【文档说明】天津市耀华中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.622 MB，由小赞的店铺上传

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天津市耀华中学2021届高三年级第二次月考数学学科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U=R，集合()ln1Axyx==−，22Byyx==+，则()UAB=ð（）A.()1,2B.(

1,2C.)1,2D.1,2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由集合的表示方法分析,AB，求出B的补集，由集合的交集定义计算可得答案.【详解】()ln1=(1,+)Axyx==−，22[2,)Byyx==+=+，所以(,2)

UB=−ð，所以()(1,2)UAB=ð，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，可以从以下几点入手：（1）先利用结合的表示方法求得集合；（2）利用补集的定义求得UBð；（3）利用交集的定义求()UAB∩ð.2.已知命题p：()0,x+，ln0xx+，则

p为（）A.()0,x+，ln0xx+B.()0,x+，ln0xx+C.()0,x+，ln0xx+D.()0,x+，ln0xx+【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，按照“一改量词，二改结论”，可得答

案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“()0,x+，ln0xx+”的否定是“()0,x+，ln0xx+”.故选：C.3.已知(12)zii−=，则下列说法正确的是（）A.复数z的虚部为5iB.复数z对应的点在复平面的

第二象限C.复数z的共轭复数255iz=−D.15z=【答案】B【解析】【分析】由复数除法求出复数z，然后可判断各选项．【详解】由已知得1(121)212(12)(12)55iiziii+===−+−−+，所以复数z的虚部为15，而不是5i，A错误；在复

平面内，复数z对应的点为21,55−，在第二象限，B正确.255iz=−−，C错误；215||22555z=−+=，D错误；故选：B．【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭

复数的概念及模的定义，属于基础题．4.下列函数中，既是奇函数又在区间()1,1−内是增函数的是（）A.()33fxxx=−B.()sinfxx=C.()1ln1xfxx−=+D.()xxfxee−=+【

答案】B【解析】【分析】利用定义判断各选项中函数的奇偶性，结合导数可判断出各选项中函数的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数()33fxxx=−的定义域为R，()()()()3333fxxxxxfx−=−−−=−+=−，则函数()33fxxx=−为奇函数，当()1,1x

−时，()()()2333110fxxxx=−=−+，函数()fx在区间()1,1−内是减函数，A选项不合乎题意；对于B选项，函数()sinfxx=为奇函数，且当()1,1x−时，函数()sinfxx=为增函数，B选项合乎题意；对于C选项，对于函数()1ln1xfxx−=+，1

01xx−+，即101xx−+，解得11x−，函数()1ln1xfxx−=+的定义域为()1,1−，()()11lnln11xxfxfxxx+−−==−=−−+，该函数为奇函数，()21120111xxfxxxx+−==−+−，则函数()1ln1xfxx−=+在区

间()1,1−内是减函数，不合乎题意；对于D选项，函数()xxfxee−=+的定义域为R，且()()xxfxeefx−−=+=，则函数()xxfxee−=+为偶函数，不合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查函数

奇偶性与单调性的判断，考查了导数的应用，属于中等题.5.已知1275a−=，1357b=，25log7c=，则a、b、c的大小关系是（）．A.bacB.cbaC.cabD.bca【答案】C【解析】【分析】先与0比较，c小于0，再a与b比较，即可判断大小

.【详解】12125757a−==135()7b=，225loglog107c==因此cab故选：C.【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.6.对于直线,mn和平面,，⊥的一个充

分条件是（）A.mn⊥，m∥，n∥B.mn⊥，m=，nC.//mn，n⊥，mD.//mn，m⊥，n⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案

.【详解】A选项中，根据mn⊥，m∥，n∥，得到⊥或∥，所以A错误；B选项中，mn⊥，m=，n，不一定得到⊥，所以B错误；C选项中，因为//mn，n⊥，所以m⊥，又m，从而得到⊥，所以C正确；D选项中，根据//mn，m⊥，所以n⊥，而n⊥，所以得到

∥，所以D错误.故选：C．【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.7.设nS为正项等比数列na的前n项和，5a，33a，4a成等差数列，则84SS的值为（）A.116B.117C.16D.17【答案】D【解析】【分析】设等

比数列的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3，化

为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则()()81884414111111aqSqqaSqqq−−−===−−−1+q4＝1+16＝17．故选D．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方

程思想和化简运算能力，属于基础题．8.函数2()(2)exfxxx=−的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】采用排除法进行排除，根据()00f=可知图象经过原点，以及导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间即可求解.【详解】根据()00f=，排除C，因为()2

