【文档说明】重庆市杨家坪中学2024届高三上学期第三次月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.215 MB，由小赞的店铺上传

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杨家坪中学高2024级高三（上）第三次月考数学试题一、单选题1.已知全集1,2,3,4U=，集合1,2A=，集合2,3B=，则()UAB=ð（）A.1,2,3B.2C.1,3,4D.4【答案】D【解析】【分析】利用并集、补集的定义直接求解作答.【详解】由集

合1,2A=，集合2,3B=，得{1,2,3}AB?，而全集1,2,3,4U=，所以()4UAB=ð.故选：D2.命题“223,20xxa−−”是真命题的一个必要不充分条件是（）A.1aB.92aC.5aD.4a【答案】A【

解析】【分析】根据恒成立问题分析可得命题“223,20xxa−−”是真命题等价于“92a”，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若命题“223,20xxa−−”是真命题，则()2max20xa−，可知当3x=时，22xa−取到最大值920a−，解得

92a，所以命题“223,20xxa−−”是真命题等价于“92a”.因为9|2aa|1aa，故“1a”是“92a”的必要不充分条件，故A正确；因为9|2aa=

9|2aa，故“92a”是“92a”的充要条件，故B错误；因为|5aa9|2aa，故“5a”是“92a”的充分不必要条件，故C错误；因为9|2aa与4|aa不存在包含关系，故“4a”是“92a”

的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A.3.已知tan2=-，则cos2sin(2)1=++（）A.12−B.2−C.13−D.3−【答案】C【解析】【分析】根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，

代入，即可求解.【详解】有题意知：tan2=-又由222cos2cos2cossincossin1tan1(2)1sin(2)11sin2(cossin)cossin1tan1(2)3−+++−======−++−

−−−−−.故选：C.4.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/m

L，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：lg20.301，lg30.477）（）A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时【答案】B【解析】【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不

等式即可.【详解】设经过x小时，血液中的酒精含量为y，则()0.3125%0.30.75xxy=−=.由0.30.750.09x，得0.750.3x，则lg0.75lg0.3x.因为lg0.750，则lg0.3lg310.47715234.1

844.2lg0.75lg3lg40.4770.602125x−−===−−，所以开车前至少要休息4.2小时.故选：B.5.对于数列na，如果1nnaa+−为等差数列，则称原数列na

为二阶等差数列，一般地，如果1nnaa+−为K阶等差数列，就称原数列na为1K+阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，X，则该数列的第7项为（）A.10

1B.99C.95D.91【答案】C【解析】【分析】根据新定义，结合所给前7项，得到如图所示规律，即可得解.【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，规律如图所

示，故选：C6.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A.48B.54C.60D.72【答案】C【解析】【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二

组2个人，第三组2个人，共有2215312215CCCA••=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A=种方法；按照分步乘法原理，共有41560=种方法；故选：C.7.已知向量,ab的夹角为6

0°，22ab==，若对任意的1x、2x(,)m+，且12xx，122112112xnxxnxabxx−−−，则m的取值范围是（）A.)3e,+B.)e,+C.1,e+D.1,ee【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的定义求得1ab=，于

是由数量积的应用可得22ab−=，对任意的1x、2x(,)m+，且12xx，则将1221121n1n2xxxxabxx−−−转化为1221121n1n2xxxxxx−−，即21211n2ln2xxxx−−，则

构造函数()ln2xfxx−=得函数在(),m+上单调递减，求导判断()fx单调性，即可得m的取值范围.【详解】解：已知向量,ab的夹角为60°，22ab==，则1cos602112abab===所以()22222444442a

babaabb−=−=−+=−+=所以对任意的1x、2x(,)m+，且12xx，1221121n1n2xxxxxx−−，则1221121n1n22xxxxxx−−所以2121211n1n22xxxxxx−−，即21211n2ln2xxxx−−，设()ln2xfxx−=，即

()fx在(),m+上单调递减又()0,x+时，()23ln0xfxx−==，解得3ex=，所以()30,ex，()0fx¢>，()fx在()30,ex上单调递增；()3e,x+，()0fx，()fx在()3e,x+上单调递减，

