【文档说明】考点02 相似三角形的判定及基本模型-2020-2021学年九年级数学下册高频考点专题突破（苏科版）（解析版）.docx，共(57)页，2.567 MB，由管理员店铺上传

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考点2.相似三角形的判定及基本模型知识框架AXAXK相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模

型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线）基础知识点知识点2-1相似三角形的相关概念1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角

形。三角形相似具有传递性。2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等

三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。知识点2-2相似三角形的判定判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形

相似。判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。1．（2020·上海市静安区实验中学初三

课时练习）下列说法中，正确的是（）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，②B．②，③C．③，④D．①，④.【答案】B2【分析】根据三角形相似

的判定判定即可；【解析】①必须是夹角，故错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，正确；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，正确；④必须是第三边的平行线，故错误；故答案选D．【点睛】本题主要考查了相似三

角形的判定，准确判断是解题的关键．2．（2020·大庆市第五十七中学初二期末）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D分析：利用相似三角形的判定方法以及平行

四边形的性质得出即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D．考点：相似三角形的判定；平行四边形的性

质．3．（2020·河北辛集·初三期末）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】A【分析】利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.【解析】解：由图，根据勾股定

理，可得出①图中阴影三角形的边长分别为：1,2,5；②图中阴影三角形的边长分别为：2,2,10；③图中阴影三角形的边长分别为：1,5,22；④图中阴影三角形的边长分别为：2,5,13；可以得出①②两个阴影三角形的边长125222210===，所以图①②两个阴影三角形相似；故答

案为：A.3【点睛】本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确.4．（202

0·河南洛宁·月考）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．AEACADAB=B．∠B=∠ADEC．AEDEACBC=D．∠C=∠AED【答案】C【分析】根据题意利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可

对A、C进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对B、C进行判断．【解析】解：∵∠EAD=∠BAC，∴当∠AED=∠C时，△AED∽△ACB；当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC；当AEADABAC=时，△AED∽△A

BC；当AEADACAB=时，△AED∽△ACB．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5．（2020·山东德州·初三期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC

上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③ADAC＝AEAB；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有()A．1个B．2C．3个D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理

判断即可．【解析】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；4②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③ADAC＝AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化

为ADDEACBC=，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，故选：D．【

点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是30o，70o，另一个三角形的两个内角分别是70o，80o，则这两个三角形（）A．一定相似B．不一定相

似C．一定不相似D．不能确定【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出另一个内角的度数，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可作出判断．【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别是30o，70o，∴另一个

内角的度数是180307080−−=oooo，∴一个三角形的三个内角分别是30o，70o，80o∴这两个三角形有两角对应相等∴这两个三角形一定相似．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定方法有：（1）两角对应

相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．7．（2020·上海市青浦区第一中学初三期中）如图，四边形ABCD的对角线,ACBD相交于点O，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA

OCOBOD=，则下列结论中正确的是（）A．△AOB∽△AODB．△AOD∽△BOCC．△AOB∽△BOCD．△AOB∽△COD【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．5【

解析】解：∵四边形ABCD的对角线,ACBD相交于点O，∴∠AOB=∠COD，在△AOB和△COD中，=OAOBOCODAOBCOD=∴△AOB∽△COD．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．8．（20

20·江苏宝应·）如图，在ABC中，6,8ABcmACcm==，D是AB上一点且AD2cm=，当AE=________cm时，使得ADE与ABC相似．【答案】83或1.5【分析】ΔADE与ΔABC相似有两种情况，针对每一种

情况，有对应边成比例，据此可列出等式求得AE的值．【解析】解：分两种情况：第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，则28·863ADAEACAB===；第二种情况：如图，ΔADE~ΔACB则2·61.58ADAEABAC===故答案为81.53或．【点睛】本题考查三角形

相似的判定，找出对应三角形相似的两种情况是解题关键．9．（2020·河北初三零模）在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；（3）

若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；6（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】分别利用相

似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．【解析】（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1

，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定

△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．正确的个数有3个；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．10．（2020·哈尔滨德强学校初三开学考试）如图，点P是ABC

中AB边上的一点，请你添加一个条件使ACPABC:：__________.【答案】ACPABC=【分析】根据相似三角形的判定定理即可求解．【解析】∵∠B=∠B∴当ACPABC=时，ACP

ABC:故答案为：ACPABC:．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．11．（2020·江苏初三一模）如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°

）．（1）用直尺和圆规作点O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，求证：△OAA′∽△OBB′．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析7【分析】（1）连接AA′和BB′，然后分别作线段AA′和BB′的垂

直平分线，交点即为所求；（2）如图，根据旋转的性质可得OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOA′＝∠BOB′，进而可得OAOB＝OAOB，进一步即可证得结论．【解析】解：（1）如图，点O即为所求．（2）证明

：如图，∵线段A′B′为线段AB绕点O逆时针旋转后的图形，∴OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOA′＝∠BOB′．∴OAOB＝OAOB．∴△OAA′∽△OBB′．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、旋转的性质和相似三角形的判定等知识，正确理解题意、熟练掌握上述基本知

识是解题的关键．12．（2019·吉林敦化·初三期末）如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D．另一条直角边与AB交于点Q．求证：BPQCDP∽．【答案】详见解析【分析】根据正

方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP．【解析】证明：Q四边形ABCD是正方形，90BC==．90QPD=Q，90QPBBQP+=，90QPBDPC+=，8DPCPQB=，

BPQCDPVV∽．【点睛】此题考查学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．13．（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与,BC重合)．连接

,AE过点E作,EFAE⊥交DC于点F．()1求证：ABEECFV:V；()2连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，BAEEAF=，请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）点E在BC中点位置时，

BAEEAF=，证明见解析．【分析】（1）先根据正方形的性质可得90BC==，再根据直角三角形的性质、角的和差可得BAECEF=，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得,BECHBAEH==，再

根据三角形全等的判定定理与性质可得AEHE=，然后根据等腰三角形的判定与性质可得EAFH=，最后根据等量代换即可得．【解析】（1）Q四边形ABCD是正方形，90BC==，90BAEBEA+=，EFAE⊥Q，90AEF=，90BEACEF+

=，BAECEF=，在ABE△和ECF△中，BCBAECEF==，ABEECFV:V；（2）点E在BC中点位置时，BAEEAF=，证明如下：如图，连接AF，延长AE于DC的延长线相交于点H，EQ

为BC中点，BECE=，Q四边形ABCD是正方形，//ABDH，,BECHBAEH==，在ABE△和HCEV中，BAEHBECHBECE===，()ABEHCEAAS

VV，AEHE=，EFAH⊥Q，AFHV是等腰三角形，EAFH=，BAEEAF=，故当点E在BC中点位置时，BAEEAF=．9【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造

