【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第29讲 求解函数解析式 Word版含解析.docx，共(21)页，1.566 MB，由小赞的店铺上传

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第二十九讲：求解函数解析式【教学目标】1.掌握常见的一次函数，反比例函数，二次函数的解析式；2.会求函数的解析式；3.会学习抽象函数的函数值和函数解析式.【基础知识】求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法：若

已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可；（2）代入法：通过带入的方法，进行函数解析式的求解；（3）换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可；注意：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．（4）配凑

法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可；（5）方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求

解；（6）迭代法：通过迭代的思想，计算，找到对应的规律进行函数解析式的求解；（7）赋值法：通过赋值的性质，进行对应函数值或函数解析式的求解.【题型目录】考点一：待定系数法考点二：代入法考点三：换元法考点四：配凑法考点五：方程组法考点六：迭代法考点七：赋值法【考点剖析】考点一：待定系数法例1．

若二次函数()fx满足(1)()2fxfxx+−=，且(0)1f=，则()fx的表达式为（）A．2()1fxxx=−−−B．2()1fxxx=−+−C．2()1fxxx=−−D．2()1fxxx=−+【答案】D【详解】设()2fxaxb

xc=++，0a，∵()01f=，则1c=，()21fxaxbx=++又∵()()12fxfxx+−=，令0x=，则()()100ff−=，∴()11f=，即11ab++=，0ab+=，令1x=，则()()212ff−=，()23f=，即4213ab++=，21ab+=，∴1a

=，1b=-，()21fxxx=−+.故选：D.变式训练1．已知一次函数()fx满足()()2196fxfxx++=+，则()4f=（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【详解】设()()0fxaxba=

+，则()()()2122133fxfxaxbaxbaxab++=++++=++,因为()()2196fxfxx++=+，所以3936aab=+=，解得3,1ab==，所以()31fxx=+，()413f=.故选：B.变式训

练2．已知一次函数()fx满足(2)2(21)94fxfxx+−+=−−，则()fx解折式为（）A．()24fxx=−−B．()23fxx=−+C．()34=+fxxD．()32fxx=−+【答案】C【详解】设一次函数()fxaxb=+，则(2)2(21)242294fxfxaxaba

xabx+−+=++−−−=−−，即394axbx−−=−−，所以394ab−=−−=−解得34ab==，所以()34=+fxx，故选:C.变式训练3．已知二次函数()fx满足(2)1,(1)()ffxfx=−−=，且()fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为()fx=（）A．24

47xx−++B．2447xx++C．2447xx−−+D．2447xx−+−【答案】A【详解】根据题意,由(1)()fxfx−=得:()fx的对称轴为12x=，设二次函数为21()(0)2fxaxka=−+，

因()fx的最大值是8,所以a<0,当12x=时,182fk==，即二次函数21()8(0)2fxaxa=−+，由(2)1f=−得:21(2)2812fa=−+=−,解得：4a=−，则二次函数221()484472fxx

xx=−−+=−++，故选：A.考点二：代入法例2．若()()61fgxx=+，且()21gxx=+，则()fx=（）A．3B．3xC．32x−D．33x−【答案】C【详解】因为()()61fgxx=+,()21gxx=+,则()2161fxx+=+设21,xt+=即21xt=

−则()()311ftt=−+,即()32ftt=−所以()32fxx=−故选:C.变式训练1．已知函数()43fxx=−，若()()23fgxx=+，则函数()gx的解析式为（）A．()1322gxx=

+B．()1322gxx=−C．()3122gxx=+D．()3122gxx=−【答案】A【详解】由题意，()()()4323fgxgxx=−=+，即()1322gxx=+.故选：A变式训练2．若函数()63fgxx=+，且()21gxx=+，则()fx等于（）A．129x+B．61x+

C．3D．3x【答案】D【详解】令()21gxxt=+=，则12tx−=()63132fttt−=+=即()3fxx=故选：D.变式训练3．设()23fxx=+，()()21gxfx+=−，则()gx=（）A．21x+B．23x−C．21x−D．23x+【答案】B

【详解】因为()23fxx=+，所以()()1=21321fxxx−−+=+又因为()()21gxfx+=−，所以()221gxx+=+，令2xt+=，则2xt=−，()()22123gttt=−+=−，所以()23gxx=−.故选：B.考点三

