【文档说明】八年级数学专题1.6 平行四边形章末重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）.docx，共(37)页，345.940 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题1.6平行四边形章末重难点题型【北师大版】【考点1多边形的对角线】【方法点拨】从n边形的一个顶点出发，最多能画（n-3）条对角线，这些对角线能把n边形分成（n-2）个三角形。共2)3(−nn条对角线.【例1】（2019秋•杏花岭区校级期末）在研

究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，分成（n﹣2）个三角形．【答案】解：过八边形的一个顶点可以引（8﹣1﹣2）＝5条对角线，所以

可组成6个三角形．故选：B．【点睛】此题主要考查了多边形对角线，关键是掌握多边形对角线的画法．【变式1-1】（2019春•泰安期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2019个三角形，则这个多边形的边数为（）2A．2020B．2019C．201

8D．2017【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．【答案】解：从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2019个三角形，则这个多边形的边数为2019+1＝2020．故选：A

．【点睛】考查了多边形的对角线，多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数＝多边形的边数﹣1．【变式1-2】（2019春•东昌府区期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线

的条数是（）A．8B．9C．10D．11【分析】可根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．【答案】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝11，解得n＝13．故这个多边形是十三边形．故经过这一点的

对角线的条数是13﹣3＝10．故选：C．【点睛】此题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．【变式1-3】一个凸n边形的边数与对角线条数的和小

于20，且能被5整除，则n为（）A．4B．5C．6D．5或6【分析】根据n边形的对角线条数＝．【答案】解：设多边形有n条边，则n+＜20，即n（n﹣1）＜40，又能被5整除，所以n＝5或6．故选：D．【点睛】熟

记n边形对角线条数的公式，根据题意列不等式，再根据条件进行分析．【考点2多边形的内角和与外角和】【方法点拨】多边形的外角和固定不变为360°，多边形的内角和为180（n-2）(其中n为边数）.3【例2】（2019秋•仁怀市期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍

，则这个正多边形的边数是（）A．八B．九C．十D．十二【分析】根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为360°可求出正多边形的边数．【答案】解：设多边形的一个外角为x，则它的一个内

角为4x，4x+x＝180°，∴x＝36°∴这个正n边形的边数为：360°÷36°＝10，故选：C．【点睛】考查多边形的内角和、外角和的性质，掌握内角和外角的关系是正确解答的前提．【变式2-1】（2019秋•博白县期末）已知多

边形的每个内角都是108°，则这个多边形是（）A．五边形B．七边形C．九边形D．不能确定【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得多边形的边数．【答案】解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，

∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：A．【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．【变式2-2】（2019秋•定州市期末）如图，∠1

，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．220°D．320°【分析】根据∠A+∠B＝220°，可求∠A、∠B的外角和，再根据多边形外角和360°，可求∠1+∠2+4∠3的值．

【答案】解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．故选：C．【点睛】本题

主要考查多边形的外角和公式，内外角的转化是解题的关键．【变式2-3】（2019秋•恩施市期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．

10或11或12【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【答案】解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°＝16

20°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．【考点3平行四边形性质中的边角

关系】【方法点拨】掌握平行四边形的边角性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边相等，且平行。【例3】（2019春•覃塘区期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD与AB

交于点E，DF平分∠ADC与AB交于点F，若AD＝8，EF＝3，则CD长为（）A．8B．10C．13D．16【分析】首先判断AD＝BC＝AF＝BE，从而求出BF，得出AB的长，即可得出答案．5【答案】解：∵CE平分∠BCD与AB交于点E，DF平分∠ADC与AB交于点F，∴∠ADF＝∠CD

F，∠DCE＝∠BCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD＝BC，∴∠AFD＝∠CDF，∠BEC＝∠ECD，∴∠AFD＝∠ADF，∠BEC＝∠BCE，∴AD＝BC＝AF＝BE，又∵AD＝8，EF＝3，∴BF＝BE﹣EF＝5，∴AB＝AF+BF＝5+8＝

13，∴CD＝13．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AD＝BC＝AF＝BE，难度一般．【变式3-1】（2020•泉港区一模）如图，E、F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝54°，则∠AD

