【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程(人教A版2019) 第29讲 求解函数解析式 Word版含解析.docx,共(21)页,1.566 MB,由管理员店铺上传
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第二十九讲:求解函数解析式【教学目标】1.掌握常见的一次函数,反比例函数,二次函数的解析式;2.会求函数的解析式;3.会学习抽象函数的函数值和函数解析式.【基础知识】求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可;(2)代
入法:通过带入的方法,进行函数解析式的求解;(3)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可;注意:应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性.(4)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再
用x代替两边所有的“g(x)”即可;(5)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解;(6)迭代法:通过迭代的思想,计算,找到对应的规律进行函数解析式的求解;(7
)赋值法:通过赋值的性质,进行对应函数值或函数解析式的求解.【题型目录】考点一:待定系数法考点二:代入法考点三:换元法考点四:配凑法考点五:方程组法考点六:迭代法考点七:赋值法【考点剖析】考点一:待定系数法例1.若二次函数()fx满足(1)()2fxfxx+−=,且(0)1f=,则()fx的表达
式为()A.2()1fxxx=−−−B.2()1fxxx=−+−C.2()1fxxx=−−D.2()1fxxx=−+【答案】D【详解】设()2fxaxbxc=++,0a,∵()01f=,则1c=,()21f
xaxbx=++又∵()()12fxfxx+−=,令0x=,则()()100ff−=,∴()11f=,即11ab++=,0ab+=,令1x=,则()()212ff−=,()23f=,即4213ab++=,21ab+=,∴1a=,1b=-,()2
1fxxx=−+.故选:D.变式训练1.已知一次函数()fx满足()()2196fxfxx++=+,则()4f=()A.12B.13C.14D.15【答案】B【详解】设()()0fxaxba=+,则()()()2122133fxfxaxbaxbaxab+
+=++++=++,因为()()2196fxfxx++=+,所以3936aab=+=,解得3,1ab==,所以()31fxx=+,()413f=.故选:B.变式训练2.已知一次函数()fx满足(2)2(21)9
4fxfxx+−+=−−,则()fx解折式为()A.()24fxx=−−B.()23fxx=−+C.()34=+fxxD.()32fxx=−+【答案】C【详解】设一次函数()fxaxb=+,则(2)2(21)242294fxfxaxabaxabx+−+=++−−−=−−,即394axbx−−=−−
,所以394ab−=−−=−解得34ab==,所以()34=+fxx,故选:C.变式训练3.已知二次函数()fx满足(2)1,(1)()ffxfx=−−=,且()fx的最大值是8,则此二次函数的解
析式为()fx=()A.2447xx−++B.2447xx++C.2447xx−−+D.2447xx−+−【答案】A【详解】根据题意,由(1)()fxfx−=得:()fx的对称轴为12x=,设二次函数为21
()(0)2fxaxka=−+,因()fx的最大值是8,所以a<0,当12x=时,182fk==,即二次函数21()8(0)2fxaxa=−+,由(2)1f=−得:21
(2)2812fa=−+=−,解得:4a=−,则二次函数221()484472fxxxx=−−+=−++,故选:A.考点二:代入法例2.若()()61fgxx=+,且()21gxx=+,则()fx=()A.3B.3xC.32x−D.33x
−【答案】C【详解】因为()()61fgxx=+,()21gxx=+,则()2161fxx+=+设21,xt+=即21xt=−则()()311ftt=−+,即()32ftt=−所以()32fxx=−故选:C.变式训练1.已知函数()43fxx=−,若()()23fgxx
=+,则函数()gx的解析式为()A.()1322gxx=+B.()1322gxx=−C.()3122gxx=+D.()3122gxx=−【答案】A【详解】由题意,()()()4323fgxgxx=−=+,即()1322gxx=+.故选:A变式训练2.若函数
()63fgxx=+,且()21gxx=+,则()fx等于()A.129x+B.61x+C.3D.3x【答案】D【详解】令()21gxxt=+=,则12tx−=()63132fttt−=+=即()3fxx=故选:D.变式