2()22e(2)e(2)exxxfxxxxx=−+−=−，由2()(2)e0xfxx=−得2x或2x−，可知()fx在(),2−−和()2,+单调递增，在()2,2−单调递减，排除BD故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及由函数

解析式选择函数的图象，属于常考题型.9.若不等式20axbxc−+的解集是()2,3−，则不等式20bxaxc++的解集是（）A.()3,2−B.()2,3−C.()(),23,−−+D.()(),32,−−+U【答案】D【解析】【分析】根据不等式20axb

xc−+的解集求出a、b和c的关系，代入不等式20bxaxc++中化简，即可求出该不等式的解集．【详解】解：不等式20axbxc−+的解集是()2,3−，所以方程20axbxc−+=的解是-2和3，且0a；即2323baca−+=−=，解得ba=，

6ca=−；所以不等式20bxaxc++化为260axaxa+−，即260xx+−，解得3x−或2x，所以所求不等式的解集是()(),32,−−+U．故选D．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题．10.在ABC中，已知4AB=，6A

C=，60BAC=，点D，E分别在边AB，AC上，且2ABAD=，3ACAE=，点F为DE中点，则BFDE的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】用向量的线性运算表示向量BFDE，，再

运用向量的数量积运算，可得选项．【详解】1111()()()()2223BFDEBDDFDAAEABDEABAC=++=−+−+111113111()()()()246234623ABABACABACABACABAC=−−+−+=−+−+2231131111636466244

.818381832ABACABAC=+−=+−=+−=故选：C．11.已知函数()()sin06fxAxaaA=+−在区间70,3有三个零点1x、2x、3x，且123xxx，若123523xxx++=，则()fx的最小正周期

为（）A.2B.23C.D.43【答案】C【解析】【分析】利用正弦函数的对称性可得出1223xx+=，2383xx+=，再由123523xxx++=可得出的值，由此可求得函数()fx的最小正周期.【详解】当703x时，562x，函数sinyx

=的对称轴方程为()2xkkZ=+，令5622k+，可得123k−，因为kZ，可得0k=或1k=.由于函数()fx在区间70,3有三个零点1x、2x、3x，且123xxx，由对称

性可得1x、2x满足126622xx+++=，可得1223xx+=，由对称性可得2x、3x满足2336622xx+++=，可得2383xx+=，所以，123105233xxx

++==，解得2=，因此，函数()fx的最小正周期为2T==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数周期的求解，解题的关键利用对称性得出1223xx+=，2383xx+=，再结合已知条件求出的值，即可得解.12.已知函数2610()0xxxxfxexx++

=，()()gxfxax=−，若函数()gx有4个零点，则实数a的取值范围为（）A.,84eB.,4e+C.2,44eD.2,4e+【答案】C【解析】【分析】首先将题意转化为函数()yfx=与yax=有4个交点，再利用

数形结合的思想，分类讨论斜率即可得到答案.【详解】因为()gx有4个零点，即函数()yfx=与yax=有4个交点.当0x时，()xefxx=，()()21xexfxx−=，()0,1x，()0fx，()fx为减函数，()1,x+，()0fx，()fx为增函数.且当0x→时，

()fx→+，函数()fx的图像如图所示：当0k时，显然不成立；当0k时，图象yax=与exyx=相切时，只有三个交点，设切点为()11,xy，可得()1111111211xxyaxeyxexax==−=，解得12x=，212ey=，24ea=，若图象ya

x=与exyx=相交时，那么yax=与261yxx=++相切时，只有三个交点设切点为()22,xy，可得22222226126yxxyaxax=++==+，解得21x=−，24y=−，4a=，函数()gx有4个零点，

则实数a的取值范围为2,44e.故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，解题的关键是求出切点以及在切点处的直线的斜率，考查了导数的几何意义和数形结合的思想.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分

，共30分.13.曲线lnyxx=在点()10，处的切线的方程为__________.【答案】1yx=−【解析】【分析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．【详解】ln1yx¢=+，∴切线斜率为1|ln111xky===+=，切线方程为1

yx=−．故答案为：1yx=−．14.71(2)xx+的二项展开式中x的系数是______(用数学作答)．【答案】280【解析】【分析】先由题意，得到二项展开式的通项公式，进而可求出结果.【详解】因为71(2)xx+的二项展开式的通项为：377177721(2)()2+−−−=

=rrrrrrrTCxCxx，令3712r−=，可得4r=，所以x的系数是4372280=C.故答案为280【点睛】本题主要考查求二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.15.已知等差数列{}na，其前n项和为nS，若253924,aaSS+==