所以3em.故选：A.8.已知函数221,0()1,0xxxxfxxxe++=+，若函数(())1yffxm=−−有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.1(1,1)(2,3]e+B.11(1,1)(2,3]{3}ee++C.11(1,1)[2,3){3}ee++D.2(1,1)(

2,3]e+【答案】B【解析】【分析】先求出函数()1fx−的零点即可求得()fxm−的值，再结合函数()yfx=的图象及要求的零点个数求出m范围得解.【详解】令1xxye=+，0x，1xxye−=，因此，函数1xxye=+在[0,1)上单调递增，在(1,)+上单调

递减，1x=时，max11ye=+，且0x时，11xxe+恒成立，当0x时，()fx在(,1)−−上单调递减，在[1,0)−上单调递增，=1x−时，min()0fx=，()fx在R上的图象如图，当0x时，由()10fx−=得2x=−，即0x，由()10fx−=得

0x=，则有函数()1fx−的零点为-2，0，函数(())1yffxm=−−有三个零点，当且仅当()2fxm−=−和()0fxm−=共有三个零点，即()2fxm=−和()fxm=共有三个零点，当121me−+，即

13me+时，()2fxm=−和()fxm=各一个零点，共两个零点，当121me−=+，即13me=+时，()2fxm=−有两个零点，()fxm=有一个零点，共三个零点，当1121me−+，即133me+时，()2fxm=−有三个零点，()fxm=有一个零点，共四个零点，当021m

−，即23m时，()2fxm=−有两个零点，()fxm=有一个零点，共三个零点，当20m−=，即2m=时，()2fxm=−和()fxm=各有一个零点，共两个零点，当20m−，即2m时，()2fxm=−无零点，

要(())1yffxm=−−有三个零点，当且仅当()fxm=有三个零点，必有111me+，所以实数m的取值范围是11(1,1)(2,3]{3}ee++.故选：B二、多选题（每题5分，共20分）9.函数()sin(0,0,

0)yAxA=+)在一个周期内的图像如图所示，则（）A.该函数的解析式为2π2sin33yx=+B.π,02−是该函数图像的一个对称中心C.该函数的减区间是Zπ5π3π,3π,44kkk−+D.把函数2sinyx=的图

像上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，再向左平移2，可得到该函数图像【答案】ABD【解析】【分析】观察图像可得,AT，再带点π,24可得，则可确定A；计算π2x=−时，y是否为零来确定B

；令π3π2π2π,Z22kxkk+++，求出单调减区间来确定C；通过周期变换和平移变换得函数来确定D.【详解】对于A：由图观察可得π2,π44TA==−，得2,3πAT==，又2π3πT==，23=，即22

sin3yx=+，代入点π,24得π22sin6=+，得Zπ,6π2π2kk+=+，即π2π,Z3kk=+，又0，得π3=，2π2sin33yx=+，A正确；对于B，当π2x=−时，π2π2sin0233

y=−+=，π,02−是该函数图像的一个对称中心，B正确；对于C，令π2π3π2π2π,Z2332kxkk+++，解得π7π3π3π,Z44kxkk++，即2π2

sin33yx=+的减区间是π7π3π,3π,Z44kkk++，C错误；对于D，函数2sinyx=的图像上所有点的横坐标伸长为原来的32倍得22sin3yx=，再纵坐标不变，再向左平移2，可得2π2π2sin2sin3233yxx

=+=+，D正确.故选:ABD.10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知()()()::4:5:6bccaab+++=，则下列结论正确的是（）A.sin:sin:sin7:5:3ABC=B.0CAABC.若6c=，则ABC的面积是15D.