训练3.设()23fxx=+,()()21gxfx+=−,则()gx=()A.21x+B.23x−C.21x−D.23x+【答案】B【详解】因为()23fxx=+,所以()()1=21321fxxx−−+=+又因为()()21gxfx+=−
,所以()221gxx+=+,令2xt+=,则2xt=−,()()22123gttt=−+=−,所以()23gxx=−.故选:B.考点三:换元法例3.若(1)1fxx+=+,则()fx的解析式为()A.2()fxx=B.2()22(0)fx
xxx=−+C.2()22(1)fxxxx=−+D.2()1fxx=+【答案】C【详解】解:令1xt+=,1t,则2(1)xt=−,则22()(1)122ftttt=−+=−+,1t,∴函数()f
x的解析式为2()22(1)fxxxx=−+.故选:C.变式训练1.设函数121fxx=+,则()fx的表达式为()A.()1021xx+B.()210xx+C.()111xxx+−−D.()211
xxx−+【答案】B【详解】令1tx=,则0t且1xt=,所以,()()210fttt=+,因此,()()210fxxx=+.故选:B.变式训练2.已知11232fxx−=+,若()5ft=,则t=(
)A.14−B.14C.12−D.12【答案】C【详解】设112xt−=,因为11232fxx−=+所以()47ftt=+,又()5ft=,所以475t+=,所以12t=−.故选:C.变式训练3.已知函数221111xxfxx−−
=++,则()fx的解析式为()A.()()2211xfxxx=−+B.()()2211xfxxx=−−+C.()()211xfxxx=−+D.()()211xfxxx=−−+【答案】A【详解】令11xtx−=+,则11txt
−=+,所以()()222112111111tttfttttt−−+==−+−++,所以()()2211xfxxx=−+,故选:A.考点四:配凑法例4.若函数2112fxxxx+=+,且()7f
m=,则实数m的值为()A.5或5−B.3−或3C.5D.3【答案】B【详解】令()1,22,txx=+−−+,则22221122xxtxx+=+−=−,可得:()22ftt=−,即()()22,,22,fxxx=−−−+,∵
()227fmm=−=,∴3m=.故选:B.变式训练1.已知函数2211fxxxx−=+,则()3f=()A.13B.12C.11D.10【答案】C【详解】2221112fxxxxxx−=+=−+Q,()22fxx
=+,()39211f=+=.故选:C.变式训练2.若函数2112fxxxx+=+,且()4fm=,则实数m的值为()A.6B.6或6−C.6−D.3【答案】B【详解】令1xtx+=(2t
或2t−),22221122xxtxx+=+−=−,()22ftt=−,()224fmm=−=,6m=.故选;B变式训练3.已知0x时,函数()fx满足2211()fxxxx−=+,则()fx的表达式为()A.1()(0)fxxxx=+
B.2()2(0)fxxx=+C.2()(0)fxxx=D.21()()(0)fxxxx=−【答案】B【详解】因为222111()()2fxxxxxx−=+=−+,所以2()2(0)fxxx=+.故选:B.考点五:方程组法例5.已知2()2()3fxfxxx+
−=−,则()fx=()A.2xx+B.2xC.23xx+D.23xx+【答案】A【详解】解:由2()2()3fxfxxx+−=−,得2()2()3fxfxxx−+=+22()2()3()2()3fxfxxxfxfxxx+−=−−+=+,解得2()fxxx=+.故选:A.
变式训练1.已知函数()fx满足()()2fxfxx+−=,则()1f=()A.1−B.1C.13−D.13【答案】A【详解】分别令1x=,=1x−,则(1)2(1)1(1)2(1)1ffff+−=−+=−,解得(1)1f=−.故选:A变式训练2.已知函数()fx的定义域为R,对任意
xR均满足:()()231fxfxx−−=+则函数()fx解析式为()A.()1fxx=+B.()1fxx=−C.()1fxx=−+D.()1fxx=−−【答案】A【详解】由()()231fxfxx−−
=+,可得()()231fxfxx−−=−+①,又()()4262−−=+fxfxx②,①+②得:()333fxx=+,解得()1fxx=+,故选:A.变式训练3.已知函数()fx的定义域为0xx,且满足()1623fxfxx+=−
,则()2fx=()A.6123xx−+B.241xx−+−C.181xx−+−D.481xx−+−【答案】C【详解】因为()1623fxfxx+=−①,所以()1263ffxxx+=−②,2−①②得()63123fxxx−
=−+,即()241fxxx=−+−,所以()1281fxxx=−+−.故选:C.考点六:单调性换元法例6.已知函数()fx是定义在()0,+上的增函数,且()1affxx+=,()10f=,则()3f=()A.23B.43C.2D.3【答案】B【详解】令()afxtx+=,即有(