全等三角形和等腰三角形是解题关键．重难点题型题型1相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判

定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。1．（2020·浙江江干·初三一模）如图．在△ABC中，DE∥BC，∠

B=∠ACD，则图中相似三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．10【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽

△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4对，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．（20

19·江苏宜兴·月考）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相

等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．点睛：相似三角形的判定：两组角对应相

等，两个三角形相似.两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.三组边对应成比例，两个三角形相似.3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EFBE⊥，交CD于F，连结BF，则图

中与ABE△一定相似的三角形是A．EFB△B．DEFVC．CFBVD．EFB△和DEFV【答案】B【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EFBE⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE，即11可得到结果.∵矩形ABC

D∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90°∵EFBE⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE∴ABEV∽DEFV故选B.考点：矩形的性质，相似三角形的判定点评：相似三角形的判定和性质是初

中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.4．（2020·江苏高港·初三期中）如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（

）A．∠B=∠CB．∠ADC=∠AEBC．BE=CD，AB=ACD．AD：AC=AE：AB【答案】C【解析】∵∠A=∠A，∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△AC

D相似．故选C．考点：相似三角形的判定．5．（2020·山东广饶·初二期末）如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是()A．2ACADAB=B．CD：AD=BC：ACC．AC：CD=AB：BCD．2CDADDB=【答案】A【分析】题目中隐含条件∠A=∠A，根据

有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是ACADABAC=，根据比例性质即可推出答案．【解析】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：A

CADABAC=12∴AC2=AD•AB．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．6．（2019·湖南新田·初三期末）如图，在ABCV中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：ACPB=①；APCACB=②；

2ACAPAB=③；ABCPAPCB=④，能满足APCV与ACBV相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【解析】当ACPB=，AA=Q，所以APCV∽ACBV,故条件①能判

定相似，符合题意；当APCACB=，AA=Q，所以APCV∽ACBV，故条件②能判定相似，符合题意；当2ACAPAB=，即AC：ABAP=：AC，因为AA=所以APCV∽ACBV，故条件③能判定相似，符合题意；当ABCPAPCB=

，即PC：BCAP=：AB，而PACCAB=，所以条件④不能判断APCV和ACBV相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各

组图形中，不一定相似的是（）A．各有一个角是100°的两个等腰三角形B．各有一个角是90°的两个等腰三角形C．各有一个角是60°的两个等腰三角形D．各有一个角是50°的两个等腰三角形【答案】D【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．【解析】A、各有一个角是100°

的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D、各有一个角是50°的两个等

腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，13所以不一定不相似；故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．8．（2020·安徽初三月考

）如图，在ABCV中，D、E分别是边AC、AB上的点，则下列命题中，属于假命题的是（）A．若ADEABC=∠∠，则ADEABC△△∽B．若ADABAEAC=，则ADEABC△△∽C．若ADAECDBE=，则ADEACBVV∽D．若ADABDEBC=，则ADEABC△△∽【答案】D【

分析】三角形相似的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；根据三角形相似的判定方法容易得出结论．【解析】解：A、若ADEABC=∠∠，∠A为公共角，则ADEABC△△∽，是真命题；B、若ADABAE

AC=，∠A为公共角，则ADEABC△△∽，是真命题；C、若ADAECDBE=，则ADAEACAB=，∠A为公共角，则ADEABC△△∽，是真命题；D、若ADABDEBC=，由于条件不够，不能证明ADEABC△△∽，故D是假命题；故选：D.【点睛】本题考查相似三角形的判定方法；熟练

掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D在ABCV的边AB上，且2ACADAB=，则ABCACDV:V，理由是_______．【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似【分析】先依题意画出图

形，再根据相似三角形的判定即可得．【解析】依题意，画图如下：2ACADAB=Q，即ABACACAD=，又AA=Q，ABCACDVV（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且

夹角相等的两个三角形相似．14【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．9．（2019·山西太原·初三期中）如图，在RtABC中，90ACB=，过点C任作一直线l，过点A作ADl⊥于点D，过点B作BEl⊥于点E．（1）指出

图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABCCBE:时，需添加一个条件，这个条件可以是___(只要求写出一种情况即可)【答案】（1）ACDCBE:，证明见解析；（2）BACBCE=（答案不唯一）【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）根据相似三角形的判定定理，已知一组对

应角相等，需要再添加另一组对应角相等或者夹这组角的两边对应成比例，即可得到两三角形相似．【解析】解：ACDCBE:证明：ADl⊥Q于点,DBEl⊥于点E90ADCCEB==90ACBQ=90DACDCABCEDCA

+=+=DACECB=.ACDCBE∽()2BACBCE=,,ACBCABCCBECEBE==答案不唯一∵BE⊥DE∴∠BEC=90°=∠ACB，再添加BACBCE=根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABCCBE:

；∵∠BEC=90°=∠ACB，再添加ACBCCEBE=根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到ABCCBE:【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15题型2相似三角形基本模型（A字型）【方法点拨】基本模型：A字型（平行）反A字型（不

平行）1．（2020·江苏宝应·）如图，在ABC中，点,EF分别在,ABAC上，且AEABAFAC=．（1）求证：AEFABC:；（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证：EGFGBDCD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成

比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵EAFBAC=，AEABAFAC=，∴△AEF∽△ABC；（2

）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴EGAGBDAD=,FGAGCDAD=，∴EGFGBDCD=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．2.（

2020•东明县模拟）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为𝐷𝑃𝐵𝑄=𝑃𝐸𝑄𝐶，你认为小明的结论

正确吗？请说明你的理由．16【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，所以𝐴𝐷𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐸+𝐸𝐶，代入数据即可求出CE的长度．（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，所以△ADP∽△

ABQ，根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴𝐴𝐷𝐴𝐷+𝐵𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐸+𝐸𝐶，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴𝐷�

�𝐵𝑄=𝐴𝑃𝐴𝑄，同理可得：𝐸𝑃𝐶𝑄=𝐴𝑃𝐴𝑄，∴𝐷𝑃𝐵𝑄=𝐸𝑃𝐶𝑄【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．3.（2020•松江区

一模）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐶𝐸𝐶𝐵，由CD2＝CF•CA，可得𝐶𝐹

𝐶𝐷=𝐶𝐸𝐶𝐵，可证EF∥BD；（2）通过证明△BAD∽△DBE，可得𝐵𝐴𝐵𝐷=𝐵𝐷𝐷𝐸，即可得结论．【解答】证明：（1）∵DE∥AB，∴𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐶𝐸𝐶𝐵，∵CD2＝CF•CA．∴𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐶𝐹𝐶�

�，∴𝐶𝐹𝐶𝐷=𝐶𝐸𝐶𝐵，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC•CF＝BC•CE，∴𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐶𝐸𝐶𝐹，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF

＝∠A，∴∠DBE＝∠A，17∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴𝐵𝐴𝐵𝐷=𝐵𝐷𝐷𝐸∴BD2＝BA•DE【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于

中考常考题型．4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在RtABC中，90ACB=，60BAC=，6AC=，AD平分BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；

（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EFDF的值．【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明BDEBCAVV∽，根据相似性质即可求解；（2）

先证明DFAG=，再证明BEFBAG△∽△，根据相似三角形性质求解即可．【解析】解：（1）∵AD平分BAC，60BAC=，∴30DAC=．在RtACD中，90ACD=，30DAC=，6AC=，∴CD23=．在RtACB中，90ACB=，60BAC=，6A

C=，∴63BC=．∴43BDBCCD=−=．∵//DECA，∴BDEBCAVV∽∴23DEBDCABC==．∴4DE=．（2）∵点M是线段AD的中点，∴DMAM=．18∵//DECA，∴DFMAGM

△∽△∴DFDMAGAM=．∴DFAG=．∵//DECA，∴BEFBAG△∽△∴23EFBEBDAGBABC===∴23EFDF=．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关

键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．5．（2019·全国初三专题练习）如图，在RtABC△中，90A=，8AB=，6AC=．若动点D从点A出发，沿射线AB运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DEBC∥交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．（1）求出y关于x

的函数关系式；（2）当x为何值时，BDEV的面积S有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？【答案】(1)32yx=;(2)x=2时，s有最大值，且最大值为6.【分析】(1)分两种情况讨论：①当D点在线段AB上时，A

DEV∽ABCV，然后利用相似三角形的对应边成比例求得ADAEABAC=，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；②当D在AB延长线上时，ABACADAE=，用x、y表示该比例式中的线段的长度整理后即可；（2）①当D在线段AB上时，求得2362DEB

ABEADESSSxx=−=−+△△△，化成顶点式，可求最值；②当D在AB延长线上时，2362DEBADEABESSSxx=−=−△△△，化成顶点式，可求最值．【解析】（1）①如图，当D点在线段AB上时，∴ADEV∽ABCV，∴A

DAEABAC=又2ADx=，8AB=，AEy=，6AC=，∴296xy=，∴32yx=．②如图，当D在AB延长线上时，∵DEBC∥，∴ABACADAE=，∴862xy=，∴32yx=．19（2）①如图，当D在线段AB

上时，()2223336626222DEBABEADESSSxxxxx=−=−+=−+=−−+△△△．∴当2x=时，6S=最大．∴当2x=时，S有最小值，且最小值为6−．不符合题意舍去．②如图，当D在AB延长

线上时，()223362622DEBADEABESSSxxx=−=−=−−△△△．综上所述：当2x=时，S有最大值，且最大值为6．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问

题，找到等量比是解题的关键．6.（2020•东莞市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐷𝐹𝐶𝐺．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若𝐴𝐷𝐴𝐶=3

7，求𝐴𝐹𝐹𝐺的值．【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△ADE∽△ACB；根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；（2）由（1

）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，又∵𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐷𝐹𝐶𝐺，∴△ADF∽△ACG；（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐺，∵�

�𝐷𝐴𝐶=37，∴𝐴𝐹𝐴𝐺=37，∴𝐴𝐹𝐹𝐺=34．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．7．（2020·全国初三专题练习）（1）如图，在ABCV中，点D、E

、Q分别在AB、AC、BC上，且DEBC∥，AQ交DE于点P，求证：DPPEBQQC=．（2）如图，ABCV中，90BAC=，正方形DEFG的四个顶点在ABCV的边上，连结AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图，若1AB

AC==，直接写出MN的长；②如图，求证：2MNDMEN=．20【答案】(1)见解析;(2)①29；②见解析.【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出DPPEBQQC=;（2）①根据三角形

的面积公式求出BC边上的高22AQ=，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长23DE=，根据MNGF等于高之比即可求出MN；②由MEGCP，得MNANNEGFAFFC==．又DGFE为正方形，得出MNFEENFC=，同理，有MNDGMDBG=，又因为DBG△∽CEF

△，所以MNMDENMN=，所以2MNDMEN=．【解析】（1）证明：如图1在ABQ△中，由于DPBQP，∴ADP△∽ABQ△，∴DPAPBQAQ=．同理在△ACQ和△AEP中，APPEAQQC=，∴DPPEBQQC=．（2）①如图2,作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高2

2AQ=∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，12,33ADDE==21∵DE边上的高为26,22::62MNGF=222::362MN=29MN=故答案为29②证明：如图3∵MEGCP，∴MNANNEGFAFFC==．又∵

DGFE为正方形，∴=GFEF，∴MNNEEFFC=，∴MNFEENFC=．同理，在ABFV中有MNAMDMGFAGBG==，∴MNDMGDBG=，∴MNDGMDBG=．又因为DBG△∽CEF△，∴BGFEDGFC=，∴MNMDENMN=．∴2MNDMEN=．【点睛

】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．题型3相似三角形基本模型（X字型）【方法点拨】基本模型：X字型（平行）反X字型（不平行）1．（2019·全国初三课时练习）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与B

D相交于点O.若AODACDSS＝13，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.【答案】4m【分析】由题意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO边上的高相等，所以面积比等于对应边AO，CO的比值，进而

求出AO：CO的值，又因为△AOD∽△BOC，利用两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求出S△AOD：S△BOC的值；从而求出△AOD的面积.22【解析】过点D作DE⊥AC于E，则AODACDSS＝1212AODEACDEgg＝13，∴AOAC＝13，

又∵AO+OC＝AC，∴AOOC＝12，∵AD∥BC，∴AODBOCSS＝(AOOC)2＝14，即AODSm＝14，∴S△AOD＝4m.2．（2019·全国初三专题练习）已知在ABC△中，点D为边BC上一点，点E为边AC的中点，AD与BE交于点P．（1）如图，当BDCD=时，PEPB=

________；（2）如图，当2CDBD=时，求证：PEPB=．【答案】(1)12;(2)见解析.【分析】（1）连接DE，利用三角形中位线的性质得出DE∥AB,DE=12AB,则△ABP∽△DEP，进而得出答案；（2）过点E作EF∥A

D交BC于点F，利用平行线分线段成比例定理得出F是CD的中点，进而得出BD=DF=FC，进而得出即可．【解析】（1）解：连接DE，∵点E为边AC的中点，BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB,DE=12AB,∴△ABP∽△DEP，12PEDEPBAB==故答案为12

（2）证明：过点E作EF∥AD交BC于点F，23∵点E为边AC的中点，EF∥AD，∴F是CD的中点，∵CD=2BD，∴BD=DF=FC，又∵PD∥EF，∴BP=PE．【点睛】此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例定理等知识，正确作出平行线是解题关