E的大小为（）A．46°B．27°C．28°D．18°【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，得出方程，解方程即可．【答

案】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，6∵四边形ABCD是平行四边形，∴A

D∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，∴2x＝54°﹣x，解得：x＝18°，即∠ADE＝18°；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质

等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．【变式3-2】（2020春•西城区校级期中）从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135°，则此四边形的四个内角依次为（）A．45°，135°，45°，135°B．50°，135°，

50°，135°C．45°，45°，135°，135°D．以上答案都不对【分析】本题对题意进行分析，从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135°，可将两条垂线与相垂直的两边构成一个四边形，即可求出平行四边形锐角的

度数，进而求出钝角的度数．【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，∴∠EAF＝135°，∴∠DAE＝∠EAF﹣DAF＝45°，∠BAF＝∠EAF﹣∠BAE＝45°，∴∠BAD＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形

，∴∠C＝∠BAD＝45°，∠ABC＝∠ADC＝180°﹣∠BAD＝135°，∴四边形的四个内角依次为45°，135°，45°，135°，故选：A．7【点睛】本题考查平行四边形的基本性质，解题的关键是熟练运用平行四边形对角相等，邻角互补等有关角的性质．【变式3-3】（2019春•西湖区校级月考）在

平行四边形ABCD中，AB≠BC，F是BC上一点，AE平分∠FAD，且E是CD的中点，则下列结论：①AE⊥EF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，其中正确的是（）A．②④B．①②C．①③D．①②④【分析】首先延长AD，交FE

的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF．【答案】解：延长AD，交FE的延长线于点M，∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠EFC，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△DEM和△CEF中，，∴△DEM≌△CEF（AAS），∴EM＝EF，∵AE平分∠FAD，∴AM＝AF，AE⊥EF．即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，①正确，②错误．∵AF不一定是∠BAD的角平分线，∴

AB不一定等于BF，故④错误．8故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．【考点4平行四边形性质中的对角线】【方法点拨】掌握平行四边形的对角线性质是关键：平行四边形的对角线互相平分

。【例4】（2019秋•莱芜区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．2＜OA＜10B．1＜OA＜5C．4＜OA＜6D．2＜OA＜8【分析】由AB＝4，BC＝6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜1

0，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得OA的取值范围．【答案】解：∵AB＝4，BC＝6，∴2＜AC＜10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，∴1＜OA＜5，故选：B．【点睛】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到AO是AC的一半是解

此题的关键．【变式4-1】（2019秋•景县期末）平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是（）A．4和6B．2和12C．4和8D．4和3【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断

可知．【答案】解：A、对角线一半分别是2和3，2+3＝5，故不能构成三角形，故本选项错误；B、对角线一半分别是1和6，6﹣1＝5，故不能构成三角形，故本选项错误．C、对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，

能构成三角形，故本选项正确；D、对角线一半分别是2和，2+＜5，故不能构成三角形，故本选项错误．9故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及三角形的三边关系，注意平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形，另外要熟练三角形的三边关系．【变式4-2】（

2019春•西湖区校级月考）已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数，若它的两条对角线长分别为8cm和12cm，则它相邻两边长的长度可以分别是（）A．4cm，6cmB．5cm，6cmC．6cm，8cmD．8cm，10cm【分析】首先根据题意画出图形，

然后由平行四边形的性质得出OA＝4cm，OB＝6cm，利用三角形的三边关系，即可求得答案．【答案】解：如图所示，∵平行四边形的两条对角线长分别为8cm和12cm，∴OA＝OC＝4cm，OB＝OD＝6cm，∴2＜A

B＜10，同理：2＜AD＜10，∵AB+AD＞12，∴相邻两边长的长度可以分别是6cm，8cm；故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形三边关系．熟练掌握平行四边形的性质，运用三角形的三边关系是解决问题的关键．【变式4-3】（2019春•襄汾县期末）用边长分别为3cm

、5cm、6cm两个全等的三角形拼成平行四边形，以下数值不可能是这些平行四边形周长的是（）A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm【分析】根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，分别以3cm、5cm、6cm为对角线，其它两边为边即可得到平行四边形