若8+=bc，则ABC外接圆半径是733【答案】AD【解析】【分析】由已知比例关系易得::7:5:3abc=，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得2π3A=，再由面积公式求面积判断C；

利用正弦定理求外接圆半径判断D.【详解】令4bcx+=，则5cax+=，6abx+=，可得753,,222axbxcx===，所以::7:5:3abc=，由正弦边角关系易知：sin:sin:sin7:5:3ABC=，A对；若6c=，则14,10ab==，故100361961cos21062A+

−==−，0πA，则2π3A=，所以1sin1532ABCSbcA==△，C错；由cos(π)cosCAABbcAbcA=−=−，结合C可得0CAAB，B错；由8+=bc，则7a=，而2π3A=，故ABC外接圆半径是732si

n3aA=，D对.故选：AD.11.已知某次数学测试班级最高分为150分．最低分为50分，现将所有同学本次测试的原始成绩经过公式yaxb=+进行折算，其中x为原始成绩，y为折算成绩，折算后班级最高分仍为150

分，最低分为80分，则下列说法正确的是（）A.若某同学本次测试的原始成绩为100分，则其折算成绩为115分B.班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值C.班级折算成绩的方差可能等于原始成绩的方差D.班级每位同学的折算成绩均不低于原始成绩【答案】ABD【解析】

【分析】由1501505080abab+=+=求得,ab得解析式，对选项A直接计算即可；由150x可得yx，折算成绩均不低于原始成绩，可判断选项B、D正确；对选项C：由()0.7450.49DyDxDxDx=+=判断.详解】由题知15015050

80abab+=+=，解得0.745ab==，∴0.745yx=+，当100x=时，115y=，故A正确；450.3yxx−=−，由150x知0yx−，即yx，故当原始成绩低于150分时，折算成绩均高于原始成绩，【即除150分不变外，其余成绩折算后均提高，故B，D均正确；()0

.7450.49DyDxDxDx=+=，故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差，故C错误．故选：ABD12.已知定义在R上的函数()fx满足()()17fxfx−−=+，函数()21fx+−为奇函数，且对,2,3ab，当ab¹时，都有()()()()afabfbaf

bbfa++.函数()21524xgxx−=−与函数()fx的图象交于点()11,xy，()22,xy，…，(),mmxy，给出以下结论，其中正确的是（）A.()20222022f=B.函数()1fx+为偶函数C.函数()fx

在区间4,5上单调递减D.12122mmxxxyyy+++=+++【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件可得函数()fx的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在2,3

的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断()gx的对称性，结合()fx的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.【详解】因为()()17fxfx−−=+，所以()()6fxfx=−，()fx的图象关于3x=对称，因为函数(

)21fx+−为奇函数，所以()fx图象关于点(2,1)对称，且()0210(2)1ff+−==又()()2112(2)2(2)fxfxfxfx−+−=−++=−−，所以()()242[6(2)]2(2)2[2(2)]fxfxfxfxfx=−−=−−+=−+=−

−−(2)[6(2)](4)fxfxfx=−=−−=+，即()(4)fxfx=+，所以()fx的周期为4，所以()2022(2)1ff==，故A错误；由上可知，()()2fxfx=−，()()()1211fxfxfx+=−+=−，故B正确

；因为,2,3ab，当ab¹时，都有()()()()afabfbafbbfa++，即()[()()]0abfafa−−，所以()fx在区间2,3单调递增，的因为()fx的图象关于点(2,1)对称，所以()fx在区间1,2单调递增，又()fx的图象关于3x=对称，所以

()fx在区间4,5单调递减，C正确；因为()215111242(2)xgxxx−==−−−，所以()gx的图象关于点(2,1)对称，所以()fx与()gx的交点关于点(2,1)对称，不妨设123···mxxxx则1213

24mmmxxxxxx−−+=+=+==，121322mmmyyyyyy−−+=+=+==所以12122,mmxxxmyyym+++=+++=，所以12122mmxxxyyy+++=+++

，D正确.故选：BCD三、填空题（每题5分，共20分）13.已知复数z满足()3i3iz+=−，其中i为虚数单位，则z的虚部为__________．【答案】35-##0.6−【解析】【分析】根据复数的除法运算以及虚部的概念求解.【详解】由题可得，()()()23i3i8

6i43i3i3i3i1055z−−−====−++−，所以虚部为35-,故答案为:35-.14.已知向量()1,2m=，()(),10,0nabab=−，若//mnurr，则12ab+的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标表示得21ab+

=，再由基本不等式计算即可.【详解】∵//mnurr，∴120ba−−=，即21ab+=．又0a，0b，则()12124424428abababababbaba+=++=+++=，当且仅当122ab==时取等号，∴12ab+的最小值为8．故答案为：8．15.在一次新兵