键．3．（2019·全国初三专题练习）如图，CD、BE是ABCV的两条高，连DE．（1）求证：AEACABAD=；（2）若，点为的中点，求的值．【答案】(1)见解析;(2)1.【分析】（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AE

B=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；（2）连结ME，由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，由点M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半得到MB=ME=MD=MC，于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，根据圆周角定理得∠DME=2∠EBD=60°，则可判断△MED为等边三角形，所以DE=DM．所以的值为1【解析】（1）证明：∵BE、CD是△ABC的高，∴∠AEB=∠ADC=90°，而∠EAB

=∠DAC，∴△AEB∽△ADC，∴AB：AC=AE：AD，∴AE•AC=AB•AD；（2）连结ME，如图，∵∠BAC=120゜，∴∠BAE=60°，∴∠EBA=30°，120BAC=MBCDED

MDEDM24∵点M为BC的中点，∴MB=ME=MD=MC，∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，∴∠DME=2∠EBD=2×30°=60°，∴△MED为等边三角形，∴DE=DM．∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组

对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理．4．（2020·山东乐陵·初三期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在ABC中，点O在线段BC上，30BAO

=，75OAC=，3AO=，:2:1BOCO=，求AB的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作//BDAC，交AO的延长线于点D，通过构造ABD就可以解决问题（如图2）请回答：____ADB=，______AB=．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，ACAD⊥，3AO=，75ABCACB==，:2:1BOOD=．求DC的长．【答案】（1）75，33；（2）317

2【分析】(1)根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°,结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角对等边可得出;(2)过点

B作BE∥AD交AC于点E，同(1)可得出AE，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【解析】解:(1)//BDACQ，75ADBOAC==.BODCOA=QBODCOA:2ODOBOAO

C==又3AO=Q223ODAO==，33ADAOOD=+=.30,75,BADADB==Q18075,ABDBADADBADB=−−==33ABAD==，故答案为：75

；33.(2)过点B作//BEAD交AC于点E，如图所示.1DEDM=25ACAD⊥Q，//BEAD90DACBEA==.AODEOB=QAODEOB:==OBOEBEODOADA:2:1BOOD=Q=2OEBEOADA=3AO=Q,2

3EO=33AE=75ABCACB==Q30,BACABAC==2ABBE=在RtAEB中，222BEAEAB+=，即()()222332BEBE+=，解得：3BE=6,6ABACAD===32AC=在RtCA

D中，22223317622CDACAD=+=+=3172CD=.【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形性质及勾股定理，构造相似三角形是解题的关键，利用勾股定理进行计算是解决本题的难点．5．（2019·广东深圳实验学校初三期中）如图，已知E是平行四边形ABCD中AD边

上一点，且:3:2AEDE=，CE交BD于点F，15BFcm=，求DF的长．【答案】6cm【分析】由已知可得△EDF∽△CBF，由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解DF的长．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形

，点E在边AD上∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF∴△EDF∽△CBFBCBFEDDF=2632AEDE=Q∴设3AEt=，则2DEt=，则22156cm55BFDF===，25DFDEBFBC==，∵BF=15cm22156cm5

5BFDF===故答案为6cm【点睛】熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质．6．（2019·湖北硚口·初三三模）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE，CD与

AE交于F．（1）求∠AFD的度数；（2）若BE=m，CE=n．①求AFFE的值；（用含有m和n的式子表示）②若EFFD=15，直接写出nm的值．【答案】（1）60°；（2）①22mmnn+；②55【分析】

（1）利用SAS证出△ABE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质、四边形的内角和和等边三角形的性质即可求出结论；（2）过点E作EH∥AB交CD于点H，可证△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，然后列出比例式，结合

（1）中全等即可求出结论；（3）根据（2）的结论可设()22,=+=AFammnEFan，然后根据相似三角形的判定定理证出△AFD∽ABE，列出比例式即可求出a的值，然后用m和n表示出EF和DF，再结

合已知条件即可求出结论．【解析】解（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠BCA=∠BAC=60°又AD=BE，∴△ABE≌△CAD，∴∠ADC=∠BEA∵∠BDF＋∠ADC=180°∴∠BDF+∠BEF=180°，∴∠B+∠DFE=180°，∵∠AFD+∠D

FE=180°，∴∠AFD=∠B=60°（2）过点E作EH∥AB交CD于点H，∴△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，∴EHCEBDCB=，EHEFADAF=由（1）△ABE≌△CAD，∴AD=BE=m，则BD=CE=n，∴EHnnmn=+，EHEFmAF=，∴22AFmmn

EFn+=27（3）∵22AFmmnEFn+=可设()22,=+=AFammnEFan则AE=AF＋EF=()22++ammnn∵∠AFD=∠B=60°，∠DAF=∠EAB∴△AFD∽ABE∴==AFADDFABAEBE即()()222

+==+++ammnmDFmnmammnn解得：221=++ammnn∴222=++nEFmmnn，()()222222222221===++++•++++mmmDFammnnmmnnmmnnmmnn∵EFFD=15∴22222215++=++nmmnnmmmnn整理，得2215=nm∴55

=nm或55−（不符合实际，舍去）【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和相似三角形的判定及性质，此题难度较大，构造相似三角形并列出比例式是解决此题的关键．7．（2019·全国初三专题练习）（1）如图，若为的内角平分线，请问：成立吗？并说明

你的理由．（2）如图，中，，，，为上一点且，交其内角角平分线与．试求的值．【答案】(1)见解析;(2).ADABC△ACCDABBD=RtABC△90ACB=8AC=403AB=EAB5AE=CEADFDFFA5828【分析】（1）过点作交的延长线于点．由，平分证得∽，再由相似的性质

证出结论；（2）连结．由（1）得，然后证得．再证明∽．最后利用相似的性质可求得结果。【解析】（1）结论成立．理由如下：如图，过点作交的延长线于点．∵，平分，∴，∴，∽，∴，∴．（2）如图，连结．∵为的内角角平分线，，，∴由（1）得，．又∵，∴，∴∴．∴．∴∽．∴．【点睛】本题主要

考查了相似三角形的性质和判定，掌握添加辅助线的方法和能灵活应用判定定理、性质定理是解题关键。BBGACPADGBGACPADBACGBD△ACDVED834053CDACDBAB===DEACPDEFVACFVBBGACPADGBGACPADBACGCADBAD==

BGAB=GBD△ACDVACCDGBBD=ACCDABBD=EDADABC△8AC=403AB=834053CDACDBAB===5AE=4025533EBABAE=−=−=532553AEEB==CDAEDBEB=DEACPDEFVACFV

58DFEFDEFAFCAC===29题型4相似三角形基本模型（AX型）【方法点拨】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.1．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【答案】12【分析】如图（见解析），

延长BQ交射线EF于点M，先根据中位线定理得出，再根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的定义得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质得出，从而可求出EM的长．【解析】如图，延长BQ交射线EF于点M、分别是、的中点平分