．【答案】解：共有3种情况：当3cm为对角线时，平行四边形周长为2×（5+6）＝22，当5cm为对角线时，平行四边形周长为2×（3+6）＝18，10当6cm为对角线时，平行四边形周长为2×（5+3）＝16，故选：C．【点

睛】本题考查了平行四边形的性质及图形的拼接，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形．【考点5利用平行四边形性质求周长】【方法点拨】掌握平行四边形的性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边

相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。【例5】（2019春•资阳期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，△ABO的周长比△BOC的周长小1，则▱ABCD的周长是（）A．10B．12C．14D．16【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于

△AOB的周长比△BOC的周长小1，则BC比AB大1，所以可以求出BC，进而求出周长．【答案】解：∵△AOB的周长比△BOC的周长小1，∴BC﹣AB＝1，∵AB＝3，∴BC＝4，∴AB+BC＝7，∴平行四边形的周长为14，故选：C．【点睛】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分

别相等且平行四边形的对角线互相平分．【变式5-1】（2019春•蒙阴县期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形E

FCD的周长为（）A．28B．26C．24D．2011【分析】根据平行四边形的性质可求出AD+CD的值，易证△AOE≌△COF，所以AE＝CF，OE＝OF＝3，根据CF+CD+ED+EF＝AD+CD+EF即可求出答案．【答案】解：在平行四边形ABCD中，

2（AD+CD）＝36，∴AD+CD＝18，易证△AOE≌△COF，∴AE＝CF，OE＝OF＝3，∴EF＝6∴CF+CD+ED+EF＝AE+ED+EF+CD＝AD+CD+EF＝18+6＝24故选：C．【点睛】本题考查平

行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质，本题属于中等题型．【变式5-2】（2019秋•福田区期末）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱AB

CD的周长为（）A．14B．16C．20D．18【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，由△CDE的周长得出BC+CD＝6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长

．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，12∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；故选：C．【点睛】本题考查了平

行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【变式5-3】（2018春•宜宾期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，

BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（）A．5B．6C．7D．8【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可

得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝7，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝3，BC＝4，∴AD+CD＝7，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，

∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝7．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【考点6利用平行四边形性质求面积】【方法点拨】掌握平行四边形的

性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边相等，且平行；⑶平行四边形的对角线互相平分。【例6】（2019春•天河区期末）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（）

13A．8B．12C．16D．32【分析】根据等底等高的三角形面积相等可得S△DOE＝S△AOE＝4，进而可得S△COD＝S△AOD＝8，再由平行四边形性质可证明△COF≌△AOE（ASA），S△COF＝S△AOE＝4，即可得S四边形EFCD＝16．【答

案】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，OB＝OD∴∠DAC＝∠ACB，∵∠AOE＝∠COF∴△COF≌△AOE（ASA）∵S△AOE＝4，AE＝ED∴S△COF＝S△DOE＝S△AOE＝4，∴S△AOD＝8∵AO＝CO∴S

△COD＝S△AOD＝8∴S四边形EFCD＝S△DOE+S△COD+S△COF＝4+8+4＝16；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识点，关键要会运用等底等高的三角形面积相等．【变式6-1】（2019春•青

岛期末）如图，已知平行四边形ABCD，AM平分∠BAD交BC于点M，BE⊥AM于点E，EF⊥AD于点F，AB＝6，EF＝2.8，则△ABM的面积为（）A．8.4B．10.8C．14.4D．16.8【分析】过M作MG⊥AD于G，则MG∥EF，证出BM＝AB＝6，证明EF是△A

MG的中位线，得出MG＝2EF＝5.6，由三角形面积公式即可得出答案．【答案】解：过M作MG⊥AD于G，如图：14则MG∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAM＝∠BMA，∵AM平分∠BAD，∴∠BAM＝∠D

AM，∴∠BMA＝∠BAM，∴BM＝AB＝6，∵BE⊥AM，∴AE＝ME，∵EF∥MG，∴EF是△AMG的中位线，∴MG＝2EF＝2×2.8＝5.6，∴△ABM的面积＝BM×MG＝×6×5.6＝16.8；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质