，则nS的最大值为________．【答案】72【解析】【分析】根据39SS=，得到670aa+=，结合25240aa+=，得到数列{}na的前6项为正，从而得到6n=时，nS的最大值，得到答案.【详解】由39SS=，得4567890,aaaaaa+++++=

根据等差数列下标公式可得670,aa+=又25240aa+=，所以数列{}na的前6项为正，所以当6n=时，nS有最大值，且616253()3()72Saaaa=+=+=.故答案为72.【点睛】本题考查等差数列的下标公式，前n项

和的最值，属于简单题.16.已知底面为正三角形的直三棱柱111ABCABC−，12ABAA==，则三棱柱111ABCABC−的外接球的表面积为________.【答案】283【解析】【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆直径2r，进而可得出该三棱柱的外接球

直径为()22122RrAA=+，利用球体的表面积公式即可求得结果.【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为h，圆柱的外接球半径为R，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R，则O为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得()()2

2222rhR+=.本题中，设ABC的外接圆为圆1O，可将正三棱柱111ABCABC−内接于圆柱12OO，如下图所示：ABC的外接圆直径为4323sin3ABr==，圆柱12OO的母线长为12hAA==，所以，正三棱柱111ABCABC−的外接球，即圆柱12OO的外

接球直径为()2222432212233Rrhh=+=+=，因此，三棱柱111ABCABC−的外接球的表面积为()2228423RR==.故答案为：283.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①

补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶

点距离也是半径，列关系求解即可.17.各项均为正数且公比q＞1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则25()22nnSa+的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】先根据等比数列的性质求出首

项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立．【详解】解：由题意：a1a5＝a2a4＝4，又由a2+a4＝5，又公比q＞1，∴a2＝1，a4＝4，故2424aqa==，故q＝2，112a=．∴22nna−=，(

)()1121221122nnnS−==−−．∴21215()(22)222nnnnSa−−++=，令t＝2n﹣1∈{1，2，22，23，……}，则原式2(2)444248tttttt+==+++=，当且仅当t＝12n−＝2，即n

＝2时取等号．故答案为：8．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查用基本不等式求最值，求最值时要注意等号成立的条件．18.设10AB=.若平面上点P满足，对于任意tR,有3APtAB−，则PAPB的最小值为________，此时PAP

B+=________.【答案】(1).16−(2).6【解析】【分析】【详解】由3APtAB−可知点P到直线AB的距离为3.设AB的中点为O.由极化恒等式得：()()()22221112103610016444PAPBPAPBPAPBPO=+−−=−−

=−.此时6PAPB+=.三、解答题：本大题共4个小题，共计14×2+16×2=60分.请在解答时写出必要的文字说明、证明过程.19.在ABC中，60A=，3.7ca=()1求sinC的值；()2若7a=，求ABC的面积．【答案】（1）3314；（2）63.【解析】

【分析】()1由37ca=，根据正弦定理可得3sinsin7CA=，从而可求出答案；()2根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sinB，利用三角形面积公式计算即可．【

详解】（1）60A=，37ca=，由正弦定理可得33333sinsin77214CA===.（2）若7a=，则3c=，CA，22sincos1CC+=，又由()1可得13cos14C=，()31313343sinsinsinc

oscossin2142147BACACAC=+=+=+=，1143sin7363227ABCSacB===．【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题.正弦定理是解三角

形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形

外接圆半径.20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ACAD⊥，ABBC⊥，60BCA=，2APACAD===，E为CD的中点，M在AB上，且2AMMB=.（1）求证：//EM平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（3）点F是线段PD上异于两端

点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45，求AF的长.【答案】（1）证明过程见解析；（2）55；（3）2.【解析】【分析】以A为空间直角坐标系的原点，以,,ADACAP所在的直线为横轴、纵轴、竖轴，求出相应点的坐标.（1）求出平面PAD的法向量，利用空间向量数量积运

算进行计算证明即可；（2）利用空间平面向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间平面向量夹角公式，结合空间两点距离公式进行求解即可,【详解】以A为空间直角坐标系的原点，以,,ADACAP所在的直线为横轴、纵轴

、竖轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以33(0,0,0),(,,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,1,0)22ABCDPE−.（1）因为PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，所以

PAAC⊥，又因为ACAD⊥，,,ADPAAADPA=平面PAD，所以AC⊥平面PAD，因此平面PAD的法向量为(0,2,0)AC=，因为M在AB上，且2AMMB=，所以有23(,1,0)33AMAB==−，所以点M的坐标为3(,1,0)3−，因