：换元法例3．若(1)1fxx+=+，则()fx的解析式为（）A．2()fxx=B．2()22(0)fxxxx=−+C．2()22(1)fxxxx=−+D．2()1fxx=+【答案】C【详解】解：令1xt+=，1t，则2(1)xt=−，则22()(1)122ftttt=−+=−+，1t

，∴函数()fx的解析式为2()22(1)fxxxx=−+.故选：C.变式训练1．设函数121fxx=+，则()fx的表达式为（）A．()1021xx+B．()210xx+C．()111xxx+−−D．()211xxx−+【

答案】B【详解】令1tx=，则0t且1xt=，所以，()()210fttt=+，因此，()()210fxxx=+.故选：B.变式训练2．已知11232fxx−=+，若()5ft=，则t=（）A．14−B．14C．12−D．12【答案】C【详解】设112xt−=

，因为11232fxx−=+所以()47ftt=+，又()5ft=，所以475t+=，所以12t=−.故选：C.变式训练3．已知函数221111xxfxx−−=++，则()fx的解析式为（）A．()()2211xfxxx=−+B．()()2211xfxxx=−−+

C．()()211xfxxx=−+D．()()211xfxxx=−−+【答案】A【详解】令11xtx−=+，则11txt−=+，所以()()222112111111tttfttttt−−+==−+−++，所以()()2211xfxxx=−+，故选：A.考点四

：配凑法例4．若函数2112fxxxx+=+，且()7fm=，则实数m的值为（）A．5或5−B．3−或3C．5D．3【答案】B【详解】令()1,22,txx=+−−+，则2222112

2xxtxx+=+−=−，可得：()22ftt=−，即()()22,,22,fxxx=−−−+，∵()227fmm=−=，∴3m=.故选：B.变式训练1．已知函数2211fxxx

x−=+，则()3f=（）A．13B．12C．11D．10【答案】C【详解】2221112fxxxxxx−=+=−+Q，()22fxx=+，()39211f=+=.故选：C.变式训

练2．若函数2112fxxxx+=+，且()4fm=，则实数m的值为（）A．6B．6或6−C．6−D．3【答案】B【详解】令1xtx+=（2t或2t−），22221122xxtxx+=+−=−，()22

ftt=−，()224fmm=−=，6m=.故选；B变式训练3．已知0x时，函数()fx满足2211()fxxxx−=+，则()fx的表达式为（）A．1()(0)fxxxx=+B．2()2(0)fxxx=+C．2()(0)fxxx=D．21(

)()(0)fxxxx=−【答案】B【详解】因为222111()()2fxxxxxx−=+=−+，所以2()2(0)fxxx=+．故选：B．考点五：方程组法例5．已知2()2()3fxfxxx+−=−，则()fx=（）A．2xx+B．2xC．23xx+D．2

3xx+【答案】A【详解】解：由2()2()3fxfxxx+−=−，得2()2()3fxfxxx−+=+22()2()3()2()3fxfxxxfxfxxx+−=−−+=+，解得2()fxxx=+.故选

：A.变式训练1．已知函数()fx满足()()2fxfxx+−=，则()1f=（）A．1−B．1C．13−D．13【答案】A【详解】分别令1x=，=1x−，则(1)2(1)1(1)2(1)1ffff+−=−+=−，解得(1)1f=−

.故选：A变式训练2．已知函数()fx的定义域为R，对任意xR均满足：()()231fxfxx−−=+则函数()fx解析式为（）A．()1fxx=+B．()1fxx=−C．()1fxx=−+D．()1fxx=−−【答案】A【详解】由()()231fxfxx−−=+，可得()()231

fxfxx−−=−+①，又()()4262−−=+fxfxx②，①＋②得：()333fxx=+，解得()1fxx=+，故选：A．变式训练3．已知函数()fx的定义域为0xx，且满足()1623fxfxx+=−，则

()2fx=（）A．6123xx−+B．241xx−+−C．181xx−+−D．481xx−+−【答案】C【详解】因为()1623fxfxx+=−①，所以()1263ffxxx+=−②，2−①②得()6

3123fxxx−=−+，即()241fxxx=−+−，所以()1281fxxx=−+−．故选：C.考点六：单调性换元法例6．已知函数()fx是定义在()0,+上的增函数，且()1affxx+=，()10f=，则()3f=（）A

．23B．43C．2D．3【答案】B【详解】令()afxtx+=，即有()1=ft，因函数()fx是定义在()0,+上的增函数，则t为常数，因此()afxtx=−+，从而()()110aftttfat=−+==−+=，解得2at==