、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明BM＝AB是解题的关键．【变式6-2】（2019春•自贡期末）如图，设M是平行四边形ABCD的BC边上的任意一点；设△ABM的面积为S1，△AMD的面积为S2，△DMC的面积为S3；则（）A．S2＞S1+S3B．S2＜

S1+S3C．S2＝S1+S3D．不能确定【分析】先证明△AMD面积为平行四边形ABCD面积的一半，则另外两个三角形的面积和也为平行四边15形面积的一半，所以S2＝S1+S3．【答案】解：设平行四边形ABCD

中AD与BC之间的距离为h，则平行四边形的面积为AD×h，S△AMD面积＝AD×h＝平行四边形ABCD面积，∴S1+S3═平行四边形ABCD面积＝S2．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，以平行四边形的面积为背景，考查了整体思想．【变式6-3】（2019春•开江县期末）如图，已知△

ABC的面积为20，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．8B．7C．6D．5【分析】想办法证明S阴＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题；【答案】

解：连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝20，∴S△ACF＝×20＝5，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝5，1

6∴S阴＝5．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【考点7平行四边形的判定】【方法点拨】平行四边形的判定：⑴一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑵两组对边分别相等的四边形

是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑷对角线互相平分的四边形是平行四边形；【例7】（2019春•凤凰县期末）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．

3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．【答案】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．故选：A．【

点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．【变式7-1】（2019秋•泰安期末）顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C

，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，这一结论的情况共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．【答案】解：当①AD∥BC，④

∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴AD＝BC，17∵AD∥BC，∴四边形

ABCD是平行四边形；当①AD∥BC，③∠A＝∠C时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∵∠A＝∠C，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四

边形；当③∠A＝∠C，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：如图2所示：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴2∠C+2∠B＝360°∴∠C+∠B＝180°，∴AB∥CD，同理：AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；18故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式7-2】（2019秋•诸城市期末）已知△ABC（如图1），按

图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析

】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．【答案】解：由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO＝OD，可得：AO＝OC，BO＝OD，进而得出四边形ABCD是平行四边形，故选：B．【点睛】

本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答．【变式7-3】（2019春•靖江市校级期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条19件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO

＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）A．4组B．3组C．2组D．1组【分析】根据平行四边形的判断定理分别判断得出即可．【答案】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断

这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边

形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．【考点8平行四边形的判定与性质】【例8】（2019秋•莱芜区期末）如图，已知平行四边形A

BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长

．【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM∥AN，AM∥CN即可；（2）首先证明△MDE≌△NBF，推出ME＝NF＝1，在Rt△DME中，根据勾股定理即可解决问题．20【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴D

E＝BF＝8，∵FN＝6，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式8-1】（2019春•丹东期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD、

BC分别相交于点E、F，OE＝OF（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连接AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）由“SAS”可证△AOE≌△COF，可得∠OAE＝∠O

CF，由“AAS”可证△EOD≌△FOB（AAS），可得OB＝OD，即可证四边形ABCD是平行四边形；（2）由线段中垂线的性质可得AF＝AE，可得AB+BF+AF＝AB+BC＝15，即可求四边形ABCD的周长．【答案】证明：（1）∵AO＝CO，OE＝OF，∠AOE

＝∠COF21∴△AOE≌△COF（SAS），∴∠OAE＝∠OCF∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO又∵OE＝OF，∠EOD＝∠FOB∴△EOD≌△FOB（AAS），∴OB＝OD，且OA＝OC∴四边形ABCD是平

行四边形（2）∵EF⊥AC，AO＝CO，∴AF＝FC∴AB+BF+AF＝AB+BF+FC＝15即AB+BC＝15∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝15×2＝30【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本

题的关键．【变式8-2】（2019春•东西湖区期末）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为

H，求CH的长．【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得EO＝FO，且AO＝CO，可证四边形AFCE是平行四边形；（2）由勾股定理可求BF＝DE＝5cm，BE＝16cm，由三角形面积公式可求CH的长．【答案】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O22∵四边形ABCD是平行四边形∴