此3(1,0,0)3ME=+，因为33(0,2,0)(1,0,0)0(1)2000033ACME=+=+++=，所以ACME⊥，因此//EM平面PAD；（2）由（1）知平面PAD的法向量为(0,

2,0)AC=，设平面PBC的法向量为(,,)mxyz=，33(,,0),(0,2,2)22PBPC=−=−，显然有：3300220220mPBmPBxymPCmPCyz⊥=−+=⊥=−=，令3y=，所以3,3

zx==，即(3,3,3)m=，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角，所以2222223032305cos53(3)(3)020mACmAC++===++++；（3）设(01)PDPF=，设111(,,)Fxyz，所以有111111(,,2)(2,0,2)2,0,2

2xyzxyz−=−===−，因此(2,0,22)F−，所以(21,1,22)EF=−−−，因为异面直线EF与AC所成角为45，所以222222(21)0(1)2(22)02cos452(21)(1)(22)020EFACEFAC

−+−+−===−+−+−++，解得12=或1=（舍去），所以(1,0,1)F，222(10)(00)(10)2AF=−+−+−=.21.已知数列na中，11a=，1133nnna

nnaann++=−为奇数为偶数.（1）求证：数列232na−是等比数列.（2）记nS是数列na的前n项和：①求2nS；②求满足0nS的所有正整数n.【答案】（1）证明见详解；（2）①()2213123nnSn=−−+；②满足0nS的所有正整数有1

和2.【解析】【分析】（1）设232nnba=−，推导出113nnbb+=，由此能证明数列232na−是等比数列；（2）①推导出12311263nna−−=−1123n=−

，由()2211213nnaan−=+−，得()2123321nnaan−=−−111156232nn−=−−+，1212111233nnnnaa−−+=−+1692693nnn−+

=−−+，从而()()()21234212nnnSaaaaaa−=++++++；②：由①的求和式子由此能求出满足Sn＞0的所有正整数n的值．【详解】（1）设232nnba=−，因为()212212213321322

3322nnnnnnanabbaa+++++−−==−−()()22136213232nnanna−++−=−2211132332nnaa−==−，所以数列232na−是以232a−即16−为首项，以13为公比的等比数列.（

2）①由（1）得12311263nnnba−=−=−1123n=−，即2113232nna=−+，由()2211213nnaan−=+−，得()2123321nnaan−

=−−111156232nn−=−−+，所以1212111233nnnnaa−−+=−+1692693nnn−+=−−+，()()()21234212nnnSaaaaaa−=++++++21112333n

=−+++()6129nn−++++111332113n−=−−()1692nnn+−+211363nnn=−−+()213123nn=−−+，②显然当*nN时，2nS单调递

减，又当1n=时，2703S=，当2n=时，4809S=−，所以当2n时，20nS；2122nnnSSa−=−231536232nnn=−−+，同理，当且仅当1n=时，210nS−，综上，满足0nS的所有正整数n为1和2.【点睛

】关键点点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法，解题的关键是根据等比数列的通项公式得出()2211213nnaan−=+−，()2123321nnaan−=−−111156232nn−=−−+，考查等

比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．22.已知函数2()sinsin2fxxx=.（1）讨论()fx在区间()0,上的单调性；（2）求()fx的最大值和最小值；（3）设*nN，证明

：22223sinsin2sin4...sin24nnnxxxx.【答案】（1）在0,3，2,3单调递增；在2,33上单调递减；（2）()max338fx=，

()min338fx=−；（3）证明见详解.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值；(3)对所给的不

等式左侧进行恒等变形可得()()()()2222123sinsinsin2sin2sin4sin2sin2sin2nnnfxxxxxxxxx−=，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：()32sincosfxx

x=，则：()()22423sincossinfxxxx=−()2222sin3cossinxxx=−()222sin4cos1xx=−()()22sin2cos12cos1xxx=+−，()0fx=在()0,x上的根为：122,33xx==，当0

,3x时，()()0,fxfx单调递增，当2,33x时，()()0,fxfx单调递减，当2,3x时，()()0,fxfx单调递增.(2)注意到()()()()22sinsin2sinsin2fxxxxxfx+=++==

，故函数()fx是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00ff==，233333228f==，2233333228f=−=−，据此可得：()max338fx=，()min33

8fx=−，(3)结合(2)的结论有：2222sinsin2sin4sin2nxxxx233333sinsin2sin4sin2nxxxx=()()()2222123sinsinsin2sin2sin4sin2sin2sin2

nnnxxxxxxxx−=232333333sinsin2888nxx23338n34n=【点睛】思路点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工

具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合

思想的应用．