由得即故答案为：12．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．2.（2020•丛台区三模）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，

且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．ABC6BC=EFABACPEFBPCEDCBPCEQ13CQCE=EPBP+=//EFBCBPMP=EPBPEM+=EMEQBCCQ=QEFABAC//EFBCMCBM=BQ

QCBPCBMPBM=PBMB=BPMP=EPBPEPMPEM+=+=13CQCE=Q2EQCQ=//EFBCEMQCBQ2EMEQBCCQ==22612EMBC===1

2EPBP+=30【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶，结合∠DAE＝∠BAC可证出△ADE∽△ABC；（2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出𝐷𝐸𝐵𝐶=

13及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸�

�𝐶=13，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴𝐷𝐹𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐶𝐵，即2𝐶𝐹=13，∴FC＝6．【点评】本

题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出DE∥BC．3.（2020•江夏区模拟

）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果𝐶𝐸𝐵𝐸=23，求𝐹𝐸𝐸𝐺的值．【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，由

AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性质结合𝐶𝐸𝐵𝐸=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，利用相似三角形的性质可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出𝐹𝐸𝐸𝐺=916．【解答】解：∵四边形ABCD

为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴𝐸𝐹𝐴𝐹=𝐵𝐸𝐷𝐴．又∵BC＝BE+CE，𝐶𝐸𝐵𝐸=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=35AF，∴AE=3+53EF=83EF．31∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴𝐺𝐸𝐺

𝐴=𝐶𝐸𝐷𝐴=22+3，∴GE=25GA，∴GE=25−2AE=23×83EF=169EF，∴𝐹𝐸𝐸𝐺=916．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找

出AE=83EF及GE=23AE是解题的关键．4．（2020·广东高州·初三其他）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若CEBE＝CDCE，AF＝2，

求ME的长．【答案】（1）见解析（2）2【分析】（1）通过已知条件，易证△ADF≌△CDE，即可求得；（2）根据CEBE＝CDCE，易求得BE和BF，根据已知条件可得CEBE＝CDCE＝CDAF，证明△AMF∽△CMD

，CDCMCEAFAMBE==，再证明△ABC～△MEC,即可求出ME．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，

ADFCDFADCDDAFDCE===，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵CEBE＝CDCE，AF＝2，∴222x

x+=，解得x＝51−，∴BE＝BF＝51−，∵CEBE＝CDCE，且CE＝AF，∴CEBE＝CDCE＝CDAF，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴CDCMAFAM=，∴CDCMCEAFAMBE==，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=

∠ACB，∴ME=CE=2．32【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和性质是解答此题的关键．5．（2019·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．【答案】见解析【

分析】由可得到∽，∽，∽．以及∽，∽，∽．再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出结论．【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴．∴．∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴．∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，利用比例式进行变形推理是本题的一个关键．6

.（2019•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．（1）求证：△AFG∽△CMG；（2）求证：𝐺𝐹𝐺𝑀=𝐸𝐹𝐸𝑀．ABCDCDABPADBCEACBDOE

OABMCDNAMBMCDABPEDN△EAM△△ENCEMB△EDC△EABVOND△OMB△ONC△OMAVOCDVOABVCDABPEDN△EAM△△ENCEMB△EDC△EABVDNDEAMAE=CNCEBMBE=DECEAEBE=DNCNA

MBM=BMCNAMDN=CDABPOND△OMB△ONC△OMAVOCDVOABVDNODBMOB=CNOCAMOA=ODOCOBOA=DNCNBMAM=AMCNBMDN=BMAMAMBM=22AMB

M=AMBM=33【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，则结论得证；（2）由（1）可得出𝐺𝐹𝐺𝑀=𝐴𝐹𝐶𝑀，证明△AEF∽△BEM，可得出𝐴𝐹𝐵𝑀=𝐸𝐹𝐸𝑀，由BM＝CM，则结论得出

．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；（2）证明：∵△AFG∽△CMG，∴𝐺𝐹𝐺𝑀=𝐴𝐹𝐶𝑀∵AD∥BC，∴△AEF∽△BEM，∴𝐴𝐹𝐵

𝑀=𝐸𝐹𝐸𝑀又∵CM＝BM，∴𝐴𝐹𝐶𝑀=𝐸𝐹𝐸𝑀，∴𝐺𝐹𝐺𝑀=𝐸𝐹𝐸𝑀．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.（2019•

成都市青羊区月考）如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【分析】（1）由EG∥AD可得出△BAD∽△BEF，利用相似三角形的性质可求出EB的长；（2）由EG∥∥BC可得出△AEG∽△ABC

，利用相似三角形的性质可求出EG的长，再结合FG＝EG﹣EF可求出FG的长．【解答】解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴𝐵𝐸𝐵𝐴=𝐸𝐹𝐴𝐷，即𝐵𝐸𝐵𝐸+6=26，∴EB＝3．（2）∵EG∥

∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴𝐸𝐺𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵，即𝐸𝐺8=66+3，∴EG=163，∴FG＝EG﹣EF=103．34【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1

）利用相似三角形的性质，求出EB的长；（2）利用相似三角形的性质，求出EG的长．题型5相似三角形基本模型（母子型）【方法点拨】图1垂直母子型条件：,ACBCABCD⊥⊥，图1结论：ABCACDCBDV

VV∽∽；图2斜交母子字型条件：CABD=，图2结论：ABCABDVV∽；1、在RtABCV中，90,ACBCDAB=⊥，垂足为,8,2DADDB==，求CD的长【分析】根据垂直母子型模型4证得ADCCDBVV∽，再根

据对应边成比例，即可求出CD的值．【解析】∵CDAB⊥，∴90ADCCDB==，∴90ACDA+=，∵90ACB=，∴90ACDBCD+=，∴ABCD=，∴ADCCDBVV∽，∴CDADBDCD=，∴

28216CDADBD===，∴4CD=．352、如图，在ABCV中，ABAC=，点P、D分别是BCAC、边上的点，且APDB=．（1）求证：ACCDCPBP=；（2）若10,12ABBC==，当//PDAB时，求BP的长．【分析】（1）根据已知得出APDBC

==，再根据斜交母子型模型4得出ABPPCDVV∽，根据相似三角形的性质得到ABCDCPBP=，由ABAC=即可得到ACCDCPBP=；（2）由//PDAB根据斜交母子型模型4得出BAPBCAVV∽，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解析】（1）

∵ABAC=，∴BC=．∵APDB=，∴APDBC==．∵,APCBAPBAPCAPDDPC=+=+，∴BAPDPC=，∴ABPPCDVV∽，∴BPABCDCP=，∴ABCDCPBP=．∵ABAC=，∴ACCDCPBP=；（2）如图，∵//PDA