，于是得()22fxx=−+，显然函数()fx在()0,+上递增，所以()243233f=−+=.故选：B变式训练1．已知函数()fx是一次函数，且()45ffxx−=恒成立，则()2f=（）A．1B．3C．7D．9【答案】D【详解】因为函数()fx是一次函数，且()45ff

xx−=恒成立，令()4fxxt−=，则()4fxxt=+，所以()45fttt=+=，解得1t=，所以()41fxx=+，(2)2419f=+=，故选：D变式训练2．设()yfx=在定义域(0,)+上是单调函数，当()0,x+

时，都有1()2ffxx−=，则(3)f的为（）A．2B．3C．32D．43【答案】D【详解】设1()fxtx−=,则()2ft=,1()fxtx=+∵()yfx=在定义域(0,)+上是单调函数∴方程()2ft=只有一解,即t为定值.又∵()12ftt

t=+=∴1t=即()14333ft=+=故选：D.变式训练3．已知函数()fx是定义在)2,+上的单调函数，且()()234ffxxx+−=，则()fx的值域是（）A．17,4+B．17,4−C．)4,+D

．(,4−【答案】D【详解】设()23fxxxt+−=，由于()fx是单调的，所以t是唯一的，()23fxxxt=−++，从而()244fttt=−+=，解得t＝2，故()2231732424fxxxx=−++=−−+；故选：D.考点七：迭代法例7．设1()1xfxx+=−，

又记1()()fxfx=，1()(())kkfxffx+=，1k=，2，3，，则2021()fx=（）A．1x−B．xC．11xx−+D．11xx+−【答案】D【详解】根据题意，1()1xfxx+=−，则21111()[()]111xxfxffxxxx++−===−+−−，

32111()[()]111xxfxffxxx−−===−++，43()[()]fxffxx==，则4()()nnfxfx+=，故202111()()()1xfxfxfxx+===−，故选：D．变式训练1．已知函数()21fxx=+，若()

()()1fxffx=，()()()21fxffx=，则方程()()()120fxfxfx++=的解为（）A．12−B．57−C．47−D．1114−【答案】D【详解】∵()21fxx=+，∴1()(())2(21)143fxffxxx==++=+，21()

(())2(43)187fxffxxx==++=+，12()()()14110fxfxfxx++=+=，1114x=−．故选：D．变式训练2．设函数()(0)1xfxxx=+，记1()()fxfx=，()21()

()fxffx=，…，1()[()]nnfxffx+=，则2019()fx等于（）A．20191xx+B．2019xx+C．201920191xx+D．20191xx+【答案】A【详解】函数()(0)1xfxxx=+则1()()1xfxfxx=+=21()1

2111xxxxfxfxxxx+===++++()2321()()31121xxxfxffxxxx+===+++()1()()1nnxfxffxnx−==+所以2019()20191xfxx=+故选:A变式训

练3．定义函数序列：()()()121321()(),()(),()(),,()()1nnxfxfxfxffxfxffxfxffxx−=====−，则函数()2017yfx=的图象与曲线12017yx=−的交点坐标为（）A．112018

−−，B．102017−，C．112016−，D．122015−，【答案】A【详解】由题意()()11xfxfxx==−．()()()2111211xxxf

xffxxxx−===−−−，()()()321213112xxxfxffxxxx−===−−−，()()()11nnxfxffxnx−==−，()201712017xfxx=−，由1201712017yxxyx=−=−得：112016xy==−，

或112018xy=−=−，由()()11xfxfxx==−中1x得：函数()2017yfx=的图象与曲线12017yx=−的交点坐标为112018−−，.故选：A．考点八：赋值法例7．设函数f：R→R满足f(0)＝1

，且对任意,xyR，都有()()()()12fxyfxfyfyx+=−−+，则()2017f＝（）A．0B．2018C．2017D．1【答案】B【详解】()()()()12fxyfxfyfyx+=−−+，令0xy==，得

()11102f=−−+，()12f=，令()()()()0,1002yffxffx==−−+，又()01f=，()1fxx=+，()2017201712018f=+=，故选B.变式训练1．已知定义在R上

的函数()fx满足:()()()1fxyfxfy+=++，若(8)7f=,则(2)f=（）A．7B．3C．2D．1【答案】D【分析】由题意可令x=y=4，求得f（4）；再令x=y=2，即可得到f（2）的值．【详解】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且

f（8）=15，令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，解得f（4）=3，再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，解得f（2）=1．故选D．变式训练2．设()fx是定义在R上的函数，且满