)1=ft,因函数()fx是定义在()0,+上的增函数,则t为常数,因此()afxtx=−+,从而()()110aftttfat=−+==−+=,解得2at==,于是得()22fxx=−+,显然函数()fx在()0,+上递增,所以()243233
f=−+=.故选:B变式训练1.已知函数()fx是一次函数,且()45ffxx−=恒成立,则()2f=()A.1B.3C.7D.9【答案】D【详解】因为函数()fx是一次函数,且()45ffxx−=恒成立,令()4f
xxt−=,则()4fxxt=+,所以()45fttt=+=,解得1t=,所以()41fxx=+,(2)2419f=+=,故选:D变式训练2.设()yfx=在定义域(0,)+上是单调函数,当()0,x+时,都有1()2ffxx−=
,则(3)f的为()A.2B.3C.32D.43【答案】D【详解】设1()fxtx−=,则()2ft=,1()fxtx=+∵()yfx=在定义域(0,)+上是单调函数∴方程()2ft=只有一解,即t为定值.又∵()12
fttt=+=∴1t=即()14333ft=+=故选:D.变式训练3.已知函数()fx是定义在)2,+上的单调函数,且()()234ffxxx+−=,则()fx的值域是()A.17,4+B.17,4−C.)4,+D.(,4−【答案】D【详解】设()2
3fxxxt+−=,由于()fx是单调的,所以t是唯一的,()23fxxxt=−++,从而()244fttt=−+=,解得t=2,故()2231732424fxxxx=−++=−−+;故选:D.考点七:迭代法例7.设1()
1xfxx+=−,又记1()()fxfx=,1()(())kkfxffx+=,1k=,2,3,,则2021()fx=()A.1x−B.xC.11xx−+D.11xx+−【答案】D【详解】根据题意,1
()1xfxx+=−,则21111()[()]111xxfxffxxxx++−===−+−−,32111()[()]111xxfxffxxx−−===−++,43()[()]fxffxx==,则4()()n
nfxfx+=,故202111()()()1xfxfxfxx+===−,故选:D.变式训练1.已知函数()21fxx=+,若()()()1fxffx=,()()()21fxffx=,则方程()()()120fxfxfx++=的解为()A.12
−B.57−C.47−D.1114−【答案】D【详解】∵()21fxx=+,∴1()(())2(21)143fxffxxx==++=+,21()(())2(43)187fxffxxx==++=+,12()()()
14110fxfxfxx++=+=,1114x=−.故选:D.变式训练2.设函数()(0)1xfxxx=+,记1()()fxfx=,()21()()fxffx=,…,1()[()]nnfxffx+=,则2019()fx等于()A.20191xx+B.2019xx+C.
201920191xx+D.20191xx+【答案】A【详解】函数()(0)1xfxxx=+则1()()1xfxfxx=+=21()12111xxxxfxfxxxx+===++++()2321()()31121xxxfxffxxxx+===+++
()1()()1nnxfxffxnx−==+所以2019()20191xfxx=+故选:A变式训练3.定义函数序列:()()()121321()(),()(),()(),,()()1nnxfxfxfxffxfxffxfxffxx−=====−,则函数()2017yfx=的图象
与曲线12017yx=−的交点坐标为()A.112018−−,B.102017−,C.112016−,D.122015−,【答案】A【详解】由题意()()11xfxfxx==−.()()()2111211xxxfxffxxxx−===−
−−,()()()321213112xxxfxffxxxx−===−−−,()()()11nnxfxffxnx−==−,()201712017xfxx=−,由1201712017yxxyx=−=−得:1
12016xy==−,或112018xy=−=−,由()()11xfxfxx==−中1x得:函数()2017yfx=的图象与曲线12017yx=−的交点坐标为112018−−,.故选:A.考点八:赋值法例7
.设函数f:R→R满足f(0)=1,且对任意,xyR,都有()()()()12fxyfxfyfyx+=−−+,则()2017f=()A.0B.2018C.2017D.1【答案】B【详解】()()()()12fxyfxfyfyx+=−−+,令
0xy==,得()11102f=−−+,()12f=,令()()()()0,1002yffxffx==−−+,又()01f=,()1fxx=+,()2017201712018f=+=,故选B.变式训练1.已知定义在R上的函数()
fx满足:()()()1fxyfxfy+=++,若(8)7f=,则(2)f=()A.7B.3C.2D.1【答案】D【分析】由题意可令x=y=4,求得f(4);再令x=y=2,即可得到f(2)的值.【详解】f(x+y)=f(x)+f(y)+