射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为(01)pp，若当0pp=时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则0p

=___________．【答案】1515−##1515−+【解析】【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得()32()(1)2fpppp=−−，利用导数研究函数在(0,1)上的最值

，根据最值成立的条件即得0p.【详解】至少射击4次合格通过的概率为()3432()(1)(1)(1)2fpppppppp=−+−=−−，所以()22()(1)5102fpppp=−−+，令()0fp=，解得1515p=−，故()fp在1

50,15−上单调递增，在151,15−上单调递减，当1515p=−时()fp得最大值，故01515=−p．故答案为：1515−【点睛】关键点点睛：用p表示至少射击4次合格通过的概率()fp，并利

用导数研究在(0,1)上的最值即可.16.已知函数()()ln,115,13xxfxxx=+,((2))ff−=__________，若21xx且12()()fxfx=，则12xx−的最大值是_____

_____．【答案】①.0②.3ln38−##83ln3−+【解析】【分析】根据函数解析式可得()21f−=，进而可得()()2ff−，作出函数()fx的图象，令()()12fxfxt==，则02t，构造函数()123e5tgtxxt=−=−−，利用导数求出函数()

gt在区间)0,2上的最大值，即得.【详解】因为()()ln,115,13xxfxxx=+，所以()21f−=，()()()210fff−==；作出函数()fx的图象，设()()12fxfxt==，则02t，由()()11153fxxt=+=，可得135xt=−，由()

22lnfxxt==，可得2etx=，令()123e5tgtxxt=−=−−，其中02t，()3e0tgt=−=，可得ln3t=，当0ln3t时，()0gt，此时函数()gt单调递增，当ln32t时，()0gt，此

时函数()gt单调递减，所以，()()maxln33ln38gtg==−，因此，12xx−的最大值为3ln38−.故答案为：0；3ln38−.【点睛】思路点睛：利用导数求函数()yfx=在,ab上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数()yfx=在(),ab内的极值；（2）将函数()yfx=的各极值与端点处的函数值()fa、()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知()22()sincos2cosfxxxx=++（1）π0,2x

时，求函数()fx的值域；（2）求解不等式()3fx.【答案】17.1,22+18.()ππ,π,Z4kkk+【解析】【分析】（1）先后通过降幂公式，辅助角公式，将函数化为()()sinωφfxAxB=++的结构再求值域即可;（2）

先将π24x+当成整体先求解，再求x的范围即可.【小问1详解】()222()sincos2cos12sincos2cosfxxxxxxx=++=++1cos21sin22sin2cos222xxxx+=++=++π2sin224x=++，因为π0,

2x，所以ππ5π2,444x+，所以π2sin2,142x+−，所以()1,22fx+,即函数()fx的值域1,22+.【小问2详解】因为()3fx，所以π2si

n2234x++，即π2sin242x+，所以()ππ3π2π22π,Z444kxkk+++解得()πππ,Z4kxkk+即不等式()3fx解集为()ππ,π,Z4kkk+.18.第9届女足世界杯正在澳大利亚和新西兰如火如荼的进行，中国女足再

次征战世界杯赛场.为了解我国女子足球水平发展状况，现统计10个省市注册女足职业运动员的数量情况（如下表）;省市辽宁山东湖北广东吉林河南江苏上海河北四川人数320175314212140327344159350189（1）为支持女足的发展，中

国足球协会积极推广校园足球基地建设.现注册女足职业运动员有200人以上的地区称为开展女足运动发达地区，不足200人的称为开展女足运动不发达地区，如果中国足球协会准备在上述10个省市随机选择4个地区推进女足校园足球基地建设，记X为选中的女足校园基地为不发达地区的个数，求X的分布

列和数学期望；（2）某校为组建女足运动队，对学校女足爱好者进行初步集训并测试，在集训中进行了多轮测试，每轮的测试项目有：1分钟颠球、30米往返跑、12分钟跑.规定：在每一轮测试中，这3项中至少有2项达到“合格”，则概论测试记为“优秀”.已知在一轮测试的3项中，甲队员每个项目

