233kk==，故答案为：3或3−15.二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，

夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．【答案】1823【解析】【分析】方法1：利用古典

概型概率公式直接计算可得.方法2：可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：224C

276=，求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有24C6=，第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：1166CC36=，所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一

个季节的事件总数有：636216=，所以，2161827623P==．方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：224C276=，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：264C60=，从24

个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：27660216−=，所以，2161827623P==．故答案为：1823.16.已知函数()sin()fxx=+，其中0，0π，π()()4fxf恒成立，且()yfx=在区间3π0,8上恰有3个

零点，则的取值范围是______________．【答案】()6,10【解析】【分析】确定函数的maxπ()()4fxf=，由此可得ππ2π,Z24kk=−+，再利用()yfx=在区间3π0,8上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k

k−++−+，求得答案.【详解】由已知得：π()()4fxf恒成立，则maxπ()()4fxf=，ππππ2π,Z2π,Z4224kkkk+=+=−+，由3π0,8x得3π(,)8x++，由于()yfx=在区间3π

0,8上恰有3个零点，故0π3π3π4π8+，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824kk−++−+，Zk，则8282,Z20162816kkkkk−+−−,只有当

1k=时，不等式组有解，此时610412，故610，故答案为：()6,10四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知正项数列na和,nnb

S为数列na的前n项和，且满足242nnnSaa=+，()*22lognnabnN=（1）分别求数列na和nb的通项公式；（2）将数列na中与数列nb相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列nc，记数列nc的前n项和

为nT，求100T．【答案】（1）2nan=，2nnb=；（2）11302．【解析】【分析】（1）由242nnnSaa=+，利用1(2)nnnaSSn−=−得出数列{}na的递推式，得数列{}na是等差数列，求得1a后可得通项公式，再计算出nb；（2）先看数列{}

na中前100项内有多少项是{}nb中的项，从而可以确定{}nc中前100项的最后一项是{}na中的第几项，其中含有{}nb中的多少项，从而求得100T．【详解】（1）因为242nnnSaa=+，所以2n时，

211142nnnSaa−−−=+，两式相减得2211422nnnnnaaaaa−−=−+−，11()(2)0nnnnaaaa−−+−−=，因为0na，所以12nnaa−−=，又211142aaa=+，10a，所以12a=，所以22(1)2nann=+−=，222

lognnb=，2nnb=；（2）100200a=，又72128=，82256=，因此100107214ca==，所以710012107127107(2214)2(12)()()11302212Taaabbb+−=+++−+++=−=−．【点睛】易错点睛：本题考查由nS求数列的通项公式，考

查分组求和法．在应用公式1nnnaSS−=−求na时要注意2n，即不包含1a，需另外计算1a，同样如果求得的是递推式，也要确认递推式是否是从1a开始的，否则需要要验证含有1a的项是否符合表达式．18.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，90BAD=，222P

DDCBCPAAB=====，PDCD⊥．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取CD的中点E，连接BE，证明出PAAB⊥，PAAD⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）点A为坐标原点

，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BD与平面BPC所成角的正弦值.【小问1详解】证明：由于//ABCD，90BAD=，所以CDAD⊥，由于PDCD⊥，=PDADD，PD、AD平面PAD，所以CD

⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，由PA平面PAD，得ABPA⊥.取CD的中点E，连接BE，因为底面ABCD是直角梯形，//DEAB且222DCDEAB===，90BAD=，故四边形ABED为矩形，且ADBE=且BECD⊥，223ADBEBCCE==−=，所以在PAD中，1PA=，2P

D=，222ADPAPD+=，即PAAD⊥，由于ADABA=，AB、AD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.【小问2详解】解：PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x

、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()1,0,0B、()2,3,0C、()0,3,0D、()0,0,1P，()1,3,0BD=−，()1,0,1PB=−，()1,3,0BC=，设平面BPC的法向量为(),,nxyz=，则030nPBxz

nBCxy=−==+=，取3x=，可得()3,1,3n=−，所以，2321cos,727BDnBDnBDn==−=−.所以，直线BD与平面BPC所成角的正弦值为217.19.已知在△ABC中，3si

n（A+B）＝1+2sin22C．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．【答案】（1）3；（2）4+23．【解析】【分析】（1）利用降幂公式、两角

和的正弦公式变形可得sin（C+6）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB，求出AIB，设出ABI，将,AIBI用ABI表示，根据三角函数知识求出AIBI+的最大值可得解.【详解】（1）∵3sin（A+B）＝1+2sin22C，且A+B+C＝π，∴3sin

C＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即3sinC+cosC＝2，∴sin（C+6）＝1．∵C∈（0，π），∴C+6∈（6，76），∴C+6＝2，即C＝3．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sinABACB＝s

in3AB＝2×2＝4，∴AB＝23，∵∠ACB＝3，∴∠ABC+∠BAC＝23，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝3，∴∠AIB＝23，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝3﹣θ，且0＜θ＜3，在△ABI中，由正弦定理得，

sin()3BI−＝sinAI＝sinABAIB＝232sin3＝4，∴BI＝4sin（3﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为23+4sin（3﹣θ）+4sinθ＝23+4（32cosθ﹣12sinθ）+4sinθ＝23+23

cosθ+2sinθ＝4sin（θ+3）+23，∵0＜θ＜3，∴3＜θ+3＜23，∴当θ+3＝2，即6=时，△ABI的周长取得最大值，最大值为4+23，故△ABI的周长的最大值为4+23．【点睛】关键点点睛：将,AIBI用ABI表示，根据三角函数知识求出AIB

I+的最大值是解题关键.20.近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过

一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：（1）

若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？（2）记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为nP（比如：1P表示累计得分为1分的概率，2P表示累计得分为2的概率），求：