1,且f(8)=15,令x=y=4,可得f(8)=2f(4)+1=7,解得f(4)=3,再令x=y=2,可得f(4)=2f(2)+1=3,解得f(2)=1.故选D.变式训练2.设()fx是定义在R上的函数,且满足对任意,xy等式
()()()22343fyxfxyxy−=−+−+恒成立,则()fx的解析式为_____________.【答案】()()31fxxx=+【解析】()fx是定义在R上的函数,且对任意,xy,()()()223
43fyxfxyxy−=−+−+恒成立,令yx=,得()()()22343fxxfxxxx−=−+−+,即()()()2333fxfxxx=−++,()()3333fxxx=+,()()31fxxx=+。故答案为:()()31fxxx=+变式训练3.对任意实数x,
y,都有()()222233fxyfyxxyyxy+−=+−+−,求函数()fx的解析式______________.【答案】()23fxxx=+【解析】方法一:()()222233fxyfyxxyyxy+−=+−+−对任意实数x,y都成立,令0x
y==,得()00f=,再令0y=,得()()2203fxfxx−=+,()23fxxx=+方法二:在已知式子中,令0x=,得()()223fyfyyy−=−−,()23fyyy−=−−,()23fyyy=+,令yx=,得()23fxxx=+【课堂小结】1.知识清单:(1)常见函
数的解析式.(2)求函数解析式.2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.3.常见误区:求函数解析式时易忽视定义域.【课后作业】1.设()21fxx=−,则()2fx+等于()A.23x−B.3x−C.23x+D.3x+【答案】C【详
解】∵()21fxx=−,∴()()222123fxxx+=+−=+,故选:C.2.已知()13fxx+=+,则()fx的解析式为()A.()40xx+B.()230xx+C.()2241−+xxxD.()231xx+【答案】
C【详解】令()11xtt+=,则()22211ttxt=−−=+,又()13fxx+=+,所以()224fttt=−+,则()()2241=−+fxxxx,故选:C.3.已知函数()()22110xfxxx−−=,则()fx=()A.()()21101xx−−B.()()211
11xx−−C.()()24101xx−−D.()()24111xx−−【答案】B【详解】令1tx=−,则1xt=−,且0x,则1t,可得()()()()()2221111,111tftttt−−==−−−,所以()()()211
11xxxf−=−.故选:B.4.已知()2132fxx+=−,且()4fa=,则=a()A.2B.3C.4D.5【答案】D【详解】令21,tx=+则1,2tx−=所以()()13732222tftt−=−=−,所以函数()fx的解析式为()3722fxx=−,又因为(
)4fa=,所以()37422faa=−=,解得5a=.故选:D.5.设()fx为一次函数,且()()41ffxx=−.若()35f=−,则()fx的解析式为()A.()211fxx=−或()21fxx=−+B.()21fxx=−+C.()211fxx=−D.()
21fxx=+【答案】B【详解】设()fxkxb=+,其中0k,则()()()()241ffxkkxbbkxkbbx=++=++=−,所以,241kkbb=+=−,解得21kb=−=或213kb==−.当2k=−时,()21fxx=−+,此时()35f=
−,合乎题意;当2k=时,()123fxx=−,此时()1733f=,不合乎题意.综上所述,()21fxx=−+.故选:B.6.一次函数()fx满足()()()123fff+=,且()()234fff=(),则()fx的解析式为()A.()23fxx=B.()32fxx=
C.()1fxx=+D.()21fxx=−+【答案】A【详解】由题意,设()()0fxkxbk=+,.∵()()()123fff+=,即23kbkbkb+++=+,可得:0b=.又∵()()()234fff=即234kkk=∴23k=,∴()fx的
解析式为()23fxx=.故选:A.7.设函数()45fxx=−,()()21gxfx+=,则函数()gx的解析式是()A.()21gxx=+B.()21gxx=−C.()25gxx=+D.()27gxx=−【答
案】D【详解】∵()()21452217gxxx+=−=+−,∴()27gxx=−.故选:D.8.已知111fxx=+−,则()fx的解析式为()A.1()(2)2fxxx=−+B.1()(0)xfxxx+=C.1()2(0)fxxx=+D.1()
1(0)fxxx=−【答案】C【详解】令11tx=−,即11xt=+,则()11112fttt=++=+,由10x−,则0t,故()fx的解析式为()()12,0fxxx=+.故选:C.9.已知定
义在R上的函数()fx满足()()21fxfxx−−=+,则()fx=()A.13x+B.13x+C.13x+D.1x+【答案】A【详解】由()()21fxfxx−−=+可得()()21fxfxx−−=−