足对任意,xy等式()()()22343fyxfxyxy−=−+−+恒成立，则()fx的解析式为_____________．【答案】()()31fxxx=+【解析】()fx是定义在R上的函数，且对任意,xy，()()()22343fyxfxyxy−=−

+−+恒成立，令yx=，得()()()22343fxxfxxxx−=−+−+，即()()()2333fxfxxx=−++，()()3333fxxx=+，()()31fxxx=+。故答案为：()()31fxxx=+变式训练3．对任意实数x，y，都有()()222233fxyfyxxyyxy+−

=+−+−，求函数()fx的解析式______________．【答案】()23fxxx=+【解析】方法一：()()222233fxyfyxxyyxy+−=+−+−对任意实数x,y都成立,令0xy==,得

()00f=,再令0y=,得()()2203fxfxx−=+,()23fxxx=+方法二：在已知式子中,令0x=,得()()223fyfyyy−=−−,()23fyyy−=−−,()23fyyy=+,令yx=,得()23fxxx=+【课堂小

结】1．知识清单：(1)常见函数的解析式．(2)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．【课后作业】1．设()21fxx=−，则()2fx+等于（）A．23x−B．3x−

C．23x+D．3x+【答案】C【详解】∵()21fxx=−，∴()()222123fxxx+=+−=+，故选：C．2．已知()13fxx+=+，则()fx的解析式为（）A．()40xx+B．()230xx+C．()2241−+xxxD

．()231xx+【答案】C【详解】令()11xtt+=，则()22211ttxt=−−=+，又()13fxx+=+，所以()224fttt=−+，则()()2241=−+fxxxx，故选：C.3．已知函数()()22110xfxxx−−=，则()fx=（）A．()()2

1101xx−−B．()()21111xx−−C．()()24101xx−−D．()()24111xx−−【答案】B【详解】令1tx=−，则1xt=−，且0x，则1t，可得()()()()()2221111,111tftttt−−==−−−，所以()()(

)21111xxxf−=−.故选：B.4．已知()2132fxx+=−，且()4fa=，则=a（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】令21,tx=+则1,2tx−=所以()()13732222tftt−=−=−，所以函数()fx的解析式为()37

22fxx=−，又因为()4fa=，所以()37422faa=−=，解得5a=.故选：D.5．设()fx为一次函数，且()()41ffxx=−．若()35f=−，则()fx的解析式为（）A．()211fxx=−或()21fxx=−+B．()21fxx=−+C．()211fxx=

−D．()21fxx=+【答案】B【详解】设()fxkxb=+，其中0k，则()()()()241ffxkkxbbkxkbbx=++=++=−，所以，241kkbb=+=−，解得21kb=−=或213k

b==−.当2k=−时，()21fxx=−+，此时()35f=−，合乎题意；当2k=时，()123fxx=−，此时()1733f=，不合乎题意.综上所述，()21fxx=−+.故选：B.6．一次函数()fx满足()()()123fff+=，且()()234fff=（

），则()fx的解析式为（）A．()23fxx=B．()32fxx=C．()1fxx=+D．()21fxx=−+【答案】A【详解】由题意，设()()0fxkxbk=+，.∵()()()123fff+=，即23kbkbkb+++=+，可得：0b=.又∵()()()234fff=即234k

kk=∴23k=，∴()fx的解析式为()23fxx=．故选：A．7．设函数()45fxx=−，()()21gxfx+=，则函数()gx的解析式是（）A．()21gxx=+B．()21gxx=−C．()25gxx=+D．()27gxx=−【答案】D【详解】∵()()21452217

gxxx+=−=+−，∴()27gxx=−．故选：D．8．已知111fxx=+−，则()fx的解析式为（）A．1()(2)2fxxx=−+B．1()(0)xfxxx+=C．1()2(0)fxxx=+D．1()1(

0)fxxx=−【答案】C【详解】令11tx=−，即11xt=+，则()11112fttt=++=+，由10x−，则0t，故()fx的解析式为()()12,0fxxx=+.故选：C.9．已知定义在R上的函数()fx满足()()21fxfxx−−=+

，则()fx=（）A．13x+B．13x+C．13x+D．1x+【答案】A【详解】由()()21fxfxx−−=+可得()()21fxfxx−−=−+，所以由()()()()2121fxfxxfxfxx−−=+−−=−+解得()13xfx=+，故选：A1