达到“合格”的概率均为23，每项测试互不影响且每轮测试互不影响.如果甲队员在集训测试中获得“优秀”轮次的平均值不低于3轮，那么至少要进行多少轮测试？【答案】（1）分布列解析，期望为85；（2）5.【解析】【分析】（1）确定X的可能值为0,1,2,

3,4，分别求出概率后可得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）求出甲在一轮测试中“优秀”的概率P，则其集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布(,)BnP，然后求出不等式3nP的最小正整数解即得．【小问1详解】X的可能值为0,1,2,3,4,0446410CC1(0)C14PX===，1

346410CC1(1)C82PX===，2246410CC3(2)C7PX===，3146410CC4(3)C35PX===，4046410CC1(4)C210PX===，所以X的分布列为：X01234P11482137

43512108341()12342173525108EX=+++=；【小问2详解】记甲一轮测试“优秀”事件A，则322322120()()C()33327PA=+=，由题意甲队员在集训测试中获得“优秀

”的次数服从二项分布20(,)27Bn，所以20327n，8120n，因为*nN，所以n的最小值为5，所以至少进行5轮测试．19.彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱

乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中100CD=米，200BC=米，π3A=.（1）如果烧烤区是一个占地面

积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？【答案】19.6017m20.修建观赏步道时应

使得1005mABAD==，π2C=【解析】为【分析】（1）由三角形面积公式求出24sin25C=，得到7cos25C=−，利用余弦定理运算求解；（2）先得到烧烤区的占地面积最大时，1005BD=m，π2C=，设

ABD=，利用正弦定理得到200200215sin,15sinπ333ADAB==−，由面积公式得到250003π1sin2362ABDS=−+，结合20,π3，

得到面积的最大值，及1005mABAD==，得到答案.【小问1详解】因为11sin100200sin960022BCDSBCCDCC===，解得：24sin25C=，又因为C是钝角，所以7cos25C=

−，由余弦定理得：222cosBDBCCDBCCDC=+−()22710020021002006017m25=+−−=，故需要修建6017m的隔离防护栏.【小问2详解】因为11sin1000022BCDSBCCDCBCCD=

=，当且仅当π2C=时取到等号，此时1005BD=m，设ABD=，20,π3，在ABD△中，100520015π2sin3sinsinπ33ADAB===−，解得：200200215sin,1

5sinπ333ADAB==−，故15000032sinsinsinπ233ABDSADABA==−25000033150000331sincossinsincossin322322

=+=+500003311250003π1sin2cos2sin23444362=−+=−+，因为20,π3，所以ππ72,π666−−，故当ππ2=62−，即π31=时，πsi

n26−取的最大值为1，可得()225000311125003m32+=VABDS，当且仅当π3=时取到等号，此时1005ABAD==m，所以修建观赏步道时应使得1005mABAD==，π2C=.20.已知函数()()1lnRa

xfxaxax+=+．（1）讨论()fx单调性；（2）求()fx在1,2上的最小值()ga．【答案】（1）答案见解析（2）121ln2,22()12ln,121,1aaagaaaaaaa++=−+【解析】【分析】（1）利用

导函数与单调性的关系求解；（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合a的不同取值范围，分类讨论求解.【小问1详解】函数()()1lnRaxfxaxax+=+的定义域为()0,+，则()2211aaxfxxxx−=−+=．当0a时，()0fx在()0,+上恒成立，

故此时()fx在()0,+上单调递减；的当0a时，由()0fx¢>，得1xa,由()0fx，得10xa，故此时()fx在10,a上单调递减，在1,a+上单调递增．综上，当0a时，()fx在()0,+上单调递减；

当0a时，()fx在10,a上单调递减，在1,a+上单调递增．【小问2详解】由（1）知，当0a时，()fx在()0,+上单调递减，所以()fx在1,2上单调递减，所以()()122ln22a

gafa+==+；当0a时，(i)若101a，即1a时，()fx在1,2上单调递增，此时，()()11gafa==+；(ii)若112a，即112a时，()fx在11,a上单调递减，在1,2a上单调递增，此时，()1111ln2ln1aafaaaa

gaaaa+==+=−；(iii)若12a，即102a时，()fx在1,2上单调递减，此时，()()122ln22agafa+==+．综上所述，121ln2,22()12ln,121,1aaagaaaaaaa++=