B，∴APDBAP=．∵APDC=，∴BAPC=．∵BB=，∴BAPBCAVV∽，∴BABPBCBA=．∵10,12ABBC==，∴101210BP=，∴253BP=．【点睛】利用母子型模型中有一组隐含的等角，此时需要通过

已知得出判定三角形相似的条件，把证明ACCDCPBP=转化为证明ABCDCPBP=是解题的关键．3.（2019•越城区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）36A．3：2B．2：3C．3：√13D．2：√13．【分析

】只要证明△ACD∽△CBD，可得𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐷=64=32，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝

90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐷=64=32∴𝐵𝐶𝐴𝐶=23，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解

决问题，属于中考常考题型．4．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴′𝐷′𝐴′𝐵′．（1）当𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′时，求证△ABC∽△A'B'C．证

明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐵𝐶𝐵′𝐶′时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形

相似证明即可．（2）过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．首先证明△CED∽△C′E′D′，推出∠CED＝∠C′E′D′，再证明∠ACB＝∠A′C′B′即可解决问

题．【解答】（1）证明：∵𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴′𝐷′𝐴′𝐵′，∴𝐴𝐷𝐴′𝐷′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′，∵𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′，∴𝐶𝐷𝐶′𝐷′

=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐷𝐴′𝐷′，∴△ADC∽△A′D′C，∴∠A＝∠A′，∵𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐴𝐵𝐴′𝐵′，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为：𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶

′=𝐴𝐷𝐴′𝐷′，∠A＝∠A′．（2）如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．37∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐶，同理

，𝐴′𝐷′𝐴′𝐵′=𝐷′𝐸′𝐵′𝐶′=𝐴′𝐸′𝐴′𝐶′，∵𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴′𝐷′𝐴′𝐵′，∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐷′𝐸′𝐵′𝐶′，∴𝐷𝐸𝐷′𝐸′=𝐵𝐶

𝐵′𝐶′，同理，𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴′𝐸′𝐴′𝐶′，∴𝐴𝐶−𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴′𝐶′−𝐴′𝐸′𝐴′𝐶′，即𝐸𝐶𝐴𝐶=𝐸′𝐶′𝐴′𝐶′，∴𝐸𝐶𝐸′𝐶′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′，∵𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐵𝐶𝐵′

𝐶′，∴𝐶𝐷𝐶′𝐷′=𝐷𝐸𝐷′𝐸′=𝐸𝐶𝐸′𝐶′，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′，∵DE∥BC，∴∠CED+∠ACB＝90°，同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，∴∠

ACB＝∠A′B′C′，∵𝐴𝐶𝐴′𝐶′=𝐶𝐵𝐶′𝐵′，∴△ABC∽△A′B′C′．5.（2019•张家口模拟）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，𝐴𝐷𝐴𝐵=12，△CEF

的面积为S1，△AEB的面积为S2，则𝑆1𝑆2的值等于（）A．116B．15C．14D．125【分析】根据已知条件设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，由勾股定理得到AC=√5a，根据相似三角形的性质得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC求得CE=√5𝑎5，AE=4

√5𝑎5，得到𝐶𝐸𝐴𝐸=14，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵𝐴𝐷𝐴𝐵=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=√5a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△

AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE•√5a，4a2＝AE•√5a，∴CE=√5𝑎5，AE=4√5𝑎5，∴𝐶𝐸𝐴𝐸=14，∵△CEF∽△AEB，∴𝑆1𝑆2=（𝐶𝐸𝐴𝐸

）2=116，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．386.（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC

，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253.【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△

PCD，即可得到BPABCDCP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长

．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPABCDCP=，∴AB•

CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BABPBCBA=．∵AB=10，B

C=12，∴101210BP=，∴BP=253．“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到

△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．7、在RtABCV中，90,ACBCDAB=⊥，垂足为,8,2DADDB==，求CD的长【分析】根据垂直母子型模型4证得ADCCDBVV∽，再根据对应边成比例，即可求出CD的值．【解析】∵CD

AB⊥，∴90ADCCDB==，∴90ACDA+=，39∵90ACB=，∴90ACDBCD+=，∴ABCD=，∴ADCCDBVV∽，∴CDADBDCD=，∴28216CDADBD===，∴4CD=．题型6相似三角形基本模型（旋

转型（手拉手））【方法点拨】基本模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1.（2020•漳浦县期末）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射

线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④【分析】首先证明△AOD∽△EOB，推出

△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴𝑂�

�𝑂𝐵=𝑂𝐴𝑂𝐸，∴𝑂𝐷𝑂𝐴=𝑂𝐵𝑂𝐸，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正确，∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，∵DF＝EF，∴FD

＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=√32+42=5，∵△ABC∽△ADE，∴𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐵𝐶𝐴𝐶=53，40∵BF=12DE

，∴2𝐵𝐹𝐴𝐸=53，∴BF=56AE，故④正确，∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴无法判断△AOD∽△FOB，故①错误．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.（2019•福田区校级期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：

3C．√5：2D．2：√3【分析】根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似，利用相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，进而证明△AEC与△ABD相似，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠AED＝90

°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐷，∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐷，∴△ACE∽△ABD，∴𝐵𝐷𝐶𝐸=𝐴�

�𝐴𝐶，∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故选：A．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似．3.（2020•昭平县期末）如图，AB＝3，AC＝2，BC

＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）41A．10°B．20°C．40°D．无法确定【分析】证明△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，结合图形解答即可．【解答】解：𝐴𝐶𝐴𝐸=23，𝐴𝐵𝐴𝐷=34

.5=23，𝐵𝐶𝐷𝐸=46=23，∴𝐴𝐶𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐷𝐸，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故

选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．4．（2020·全国初三专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，

，若，求和的面积．【答案】和的面积分别为2和．【分析】过点D作DMBC于点M，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证BDC∽AEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且，即AEC的面积可求．【

解析】解：如图所示，过点D作DMBC于点M，∵AC=2，，∴，又∵，，RtABCVRtDEF△30ABCEDF==90BACDEC==BCDFCF2AC=CEDVC30°BDAE12EFAC=BDCVAECVBDCVAECV

12⊥VVRt△V2AECBDC1124SS==△△V⊥1EF=AC2EC=1ABC=30EDC=3042∴在BAC和DEC中，，，由旋转性质知，，，∴BDC∽AEC，故，在DMC中，，，∴，∴，∵BDC∽AEC，∴，∴，∴BDC和A

EC的面积分别为2和．【点睛】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDC∽AEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方．5.（2020•亳州模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF

，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题；（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可；【解

答】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，∵AE•CE＝DE•EF，∴𝐴𝐸𝐷𝐸=𝐸𝐹𝐶𝐸，又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．（2）∵AE•B

D＝EF•AF，∴𝐴𝐸𝐴𝐹=𝐸𝐹𝐵𝐷，∵AD＝AF，∴𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐸𝐹𝐵𝐷，∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．【点评】