0．若函数()fx满足()1221fxfxx+=+，则()2f=（）A．13−B．23C．83D．12【答案】A【详解】因为函数()fx满足()1221fxfxx+=+---①所以()1221ffxxx+=+---②联立①②，得()()1221122

1fxfxxffxxx+=++=+，解得()421333xfxx=−+，∴()441126333f=−+=−故选：A11．已知二次函数()fx满足()()2211075fxfxxx+−=−+，则()()1

ff=（）A．1B．7C．8D．16【答案】B【详解】设()()20fxaxbxca=++，因为()()2211075fxfxxx+−=−+，所以()()22242111075axbxcaxbxcxx+++−+−+=

−+，化简可得：()2253221075axbaxabcxx+−+−+=−+，所以51032725abaabc=−=−−+=，所以211abc==−=，所以()221fxxx=−+，所以()12112f=−+=，所以()()(

)1224217fff==−+=，故选：B.12．已知函数2211fxxxx−=+，则23f=（）．A．229B．4C．72D．9736【答案】A【详解】函数2221112fxxxxxx−

=+=−+，所以()22fxx=+，42229923f=+=．故选：A．13．若11xFxx−=+，则下列等式中正确的是（）A．()1FFxx=B．()()FFxx=C．()11xFxFx−−=+

D．()()22FxFx−−=−−−【答案】B【详解】令11221,1111xxttxxx−−−+===−−+++，则21,1xt=−+所以由11xFxx−=+可得()211Ftt=−+即()21111xFxxx−=−=++，对于A，()1111111xxFFxxxx−−

==++，故不正确；对于B，()()11111111xxxFFxFxxxx−−−+===−+++，故正确；对于C，()1111xxFxFxx+−−=−+，故不正确；对于D，()()()1232121xxFxxx−−−+−−==+

−−−−，()132211xxFxxx+−−−−=−−=−−，所以()()22FxFx−−−−−，故不正确故选：B14．设()fx是定义域为R的单调函数，且()()34ffxx−=，则（）A．()1

1f−=−B．()01f=C．()12f=D．()23f=【答案】B【详解】令()3tfxx=−，则()4ft=，因为()fx是定义域为R的单调函数，所以t为常数，即()3fxxt=+，所以()44ftt=

=，解得1t=，所以()31fxx=+，故()()()()01,12,14,27ffff=−=−==.故选：B15．已知函数()yfx=，xR，且(0)3f=，(2)4(0)ff=，(4)4(2)f

f=，()()644ff=，…，(2)4(22)fnfn=−，*nN，则函数()yfx=的解析式可以是（）A．()32xfx=B．()34xfx=C．()38xfx=D．()4xfx=【答案】A【详解】因为(0)3f=，(2)4(0)ff=，(4)4(2)ff=，()()644ff=，…，

(2)4(22)fnfn=−，以上各式相乘可得(2)(4)(2)(0)...34(0)(2)(22)nfffnffffn=−，即(2)34nfn=，*nN，令2xn=，则2xn=，所以()32xfx=.故选：A.16．已知函数()fx满足()()()fab

fafb=+且(2),(3),fpfq==则(36)f等于（）A．2()pq+B．()ppq+C．22pqD．22pq+【答案】A【详解】∵()()()fxyfxfy=+，()2fp=，()3fq=，∴36262232ffffpq==+=+（）（）（）（）（）故选

A.17．设函数:fRR→满足()01f=，且对任意x、Ry都有()()12fxyfyy−=−−，则()2019f=（）A．2020B．2018−C．2019D．2018【答案】A【详解】对任意x、Ry都有()()12fxyfyy−=−−，且()01f=，令0xy==，得()()

102121ff−=−=−=−，令0x=，可得()()121ffyy−=−−=−，()1fyy=+，因此，()2019201912020f=+=.故选：A.18．定义函数序列：()()11fxfxxx==－，()

()21fxffx=，()()32fxffx=，......，()()1nnfxffx−=，则函数()2021yfx=的图像与曲线12021yx=－的交点坐标为（）A．11,2021−−

B．10,2021−C．11,2022−D．11,2022−−【答案】D【详解】∵()()11xfxfxx==−，()()2111211xxxfxffxxxx−===−−−，()()321213112xxxfxffxxxx−===−−−，..

....()1nxfxnx=−，则()202112021xfxx=−由111,1202120212022xxyxx==−=−−−，故选：D.