+,所以由()()()()2121fxfxxfxfxx−−=+−−=−+解得()13xfx=+,故选:A10.若函数()fx满足()1221fxfxx+=+,则()2f=()A.13−B.23C.83D.12【答案
】A【详解】因为函数()fx满足()1221fxfxx+=+---①所以()1221ffxxx+=+---②联立①②,得()()12211221fxfxxffxxx+=++=+,解得()421333xfxx
=−+,∴()441126333f=−+=−故选:A11.已知二次函数()fx满足()()2211075fxfxxx+−=−+,则()()1ff=()A.1B.7C.8D.16【答案】B【详解】设()()20fxaxbxca=++,因
为()()2211075fxfxxx+−=−+,所以()()22242111075axbxcaxbxcxx+++−+−+=−+,化简可得:()2253221075axbaxabcxx+−+−+=−+,所以51032725abaabc=−=−
−+=,所以211abc==−=,所以()221fxxx=−+,所以()12112f=−+=,所以()()()1224217fff==−+=,故选:B.12.已知函数2211fxxxx−=+,则23f=
().A.229B.4C.72D.9736【答案】A【详解】函数2221112fxxxxxx−=+=−+,所以()22fxx=+,42229923f=+=.故选:A.13.若11xFxx−=+,则下列
等式中正确的是()A.()1FFxx=B.()()FFxx=C.()11xFxFx−−=+D.()()22FxFx−−=−−−【答案】B【详解】令11221,1111xxttxxx−−−+===−−+++,则21,1xt=−+
所以由11xFxx−=+可得()211Ftt=−+即()21111xFxxx−=−=++,对于A,()1111111xxFFxxxx−−==++,故不正确;对于B,()()111111
11xxxFFxFxxxx−−−+===−+++,故正确;对于C,()1111xxFxFxx+−−=−+,故不正确;对于D,()()()1232121xxFxxx−−−+−−==+−−−−,()132211xxFxxx+−
−−−=−−=−−,所以()()22FxFx−−−−−,故不正确故选:B14.设()fx是定义域为R的单调函数,且()()34ffxx−=,则()A.()11f−=−B.()01f=C.()12f=D
.()23f=【答案】B【详解】令()3tfxx=−,则()4ft=,因为()fx是定义域为R的单调函数,所以t为常数,即()3fxxt=+,所以()44ftt==,解得1t=,所以()31fxx=+,故()()
()()01,12,14,27ffff=−=−==.故选:B15.已知函数()yfx=,xR,且(0)3f=,(2)4(0)ff=,(4)4(2)ff=,()()644ff=,…,(2)4(22)fnfn=−,*nN,则函数()yfx=的解析式可以是()A.()32xfx=B.(
)34xfx=C.()38xfx=D.()4xfx=【答案】A【详解】因为(0)3f=,(2)4(0)ff=,(4)4(2)ff=,()()644ff=,…,(2)4(22)fnfn=−,以上各式相乘可得(2)(4)(2)(0)...34(0)(2)(22)nfffnffffn
=−,即(2)34nfn=,*nN,令2xn=,则2xn=,所以()32xfx=.故选:A.16.已知函数()fx满足()()()fabfafb=+且(2),(3),fpfq==则(36)f等于()A.2()pq+B.()ppq+C.22pqD.22pq+【答案】
A【详解】∵()()()fxyfxfy=+,()2fp=,()3fq=,∴36262232ffffpq==+=+()()()()()故选A.17.设函数:fRR→满足()01f=,且对任意x、Ry都有()()12fxyfyy−=−−,则()2019f=()A.2020B.2018−C.201
9D.2018【答案】A【详解】对任意x、Ry都有()()12fxyfyy−=−−,且()01f=,令0xy==,得()()102121ff−=−=−=−,令0x=,可得()()121ffyy−=−−=−,()1fyy=+,因此,()2019201912020f=+=.故选:
A.18.定义函数序列:()()11fxfxxx==-,()()21fxffx=,()()32fxffx=,......,()()1nnfxffx−=,则函数()2021yfx=的图像与曲线12021yx=-的交点坐标为()A.11,2021−−B.1
0,2021−C.11,2022−D.11,2022−−【答案】D【详解】∵()()11xfxfxx==−,()()2111211xxxfxffxxxx−===−−−,()()321213112xx
xfxffxxxx−===−−−,......()1nxfxnx=−,则()202112021xfxx=−由111,1202120212022xxyxx==−=−−−,故选:D.