本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2020·山东中区·初三二模）在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，

连接与交于点，则．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．Rt△Rt△BC=2AC=4DC=2EC=2BCDACE30==BCCD==2ACEFVVBDBC==2AEACRt△BCD=30

DC=2DM=1BDCBCDM41222S===△VV2AECBDC1124SS==VVAEC11242S==△VV12VVABC90,2ACBBCAC===ABCA0180()''ABC60'CCABM'

CC='BB'CC'BBDCD43【答案】（1）2；（2）；（3）的值最大，此时.【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而AC=2即可求解.(2)过点B作BH⊥CD于H，求得△CBH三边之比为，进而求出CH和BH的长，再求得△DBH为等腰直角三角形，最后得到CD

=DH+CH即可求解.【解析】解：(1)∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形∴.故答案为.(2)如图2中，作于，如下图所示：是等边三角形，，，，且△DBH为等腰直角三角形，..故答案为：.【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三

边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.7．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α

°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．13CD=+CD22CD='CC=1:3:2'2==CCAC2BHCD⊥H','60ABABBAB==Q'ABB60==DBMACM

DMBAMC??Q45BDCBAC=='30BCHBCAACC=−=Q11,32BHDHBCCH====13CDCHDF=+=+13+V44（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1

）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值＝sinα【分析】（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△B

CF（SAS），可得结论．（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得结论．【解析】（1）连接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝

60°，∴△EFC都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，结论：＝．证明：连接BF，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠C

EF＝90°，BFAEAEBF22DFDCBFAEAEBF2245∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．【点睛】本题属

于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．题型7相似基本模型（K字型（一线三等角）

）【方法点拨】基本模型：如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF

，FD平分∠EFC.1．（2020·广西平桂·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．【答案】1或2【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=9

0°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．【解析】设BP=x，则PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90

°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的长为1或2，故答案为：1或2ACBCCECF22AEBFACBC22ABPBPCCD=132xx=

−46【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．2．（2020·湖北保康·初三其他）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠

ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为

正确结论的序号都填上）【答案】①②④【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．【解析】解：

①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，故①正确；②作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝ABcosB，∴BC＝2BG

＝2ABcosB＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC，在△ABD与△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确；③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝A

C，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，452584545BADCDEBCABDC＝＝＝4547当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝

90°，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，∴cosB＝＝，∴BD＝，故③错误；④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，设BD＝y，CE＝x，∴，∴，整理得：y2−16y＋

64＝64−10x，即（y−8）2＝64−10x，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键．3．（

2020·江苏宝应·）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥交CD于点F．（1）求证：ABEDEF:；（2）连结BF，若ABEEBF:，试确定点E的位置并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点．理由见解析【分析

】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出ABABDEAE=，即可得出DE=AE．【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，

∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，ABEDEFAD==∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴ABBEDEEF=，∵△ABE∽△EBF，∴ABBEAEEF=，

∴ABABDEAE=，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．4．（2020·浙江上城·初三一模

）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE45ABBD45252ABBDDCCE=10y16yx=−48为正三角形时

，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由见解析；（2）8；（3）BD＝28−+BPBP，BD的最大值为4．【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得

到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．【解析】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等

边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，BCBDPCPEPDEP=

==∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△

CPE，∴BDBPPCCE=，即8BDBPBPBD=−整理得，BD＝28BPBP−+，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．【点睛】此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质以及二次函数的性质，灵活运

用知识点进行逻辑证明是解题关键．5．（2020·全国初三专题练习）如图，//ABCD，CDBD⊥且6AB=，4CD=，14BD=，在BD上是否存在一点P，使得以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，若存在，求BP的长，若不存在，请说明理由．49【答案】

存在，BP=2或12或8.4【分析】易得90BD==，设BPx=，则14PDx=−，然后分两种情况：①ABPPDC△△∽与②ABPCDP△△∽，分别利用相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求出结果．【解析】解：存在．∵//ABC

D，CDBD⊥，∴90BD==，设BPx=，则14PDx=−．①ABPPDC△△∽时，ABBPPDCD=，即6144xx=−，解得12x=，212x=，∴当2BP=或12时，ABPPDC△△∽；②当ABPCDP△△∽时，AB

BPCDPD=，即6414xx=−，解得8.4x=，∴当8.4BP=时，ABPCDP△△∽．综上所述，当2BP=或12或8.4时，以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似．【点睛】本题考查了相似

三角形的判定和性质和一元二次方程的解法，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．6．（2020·全国初三专题练习）在RtABCV中，90BAC=，2ABAC==，点D在BC所在的直线上运动

，作45ADE=（A、D、E按逆时针方向）．（1）如图，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：ABDDCE△△∽；②当ADEV是等腰三角形时，求AE的长；（2）如图，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使ADE△是等腰三角形

？若存在，求出线段CD的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使ADEV是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．【答案】（1）①见解析，②2或422−或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析【分析】（1）①根

据等腰直角三角形的性质得到45BC==，再证BADCDE=，根据相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰三角形的性质，分ADAE=，ADDE=和AEDE=三种情况讨论，50再根据相似三角形的性质求解；（2）先证得ADCAED△△∽，再根据相似三角形的性

质计算即可；（3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可．【解析】（1）①证明：∵90BAC=，ABAC=，∴45BC==．∴135BADADB+=．又∵135ADBEDC+=，∴BADEDC=．∴ABDDCE△△

∽；②解：分三种情况：（i）当ADAE=，45ADEAED==时，得到90DAE=，点,DE分别与,BC重合，∴2AEAC==．（ii）当ADDE=时，在△ABD和△DCE中，BCADBCEDADDE===，∴ABDDCE△△≌，

∴2ABCD==，∵BC=222222+=，∴222BDCE==−，∴422AEACCE=−=−；（iii）当AEDE=时，有45EADADEC===，∴90ADCAED==，AD=CD，AE=CE=DE，∴112DEAEAC==

=．综上所述，当ADEV是等腰三角形时，AE的长为2，422−或1．（2）解：存在．∵45ACB=，∴CADADC45+=．∵45ADE=，∴45DACDEA+=．∴ADCDEA=，∴ADCAED△△∽，∴ACADDCED=，当ADDE=，2D

CAC==．（3）解：不存在．理由如下：如图，∵D和B不重合，∴45AED，又45ADE=，90DAE，∴ADAE≠DE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形

的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键．7.（2020•肥东县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，∠AED51＝∠B，则CE的长为（）A．152B．223C．365D．64

9【分析】证明△BAE∽△CED，推出𝐵𝐴𝐶𝐸=𝐵𝐸𝐶𝐷可得结论．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，∴△BAE∽△

CED，∴𝐵𝐴𝐶𝐸=𝐵𝐸𝐶𝐷，∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE=52，∴6𝐶𝐸=523，∴CE=365，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常