AD＝BC，AO＝CO，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）∴EO＝FO，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形（2）∵四边形AECF是平行四边形∴AE＝CF＝12cm，∴BF＝＝5cmBE＝＝16cm∴E

F＝BE﹣BF＝11cm，∵BO＝DO，EO＝FO∴DE＝BF＝5cm∴BD＝21cm，∵S△ABD＝S▱ABCD＝S△ABC，∴BD×AE＝×AB×CH∴21×12＝20×CH∴CH＝12.6cm【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾

股定理，求出BD的长是本题的关键．【变式8-3】（2019春•西湖区校级月考）如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；（2）连接BE和AF相交于点G，

DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．23【分析】（1）由平行线的性质得出∠DAF＝∠AFB，由已知得出∠BAF＝∠DAF，得出∠AFB＝∠BAF，证出BF＝AB＝8，即可得出答案；（2）证明△ABF≌△CDE（ASA），得出AF＝CE，证出四边形

AFCE是平行四边形，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，得出四边形EGFH是平行四边形，即可得出EF和GH互相平分．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠BCD，∠ABF＝∠CDE，AB＝CD，∴∠D

AF＝∠AFB，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠AFB＝∠BAF，∴BF＝AB＝8，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣8＝4；（2）证明：∵∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴

∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE，∵∠DAF＝∠AFB，∴∠FCE＝∠AFB，∴AF∥CE，▱ABCD中，AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE＝CF，∴DE＝BF，∵AD∥BC，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∵AF∥CE，∴四边

形EGFH是平行四边形，24∴EF和GH互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．【考点9三角形的中位线】【例9】（2019秋•长春期中）如图，在四边

形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，

根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等

腰三角形．∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．【变式9-1】（2019春•相城区期中）如图，△ABC中，AB＝9，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3

EF，当AF⊥BF时，BC的长是（）25A．9B．10.5C．12D．18【分析】延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【答案】解：延长AF交BC于H，∵AF⊥B

F，D是AB的中点，∴DF＝AB＝4.5，∵DF＝3EF，∴EF＝1.5，则DE＝DF+EF＝6，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE＝12，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角

三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【变式9-2】（2019春•嘉祥县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为D

M、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时26DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为

6.5，最小值是2.5，可解答．【答案】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为

5；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．【变式9-3】（2019春•庐阳区期末）如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于

AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（）A．B．2C．D．3【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．

27【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是

AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行

于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【考点10平行四边形中的最值问题】【例10】（2019春•晋安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．

3【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OE⊥AB时，EF取最小值．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，28∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝BC＝1.5，∴EE＝2OE＝3，∴EF的最小值是3．故选：D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短，解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．【变式10-1】（201

9春•工业园区期末）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，D为AB上的动点，连接CD以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为（）A．3B．4C．D．【分析】当DE⊥AB时，DE的长最小，作CF⊥AB于F，则四边形D

ECF是矩形，得出DE＝CF，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，由△ABC的面积求出CF＝＝，即可得出DE的最小值．【答案】解：当DE⊥AB时，DE的长最小，∵四边形ADCE是平行四边形，∴CE∥AD

，∵DE⊥AB，∴DE⊥CE，作CF⊥AB于F，如图所示：29则四边形DECF是矩形，∴DE＝CF，∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×C

F＝AC×BC，∴CF＝＝，∴DE的最小值为；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解题的关键．【变式10

-2】（2018•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当O

D⊥BC时，DE线段取最小值．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，30∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝2，∴

ED＝2OD＝4；∴DE的最小值是4，故选：B．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．【变式10-3】（2019•玉环市一模）一个大平行四边形按如图方式分割成九

个小平行四边形且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的长，则n的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由菱形的性质得出BE＝BF，平行四边形④的周长a＝BE+BF，

设平行四边形③的周长为b，则2（DH+DG）＝2（AF+CE）＝b由题意易知大平行四边形的周长＝2（AB+BC）＝2（AF+BF+BE+CE）＝b+2a，即可得出结论．【答案】解：如图所示：∵平行四边形①和②是菱形，∴BE＝BF，平行四边形④的周长a＝BE+BF，设平行四边形③的周长为b，则