①1{}nnPP+−的通项公式；②{}nP的通项公式．【答案】（1）5.7；（2）①11910nnnPP++−=−；②1099191910nnP=+−.【解析】【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求

结果即可；（2）求得11,,nnnPPP+−的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得1nnPP+−；再结合累加法，以及等比数列前n项和公式，即可求得nP.【小问1详解】设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为X，由题可知，()~3,0.9XB，故

()30.92.7EX==，设某班同学3次专注度监测的总得分为Y，根据题意()233YXXX=+−=+，故()()35.7EYEX=+=.故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是5.7.【小问2详

解】①由题可知，120.1,0.90.10.10.91PP==+=根据题意，*1119,2,N1010nnnPPPnn+−=+，故可得()11910nnnnPPPP+−−=−−故数列1nnPP+−为首项21810.81100PP−

==，公比为910−的等比数列，则11181991001010nnnnPP−++−=−=−.②根据上式可得()()()112211nnnnnPPPPPPPP−−−=−+−++−+，则1299110109999109911910101010191910110nn

nnnP−−−−=−+−++−+−+=+=+−−−，故{}nP的通项公式1099191910nnP=+−.21.已知双曲线222:1x

Cya−=的右焦点为F，点,MN分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于,PQ两点，设直线,MPNP的斜率分别为12,kk，且1213kk=.（1）求双曲线C的方程；（2）当点P在第一象限，且tan1tan2MPNMQN=时，求直线

l的方程.【答案】（1）221.3xy−=（2）112110xy−−=.【解析】【分析】（1）设点11(,)Pxy，根据1213kk=，结合点P是双曲线上的点，化简求得23a=，即得答案.（2）设1122(,),(

,)PxyQxy，利用两角和的正切公式化简tan1tan2MPNMQN=可得122yy=−，设直线:2(0)lxmym=+，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.【小问1详解】由题意得(0),(0)MaNa−，，，设点11(

,)Pxy.则211111121222111111,,3yyyyykkkkxaxaxaxaxa=====+−+−−.因为点P是双曲线上的点，则221121xya−=，∴.2122211yxaa=−，∴

23a=，则双曲线C的方程为221.3xy−=小问2详解】设1122(,),(,)PxyQxy，点P在第一象限，则()11tantan0,0,tantan1tantanPMNPNMxyMPNPMNPNMPMNPNM+=−+=−−，又1111tan,tan33

PMPNyyPMNkPNMkxx−===−=+−，故111111222111111113323233tan342133yyxxyyMPNyyxyyyxx−+−=−===+−++−，同理可得2213tan1tan,2tan2yMP

NMQNyMQNy=−==−，即122yy=−，则直线l的斜率大于0，由（1）可知2,0)F(，设直线:2(0)lxmym=+，联立22213xmyxy=+−=，化简得()223410mymy−++=，则222230,164(3)12120

mmmm−=−−=+，故12122241,033myyyymm−+==−−,【2123,20,myy=−，代入韦达定理得12222122243123myyymyyym−+==−−==−−，所以22241233mmm−−=−−，解得1111m=或111

1m=−（舍去），所以直线l的方程为112110xy−−=.【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用

两角和的正切公式结合tan1tan2MPNMQN=进行化简得到122yy=−，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.22.已知函数()exfxaxa=−−（1）当1a=时，证明:()0fx.（2）若()fx有两个零点()1212,xxxx且22112,e1xx++，求12xx+

的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）243ln22,e1−−【解析】【分析】（1）()e1xfxx=−−，求导得min()(0)0fxf==，则()0fx…；（2）由题得11exaxa=+，22exaxa=+，则21211e1xxxx−+=+，()1212ee2xxaxx+=

++，()2121eexxaxx−=−，则()()212121121e2e1xxxxxxxx−−−+++=−，从而设21[ln2,2]txx=−，得到()121e2e1tttxx+++=−，利用导数研究函数()1e()e1tttgt+=−的值域，则得到12xx+的范围.【小问1详解】证明:当

1a=时,()e1xfxx=−−,则()e1xfx=−.当(,0)x−时()0fx,当,()0x+时,()0fx,所以()fx在(,0)−上单调递减,在()0,+上单调递增,,则min()(0)0fxf==,故()0fx….【小问2

详解】由题意得1212ee0xxaxaaxa−−=−−=，则11exaxa=+，22exaxa=+，从而21211e1xxxx−+=+，()1212ee2xxaxx+=++，()2121eexxaxx−=−，故()()()()12212121212112ee1e2eee1xxxxxxx

xxxxxxx−−−+−+++==−−，因为22112,e1xx++，所以212e2,exx−，即21ln2,2xx−，设21[ln2,2]txx=−,则()121e2e1tttxx+++=−.设()

1e()e1tttgt+=−,则()22e2e1()e1ttttgt−−=−.设2()e2e1tthtt=−−,则()()2ee1tthtt=−−，由（1）可知()()2ee10tthtt=−−…在R上恒成立,从而2()e2e1tthtt=−−在[ln2,2]上单调递增,故min()(l

n2)44ln210hth==−−,即()0gt在ln2,2上恒成立,所以()gt在[ln2,2]上单调递增,所以()212221e23ln2,e1xx+++−,即12243ln22e1,xx+−

−,即12xx+的取值范围为243ln22,e1−−.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21xx−的式子表示出122xx++，即()()212121121e2e1xxxxxxxx−−−+++=−，然后整体换元设21[ln2,2

]txx=−，则得到()121e2e1tttxx+++=−，最后只需求出函数()1e()e1tttgt+=−在[ln2,2]t上值域即可.