考题型．题型8相似三角形常用辅助线（作平行线）【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.基本模型：1．（2020·湖北武汉·初三一模）如图，在中，，，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F．若，，则__________．【答案】2【

分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次利用△CDG∽△CBD,求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，求出BE的长，最后得出答案．RtABCV90A

CB=6ACBC==45CFE=2BDAD=CE=52【解析】解：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，在直角三角形ABC中，，∴AB==，又，∴AD=，∴在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，∴C

H=6－2=4，在Rt△CHD中，CD==，∵AE∥DG，∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，∴∠CDG=∠B，又∠DCG=∠BCD，∴△CDG∽△CBD，∴，∴，即20=6CG，∴CG=，∴BG=BC－CG=6－=，又DG∥AE，∴△BDG∽△BAE，

又，∴，又BG=，∴BE=BG×=4，∴CE=6－4=2，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．2．（2019·全国初三

专题练习）如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且，连结并延长交于点，则等于（______）．【答案】【分析】先过点D作GD∥EC交AB于G，由平行线分线段成比例可得BG=GE，再根据GD∥EC，得出，最后根据，即可得出答案．【解析】

解：过点D作GD∥EC交AB于G，6ACBC==22ACBC+622BDAD=2222CHDH+25CDCGCBCD=2CDCGCB=•103103832BDAD=23BDBGBABE==8332ABC△ADBCF

AD:1:5AFFD=CFABE:AEEB1105EGAE=::25EGAEEBEG=53∵AD是BC边上中线，，即BG=GE，又∵GD∥EC，【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，

关键是求出AE、EB、EG之间的关系3．（2020·全国初三课时练习）已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC=2CD．

【答案】证明见解析.【分析】方法一：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，证明方法与方法一类似；方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到AEEF=AMMC

，加上AM=MC，则AE=EF，由于AB=4AE，所以2BFEF=又因为CFPDE，可得2BFBCFECD==，即2BCCD=．【解析】证明:（方法一）过点C作CF∥AB交DE于点F，∴CDF∽BDE∴CFCDBEBD=∵点M为AC的中点，∴AMCM=∵CFPAB∴BA

CMCF=又∵AMECMF=∴AME≌CMF∴AECF=∵4ABAE=，BEABAE=−，∴3BEAE=∴13AEBE=1BGBDGEDC==15AEAFEGFD==5EGAE=::

21:105EGAEEBEG==54∵CFCDBEBD=∴13AECDBEBD==，即3BDCD=.又∵BCBDCD=−∴2BCCD=（方法二）过点C作CFPDE交AB于点F，∴AEAMAFAC=又∵点M为AC的中点，∴2ACAM=∴2AF

AE=∴AEEF=又∵4ABAE=，∴2BFEF=又∵CFPDE∴2BFBCFECD==∴2BCCD=．【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．（2019·山东初三期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，B

E的延长线交AC于点F．求证：12AFFC=．【答案】证明见解析【分析】过D作DQ∥BF交AC于Q，证明AF=FQ，CQ=FQ，即可求出答案．【解析】证明：过D作DQ∥BF交AC于Q，∴CD:BD=CQ:FQ，AE:DE=AF:FQ，∵E为AD的中点，即AE=ED，∴AF=FQ

，∵AD是BC边上的中线，即BD=CD，∴CQ=FQ，∴AF=FQ=CQ，∴12AFFC=．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，能正确作出辅助线是解此题的关键．5．（2019·武汉七一华源中学初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠AB

C=90°，∠B=30°，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F，过点F作FG∥AC交AD（或延长线）55于点G．（1）当n=1时，则FBFA=_______

____，ECEF=_______．（2）如图，当n=14时，求证：FG2=52FE•FC；（3）如图，当n=_____时，FBFA＝12．【答案】（1）2，3；（2）见详解；（3）14.【分析】（1）首

先过点D作DH∥CF交AB于点H，由n=1时，可得E为AD的中点，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案；（2）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF=x，则BH=HF=nx．由∠B=30°，即可求得AC的值，然后过点C作CM⊥AB于点M，易求得MC与MF的值，由勾

股定理即可求得FC2=MF2+MC2，然后由平行线分线段成比例定理，即可证得FG2=52FE•FC；（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH=x，则HF=x，FA=4x，根据平行线分线段成比例定理，即可求得n的值．【解析】（1）当n=1时，E为AD的中点，过

点D作DH∥CF交AB于点H，则BH=HF=FA，CF=2DH=2×2EF=4EF，∴FBFA=2，ECEF=3．（2）过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF=x，则BH=HF=nx．∵∠B=30°，∴AC=12

AB=12（2n+1）x，过点C作CM⊥AB于点M，∵∠ACM=∠B=30°，∴MC=ACcos∠ACM=ACcos30°=12（2n+1）x•32=(21)34n+x，AM=12AC=12×12（2n+1）x=214n+x，∴MF=AF-AM=x-214n+x=324n−x

，∴FC2=MF2+MC2=（324n−x）2+（(21)34n+x）2=3+44nx2，∵11FEAFxHDAHxnxn++＝＝＝，∴FE=11n+HD=11n+×12FC，∴FE•FC=122n+FC2

，122FnEFC+＝，∴1221FEFCFEn−+−＝,即121FEECn+＝，∴当n=14时，FC2=344n+x2=x2，FE•FC=122n+FC2=25x2，∴x2=52FE•FC．56∵FG∥AC，∴121FGFEACECn+＝＝，∴FG=12+1nAC=12+1n•212n+

x=x，∴FC2=x2=52FE•FC．（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH=x，则HF=x，FA=4x，∴144DEHFxEAFAx＝＝＝，∴n=14．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，三角函数的性质，勾股定

理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．6．（2020·山西初三一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面

的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相

交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D，E，F依次是△ABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1ADBECFDBECFA=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于

点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．过点C作CM∥DE交AB于点M，则BEBDECDM=，ADAFDMFC=（依据），∴BEADECDM＝BDAFDMFC，∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC

，即1ADBECFDBECFA=．情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…（1）情况①中的依据指：；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD:DB＝CF:FA＝2:3

，连接DF并延长，交57BC的延长线于点E，那么BE:CE＝．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）见解析；(3)94【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；

（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．模仿情况①的方法解决问题即可；（3）利用梅氏定理1ADBECFDBECFA=即可解决问题．【解析】解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为：两条直线被一组平行线所截，

所得的对应线段成比例．（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．则有ADDN＝AFFC，BEEC＝BDDN，∴BEADECDNg＝BDAFDNFCg，∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴ADBECFDBECFAgg＝1．（3）∵ADBECFDBECFAg

g＝1，AD:DB＝CF:FA＝2:3，∴2233BEEC＝1，∴BEEC=94．故答案为：94．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．