2（DH+DG）＝2（AF+CE）＝b由题意易知大平行四边形的周长＝2（AB+BC）＝2（AF+BF+BE+CE）＝b+2a，∴知道九个小平行四边形中小平行四边形③和④的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，∴n的最小值为

2．31故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．【考点11平行四边形中的动点问题】【例11】（2019春•西湖区校级月考）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，C不重合）

，连接PM并延长交AD的延长线于Q．（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【分析】（1）由“ASA”可证△

PCM≌△QDM，可得DQ＝PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．【答案】解：（1）∵AD∥BC∴∠QDM＝∠PCM∵M是CD的中点，∴DM＝CM，∵∠DMQ＝∠CMP，DM＝CM，∠QDM

＝∠PCM∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ＝PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，∵BC﹣

CP＝AD+QD，∴9﹣CP＝5+CP，32∴CP＝（9﹣5）÷2＝2．∴当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．【变式11-1】（201

9春•南关区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以2cm/s的速度运动．点E在线段BC上，且BE

＝1cm，若M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时停止运动．（1）求经过几秒钟M、N两点停止运动？（2）求点A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间；（3）设运动时间为t（s），用含字母t的代数式表示△EMN的面积S

（cm2）．【分析】（1）由题意可得：M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30（cm），则可得t＝30÷（2+3）＝6；（2）由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上运动时，点A、E、M、N才可能组成平行四边形

，然后设经过t秒，四点可组成平行四边形，①当构▱成▱AEMN时，10﹣2t＝14﹣3t，②当构成▱AMEN时，10﹣2t＝3t﹣14，继而求得答案；（3）分别从当0＜t＜时，当≤t＜时，当＜t≤5时，当5＜t＜6时，去分析求解即可求得答案．【答案】解：（1

）∵矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，∴M、N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2（5+10）＝30（cm），∴t＝30÷（2+3）＝6（s）答：经过6s两点相遇．（2）由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上

运动时，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，设经过t秒，四点可组成平行四边形，33①当构成▱AEMN时，10﹣2t＝14﹣3t，解得t＝4；②当构成▱AMEN时，10﹣2t＝3t﹣14，解得t＝4.8；答：当点

A、E、M、N构成平行四边形时，M、N两点运动的时间为4s或4.8s．（3）如图（1），当0＜t＜时，S＝S梯形CDNE﹣S△DMN﹣S△CEM＝×（2t+9）×5﹣×2t×3t﹣×9×（5﹣3t）＝﹣3t2+

t；如图（2），当≤t＜时，S＝S△EMN＝EM•CD＝×（14﹣3t）×5＝35﹣t；如图（3），当＜t≤5时，S＝S△EMN＝×（3t﹣14）×5＝t﹣35；如图（4），当5＜t＜6时，S＝S△EMN＝MN•BE＝×（30﹣2t﹣3t）×1＝15﹣t．【点

睛】此题考查了矩形的性质．此题难度较大，属于动点题目，解题时注意分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．【变式11-2】（2019春•茂名期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝++1

6．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，

四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；34（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；（2

）由题意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；（3）①当PQ＝CQ时，122+t2＝（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求

P点坐标；②当PQ＝PC时，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，进而得到方程t＝16﹣2t，再解方程即可．【答案】解：（1）∵b＝++16，∴a＝21，b＝16，故B（21，12）C（16，0）；（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，则：PB＝21﹣2t，QC＝1

6﹣t，∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，∴21﹣2t＝16﹣t，解得：t＝5，∴P（10，12）Q（5，0）；（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，解得：t＝，故P（7，12），Q（，

0），当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，35则t＝16﹣2t，解得：t＝，2t＝，故P（，12），Q（，0）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意

分类讨论，不要漏解．【变式11-3】（2019春•滕州市期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为lcm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时

间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【分析】（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△O

QC的面积，再求出答案即可．【答案】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠PAO＝∠QC

O，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，36∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；

（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵

ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，

∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，37当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和

判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．