−+．21.已知正项数列na的前n项和为nS，对一切正整数n，点(),nnnPaS都在函数()12xfx+=的图象上．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nT，且12nnnba+=

，若112162nnnTa++−−恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）21nan=−（2）291515−，．【解析】【分析】（1）根据函数解析式可得12nnaS+=，然后由nS和na的关系可得递推公式，即可判断数列

na为等差数列，进而可得通项公式；（2）使用错位相减法求得nT，然后参变分离，将恒成立问题转化为求数列最值问题，借助对勾函数性质即可求解.【小问1详解】由题意知12nnaS+=，当1n=时，1112aa+=，所以11a=，当2n时，212nnaS+=，211

12nnaS−−+=，因为22111122nnnnnaaaSS−−++=−=−，所以2211220nnnnaaaa−−−−−=，即()()1120nnnnaaaa−−−−+=．因为数列为正项数列，所以120nnaa−−−=，即12n

naa−−=，所以数列na为公差为2的等差数列，所以21nan=−．【小问2详解】因为()12221nnnnban+==+，所以()23232527221nnTn=+++++．．．①()()23412232527221221nnnTnn+=++++−++．．．②①－②得

，()()3411234112322222122222221nnnnnTnn++++−=++++−+=+++++−+()()()111212221122212nnnnn+++−=−+=−−−，所以()12122nnTn+=−+，所

以112162nnnTa++−−可化简为21514212121nnnn+=++++．因为112162nnnTa++−−恒成立，所以min142121nn+++．因为对勾函数()140yxxx=+在()0,14

上单调递减，在()14,+上单调递增，又*nN，所以当6n=，即2113n+=时，142713211321nn++=+；当7n=，即2115n+=时，142915211521nn++=+，又271329151315,所以min142915211521nn++=+，故29151

5，所以实数λ的取值范围为291515−，.22.已知函数()exfxx=.（1）求()fx过10,e−的切线的条数；（2）已知对任意的0x，都有不等式()e12sinxfxaxx−−+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）3（2）(,2]−−【解析】【

分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点10,e−代入整理得0201ee=xx，构建()2exgxx=，利用导数判断()gx的单调性和极值，结合图象判断方程0201ee=xx的根的个数；（2）令()())e12sin,0,x

gxfxaxxx=−−+−+，将原不等式恒成立转化为()0gx，根据()00g=可得()00g，解得2a−，进而对2a−检验即可.【小问1详解】因为()()R,1exxfxx=+，设切点为()000,exxx，所以切线斜率为(

)001exx+，切线方程为()()00000e1exxyxxxx−=+−，将点10,e−代入切线方程得()000001e1ee−−=−+xxxxx，整理得0201ee=xx，令()2exgxx=，则()()22exgx

xx=+，令()0gx，解得<2x−或0x；令()0gx，解得20x−；可知()gx在()(),2,0,−−+上单调递增，则()2,0−上单调递减，可得()()242,00egg−==，且当x趋近于−，()gx趋近于0，当x趋近于+，()gx趋近于+，因为241

0ee，结合图象可知()ygx=与1ey=有3个不同的交点，即方程0201ee=xx有3个不同的实数根，所以()fx过10,e−的切线有3条.【小问2详解】令()()())e12sin1e2sin1,0,xxgxfxaxxxaxxx=−−+

−=−−−++，则原不等式即为()0gx对任意)0,x+恒成立，则()e2cosxgxxax=−−，且()02ga=−−，因为()00g=，则()020=−−ga，解得2a−，若2a−时，则2−a，且

0x，可得()()e2cose22cose21cos0=−−+−=+−xxxgxxaxxxxx，所以()gx在)0,+上为增函数，所以()()00gxg=，此时不等式()0gx恒成立，即()e12sinxfxaxx−−+恒成立，综合上述：实

数a取值范围为(,2]−−.【点睛】关键点睛：1.运用导数的几何意义可得0201ee=xx，构建()2exgxx=，结合导数判断方程0201ee=xx根的个数；的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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